7. RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNEJ

7. RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNEJ Omawane ponŝej welkośc wprowadzmy dla szczególnego, ale bardzo często występującego w praktyce przypadku ruchu obrotowego cała wokół ustalonej os obrotu. Przypadk ogólnejsze omówmy pod konec tego paragrafu (ruch precesyjny, oś neswobodna). 7.1 Podstawowe welkośc opsujące ruch obrotowy Kąt obrotu, prędkość przyspeszene kątowe Wyobraźmy sobe, Ŝe cało obraca sę wokół ustalonej os obrotu, jak na ponŝszym rysunku. Współrzędną opsującą obrót cała jest kąt albo naczej przemeszczene kątowe; nazwjmy je: α=α(t). Prędkość obrotu charakteryzuje prędkość kątowa ; defnujemy ją jako: dα = (53) Prędkość kątowa moŝe ulegać zmanom, a zatem defnuje sę przyspeszene kątowe ε: d d α ε = = (54) Prędkość kątowa przyspeszene kątowe są wektoram; w przypadku obrotu wokół ustalonej os kerunk tych wektorów pokrywają sę z kerunkem os obrotu, zaś ch zwrot wyznacza reguła śruby prawoskrętnej. Wzajemną orentację wektorów, v oraz r pokazuje ten rysunek. v r 7

Wektory ε są tym dla ruchu obrotowego czym są v a dla ruchu postępowego. Na ponŝszym rysunku przedstawono schematyczne ruch obrotowy bardzo małego cała ( punktu materalnego ) po okręgu. Wektor jest prostopadły do powerzchn rysunku jest skerowany do góry (oznaczamy go symbolczne przez ; dodajmy, Ŝe wektor prostopadły do rysunku, ale skerowany w dół oznaczamy przez ). Zgodne z łukową defncją kąta (patrz rysunek po prawej): przyrost drog (kawałek łuku) to: ds = rdα, ds dα prędkość lnowa (ruchu postępowego): v = = r = r ; a zatem: v = r. RóŜnczkując tą zaleŝność po czase otrzymujemy: a = rε. Dwe ostatne zaleŝnośc zapsuje sę ogólnej: v = r (55) a = ε r Występujący tu wektor r jest wektorem wodzącym rozwaŝanego punktu materalnego, zaś znak oznacza loczyn wektorowy. Podobne, jak w przypadku ruchu postępowego, moŝemy wyróŝnć dwa szczególne typy ruchu obrotowego: a) jednostajny; wtedy: α=α o +t, b) jednostajne zmenny (gdy ε=const, zakładamy ponao, Ŝe początkowe połoŝene kątowe to α 0, a początkowa prędkość kątowa to 0 ): εt at α = α 0 + 0t + (analoga do: x = x 0 + v0t + ) oraz: = 0 + εt (analoga do: v = v0 + at ) Energa knetyczna RozwaŜmy cało o dowolnym kształce, obracające sę wokół stałej os obrotu: 8

Na rysunku wydzelono masę m bardzo małego -tego elementu cała. Odległość tego elementu od os obrotu wynos r. Energa knetyczna cała w ruchu obrotowym będze sumą energ knetycznych ruchu postępowego wszystkch jego elementów: k N mv = = 1 N m = = 1 r = N m r = 1 E. Sumę występującą po prawej strone ostatnej równośc nazywamy momentem bezwładnośc oznaczamy jako I: I m r (55) = N = 1 Ostateczne, otrzymujemy bardzo przejrzysty wzór na energę knetyczną obracającego sę cała: E k I = (56) Moment pędu RozwaŜmy obrót cała wokół ustalonej os. Dla pojedynczego bardzo małego cała (nazywamy go punktem materalnym) moment pędu defnujemy jako: L = r p (57) gdze r jest wektorem połoŝena punktu materalnego, zaś p jest pędem cała. Moment pędu jest zatem określony względem punktu (oznaczonego tutaj jako 0 ). Relacja ta przedstawona jest schematyczne ponŝej. 9

L r p Zastanówmy sę teraz jak moŝna wylczyć całkowty moment pędu cała. Na ogół moment pędu cała (L) ne jest równoległy do wektora prędkośc kątowej () patrz rysunek ponŝej. Równoległość ta ma natomast mejsce jeśl oś obrotu jest osą symetr cała (lub gdy jest jedną z os głównych o czym będze mowa w paragrafe 7.3). L L 0 Po lewej: w ogólnym przypadku wektory L ne są równoległe, Po prawej: jeśl oś obrotu jest osą symetr cała to L są równoległe. Sytuacja znaczne sę upraszcza, jeśl rozwaŝymy składową momentu równoległą do os obrotu (L oś ); załóŝmy ponao, Ŝe oś obrotu ma ustalony kerunek w przestrzen (tak jest w wększośc urządzeń mechancznych). Wektor L oś jest oczywśce równoległy do wektora prędkośc kątowej. 30

Wylczene momentu pędu L oś rozpoczynamy od podzelena (w myślach) cała na ogromną lość bardzo małych elementów (numerujemy je wskaźnkem ). W ogólnośc moment pędu jest sumą jego przyczynków (r xp ) od wszystkch elementów m. Ogranczając sę do wylczena L oś berzemy wyraŝena r p (zamast r xp ), gdze r jest odległoścą elementu m od os obrotu. Tak węc: L oś N N = p r = m v r = m r r = m r = 1 = 1 N = 1 Otrzymalśmy zatem proste wyraŝene na moment pędu cała: L oś = I N = 1 = I Pamętajmy jednak, Ŝe moment pędu jest wektorem. Jak juŝ wspomnano, jeśl cało obraca sę wokół swojej os symetr (lub jednej z tzw. głównych os bezwładnośc) to kerunek wektora momentu pędu L (będący równym L oś ) jest równoległy do kerunku wektora prędkośc kątowej ; moŝemy wtedy zapsać: L = I (58) Moment bezwładnośc odgrywa podstawową rolę w mechance ruchu obrotowego. Porównując wyraŝena 56 58 z analogcznym wyraŝenam dla ruchu postępowego, dochodzmy do wnosku, Ŝe moment bezwładnośc spełna w ruchu obrotowym taką sama rolę jak masa w ruchu postępowym. Przykład: moment bezwładnośc pręta względem os prostopadłej do nego przechodzącej przez jego konec Długość pręta wynos l, zaś jego masa M. Podzelmy w myśl obracający sę pręt na neskończene cenke plasterk. Nech grubość jednego z nch wynos dr, co pokazano na ponŝszym rysunku. Przyczynek do momentu bezwładnośc, który wnos nasz neskończene cenk plasterek o grubośc dr ( mase dm)wynos: di = r dm = r M Pręt jest obektem cągłym, a ne sumą dyskretnych elementów, węc wyraŝene 59 na moment bezwładnośc ne będze dostateczne precyzyjne (występuje w nm suma po skończonej lośc elementów). Sumę musmy zastąpć całką: dr l l 3 M M r I = dl = r dr = = V 0 l 0 l 3 gdze V 0 całkowtą oznacza objętość cała. Tak węc poszukwany moment bezwładnośc wynos: l 0 Ml 3 31

I = Ml 3 W oblczenach momentów bezwładnośc, często przydatne jest twerdzene Stenera. Pozwala ono wyrazć moment bezwładnośc cała (I) względem dowolnej os, jeśl znamy moment bezwładnośc (I 0 ) względem os do nej równoległej, ale przechodzącej przez środek masy cała: Ι + Mh (59) = Ι 0 gdze h jest odległoścą mędzy obu osam. ś.m. I I 0 h Moment sły W ruchu obrotowym rolę sły spełna moment sły. Defnujemy go jako: Μ = r F (60) gdze r jest wektorem połoŝena punktu materalnego względem punktu 0. M F r ZauwaŜmy takŝe, Ŝe wartość momentu sły moŝna wyrazć jako: M = rfsnα, lub teŝ M=dF; d=rsnα jest ramenem sły, czyl odcnkem prostopadłym do sły, o długośc równej odległośc sły od punktu 0. 3

7. Zasady dynamk ruchu obrotowego II zasada dynamk ruchu obrotowego RozwaŜmy znów przykład cała obracającego sę wokół ustalonej os. Dzelmy je w myślach na bardzo małe elementy (masy punktowe), które numerujemy wskaźnkem. ZałóŜmy, Ŝe na -tą masę punktową (m ) dzała sła o wartośc F, leŝąca w płaszczyźne prostopadłej do os obrotu odległa od tej os o r : Ogranczmy sę znów do szczególnego przypadku ustalonej os obrotu; wtedy stotna jest tylko składowa momentu sły równoległa do os obrotu: M oś. Wartość momentu sły (lczonego względem os obrotu) dzałającego na masę m wynos: M =F r. Momenty sł pochodzące od poszczególnych elementów m są równoległe dodają sę. Wartość całkowtego momentu sły wynos: M F r a m r os = = gdze a jest przyspeszenem (ruchu postępowego) masy m. Wykorzystując relację pomędzy przyspeszenam ruchu postępowego ruchu obrotowego: a = εr, zwązek powyŝszy moŝna przepsać: M = εm r = ε m r = I os ε Rezultat ten moŝna przepsać w wektorowej postac: M os = Iε (61) Ten szczególny przypadek, gdy moment pędu jest równoległy do os obrotu (lub gdy brana jest pod uwagę tylko składowa momentu pędu równoległa do os obrotu) ma postać analogczną do II zasady dynamk dla ruchu postępowego: F = ma. 33

RozwaŜmy teraz przypadek ogólny. Moment pędu (Równ. 60) defnujemy jako: L = r p. Wylczmy pochodną momentu pędu względem czasu: d L dp dr = r + p d t dr Lecz: = v, ponao wektory prędkośc pędu są równoległe ( v // p ), a zatem drug dr p = 0 człon po prawej strone powyŝej:. d L dp A zatem = r. d t d p Wdzelśmy wcześnej, Ŝe równowaŝna postać drugej zasady ma postać: = F, tak węc: d t d L = r F ; ponao r F = M (gdze M jest momentem sły). Ostateczne otrzymujemy: d t M = d L d t (6) Równane powyŝsze wyraŝa II zasadę dynamk dla ruchu obrotowego. Mów ona, Ŝe: Jeśl na cało dzała moment sły M to powoduje on zmanę momentu pędu dl/=m. A zatem, aby moment pędu cała ulegał zmane (co do wartośc lub kerunku), na cało mus dzałać moment sły. Równ. 6 pozostaje w pełnej analog z drugą zasadą dynamk dla ruchu postępowego, d p wyraŝoną w postac: F =. d t Zasada zachowana momentu pędu (I zasada dynamk ruchu obrotowego) Z drugej zasady dynamk: M=dL/ (lub: dl=m) wynka, Ŝe jeśl moment sły jest zerowy, to przyrost momentu pędu takŝe jest zerowy. W oparcu o powyŝsze formułujemy zasadę zachowana momentu pędu: Jeśl na cało ne dzała moment sły (M=0), to moment pędu cała jest stały (L=const). Zasada zachowana momentu pędu jest równowaŝna I zasadze dynamk ruchu obrotowego. 34

III zasada dynamk ruchu obrotowego Podobne jak sły, momenty sł równeŝ występują param. MoŜemy zatem sformułować zasadę akcj reakcj dla momentów sł: Jeśl cało A dzała na cało B momentem sły M AB, to równocześne cało B dzała na A momentem sły M BA, przy czym M AB = - M BA. 7.3 Swobodna oś obrotu RozwaŜmy teraz sytuację, gdy cało moŝe obracać sę wokół dowolnej os obrotu, nekoneczne ustalonej. Jeśl rzucmy np. kj czy pudełko zapałek, nadając m początkową prędkość kątową, to zauwaŝymy, Ŝe po chwl obracają sę one w sposób ustablzowany wokół jednej ze swych os symetr; jest to przykład os swobodnej. Na ogół ustablzowany obrót cała odbywa sę wokół tej os symetr, której odpowada najwększy moment bezwładnośc. Obrót pręta wokół os neswobodnej (po lewej) swobodnej (po prawej) Na powyŝszym rysunku wdać, Ŝe w przypadku os swobodnej, obrót odbywa sę w sposób naturalny, nekoneczne są łoŝyska, aby ją utrzymać. Cało zawsze w końcu samoczynne ustawa sę do obrotu wokół os swobodnej; czynnkem, który za to odpowada jest moment sł odśrodkowych. A zatem: Oś swobodna to oś przechodząca przez środek masy taka, Ŝe wypadkowa sł odśrodkowych ch momentów dzałających na cało wynos zero. Jak juŝ wspomnano, swobodna oś obrotu ne wymaga łoŝysk; przykładem jest tu oś obrotu Zem. RówneŜ zabeg centrowana (wywaŝana) koła samochodowego czy rowerowego to nc nnego jak doprowadzene do obrotu wokół os swobodnej. Wycentrowanym kołem (a zatem obracającym sę wokół os swobodnej) ne rzuca, ne bje ono na bok, a zatem ne obcąŝa ono łoŝysk. 35

Główne ose bezwładnośc MoŜna wykazać, Ŝe dla kaŝdego cała, równeŝ nesymetrycznego, moŝna zdefnować trzy prostopadłe ose, zwane głównym osam bezwładnośc; moment bezwładnośc cała względem jednej z nch jest maksymalny, względem drugej jest mnmalny, zaś względem trzecej ma wartość pośredną: I I I II I III. Jeśl cało ma kształt symetryczny główne ose bezwładnośc są takŝe osam symetr cała. Modelowym przykładem jest tutaj prostopadłoścan. I III I II I I Główne ose bezwładnośc są osam swobodnym, lecz jedyne I I wykazuje pełną trwałość ruchu (odporność na zakłócena). ZałóŜmy, Ŝe obrót cała odbywa sę względem os przechodzącej przez środek masy. Przedstawmy prędkość kątową jako sumę trzech wektorów składowych, równoległych do głównych os bezwładnośc: + + = (63) I II III Analogczne, moŝemy rozłoŝyć moment pędu względem tych samych os: = L + L + L I II III = I + I + I L (63a) I I II II III III Wdać stąd, Ŝe na ogół moment pędu (L) ne jest równoległy do wektora prędkośc kątowej (). Te dwa wektory są równoległe jedyne wówczas, gdy osą obrotu jest jedna z głównych os bezwładnośc. Wówczas otrzymujemy proste, znane nam z wcześnejszych paragrafów zaleŝnośc: L=I M=Iε (relacje te są słuszne takŝe w dowolnym przypadku, pod warunkem, Ŝe berzemy składowe L M równoległe do os obrotu). W ogólnym zaś przypadku, aby napsać relację mędzy M oraz L, defnuje sę moment bezwładnośc ne jako skalar (lczbę), tylko jako specjalny obekt matematyczny zwany tensorem. 7.4 Ruch precesyjny Istneje bardzo cekawy przykład ruchu obrotowego cała wokół os, która ne jest osą neruchomą w nercjalnym układze odnesena. Jest to wszystkm dobrze znany z dzecństwa ruch zabawk zwanej bąkem (Ŝyroskopowym). Schematyczne ruch bąka przedstawono na ponŝszym rysunku. W stoce moment pędu bąka (L) krąŝy po powerzchn stoŝka o ponowej os symetr; kąt rozwarca stoŝka wynos θ. Ruch tak nazywamy ruchem precesyjnym. 36

Oś bąka (jak równeŝ moment pędu bąka L) cały czas wruje wokół os ponowej. Zmana połoŝena wektora L w przedzale czasu t wynos L, przy czym L jest w kaŝdym momence prostopadłe do L; przyrost momentu pędu L wytwarzany jest przez moment sły M zwązany z słą grawtacyjną. (Jest to sytuacja analogczna do ruchu po okręgu, gdze w kaŝdym momence przyrost prędkośc v jest prostopadły do prędkośc v; przyrost prędkośc v jest generowany w tym przypadku przez słę dośrodkową). RozwaŜmy loścowy ops ruchu precesyjnego. Z zasady zachowana pędu: dl M = lub teŝ: M L, wynka stąd, Ŝe: L = M t. t Wylczmy prędkość kątową precesj p (patrz powyŝszy rysunek): p ϕ = t ; lecz: L M t ϕ = =. Lsn θ Lsn θ Poszukwana przez nas prędkość kątowa precesj wynos zatem: p ϕ M = = t Lsn θ (64) Momentem sły (M), który cały czas dzała na precesujący bąk jest moment sły cęŝkośc; jego wartość wynos M= mgd = mgrsnθ, gdze: m jest masą bąka, g jest przyspeszenem 37

grawtacyjnym, d jest ramenem sły grawtacyjnej względem os ponowej (z rysunku wdać, Ŝe d=rsnθ). Wstawając zatem wartość momentu sły (M= mgrsnθ) do ostatnego równana, otrzymujemy: mgr p = L Wdzmy z tego równana, Ŝe prędkość kątowa precesj jest odwrotne proporcjonalna do momentu pędu bąka; a zatem m jest bąk jest masywnejszy m szybcej wruje wokół własnej os tym wolnejsza jest jego precesja. Relacje na prędkość kątową precesj moŝemy zapsać w ogólnejszy sposób. ZauwaŜmy, Ŝe z Rów. 64 mamy: M= p Lsnθ. PonewaŜ kąt pomędzy wektoram p L wynos θ, węc równość tą moŝemy zapsać: M p L = (66) (65) Inne nteresujące przykłady ruchu precesyjnego Ruch precesyjny wykonuje takŝe Zema. (Moment sł generujący ten ruch pochodz m.n. od róŝncy sł przycągana grawtacyjnego obu półkul Zem prze Słońce; oś Zem jest bowem cały czas pochylona względem płaszczyzny orbty wokółsłonecznej). Okres ruchu precesyjnego Zem wynos 6 000 lat. Ponao ruch precesyjny wykorzystywany jest w Ŝyroskope. Elementy ruchu precesyjnego występują równeŝ podczas jazdy na rowerze; dzęk nm rowerzysta utrzymuje równowagę. 7.5 Analoge mędzy ruchem postępowym obrotowym Jak wdzelśmy w poprzednch paragrafach, równana dla ruchu obrotowego mogą być uzyskane z równań dla ruchu postępowego poprzez analogę. Wystarczy w tym celu zamenć welkośc opsujące ruch postępowy odpowadającym m welkoścam, charakteryzującym ruch obrotowy. W ponŝszej tabelce zestawono odpowadające sobe pary zmennych: RUCH POSTĘPOWY RUCH OBROTOWY Przemeszczene (droga), x Przemeszczene kątowe, α Prędkość, dx v = Prędkość kątowa, dv d x a = dα = d α Przyspeszene, = Przyspeszene kątowe, ε = = Masa, m Moment bezwładnośc, I I = d I = m r lub r dm Pęd, p=mv Moment pędu, L os =I Sła, F=ma Moment sły, M os =Iε V o 38

d p F = d t d L M = d t Energa knetyczna, Praca, Moc, x = F(x)dx x1 mv E k = Energa knetyczna, W Praca, W M( α)dα dw P = lub P = Fv Moc, = α α1 E k I = dw P = lub P = M 8. Statyka cał Poznawszy juŝ welkośc opsujące zarówno ruch postępowy jak obrotowy, moŝemy sformułować ścśle warunk, jake muszą być spełnone, aby cało pozostawało w równowadze. Jest to warunek statyk cała. WyraŜa sę on następująco: 1) F = 0 ) M = 0 (67) Inaczej mówąc, aby cało pozostawało w równowadze, suma sł momentów sł dzałających na cało mus być równa zeru. Uwag końcowe: Pochodzene zasad zachowana pędu, momentu pędu energ mechancznej Na baze neco ogólnejszych rozwaŝań moŝna wykazać, Ŝe poznane przez nas zasady zachowana są konsekwencją podstawowych symetr, które stneją w otaczającym nas śwece. I tak: a) Zasada zachowana pędu (p=const, jeśl F=0) Zasada ta wynka z jednorodnośc przestrzen. Inaczej mówąc, jeśl przesunemy nasz układ współrzędnych w przestrzen, to równana praw fzyk (przyrody) w nm wyraŝone ne ulegną zmane. b) Zasada zachowana momentu pędu (L=const, jeśl M=0) Zasada ta wynka z zotrop przestrzen. Jeśl obrócmy nasz układ współrzędnych w przestrzen, to równana praw fzyk (przyrody) ne ulegną zmane. 39

c) Zasada zachowana energ mechancznej (E k + E p = const, jeśl układ jest zolowany) Zasada ta wynka z jednorodnośc czasu. Jeśl umowny moment chwl początkowej (t=0) w lczenu czasu, przesunemy w przyszłość lub w przeszłość, to równana praw fzyk (przyrody) ne ulegną zmane. Uwaga: Trzeba tutaj zauwaŝyć, Ŝe wspomnane przesunęce w czase w przeszłość pownno być mnejsze od czasu stnena znanego nam Wszechśwata (obecne modele kosmologczne w zdecydowanej wększośc uznają, Ŝe znany nam Wszechśwat powstał w tzw. Welkm Wybuchu klkanaśce mlardów lat temu). Ne wemy po prostu czy stnały jake były prawa fzyk przed Welkm Wybuchem. 40