WYKŁAD 2: CAŁKI POTRÓJNE

Podobne dokumenty
ef 3 (dziedzina, dziedzina naturalna) Niech f : A R, gdzie A jest podzbiorem płaszczyzny lub przestrzeni Zbiór A nazywamy dziedziną funcji f i oznacza

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

Całka podwójna po prostokącie

Całki podwójne. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Całki potrójne. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Matematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz IV Całka powierzchniowa niezorientowana

Geometria analityczna przestrzeni

y(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami

Określenie całki oznaczonej na półprostej

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Całki krzywoliniowe skierowane

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje dwóch i trzech zmiennych

Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n

Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA 2

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Mechanika. Wykład 2. Paweł Staszel

lim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów

Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie

RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH

28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126

Analiza Matematyczna Praca domowa

i = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ

Rachunek całkowy - całka oznaczona

7 Twierdzenie Fubiniego

Całki powierzchniowe w R n

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5.

Definicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem

Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych

ANALIZA MATEMATYCZNA 2

Przekształcenia liniowe

Obliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

ANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18)

Zadania do Rozdziału X

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

R o z d z i a ł 2 KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO

1. RACHUNEK WEKTOROWY

Wykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..)

1 x + 1 dxdy, gdzie obszar D jest ograniczo-

9. Mimośrodowe działanie siły

Równanie Fresnela. napisał Michał Wierzbicki

2. Pręt skręcany o przekroju kołowym

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf

Przekształcenia liniowe

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Sekantooptyki owali i ich własności

Lista zadań nr 2 z Matematyki II

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15. CAŁKI OZNACZONE. Egzaminy I termin poniedziałek :00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki

mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej

KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie

J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu

Prawdopodobieństwo i statystyka

Fizyka 11. Janusz Andrzejewski

ZASTOSOWANIA CAŁEK OZNACZONYCH

Analiza Matematyczna II dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań

4. Elementy liniowej Teorii Sprężystości

24. CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA

Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

MECHANIKA 2 KINEMATYKA. Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)

Elektrostatyka. Potencjał pola elektrycznego Prawo Gaussa

MECHANIKA OGÓLNA (II)

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Fizyka dla Informatyków Wykład 7 Mechanika Ośrodków Ciągłych

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

POLE MAGNETYCZNE W PRÓŻNI

Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady

Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1

Iloczyn wektorowy. Autorzy: Michał Góra

Transkrypt:

WYKŁAD : CAŁKI OTRÓJNE 1 CAŁKI OTRÓJNE O ROSTOADŁOŚCIANIE Oznaczenia w definicji całi po prostopadłościanie: = {(: a x, c y d, p z q} prostopadłościan w przestrzeni; = { 1,,, n } podział prostopadłościanu na prostopadłościany, 1 n, przy czym prostopadłościany podziału całowicie wypełniają prostopadłościan i mają parami rozłączne wnętrza; x, y, z wymiary prostopadłościanu, 1 n; d = ( x ) + ( y ) + ( z ) - długość przeątnej prostopadłościanu, 1 n; δ() = max{d : 1 n } średnica podziału ; Ξ = {( x 1, y1, z1 ),( x, y, z),,( xn, yn, zn) gdzie ( x, y, z ), 1 n ziór puntów pośrednich podziału Rys 1 odział prostopadłościanu = [a,] [c,d] [p,q] Def 11 (cała potrójna po prostopadłościanie) Niech funcja f ędzie ograniczona na prostopadłościanie Całę podwójną z funcji f po prostopadłościanie definiujemy wzorem: def f ( dxdydz = lim δ ( ) 0 = n 1 f ( x, y, Z )( x )( y )( z o ile granica po prawej stronie znau równości istnieje oraz nie zależy od sposoów podziału prostopadłościanu, ani od sposoów wyoru puntów pośrednich Ξ Mówimy wted że funcja f jest całowalna na prostopadłościanie Uwaga Całę potrójną z funcji f po prostopadłościanie oznaczamy też symolem f ( d Fat 1 (o całowaniu funcji ciągłej) Funcja ciągła na prostopadłościanie jest na nim całowalna Tw 13 (o liniowości całi) Jeżeli funcje f i g są całowalne na prostopadłościanie oraz c R, to: a) funcja f + g jest całowalna na prostopadłościanie oraz ),

( f + ) dxdydz= f ( dxdydz+ ( dxdydz ; ) funcja cf jest całowalna na prostopadłościanie oraz cf ( dxdydz c f ( dxdydz = Tw 14 (o addytywności względem oszaru całowania) Jeżeli funcja f jest całowalna na prostopadłościanie, to dla dowolnego podziału prostopadłościanu na dwa prostopadłościany 1, o rozłącznych wnętrzach, funcja f jest całowalna 1 i na oraz f ( d= f ( d f ( d + 1 Tw 15 (o zamianie całi potrójnej na całę iterowaną) Jeżeli funcja f jest ciągła na prostopadłościanie = {(: a x, c y d, p z q to d q f ( dxdydz = f ( dz dy dx a c p Uwaga owyższe twierdzenie ędzie prawdziwe taże wted gdy po prawej stronie równości napiszemy dowolną inną całę iterowaną (jest sześć rodzajów całe iterowanych) Całę iterowaną d q f ( dz dy dx a c p zapisujemy umownie w postaci a d c q dx dy f ( dz p odoną umowę przyjmujemy dla pozostałych całe iterowanych W wielu przypadach wyór odpowiedniej olejności całowania pozwala znacznie uprościć oliczenia całi potrójnej Fat 16 (cała z funcji o rozdzielonych zmiennych) Jeżeli 1 funcja f jest ciągła na przedziale [a,], funcja g jest ciągła na przedziale [c,d], 3 funcja h jest ciągła na przedziale [p,q], to d q f ( x) h( dxdydz = f ( x) dx dy h( dz, a c p gdzie = [a,] [c,d] [p,q] CAŁKI OTRÓJNE O OBSZARACH NORMALNYCH

Def 1 (cała potrójna po oszarze) Niech funcja f ędzie funcją ograniczoną na oszarze ograniczonym R 3 oraz niech ędzie dowolnym prostopadłościanem zawierającym oszar onadto niech f * oznacza rozszerzenie funcji f na R 3 oreślone wzorem: f ( dla ( f ( = 3 0 dla ( R \ Całę potrójną funcji f po oszarze definiujemy wzorem: def f dxdydz= f ( ( dxdydz, o ile cała po prawej stronie znau równości istnieje Mówimy wted że funcja f jest całowalna na oszarze Uwaga Cała f ( dxdydz nie zależy od wyoru prostopadłościanu Def (oszary normalne względem płaszczyzn uładu) a) Oszarem normalnym względem osi xoy nazywamy ziór = {( :( U, z gdzie U jest oszarem regularnym na płaszczyźnie xo a funcje D i G są ciągłe na U, przy czym < dla puntów ( należących do wnętrza oszaru U ) Oszarem normalnym względem osi xoz nazywamy ziór = {( :( U, y gdzie U jest oszarem regularnym na płaszczyźnie xoz, a funcje D i G są ciągłe na U, przy czym < dla puntów ( należących do wnętrza oszaru U c) Oszarem normalnym względem osi yoz nazywamy ziór = {( :( U, x gdzie U jest oszarem regularnym na płaszczyźnie yoz, a funcje D i G są ciągłe na U, przy czym < dla puntów ( należących do wnętrza oszaru U Rys 1 Oszar normalny względem płaszczyzny xoy Rys Oszar normalny względem łaszczyzny xoz Rys 3 Oszar normalny względem płaszczyzny yoz Tw 3 (całi iterowane po oszarach normalnych) Jeżeli funcja f jest ciągła na oszarze = {( :( U, z } normalnym względem płaszczyzny xo gdzie D i G są ciągłe na oszarze regularnym U, to

f ( dxdydz = f ( dz dxdy U Jeżeli funcja f jest ciągła na oszarze = {( : a x, d ( x) y x), z } normalnym względem płaszczyzny xo gdzie funcje d i g są ciągłe na odcinu [a,], a funcje D i G są ciągłe ( : a x, d( x) y x), to na oszarze { } g ( x) f ( dxdydz = f ( dz dy dx a d ( x) Uwaga Całę po prawej stronie powyższej równości ędziemy zapisywali umownie w postaci: a g ( x) d ( x) dx dy f ( dz rawdziwe są taże analogiczne wzory z całami iterowanymi po oszarach normalnych względem pozostałych płaszczyzn uładu Def 4 (oszar regularny w przestrzeni) Sumę sończonej liczy oszarów normalnych względem płaszczyzn uładu o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy oszarem regularnym w przestrzeni Fat 5 (cała po oszarze regularnym w przestrzeni) Niech oszar regularny ędzie sumą oszarów normalnych 1,,, n o parami rozłącznych wnętrzach oraz niech funcja f ędzie całowalna na oszarze Wtedy f ( d= f ( d+ f ( d+ f ( d + 1 Uwaga Całi po oszarach regularnych mają te same własności co całi po prostopadłościanach (liniowość, addytywność względem oszaru całowania) Def 6 (cała potrójna z funcji wetorowej) Niech funcje, Q, R ędą całowalne na oszarze regularnym R 3 Całę z funcji wetorowej F= (, Q, R) po oszarze oreślamy wzorem: def F ( d = ( d, Q( d, R( d v Def 7 (wartość średnia funcji na oszarze) Wartością średnią funcji f na oszarze nazywamy liczę: def 1 f śr= f ( dxdydz, gdzie oznacza pole oszaru Tw 8 (o wartości średniej dla całe potrójnych) Jeżeli funcja f jest ciągła na oszarze normalnym, to = f x, y, z ) v f śr ( x0, y0, z0 ) ( 0 0 0 3 ZAMIANA ZMIENNYCH W CAŁKACH OTRÓJNYCH Def 31 (współrzędne walcowe) ołożenie puntu w przestrzeni można opisać tróją licz (ϕ,ρ,h), gdzie: n

ϕ oznacza miarę ąta między rzutem promienia wodzącego puntu na płaszczyznę xo a dodatnią częścią osi O 0 ϕ< π alo π < ϕ π ; ρ oznacza odległość puntu od początu uładu współrzędnych, 0 ρ <, h oznacza odległość (dodatnią lu ujemną) puntu od płaszczyzny xo < h < Rys 31 Współrzędne walcowe puntu w przestrzeni Fat 3 (zamiana współrzędnych walcowych na artezjańsie) Współrzędne artezjańsie ( puntu przestrzeni danego we współrzędnych walcowych (ϕ,ρ,h) oreślone są wzorami: x = ρ cosϕ W : y = ρ sinϕ z = h Rys 3 Zamiana współrzędnych walcowych na artezjańsie Tw 33 (współrzędne walcowe w całce potrójnej) Niech 1 Oszar U ędzie oreślony we współrzędnych walcowych wzorem {( ϕ, ρ, h) : α ϕ β, d( ρ, ϕ, ρ) h ϕ, ρ) gdzie funcje d i g są ciągłe na przedziale [α,β[ [0,π], a funcje D i G są ciągłe ma oszarze {( ϕ, ρ) : α ϕ β, d( ρ funcja f ędzie ciągła na oszarze, tóry jest orazem oszaru U przy przeształceniu walcowym, = W(U) Wtedy

f ( dxdydz = U f ( ρ cosϕ, ρ sinϕ, h) ρdhdρdϕ = β α g ( ϕ ) d ( ϕ ) ϕ, ρ ϕ, ρ Uwaga Całę iterowaną z powyższego twierdzenia zapisujemy umownie w postaci: β α g ( ϕ ) d ( ϕ ) ϕ, ρ ) d ϕ dρ f ( ρ cosϕ, ρ sinϕ, h) ρdh ϕ, ρ ) ) f ( ρ cosϕ, ρ sinϕ, h) ρdh dρ dϕ ) Współrzędne walcowe stosujemy głównie wted gdy oszar całowania jest ograniczony fragmentami powierzchni walców, sfer, stożów lu płaszczyzn Def 34 (współrzędne sferyczne) ołożenie puntu w przestrzeni można opisać tróją licz (ϕ,ψ,ρ), gdzie ϕ oznacza miarę ąta między rzutem promienia wodzącego puntu na płaszczyznę xo a dodatnią częścią osi O 0 ϕ< π alo π < ϕ π ; ψ oznacza miarę ąta między promieniem wodzącym puntu, a płaszczyzną xo π π ψ, ρ oznacza odległość puntu od początu uładu współrzędnych, 0 ρ < Uwaga We współrzędnych geograficznych na Ziemi liczy ϕ, ψ są odpowiednio długością i szeroością geograficzną Rys 33 Współrzędne sferyczne puntu w przestrzeni Fat 35 (zamiana współrzędnych sferycznych na artezjańsie) Współrzędne artezjańsie puntu ( w przestrzeni danego we współrzędnych sferycznych (ϕ,ψ,ρ) oreślone są wzorami: x = ρ cosϕ S : y = ρ sinϕ z = ρ sinψ

Rys 34 Zamiana współrzędnych sferycznych na artezjańsie Tw 36 (współrzędne sferyczne w całce potrójnej) Niech 1 Oszar U ędzie oreślony we współrzędnych sferycznych wzorem {( ϕ, ψ, ρ) : α ϕ β, d( ψ, ϕ, ψ ) ρ ϕ, ψ ) gdzie funcje d i g są ciągłe na przedziale [α,β[ [0,π], a funcje D i G są ciągłe ma oszarze {( ϕ, ψ ) : α ϕ β, d( ψ funcja f ędzie ciągła na oszarze, tóry jest orazem oszaru U przy przeształceniu sferycznym, = S(U) Wtedy f ( dxdydz = U f ( ρ cosϕ, ρ sinϕ, ρ sinψ ) ρ = β α g ( ϕ ) d ( ϕ ) ϕ, ψ ) ϕ, ψ ) dρdψdϕ = f ( ρ cosϕ, ρ sinϕ, ρ sinψ ) ρ Uwaga Całę iterowaną z powyższego twierdzenia zapisujemy umownie w postaci: ϕ, ψ ) β g ( ϕ ) ϕ, ψ ) d ϕ dψ f ( ρ cosϕ, ρ sinϕ, ρ sinψ ) ρ dρ α d ( ϕ ) dρ dψ dϕ Współrzędne sferyczne stosujemy głównie do opisu oszarów całowania, tóre są ograniczone fragmentami powierzchni sfer, stożów lu płaszczyzn 4 ZASTOSOWANIA CAŁEK OTRÓJNYCH Fat 41 (zastosowania w geometrii) Ojętość oszaru R 3 wyraża się wzorem: dxdydz = Fat 4 (zastosowania w fizyce) 1 Masa oszaru R 3 o gęstości ojętościowej masy γ wyraża się wzorem: M γ ( dxdydz = Momenty statyczne względem płaszczyzn uładu współrzędnych oszaru R 3 o gęstości ojętościowej masy γ wyrażają się wzorami:

MS zγ ( dzdydz xy xz = MS yγ ( dzdydz yz = MS xγ ( dzdydz = 3 Współrzędne środa masy oszaru R 3 o gęstości ojętościowej masy γ wyrażają się wzorami: MS yz MS MS xz xy xc =, yc=, zc= M M M 4 Momenty ezwładności względem osi uładu współrzędnych oszaru R 3 o gęstości ojętościowej masy γ wyrażają się wzorami: I = y + z γ ( dxdydz, X Y ( ) = ( x + z ) I γ ( dxdydz, Z = ( x + y ) I γ ( dxdydz Moment ezwładności względem początu uładu współrzędnych oszaru R 3 o gęstości ojętościowej masy γ wyraża się wzorem: I 0= ( x + y z ) γ ( dxdydz + 6 Siła przyciągania grawitacyjnego masy m supionej w puncie r 0 przez oszar R 3 o gęstości ojętościowej masy γ wyraża się wzorem: ( r0 r ) γ ( r ) F = Gm d, 3 r r0 gdzie r= (, a G oznacza stałą grawitacji 7 Natężenie pola eletrycznego induowane w puncie r 0 przez ładune eletryczny rozłożony z gęstością ojętościową ładunu γ na oszarze R 3, wyraża się wzorem: 1 ( r0 r ) γ ( r ) E = d 3 4, πε 0 r r0 gdzie r= (, a ε 0 oznacza przenialność eletryczną próżni 8 Energia potencjalna względem płaszczyzny xoy oszaru R 3 o gęstości ojętościowej masy γ wyraża się wzorem: E p = g zγ ( dxdydz, gdzie g oznacza przyspieszenie ziemsie Załadamy tutaj, że pole grawitacyjne jest jednorodne 9 Energia inetyczna oszaru R 3 o gęstości ojętościowej masy γ, oracającego się z prędością ątową ω woół osi Oz, wyraża się wzorem: ω E = ( x + y ) γ ( dxdydz

Uwaga Wzór na siłę przyciągania eletrycznego oraz natężenie pola grawitacyjnego są podone do podanych wyżej Fat 43 (środi masy rył symetrycznych) 1 Jeżeli ryła w przestrzeni ma płaszczyznę symetrii i gęstość ojętościowa masy jest funcją symetryczną względem tej płaszczyzny (np jest stała), to środe masy ryły leży na tej płaszczyźnie Jeżeli ryła w przestrzeni ma oś symetrii i gęstość ojętościowa masy jest funcją symetryczną względem tej osi (np jest stała), to środe masy ryły leży na tej osi 3 Jeżeli ryła w przestrzeni ma środe symetrii i gęstość ojętościowa masy jest funcją symetryczną względem tego środa (np jest stała), to środe masy ryły porywa się ze środiem symetrii