WYKŁAD : CAŁKI OTRÓJNE 1 CAŁKI OTRÓJNE O ROSTOADŁOŚCIANIE Oznaczenia w definicji całi po prostopadłościanie: = {(: a x, c y d, p z q} prostopadłościan w przestrzeni; = { 1,,, n } podział prostopadłościanu na prostopadłościany, 1 n, przy czym prostopadłościany podziału całowicie wypełniają prostopadłościan i mają parami rozłączne wnętrza; x, y, z wymiary prostopadłościanu, 1 n; d = ( x ) + ( y ) + ( z ) - długość przeątnej prostopadłościanu, 1 n; δ() = max{d : 1 n } średnica podziału ; Ξ = {( x 1, y1, z1 ),( x, y, z),,( xn, yn, zn) gdzie ( x, y, z ), 1 n ziór puntów pośrednich podziału Rys 1 odział prostopadłościanu = [a,] [c,d] [p,q] Def 11 (cała potrójna po prostopadłościanie) Niech funcja f ędzie ograniczona na prostopadłościanie Całę podwójną z funcji f po prostopadłościanie definiujemy wzorem: def f ( dxdydz = lim δ ( ) 0 = n 1 f ( x, y, Z )( x )( y )( z o ile granica po prawej stronie znau równości istnieje oraz nie zależy od sposoów podziału prostopadłościanu, ani od sposoów wyoru puntów pośrednich Ξ Mówimy wted że funcja f jest całowalna na prostopadłościanie Uwaga Całę potrójną z funcji f po prostopadłościanie oznaczamy też symolem f ( d Fat 1 (o całowaniu funcji ciągłej) Funcja ciągła na prostopadłościanie jest na nim całowalna Tw 13 (o liniowości całi) Jeżeli funcje f i g są całowalne na prostopadłościanie oraz c R, to: a) funcja f + g jest całowalna na prostopadłościanie oraz ),
( f + ) dxdydz= f ( dxdydz+ ( dxdydz ; ) funcja cf jest całowalna na prostopadłościanie oraz cf ( dxdydz c f ( dxdydz = Tw 14 (o addytywności względem oszaru całowania) Jeżeli funcja f jest całowalna na prostopadłościanie, to dla dowolnego podziału prostopadłościanu na dwa prostopadłościany 1, o rozłącznych wnętrzach, funcja f jest całowalna 1 i na oraz f ( d= f ( d f ( d + 1 Tw 15 (o zamianie całi potrójnej na całę iterowaną) Jeżeli funcja f jest ciągła na prostopadłościanie = {(: a x, c y d, p z q to d q f ( dxdydz = f ( dz dy dx a c p Uwaga owyższe twierdzenie ędzie prawdziwe taże wted gdy po prawej stronie równości napiszemy dowolną inną całę iterowaną (jest sześć rodzajów całe iterowanych) Całę iterowaną d q f ( dz dy dx a c p zapisujemy umownie w postaci a d c q dx dy f ( dz p odoną umowę przyjmujemy dla pozostałych całe iterowanych W wielu przypadach wyór odpowiedniej olejności całowania pozwala znacznie uprościć oliczenia całi potrójnej Fat 16 (cała z funcji o rozdzielonych zmiennych) Jeżeli 1 funcja f jest ciągła na przedziale [a,], funcja g jest ciągła na przedziale [c,d], 3 funcja h jest ciągła na przedziale [p,q], to d q f ( x) h( dxdydz = f ( x) dx dy h( dz, a c p gdzie = [a,] [c,d] [p,q] CAŁKI OTRÓJNE O OBSZARACH NORMALNYCH
Def 1 (cała potrójna po oszarze) Niech funcja f ędzie funcją ograniczoną na oszarze ograniczonym R 3 oraz niech ędzie dowolnym prostopadłościanem zawierającym oszar onadto niech f * oznacza rozszerzenie funcji f na R 3 oreślone wzorem: f ( dla ( f ( = 3 0 dla ( R \ Całę potrójną funcji f po oszarze definiujemy wzorem: def f dxdydz= f ( ( dxdydz, o ile cała po prawej stronie znau równości istnieje Mówimy wted że funcja f jest całowalna na oszarze Uwaga Cała f ( dxdydz nie zależy od wyoru prostopadłościanu Def (oszary normalne względem płaszczyzn uładu) a) Oszarem normalnym względem osi xoy nazywamy ziór = {( :( U, z gdzie U jest oszarem regularnym na płaszczyźnie xo a funcje D i G są ciągłe na U, przy czym < dla puntów ( należących do wnętrza oszaru U ) Oszarem normalnym względem osi xoz nazywamy ziór = {( :( U, y gdzie U jest oszarem regularnym na płaszczyźnie xoz, a funcje D i G są ciągłe na U, przy czym < dla puntów ( należących do wnętrza oszaru U c) Oszarem normalnym względem osi yoz nazywamy ziór = {( :( U, x gdzie U jest oszarem regularnym na płaszczyźnie yoz, a funcje D i G są ciągłe na U, przy czym < dla puntów ( należących do wnętrza oszaru U Rys 1 Oszar normalny względem płaszczyzny xoy Rys Oszar normalny względem łaszczyzny xoz Rys 3 Oszar normalny względem płaszczyzny yoz Tw 3 (całi iterowane po oszarach normalnych) Jeżeli funcja f jest ciągła na oszarze = {( :( U, z } normalnym względem płaszczyzny xo gdzie D i G są ciągłe na oszarze regularnym U, to
f ( dxdydz = f ( dz dxdy U Jeżeli funcja f jest ciągła na oszarze = {( : a x, d ( x) y x), z } normalnym względem płaszczyzny xo gdzie funcje d i g są ciągłe na odcinu [a,], a funcje D i G są ciągłe ( : a x, d( x) y x), to na oszarze { } g ( x) f ( dxdydz = f ( dz dy dx a d ( x) Uwaga Całę po prawej stronie powyższej równości ędziemy zapisywali umownie w postaci: a g ( x) d ( x) dx dy f ( dz rawdziwe są taże analogiczne wzory z całami iterowanymi po oszarach normalnych względem pozostałych płaszczyzn uładu Def 4 (oszar regularny w przestrzeni) Sumę sończonej liczy oszarów normalnych względem płaszczyzn uładu o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy oszarem regularnym w przestrzeni Fat 5 (cała po oszarze regularnym w przestrzeni) Niech oszar regularny ędzie sumą oszarów normalnych 1,,, n o parami rozłącznych wnętrzach oraz niech funcja f ędzie całowalna na oszarze Wtedy f ( d= f ( d+ f ( d+ f ( d + 1 Uwaga Całi po oszarach regularnych mają te same własności co całi po prostopadłościanach (liniowość, addytywność względem oszaru całowania) Def 6 (cała potrójna z funcji wetorowej) Niech funcje, Q, R ędą całowalne na oszarze regularnym R 3 Całę z funcji wetorowej F= (, Q, R) po oszarze oreślamy wzorem: def F ( d = ( d, Q( d, R( d v Def 7 (wartość średnia funcji na oszarze) Wartością średnią funcji f na oszarze nazywamy liczę: def 1 f śr= f ( dxdydz, gdzie oznacza pole oszaru Tw 8 (o wartości średniej dla całe potrójnych) Jeżeli funcja f jest ciągła na oszarze normalnym, to = f x, y, z ) v f śr ( x0, y0, z0 ) ( 0 0 0 3 ZAMIANA ZMIENNYCH W CAŁKACH OTRÓJNYCH Def 31 (współrzędne walcowe) ołożenie puntu w przestrzeni można opisać tróją licz (ϕ,ρ,h), gdzie: n
ϕ oznacza miarę ąta między rzutem promienia wodzącego puntu na płaszczyznę xo a dodatnią częścią osi O 0 ϕ< π alo π < ϕ π ; ρ oznacza odległość puntu od początu uładu współrzędnych, 0 ρ <, h oznacza odległość (dodatnią lu ujemną) puntu od płaszczyzny xo < h < Rys 31 Współrzędne walcowe puntu w przestrzeni Fat 3 (zamiana współrzędnych walcowych na artezjańsie) Współrzędne artezjańsie ( puntu przestrzeni danego we współrzędnych walcowych (ϕ,ρ,h) oreślone są wzorami: x = ρ cosϕ W : y = ρ sinϕ z = h Rys 3 Zamiana współrzędnych walcowych na artezjańsie Tw 33 (współrzędne walcowe w całce potrójnej) Niech 1 Oszar U ędzie oreślony we współrzędnych walcowych wzorem {( ϕ, ρ, h) : α ϕ β, d( ρ, ϕ, ρ) h ϕ, ρ) gdzie funcje d i g są ciągłe na przedziale [α,β[ [0,π], a funcje D i G są ciągłe ma oszarze {( ϕ, ρ) : α ϕ β, d( ρ funcja f ędzie ciągła na oszarze, tóry jest orazem oszaru U przy przeształceniu walcowym, = W(U) Wtedy
f ( dxdydz = U f ( ρ cosϕ, ρ sinϕ, h) ρdhdρdϕ = β α g ( ϕ ) d ( ϕ ) ϕ, ρ ϕ, ρ Uwaga Całę iterowaną z powyższego twierdzenia zapisujemy umownie w postaci: β α g ( ϕ ) d ( ϕ ) ϕ, ρ ) d ϕ dρ f ( ρ cosϕ, ρ sinϕ, h) ρdh ϕ, ρ ) ) f ( ρ cosϕ, ρ sinϕ, h) ρdh dρ dϕ ) Współrzędne walcowe stosujemy głównie wted gdy oszar całowania jest ograniczony fragmentami powierzchni walców, sfer, stożów lu płaszczyzn Def 34 (współrzędne sferyczne) ołożenie puntu w przestrzeni można opisać tróją licz (ϕ,ψ,ρ), gdzie ϕ oznacza miarę ąta między rzutem promienia wodzącego puntu na płaszczyznę xo a dodatnią częścią osi O 0 ϕ< π alo π < ϕ π ; ψ oznacza miarę ąta między promieniem wodzącym puntu, a płaszczyzną xo π π ψ, ρ oznacza odległość puntu od początu uładu współrzędnych, 0 ρ < Uwaga We współrzędnych geograficznych na Ziemi liczy ϕ, ψ są odpowiednio długością i szeroością geograficzną Rys 33 Współrzędne sferyczne puntu w przestrzeni Fat 35 (zamiana współrzędnych sferycznych na artezjańsie) Współrzędne artezjańsie puntu ( w przestrzeni danego we współrzędnych sferycznych (ϕ,ψ,ρ) oreślone są wzorami: x = ρ cosϕ S : y = ρ sinϕ z = ρ sinψ
Rys 34 Zamiana współrzędnych sferycznych na artezjańsie Tw 36 (współrzędne sferyczne w całce potrójnej) Niech 1 Oszar U ędzie oreślony we współrzędnych sferycznych wzorem {( ϕ, ψ, ρ) : α ϕ β, d( ψ, ϕ, ψ ) ρ ϕ, ψ ) gdzie funcje d i g są ciągłe na przedziale [α,β[ [0,π], a funcje D i G są ciągłe ma oszarze {( ϕ, ψ ) : α ϕ β, d( ψ funcja f ędzie ciągła na oszarze, tóry jest orazem oszaru U przy przeształceniu sferycznym, = S(U) Wtedy f ( dxdydz = U f ( ρ cosϕ, ρ sinϕ, ρ sinψ ) ρ = β α g ( ϕ ) d ( ϕ ) ϕ, ψ ) ϕ, ψ ) dρdψdϕ = f ( ρ cosϕ, ρ sinϕ, ρ sinψ ) ρ Uwaga Całę iterowaną z powyższego twierdzenia zapisujemy umownie w postaci: ϕ, ψ ) β g ( ϕ ) ϕ, ψ ) d ϕ dψ f ( ρ cosϕ, ρ sinϕ, ρ sinψ ) ρ dρ α d ( ϕ ) dρ dψ dϕ Współrzędne sferyczne stosujemy głównie do opisu oszarów całowania, tóre są ograniczone fragmentami powierzchni sfer, stożów lu płaszczyzn 4 ZASTOSOWANIA CAŁEK OTRÓJNYCH Fat 41 (zastosowania w geometrii) Ojętość oszaru R 3 wyraża się wzorem: dxdydz = Fat 4 (zastosowania w fizyce) 1 Masa oszaru R 3 o gęstości ojętościowej masy γ wyraża się wzorem: M γ ( dxdydz = Momenty statyczne względem płaszczyzn uładu współrzędnych oszaru R 3 o gęstości ojętościowej masy γ wyrażają się wzorami:
MS zγ ( dzdydz xy xz = MS yγ ( dzdydz yz = MS xγ ( dzdydz = 3 Współrzędne środa masy oszaru R 3 o gęstości ojętościowej masy γ wyrażają się wzorami: MS yz MS MS xz xy xc =, yc=, zc= M M M 4 Momenty ezwładności względem osi uładu współrzędnych oszaru R 3 o gęstości ojętościowej masy γ wyrażają się wzorami: I = y + z γ ( dxdydz, X Y ( ) = ( x + z ) I γ ( dxdydz, Z = ( x + y ) I γ ( dxdydz Moment ezwładności względem początu uładu współrzędnych oszaru R 3 o gęstości ojętościowej masy γ wyraża się wzorem: I 0= ( x + y z ) γ ( dxdydz + 6 Siła przyciągania grawitacyjnego masy m supionej w puncie r 0 przez oszar R 3 o gęstości ojętościowej masy γ wyraża się wzorem: ( r0 r ) γ ( r ) F = Gm d, 3 r r0 gdzie r= (, a G oznacza stałą grawitacji 7 Natężenie pola eletrycznego induowane w puncie r 0 przez ładune eletryczny rozłożony z gęstością ojętościową ładunu γ na oszarze R 3, wyraża się wzorem: 1 ( r0 r ) γ ( r ) E = d 3 4, πε 0 r r0 gdzie r= (, a ε 0 oznacza przenialność eletryczną próżni 8 Energia potencjalna względem płaszczyzny xoy oszaru R 3 o gęstości ojętościowej masy γ wyraża się wzorem: E p = g zγ ( dxdydz, gdzie g oznacza przyspieszenie ziemsie Załadamy tutaj, że pole grawitacyjne jest jednorodne 9 Energia inetyczna oszaru R 3 o gęstości ojętościowej masy γ, oracającego się z prędością ątową ω woół osi Oz, wyraża się wzorem: ω E = ( x + y ) γ ( dxdydz
Uwaga Wzór na siłę przyciągania eletrycznego oraz natężenie pola grawitacyjnego są podone do podanych wyżej Fat 43 (środi masy rył symetrycznych) 1 Jeżeli ryła w przestrzeni ma płaszczyznę symetrii i gęstość ojętościowa masy jest funcją symetryczną względem tej płaszczyzny (np jest stała), to środe masy ryły leży na tej płaszczyźnie Jeżeli ryła w przestrzeni ma oś symetrii i gęstość ojętościowa masy jest funcją symetryczną względem tej osi (np jest stała), to środe masy ryły leży na tej osi 3 Jeżeli ryła w przestrzeni ma środe symetrii i gęstość ojętościowa masy jest funcją symetryczną względem tego środa (np jest stała), to środe masy ryły porywa się ze środiem symetrii