Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)

Transkrypt

1 Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady) Wykład nr 9: Geometria w szkole geometria dynamiczna, miejsca geometryczne, przekształcenia geometryczne Semestr zimowy 2018/2019

2 DGS = Dynamic Geometry Software

3 DGS = Dynamic Geometry Software

4 DGS = Dynamic Geometry Software

5 Geometria dynamiczna twierdzenia Przykład 1: twierdzenie cosinusów tw_cosinusow_1.fig tw_cosinusow_2.fig cm 2 b a 3.13 cm 2 C b c A a B (a^2+b^2)-c^2=15.25 cm cm 2 c

6 Geometria dynamiczna twierdzenia Przykład 2: Zadanie o hodowcy krów Hodowca krów mieszka nad rzeką (punkt A), natomiast swoje krowy wypasa w okolicach punktu P. Jadąc do wydojenia krów, zabiera wiadra, myje je w rzece i dojeżdża do pastwiska P. Zaplanuj drogę hodowcy, tak aby była najkrótsza.

7 Równoważność twierdzeń Twierdzenie cosinusów Jeśli a, b, c są długościami boków trójkąta, miarą kąta naprzeciw boku długości c, to zachodzi równość c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ. b C a A c B Twierdzenie sinusów a sin α = b sin β = c sin γ = 2R, gdzie a, b, c są długościami boków trójkąta, α, β, γ miarami jego kątów, R jest promieniem okręgu opisanego na trójkącie. A b a C c a b B

8 Miejsce geometryczne Miejsce geometryczne to zbiór wszystkich punktów spełniających dany warunek. GEOGEBRA CABRI

9 Miejsce geometryczne Przykład 1 Dane są dwa punkty A, B. Znajdź miejsce geometryczne środków okręgów, do których należą punkty A i B. Rozpatrz dwa przypadki: płaszczyznę, przestrzeń. Przykład 2 Znajdź miejsce geometryczne środków ciężkości trójkątów prostokątnych o danej przeciwprostokątnej.

10 Miejsce geometryczne Przykład 3 Znajdź miejsce geometryczne punktów jednakowo odległych od ustalonej prostej i ustalonego punktu.

11 Miejsce geometryczne Przykład 4 Wpisz kwadrat w trójkąt.

12 Miejsce geometryczne Przykład 5 Dane są dwa rozłączne odcinki AB, CD. Tworzymy zbiór wszystkich odcinków, których jeden koniec leży na odcinku AB, a drugi koniec na odcinku CD. Co jest miejscem geometrycznym środków tych odcinków?

13 Przekształcenia geometryczne PPM IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zakres podstawowy. Uczeń: wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w środku układu współrzędnych). To bardzo mała dawka przekształceń geometrycznych, ponadto nie traktuje się ich wprost jako funkcje.

14 Przekształcenia geometryczne płaszczyzny Przekształcenie geometryczne płaszczyzny to dowolna funkcja f: R 2 R 2. Symetria osiowa w układzie współrzędnych, np. względem osi OX, f x, y = x, y, M f =

15 Przekształcenia geometryczne płaszczyzny Symetria środkowa w układzie współrzędnych, np. względem osi (0,0), f x, y = x, y, M f =

16 Przekształcenia geometryczne płaszczyzny Translacja w układzie współrzędnych: f x, y = x + a, y + b

17 Przekształcenia geometryczne płaszczyzny Obrót w układzie współrzędnych wokół punktu (0,0) o kąt a (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara): f x, y = xcosα ysinα, xsinα + ycosα

18 Przekształcenia geometryczne płaszczyzny Jednokładność o środku w punkcie (0,0) i skali k w układzie współrzędnych: f x, y = kx, ky, M f = k 0 0 k

19 Przekształcenia geometryczne płaszczyzny Inwersja Niech O(S, r) będzie okręgiem o środku S i promieniu r. Inwersją przy danym okręgu O(S, r) nazywamy takie przekształcenie, które każdemu punktowi X płaszczyzny, gdzie X S, przyporządkowuje punkt X taki, że: punkt X leży na półprostej SX, SX SX = r 2. Analityczny wzór na inwersję względem okręgu o środku w (0,0) i promieniu r: r 2 f x, y = (x x 2 + y 2, y r 2 x 2 + y 2) 1 1 (0.58, -1.18) 2.74 cm

20 Prośba Bardzo proszę o przyniesienie w środę (12-go) laptopów z wgranym programem GeoGebra.

21 Uwaga W prezentacjach do wykładów często nie ma szczegółów rozpatrywanych przykładów, ale są one ważną częścią wykładów i będą wymagane na egzaminie.