M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A [, +] nazywamy funkcją zbiorów. Definicja 3.1 Funkcję zbiorów na A nazywamy: i addytywną skończenie addytywną jeśli A,B A A B =, A B A A B = A + B. ii σ-addytywną przeliczalnie addytywną jeśli dla A i A, i 1 takich, że A i A j = dla i j, i, j 1 oraz A i A zachodzi równość A i = A i. Stosując indukcję matematyczną łatwo wykazać, że jeśli na A jest addytywną funkcją zbiorów wtedy dla dowolnego ciągu skończonego A i A, i = 1,..., n, n 1 takiego, że A i A j = dla i j, i, j = 1,..., n oraz gdy m A i A dla 2 m n, to mamy równość n A i = A i. Definicja 3.2 Funkcję zbiorów : A [0, +] nazywamy miarą na A jeśli jest ona σ-addytywna oraz = 0. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. Definicja 3.3 Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną, a : A [0, +] miarą. Wtedy uporządkowaną trójkę X, A, nazywamy przestrzenią z miarą. Niech będzie dana przestrzeń z miarą X, A,. Jeśli X < to miarę nazywamy miarą skończoną. Jeśli natomiast X = 1, to nazywamy miarą probabilistyczną, a uporządkowaną trójkę X, A, przestrzenią probabilistyczną. Miarę nazywamy σ- skończoną jeśli istnieje przeliczalna rodzina {A i } i 1 A taka, że A i = X oraz A i < dla każdego i 1 lub równoważnie jeśli istnieje przeliczalna rodzina {B i } i 1 A taka, że B i B i+1, i 1, B i = X oraz B i < dla każdego i 1.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 26 Twierdzenie 3.4 Niech X, A, będzie przestrzenią z miarą. Wtedy i n 1, B i A, 1 i n, B i B j = dla i j n B i = n B i; ii A, B A, B A A B; iii A, B A, B A, B < A \ B = A B; iv A, B A A B + A B = A + B; v n 1, A i A, 1 i n n A i n A i subaddytywność; vi A i A, A i A i+1, i 1 A i = limi A i ; vii A i A, A i+1 A i, i 1, n 0 1 A n 0 < A i = limi A i ; viii A i A, i 1 A i A i σ-subaddytywność. Dowód. Ad. i Niech A i A dla i 1 i niech Wtedy A i A j = dla i j 1 oraz A i = B i dla i = 1,..., n, A i = dla i n + 1. n B i = A i = A i = B i. Ad. ii Jeśli A, B A oraz B A to A = A \ B B suma rozłączna. Zatem z punktu i oraz z nieujemności miary dostajemy A = A \ B + B B. Ad. iii Z punktu ii mamy A = A \ B + B. Stąd i z założenia B < mamy A B = A \ B. Ad. iv Sumę A B możemy przedstawić jako sumę rozłączną, mianowicie Z punktu i otrzymujemy A B = A \ A B A B B \ A B. A B = A \ A B + A B + B \ A B. Stąd po dodaniu stronami A B mamy A B + A B = A \ A B + A B + B \ A B + A B = A + B.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 27 Ad. v Z punktu iv dostajemy Dalej dowód przez indukcję. A 1 + A 2 = A 1 A 2 + A 1 A 2 A 1 A 2. Ad. vi Oznaczmy B 1 = A 1 oraz B n = A n \ A n 1 dla n > 1. Wtedy a B n B m = dla n m, n, m 1; b A n = n k=1 B k, n 1; c A i = k=1 B k. Stąd i z σ-addytywności miary mamy A i = B k = B k = lim k=1 Ad. vii Zauważmy, że k=1 a A i = i=m A i, dla każdego m 1; b A n0 A i. n k=1 Stąd i z udowodnionych już własności miary dostajemy iii A n0 A i = A n0 \ A i = A n0 \ Otrzymujemy więc = B k = lim n n A n0 +i k=1 A n0 A n 0 +i = An0 \ A n0 +i B k = lim n A n. = A n0 vi = lim A n0 \ A n0 i +i iii = lim An0 A n0 i +i = A n0 lim A n0 i +i = A n0 lim A i. i A i = lim i A i. A n0 +i Ad. viii Niech A i A, i 1. Oznaczmy B n = n A i, n 1. Ciąg {B n } n 1 jest ciągiem wstępującym i jego suma mnogościowa jest równa sumie mnogościowej ciągu wyjściowego {A i } i 1. Zatem A i = v lim n vi B n = lim B n = lim n n n A i = A i. A i
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 28 Stwierdzenie 3.5 Niech X, A, będzie przestrzenią z miarą skończoną i niech A i A dla 1 i n. Wtedy n A i = A i A i1 A i2 + 1 i 1 <i 2 n + 1 k 1 1 i 1 <i 2 <...<i k n + 1 n 1 A 1 A 2... A n. A i1 A i2... A ik + Dowód. Dla n = 1 jest oczywisty. Dla n = 2 wynika z Twierdzenia 3.4 iv. Dalej stosując indukcję matematyczną. Zostawiamy to jako ćwiczenie. Przykład 3.6 a Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną oraz niech x X będzie ustalonym punktem. Wtedy { 1 dla x A, δ x A = A A 0 dla x A, jest miarą delta Diraca. b Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną. Wtedy i 0 tzn. A = 0 dla A A, ii A = + dla A A i A oraz = 0 są miarami. c Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną, gdzie X jest zbiorem nieprzeliczalnym oraz A A wtedy i tylko wtedy, gdy A IN lub A IN. Wtedy { 1 gdy A IN, A = A A 0 gdy A IN, jest miarą na A. d Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną. Wtedy A = #A jest miarą miarą liczącą. e Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną, gdzie #X = i niech {x i } i 1 X będzie ustalonym ciągiem. Załóżmy, że dany jest ciąg liczbowy {p i } i 1 taki, że p i > 0 dla i 1 oraz p i = 1. Wtedy = p i δ xi jest miarą probabilistyczną.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 29 Twierdzenie 3.7 Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną, gdzie A = σc oraz C jest π-układem. Załóżmy ponadto, że dane są dwie miary i ν na A o własnościach: i i ν są σ-skończone na C; ii A = νa dla każdego A C. Wtedy = ν tzn. A = νa dla każdego A A. Dowód. Z założenia i istnieją: A i C, A i < dla i 1 oraz B j C, νb j < dla j 1 oraz A i = X, B j = X, Rozważmy rodzinę {A i B j } i,j 1 C, której elementy oznaczmy przez G k, k 1. Z założeń dostajemy G k = νg k < dla k 1 oraz k=1 G k = X. Bez straty ogólności możemy założyć, że G k G k+1 dla k 1 wystarczy określić F n = n k=1 G k i zauważyć, że ze Stwierdzenia 3.5 F n = νf n < dla n 1. Dla k 1 rozważmy rodzinę D k = { A A : A G k = νa G k }. Łatwo zauważyć, że i C D k ; ii D k jest λ-układem. Stąd λc D k A. Z Twierdzenia 2.20 mamy λc = σc. Zatem D k = A, k 1. Niech A A. Wtedy z Twierdzenia 3.4 vi dostajemy A = A X = A G k = k=1 k=1 A G k = lim A G k = lim νa G k k k = ν A G k = νa X = νa. k=1 Uwaga. Założenie o σ-skończoności miar na C w powyższym twierdzeniu jest istotne. Rzeczywiście, niech X = IR, C = { a, b] : a b, a, b IR }. Widzimy od razu, że C
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 30 jest π-układem. Ponadto wiadomo, że σc = BIR. Rozważmy dwie miary na BIR: A = #A oraz νa = gdy A i ν = 0 dla A BIR. Jak łatwo zauważyć = ν na C oraz ν na BIR. Na zakończenie tego tematu zanotujmy jeszcze natychmiastowy wniosek wypływający z Twierdzenia 3.7 Wniosek 3.8 Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną, gdzie A = σc oraz C jest algebrą. Załóżmy ponadto, że dane są dwie miary i ν na A o własnościach: i i ν są σ-skończone na C; ii A = νa dla każdego A C. Wtedy = ν tzn. A = νa dla każdego A A. 3.2 Miary przedziałów Oznaczmy 3.1 C = { a, b], b, : a b < }. Załóżmy ponadto, że dana jest funkcja F : IR IR niemalejąca i prawostronnie ciągła. Oznaczmy jeszcze F + := lim x + F x i F := lim x F x. Określmy funkcję zbiorów na C wzorem 3.2 a, b] = F b F a, b, + = F + F b. Zauważmy, że 3.3 = a, a] = F a F a = 0. Okazuje się, że tak określona funkcja zbiorów jest miarą na C, mianowicie zachodzi Twierdzenie 3.9 Funkcja zbiorów określona wzorem 3.2 jest miarą na C. Dowód. Jak już zauważyliśmy w 3.3 = 0. Pozostało tylko udowodnić σ-addytywność. W pierwszej części dowodu wykażemy, że jest σ-addytywna na rodzinie C 0 = { a, b] : a, b IR } C. W tym celu pokażemy najpierw, że jest addytywna na C 0. Niech a, b] = n a i, b i ], gdzie a, b], a i, b i ] C 0 dla i = 1,..., n oraz a i, b i ] są parami rozłączne dla i = 1,..., n.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 31 Bez straty ogólności możemy założyć, że rozpatrywane przedziały są niepuste oraz możemy je ponumerować w następujący sposób: Wtedy a = a 1 < b 1 = a 2 < b 2 = a 3 <... < b n 1 = a n < b n = b. a, b] = F b F a = F b n F a 1 = F bi F a i = a i, b i ], co kończy dowód addytywności na C 0. Udowodnimy teraz subaddytywność w pewnym sensie na C 0 tzn. jeśli to a, b] n a i, b i ], gdzie a, b], a i, b i ] C 0, dla i = 1, 2,..., n a, b] a i, b i ]. Dowód indukcyjny. Dla n = 1. Niech a, b] a 1, b 1 ]. Ponieważ funkcja F jest niemalejąca, więc a, b] = F b F a F b 1 F a 1 = a 1, b 1 ]. Dla n > 1. Niech n+1 a, b] a i, b i ], gdzie a, b], a i, b i ] C 0, dla i = 1, 2,..., n. Bez straty ogólności możemy dodatkowo założyć, że b a n+1, b n+1 ]. a 1 b 1 a a n+1 b b n+1 Gdy a > a n+1 to dowodzona własność subaddytywności jest oczywista z założenia indukcyjnego. Gdy a a n+1 to a, a n+1 ] n a i, b i ], więc ponownie korzystając z założenia indukcyjnego otrzymujemy
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 32 Stąd a, a n+1 ] a i, b i ]. a, b] = a, a n+1 ] a n+1, b] = a, a n+1 ] + a n+1, b] n+1 a i, b i ] + a n+1, b] a i, b i ]. Wykażemy teraz σ-addytywność na C 0. Niech a, b] = a i, b i ] gdzie a, b], a i, b i ] C 0, dla i = 1, 2,..., gdzie a i, b i ] są parami rozłączne dla i 1. Niech n > 1 i rozważmy n a i, b i ]. Możemy założyć, że a a 1 < b 1 a 2 < b 2 a 3 <... < b n 1 a n < b n b. Mamy więc 3.4 a, b] = a, a 1 ] n n 1 a i, b i ] b i, a i+1 ] b n, b]. Suma po prawej stronie 3.4 jest rozłączna, więc korzystając z addytywności otrzymujemy a, b] = a, a 1 ] + Stąd dla każdego n > 1 mamy czyli n 1 a i, b i ] + b i, a i+1 ] + b n, b] a, b] a, b] a i, b i ], a i, b i ]. a i, b i ]. Udowodnimy teraz nierówność w drugą stronę. Z prawostronnej ciągłości funkcji F mamy dla każdego ε > 0 a, a + δ] = F a + δ F a < ε 2, δ i >0 δ>0 b i, b i + δ i ] = F b i + δ i F b i < ε, dla i 1. 2i+1
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 33 a a + δ a i b i b Mamy [a + δ, b] a, b] = a i, b i ] a i, b i + δ i. Ze zwartości przedziału [a + δ, b] istnieje n 1 patrz Dodatek takie, że n [a + δ, b] a ij, b ij + δ ij. Stąd Zatem n a + δ, b] a ij, b ij + δ ij ]. a, b] = a, a + δ] + a + δ, b] ε 2 + a ij, b ij + δ ij ] = ε 2 + a ij, b ij ] + b ij, b ij + δ ij ] ε + a ij, b ij ] ε + a i, b i ]. Z dowolności ε > 0 otrzymujemy a, b] a i, b i ]. Tym samym została zakończona pierwsza część dowodu tzn. udowodniliśmy σ-addytywność na C 0. W drugiej części dowodu wykażemy, że jest σ-addytywna na C. W tym celu wystarczy rozważyć dwa przypadki 3.5 3.6, b] = b, = I i, I i, b IR, b IR,
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 34 gdzie I i C i są parami rozłączne dla i 1. Załóżmy, że zachodzi 3.5. Rozważmy dwa przypadki a Załóżmy, że istnieje i 0 takie, że I i0 =, b i0 ] z rozłączności parami wynika, że wśród I i, i 1 może istnieć tylko jeden taki nieograniczony przedział. Mamy więc, b] =, b i0 ] a i, b i ] =, b i0 ] b i0, b], i i 0 gdzie a i IR dla i i 0 oraz b i IR dla i 1. Stąd i z udowodnionej σ-addytywności na C 0 mamy, b] = F b F = F b F b i0 + F b i0 F =, b i0 ] + b i0, b] =, b i0 ] + i i 0 a i, b i ] = a i, b i ]. b Załóżmy, że I i = a i, b i ], i 1, gdzie a i, b i IR dla i 1. Dowód rozbijemy na dwa podprzypadki i Niech F >. Wtedy z 3.5 mamy 3.7 a in < n b in. i n n 0 n n 0 Zatem dla każdego n 1 możemy napisać, b] =, a in ] a i, b i ] =, a in ] a in, b] a i a in oraz, b] = F b F = F b F a in + F a in F = a in, b] + F a in F = a i, b i ] + F a in F n a i a in bo na mocy 3.7 a in, gdy n. a i, b i ], ii Niech F = tzn., b] = +. Dla dowodu wystarczy więc wykazać, że 3.8 a i, b i ] = +.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 35 Korzystając z dowodu i dostajemy a i, b i ] = a in, b] = F b F a in n a i a in bo na mocy 3.7 a in, gdy n, co dowodzi 3.8. +, Tak więc dowód w przypadku 3.5 został zakończony. Nietrudno zauważyć, że dowód dla przypadku 3.6 przebiega analogicznie jak dla 3.5. Rozpatruje się te same podprzypadki z oczywistą zamianą na +. Zostawiamy więc ten przypadek jako ćwiczenie. Uwaga. Zauważmy, że przyjmując F x = x dla x IR dostajemy miarę na C dla której a, b] = b a dla a, b IR oraz I = + jeśli I C i I jest przedziałem nieograniczonym. Miarę tę będziemy oznaczać przez λ i nazywać miarą Lebesgue a na C. W dalszej części skryptu będziemy starali się rozszerzyć miarę Lebesgue a na algebrę a następnie na σ-algebrę generowaną przez rodzinę C. Rozszerzenie λ na algebrę generowanę przez C wynika z następującego twierdzenia. Twierdzenie 3.10 Niech C będzie rodziną podzbiorów określoną wzorem 3.1 i niech będzie miarą na C. Wtedy możemy jednoznacznie rozszerzyć do miary na αc tzn. takiej, że C =. Dowód. Dowód zaczniemy od wykazania równości αc = G, gdzie { n G = Rodzina G jest algebrą, bo } A i : A i C, i = 1,..., n, A i A j =, i j, i, j = 1,..., n, n 1. i Z 3.1 mamy C oraz C G, więc G; ii Niech A G. Wtedy A = n A i, gdzie A i C dla 1 i n, A i A j = dla i j, 1 i, j n oraz n 1. Stąd A = n A i. Ponieważ dopełnienie każdego elementu rodziny C jest rozłączną skończoną sumą elementów rodziny C co natychmiast wynika z definicji rodziny C więc możemy napisać A = n m i j i =1 A i,ji, A i,ji C, j i = 1,..., m i, i = 1,..., n oraz dla każdego 1 i n zbiory A i,ji są dla j i = 1,..., m i parami rozłączne. Korzystając z rozdzielności iloczynu monogościowego względem sumy mnogościowej dostajemy n A = A i,ji, gdzie J i = {1, 2,..., m i }, i = 1, 2,..., n. j 1,...,j n J 1 J n
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 36 Zauważmy, że n A i,j i C dla 1 i n bo z definicji C wynika natychmiast, że rodzina ta jest zamknięta na skończone przekroje oraz n A i,j i są parami rozłączne tzn. dla i 1,..., j n, j 1,..., j n J 1 J n takich, że i 1,..., j n j 1,..., j n mamy n n A i,ji A i,j i =. Zatem A G. iii Niech A, B G. Wtedy A = B = Zatem n A i, A i C, 1 i n, A i A j =, i j, 1 i, j n, n 1, m B j, B j C, 1 j m, B j B k =, j k, 1 j, k m, m 1. A B = n m A i B j = n m A i B j. Ponieważ A i B j C dla 1 i n, 1 j m oraz A i B j są parami rozłączne dla 1 i n, 1 j m, więc A B G, czyli G jest algebrą. Ponieważ C G. Zatem z definicji αc mamy zawieranie αc G. Z drugiej strony rozłączne sumy n A i, gdzie A i C, 1 i n muszą należeć do αc. Zatem z definicji G wynika, że G αc co ostatecznie dowodzi równości αc = G. Określmy teraz : αc [0, +] wzorem 3.9 A = gdzie A i, A αc, n A = A i, A i C, 1 i n, A i A j =, i j, 1 i, j n, n 1. Wykażemy, że jest dobrze określona tzn., gdy n m A = A i = B j αc,
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 37 gdzie to Rzeczywiście A i = A i C, 1 i n, A i A j =, i j, 1 i, j n, n 1, B j C, 1 j m, B j B k =, j k, 1 j, k m, m 1, = A i A i = m B j = m A i B j = m B j. m A i B j m n A i B j = m B j. Wykażemy, że jest miarą na αc. Warunek = 0 jest oczywisty. Pozostała do wykazania σ-addytywność. Niech A n αc, n 1, A n A m =, n m, n, m 1 oraz A n αc. Ponieważ elementy αc są rozłącznymi sumami elementów z C więc m A n = B i, B i C, 1 i m, B i B j =, i j, 1 i, j m. Z tego samego powodu dla każdego n 1 mamy A n = k n Stąd dostajemy 3.10 B i = B i A n,j A n,j C, 1 j k n, A n,i A n,j =, i j, 1 i, j k n. A n = B i A n = k n B i A n,j Elementy ostatnich sum w 3.10 są parami rozłączne i należą do C więc z σ-addytywności na C dostajemy k n B i = B i A n,j. Stąd i z definicji mamy A n = m B i = = m k n m B i = B i A n,j = m k n A n, B i A n,j
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 38 bo m m A n = A n B i = k n B i A n,j. Tak więc jest miarą. Jednoznaczność roszerzenia wynika natychmiast z 3.9. Na koniec zauważmy jeszcze oczywistość C =. Uwaga. Ponieważ rozszerzenie miary na algebrę αc jest jednoznaczne będziemy oznaczać je takim samym symbolem jak wyjściową miarę. Stosując powyższe twierdzenie możemy teraz rozszerzyć miarę Lebesgue a λ na algebrę αc. Mamy więc określoną miarę λ na zbiorach, które są rozłącznymi i skończonymi sumami przedziałów z C. W dalszym ciągu będziemy się starali rozszerzyć miarę Lebesgue a na rodzinę bardziej złożonych zbiorów. Okazuje się, że takie dalsze rozszerzenie jest możliwe, mianowicie stosując tzw. procedurę Carathodorego możemy rozszerzyć miarę Lebesgue a m.in. na σ-algebrę generowaną przez C tj. na σ-algebrę zbiorów borelowskich patrz Twierdzenie 2.12 i Uwaga po tym twierdzeniu, a nawet na trochę szerszą σ-algebrę zawierającą σ-algebrę zbiorów borelowskich tzw. σ-algebrę zbiorów Lebesgue a. Z tą metodą zapoznamy się w dalszej części skryptu. 3.3 Zadania Zad. 1. Niech #X =. Określmy funkcję zbiorów ϕ : 2 X [0, ] wzorem { 0 gdy #A <, ϕa = + gdy #A =. Wykazać, że ϕ jest addytywna ale nie jest σ-addytywna. Zad. 2. Wykazać, że a Niech X będzie będzie niepustym zbiorem oraz niech x X będzie ustalonym punktem. Wtedy { 1 dla x A, δ x A = A 2 X 0 dla x A, jest miarą tzw. Delta Diraca. b Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną. Wtedy i 0 tzn. A = 0 dla A A; ii A = + dla A A i A oraz = 0. są miarami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 39 c Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną, gdzie X jest zbiorem nieprzeliczalnym oraz A A wtedy i tylko wtedy, gdy A IN lub A IN. Wtedy A = { 1 gdy A IN, 0 gdy A IN, A A jest miarą na A. d Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną. Wtedy A = #A jest miarą miarą liczącą. e Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną, gdzie #X = i niech {x i } i 1 X będzie ustalonym ciągiem. Załóżmy, że dany jest ciąg liczbowy {p i } i 1 taki, że p i > 0 dla i 1 oraz p i = 1. Wtedy jest miarą probabilistyczną. = p i δ xi Zad. 3. Niech X = 0, 1] i niech A będzie algebrą z zadania 14 rozdział 2. Określmy funkcję zbiorów : A {0, 1} wzorem { 1, 1/2, b] A dla pewnego 1/2 < b 1, A = 0, w przeciwnym przypadku, A A. Sprawdzić, czy jest miarą na A. Zad. 4. Niech X, d będzie przestrzenia metryczną, a x X będzie ustalonym punktem takim, że zbiór {x} nie jest zbiorem otwartym. Zbiór F X nazywamy sąsiedztwem punktu x, jeśli jest on postaci F = U \ {x}, gdzie U jest otoczeniem punktu x. Określmy rodzinę zbiorów A 2 X następująco: A A wtedy i tylko wtedy, gdy A zawiera pewne sąsiedztwo punktu x lub A jest rozłączny z pewnym sąsiedztwem x. Zdefiniujmy funkcję zbiorów ϕ : A [0, +] wzorem ϕa = { 1 gdy A zawiera pewne sąsiedztwo x, 0 gdy A jest rozłączny z pewnym sąsiedztwem x, A A. a Pokazać, że A jest algebrą, a ϕ miarą skończenie addytywną. b Sprawdzić, czy ϕ jest σ-addytywna. Zad. 5. Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną, a : A [0, ] addytywną funkcją zbiorów na A taką, że = 0 i jest σ-subaddytywna. Wykazać, że jest miarą.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 40 Zad. 6. Niech i ν będą miarami na przestrzeni mierzalnej X, A. Wykazać, że + ν oraz a dla a 0 są też miarami. Zad. 7. Niech X, A, będzie przestrzenią z miarą i niech A n A, n 1. Wykazać, że A n = 0 A n = 0 dla każdego n 1. Zad. 8. Niech X, A, będzie przestrzenią z miarą, gdzie miara jest σ-skończona i X = +. Pokazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M > 0 istnieje A A takie, że M < A < +. Zad. 9. Niech X, A, będzie przestrzenią z miarą. Wykazać, że dla A, B A mamy A B = 0 = A = B. Zad. 10. Niech X, A, będzie przestrzenią probabilistyczną. Niech A 1,..., A n A są takie, że A i > n 1. Wykazać, że n A i > 0. Zad. 11. Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną, a : A [0, ] skończenie addytywną funkcją zbiorów taką, że = 0. Wykazać, że jest miarą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu {A i } i 1 takiego, że A i A i+1 dla i 1 mamy A i = lim i A i. Zad. 12. Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną, a : A [0, ] skończenie addytywną funkcją zbiorów taką, że = 0 i X <. Wykazać, że jest miarą skończoną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu {A i } i 1 takiego, że A i+1 A i dla i 1 mamy A i = lim i A i. Zad. 13. Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną, a : A [0, ] skończenie addytywną funkcją zbiorów taką, że = 0 i X <. Wykazać, że jest miarą
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 41 skończoną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu {A i } i 1 takiego, że A i+1 A i dla i 1 i A i = mamy lim i A i = 0. Zad. 14. Niech X, A, będzie przestrzenią z miarą oraz niech B n A, n 1 będą takie, że B n \ B n+1 = 0 dla n 1. Wykazać, że B i = lim i B i. Zad. 15. Niech X, A, będzie przestrzenią z miarą skończoną. Wykazać, że dla dowolnych A 1,..., A n A zachodzi n A i = 1 k 1 k=1 1 i 1 <...<i k n A i1... A ik. Zad. 16. Niech X, A, będzie przestrzenią z miarą i niech {A n } n 1 A będzie taki, że A i A j = 0 dla i j, i, j 1. Wykazać, że A n = A n. Zad. 17. Niech X, A, będzie przestrzenią z miarą skończoną oraz niech {A n } n 1, {B n } n 1 A będą takie, że B n A n dla n 1. Wykazać nierówność A n B n An B n. Zad. 18. Niech X, A, będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech {A n } n 1 A będzie taki, że A n = 1 dla n 1. Wykazać równość A n = 1. Zad. 19. Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną i niech { n } n 1 będzie ciągiem miar na A. Załóżmy, że n A n+1 A dla A A i n IN. Wykazać, że funkcja zbiorów : A [0, ] dana wzorem A = lim n na, A A
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 42 jest miarą. Zad. 20. Niech X, BX, będzie przestrzenią z miarą skończoną, gdzie X, d jest przestrzenią metryczną. Wykazać, że dla dowolnego ε > 0 i dla dowolnego A BX istnieją zbiór otwarty U i zbiór domknięty F takie, że F A U i U \ F < ε. Zad. 21. Niech X, A, będzie przestrzenią z miarą skończoną, gdzie A = σc oraz C jest algebrą. Wykazać, że algebra C jest gęsta w A względem miary tzn. ε>0 A A A B < ε. B C Zad. 22. Niech F będzie ultrafiltrem podzbiorów zbioru X. Określmy ϕa = { 1 gdy A F, 0 gdy A F,, A 2 X. a Pokazać, że ϕ jest addytywna na 2 X. b Niech #X = i niech ϕ : 2 X {0, 1} będzie addytywną funkcją zbiorów oraz ϕx = 1. Wykazać, że { A X : ϕa = 1} jest ultrafiltrem. c Wykazać, że jeśli #X = to istnieje addytywna funkcja zbiorów ϕ : 2 X {0, 1} taka, że ϕa = 0 dla każdego skończonego zbioru A X i ϕx = 1. d Wykazać, że jeśli X jest zbiorem przeliczalnym to funkcja zbiorów ϕ z punktu c nie może być σ-addytywna.