MATEMATYKA DLA I ROKU BIOCHEMII I BIOTECHNOLOGII PAWEŁ ZAPAŁOWSKI Spis treści Litertur. Pojęci wstępne.. Kwntyfiktory.. Zbiory. Dziłni n zbiorch. Elementy lgebry liniowej 3.. Mcierze. Dziłni n mcierzch 3.. Wyznczniki. Mcierze odwrotne 4.3. Ukłdy równń liniowych 5 3. Funkcje rzeczywiste zmiennej rzeczywistej 8 3.. Funkcje. Pojęci wstępne 8 3.. Wielominy. Funkcje wymierne 3.3. Funkcje trygonometryczne 3.4. Funkcj wykłdnicz. Funkcj potęgow 3 3.5. Funkcj logrytmiczn 4 3.6. Złożenie funkcji i funkcje i odwrotne 5 3.7. Funkcje cyklometryczne 6 3.8. Ciągi. Szereg geometryczny 7 3.9. Liczb e 9 4. Elementy rchunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej 4.. Grnic funkcji. Ciągłość funkcji 4.. Grnice niewłściwe. Grnice w nieskończoności. Asymptoty funkcji 4.3. Pochodn funkcji 4 4.4. Ekstrem loklne i globlne 6 4.5. Inne zstosowni pochodnej 8 5. Elementy teorii cłki Riemnn funkcji jednej zmiennej 9 5.. Mir Jordn 9 5.. Cłk Riemnn funkcji jednej zmiennej 3 5.3. Metody obliczni cłki Riemnn funkcji jednej zmiennej 3 5.4. Zstosowni cłki Riemnn funkcji jednej zmiennej 35 6. Funkcje dwóch zmiennych 37 6.. Zbiory n płszczyźnie i w przestrzeni 37 6.. Pochodne cząstkowe 38 6.3. Ekstrem loklne i globlne funkcji dwóch zmiennych 39 7. Elementy teorii cłki Riemnn funkcji dwóch zmiennych 4 7.. Cłk Riemnn funkcji dwóch zmiennych 4 7.. Metody obliczni cłki Riemnn funkcji dwóch zmiennych 4 7.3. Zstosownie cłek Riemnn funkcji dwóch zmiennych 43 Litertur [] W. Krysicki, L. Włodrski Anliz Mtemtyczn w zdnich, PWN, Wrszw, 996. [] F. Lej, Rchunek różniczkowy i cłkowy, PWN, Wrszw, 978. [3] G. M. Fichtenholz Rchunek różniczkowy i cłkowy, PWN, Wrszw, 995. [4] P. Kjetnowicz, J. Wierzejewski Algebr z geometrią nlityczną, PWN, Wrszw, 8. [5] R. Leitner Zrys mtemtyki wyższej dl studentów, WNT, Wrszw 997. Dte: 7 styczni 6.
. Pojęci wstępne.. Kwntyfiktory. Zwrot dl kżdego nzywmy kwntyfiktorem dużym i oznczmy (łc. ffirmo=potwierdzć). Zwrot istnieje tkie, że nzywmy kwntyfiktorem młym i oznczmy (łc. eisto=istnieć)... Zbiory. Dziłni n zbiorch. Zbiory oznczmy njczęściej dużymi litermi, np. A, B, C, zś elementy zbioru młymi litermi. Jeśli jest elementem zbioru A, piszemy Jeśli nie jest elementem zbioru A, piszemy A. / A. Zbiór nie posidjący żdnego elementu nzywmy zbiorem pustym i oznczmy. Mówimy, że zbiór A jest podzbiorem zbioru B (lub zbiór B zwier zbiór A), co zpisujemy A B, jeśli kżdy element zbioru A jest elementem zbioru B. Relcj zwierni nzywn jest też inkluzją. Zuwżmy, że A = B wtedy i tylko wtedy, gdy A B i B A. Jeśli A B i A B, to piszemy A B. Definicj... Dl dowolnych zbiorów A, B definiujemy ich sumę mnogościową iloczyn mnogościowy lub część wspólną orz różnicę mnogościową A B := { : A lub B}, A B := { : A i B} A \ B := { : A i / B}. Będziemy stosowć nstępujące oznczeni N := {,,... } zbiór liczb nturlnych; Z := {,,,,,... } zbiór liczb cłkowitych; Q := { p q : p, q Z, q } zbiór liczb wymiernych; R zbiór liczb rzeczywistych. Formln definicj wykrcz poz mterił tego kursu. Pierwsze ksjomtyczne definicje R pojwiły się w XIX wieku (Méry (869), Cntor (87), Dedekind 3 (87)). Dl dowolnego zbioru A R niech A + := { A : }. Uwg... Pomiędzy powyższymi zbiormi zchodzą nturlne inkluzje Pondto, np. Z + = {,,,... }. N Z Q R. Definicj..3. Dl dowolnych, b R, < b, definujemy przedziły domknięty [, b] := { R : b}, otwrty (, b) := { R : < < b}, jednostronnie otwrte (, b] := { R : < b}, [, b) := { R : < b}, nieogrniczone (, ) := { R : < }, (, b) := { R : < b} i (, ) := R. Przykłd..4. Niech A = (, ], B = [, ). Wtedy A B = [, ], A B = (, ), A \ B = {} i B \ A = [, ]. Zdnie..5. Wyznczyć A B, A B, A \ B i B \ A, jeśli () A = R, B = R, () A = Q, B =, (3) A = Z, B = [, ], (4) A = (, ), B = {, }, Hugues Chrles Robert Méry (ur. listopd 835 w Chlon-sur-Sône, Sône-et-Loire, zm. lutego 9 w Dijon) mtemtyk frncuski. Georg Ferdinnd Ludwig Philipp Cntor (ur. 3 mrc 845 w Snkt Petersburgu, zm. 6 styczni 98 w sntorium w Hlle) mtemtyk niemiecki. 3 Julius Wilhelm Richrd Dedekind (ur. 6 pździernik 83 w Brunszwiku, zm. lutego 96) mtemtyk niemiecki.
(5) A = {}, B = (, ). (6) A = [, 4), B = (, 6].. Elementy lgebry liniowej.. Mcierze. Dziłni n mcierzch. Jednym z podstwowych pojęć lgebry są mcierze. Definicj... Mcierzą wymiru m n nzywmy prostokątną tblicę liczb j,k R ułożonych w m wierszy i n kolumn.,,...,n A = [ j,k ] = [ j,k ] j=,...,m =,,...,n k=,...,n............. m, m,... m,n Zbiór mcierzy wymiru m n oznczmy przez R m n. Liczb j,k jest elementem mcierzy A stojącym w wierszu j i kolumnie k. Jeśli m = (odp. n = ) to mcierz A nzywmy wierszową (odp. kolumnową). Jeśli m = n, to mcierz nzywmy kwdrtową, n jej stopniem. Mcierz złożoną z smych zer oznczmy przez i nzywmy mcierzą zerową. Mcierz kwdrtową złożoną z jedynek n głównej przekątnej i smych zer poz nią...... I n :=....... R n n...... nzywmy mcierzą jednostkową stopni n. Mówimy, że mcierze A = [ j,k ] R m n i B = [b j,k ] R p q są równe (co zpisujemy A = B), jeśli m = p, n = q i j,k = b j,k dl j =,..., m, k =,..., n. Definicj... Jeśli t R, A = [ j,k ] R m n, to określmy iloczyn ta liczby t przez mcierz A wzorem ta := [t j,k ] R m n. Przykłd..3. [ ] [ 3 6 = 4 ] 6 4. Definicj..4. Jeśli A = [ j,k ], B = [b j,k ] R m n, to określmy sumę A + B mcierzy A i B wzorem A + B := [ j,k + b j,k ] R m n, zś różnicę A B mcierzy A i B wzorem A B := A + ( )B. Przykłd..5. () Jeśli A, R m n, to A + = + A = A (mcierz zerow jest elementem neutrlnym ] dodwni ] mcierzy). [ ] () 3 =. [ [ 3 4 Zdnie..6. Obliczyć ([ ] () + 4 4 () [ 4 [ 6 3 4 ] [ 6 3 4 ]. 8 4 6 5 ]), Definicj..7. Jeśli A = [ j,k ] R m l, B = [b j,k ] R l n, to określmy iloczyn AB mcierzy A i B wzorem AB = [c j,k ] R m n, gdzie l c j,k := j,i b i,k. i= Przykłd..8. () Jeśli A R m n, to AI n = I m A = A (mcierz jednostkow jest elementem neutrlnym [ mnożeni mcierzy). ] [ () 3 4 ] [ 3 3 6 ] =. 6 6 9 Zdnie..9. () [ 4 ]() [ Obliczyć 6 3 ] 4, 3
(b) ([ ] [ 4 6 3 ]) [ ] 4 4, [ ] (c) 3 [ 3 4 ], 4 [ 56 ] (d) [ 3 4 ]. 7 8 () Znleźć dwie mcierze A, B R tkie, że AB BA. (3) Znleźć niezerowe mcierze A, B R tkie, że AB =. Czy możliwe jest znlezienie niezerowej mcierzy A R tkiej, że A =? Definicj... Jeśli A R m n, to określmy mcierz trnsponowną A T mcierzy A wzorem gdzie [ A T := [b j,k ] R n m, b j,k := k,j. Uwg... Zuwżmy, że opercj trnsponowni poleg n zminie wierszy n kolumny, zś kolumn n wiersze, przy czym kolejność wierszy i kolumn jest zchown. ] T [ Przykłd... = ]. Zdnie..3. () ( [ () Obliczyć ] T [ 6 3 + 4 4 4 ] T ), (b) ( [ ] [ 4 + 3 ]) T 4. () Niech A = [ 3 4 5 ]. Obliczyć AA T, A T A i (A T A) T. (3) Wyznczyć wszystkie mcierze A R tkie, że A = A T. (4) Wyznczyć wszystkie mcierze A R tkie, że A = A T... Wyznczniki. Mcierze odwrotne. Kżdej mcierzy kwdrtowej A przyporządkowujemy liczbę zwną wyzncznikiem, oznczną det A lub A. Poniżej przedstwimy indukcyjną definicję tego pojęci. Definicj... Minorem mcierzy A R m n nzywmy kżdą mcierz kwdrtową powstłą z mcierzy A przez skreślenie pewnej liczby wierszy i kolumn. Definicj... Niech A = [ j,k ] R n n. Minorem odpowidjącym elementowi j,k mcierzy A nzywmy minor mcierzy A powstły przez skreślenie wiersz j i kolumny k. Oznczmy go symbolem M j,k. Zuwżmy, że M j,k R n n. Definicj..3 (Indukcyjn definicj wyzncznik). Niech A = [ j,k ] R n n. Jeśli A = [] R, to przyjmujemy det A :=. Nstępnie, począwszy od n =, dl kolejnych liczb nturlnych powtrzmy nstępujące kroki () definiujemy dopełnienie lgebriczne d j,k elementu j,k jko d j,k := ( ) j+k det M j,k ; () dowodzimy, że sum j, d j, + j, d j, + + j,n d j,n nie zleży od wyboru j =,..., n; (3) definiujemy wyzncznik mcierzy A jko gdzie j N jest dowolną liczbą, j n. det A := j, d j, + j, d j, + + j,n d j,n, Uwg..4. W prktyce, dl n = powyższ definicj sprowdz się do nstępującego wzoru b c d = d bc, dl n = 3, dzięki regule Srrus 4, b c b c 3 b 3 c 3 = b c 3 + b 3 c + 3 b c 3 b c b 3 c b c 3. 4 Pierre Frédéric Srrus (ur. mrc 798 w Sint-Affrique, zm. XI 86) mtemtyk frncuski. 4
Przykłd..5. 3 3 = 5, 4 = 3. 3 Zdnie..6. Obliczyć 5, sin cos cos sin, 3 i 3 Definicj..7. Njwyższy stopień minor o niezerowym wyznczniku niezerowej mcierzy A R m n nzywmy rzędem mcierzy A i oznczmy R(A). Pondto, przyjmujemy R() :=. Przykłd..8. Niech A = [ ] [ ] 3 6, B =. Wtedy R(A) = R(B) =. 4 Zdnie..9. Znleźć rzędy nstępujących mcierzy [ 5 ], [ 4 ], [ ] [, ] [ ] 3 4, 3,. [ ], 3 4 [ 3 ], [ 3 5 3 4 5 3 4 ]. Definicj... Niech A = [ j,k ] R n n. Mcierz A D := [d j,k ] R n n, gdzie d j,k jest dopełnieniem lgebricznym elementu j,k nzywmy mcierzą dopełnień lgebricznych mcierzy A. Przykłd... [ 3 4 ]D = [ ] [ 4 3 ] D [ 4 ], = 4 3 6. 3 4 4 ] D. Zdnie... () Obliczyć [ 3 4 ]D, [ 3 4 () Wyznczyć wszystkie mcierze A R tkie, że A = A D. Definicj..3. Niech A R n n. Jeśli istnieje mcierz B R n n tk, że BA = AB = I n, to mcierz A nzywmy odwrclną, zś mcierz B nzywmy mcierzą odwrotną do A i oznczmy A := B. Uwg..4. () Nie kżd mcierz kwdrtow jest odwrcln (np. A = nie jest odwrcln). () Jeśli mcierz odwrotn istnieje, to jest jedyn. Twierdzenie..5. Niech A R n n. Mcierz A jest odwrcln wtedy i tylko wtedy gdy det A. Pondto, jeśli A istnieje, to A = det A (AD ) T. [ Przykłd..6. Niech A = [ 3 4 ], B = 3 4 Zdnie..7. () Czy mcierze [ cos sin sin cos tk, wyznczyć ich mcierze odwrotne. () Obliczyć [ 4 ], [ 3 4 ]. ]. Wtedy A = ], [ cos sin sin cos [ ] [ /7 /7 3/ / i B = 3/4 /7 3/7 /7 ] ], [ 3 4 5 6 7 8 9 (3) Wyznczyć wszystkie odwrclne mcierze A R tkie, że A = A D., [ 3 4 5 6 ]. ] są odwrclne? Jeśli.3. Ukłdy równń liniowych. Pokżemy terz, jk pojęci mcierzy, wyzncznik i rzędu wykorzystć do rozwiązywni ukłdów równń liniowych. Definicj.3.. Ukłdem m równń liniowych o n niewidomych,..., n nzywmy, +, + +,n n = b, +, + +,n n = b (.).... m, + m, + + m,n n = b m Dl powyższego ukłdu definiujemy,,...,n,,...,n b A :=,,...,n............, U :=,,...,n b................ m, m,... m,n m, m,... m,n b m Mcierz A nzywmy mcierzą główną, zś U nzywmy mcierzą uzupełnioną ukłdu (.). Rozwiązniem ukłdu (.) nzywmy kżdy ukłd n liczb,..., n R spełnijących równni (.). Ukłd równń (.) nzywmy 5
sprzecznym, jeśli nie m on rozwiązń, oznczonym, jeśli m on dokłdnie jedno rozwiąznie, nieoznczonym, jeśli m on nieskończenie wiele rozwiązń. Uwg.3.. Kżdy ukłd postci (.) jest sprzeczny, oznczony lub nieoznczony. Pondto, R(A) min{r(u), n} min{m, n + }. Twierdzenie.3.3 (Kronecker 5 Cpelli 6 ). Ukłd (.) jest () sprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) < R(U); () oznczony wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) = R(U) = n; (3) nieoznczony wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) = R(U) < n. Uwg.3.4. Jeśli ukłd (.) nie jest sprzeczny, to istnieje liczb k Z + tk, że k = R(A) = R(U). Poniewż k min{m, n}, więc pomijjąc równni, których współczynniki nie były wykorzystne w obliczniu rzędów mcierzy A i U, trktując zmienne, których współczynniki nie były wykorzystne w obliczniu rzędów mcierzy A i U jko prmetry otrzymujemy, n mocy Twierdzeni Kronecker Cpellego, oznczony ukłd k równń liniowych z k zmiennymi. Twierdzenie.3.5 (Wzory Crmer 7 ). Jeśli R(A) = R(U) = n = m, to jedynym rozwiązniem ukłdu (.) są liczby j = det A j, j =,..., n, det A gdzie A j ozncz mcierz powstłą z mcierzy A przez zstąpienie w niej kolumny j przez kolumnę wyrzów wolnych (tj. przez kolumnę n + mcierzy U). Przykłd.3.6. (.) Łtwo sprwdzmy, że () Rozwiązć ukłd równń + y + z = y z = 3 y + z = A = 6, A = 6, A y =, A z = 6, skąd =, y =, z = jest jedynym rozwiązniem ukłdu (.). () Rozwiązć ukłd równń (.3) { 4y + 8z 6u = 7 5 y + z =, 5. (.4) (.5) Rząd mcierzy głównej A = [ 4 8 ] 6 5 wynosi R(A) =, gdyż np. minor utworzony ze współczynników przy i u 6 5 = 3, orz rząd mcierzy uzupełnionej U wynosi R(U) =, gdyż ten sm minor występuje w mcierzy U. Ztem r(a) = r(u) = < 4 = n, gdzie n jest liczbą zmiennych ukłdu równń. Ukłd jest więc nieoznczony, czyli m nieskończenie wiele rozwiązń. Przenosimy niewidome nie objęte minorem (.4), tj. niewidome y i z, n prwą stronę { 6u = 7 + 4y 8z. 5 =, 5 + y z. 5 Leopold Kronecker (ur. 7 XII 83 w Legnicy, zm. 9 XII 89 w Berlinie) mtemtyk niemiecki. 6 Alfredo Cpelli (ur. 5 VIII 855, zm. 8 I 9 w Mediolnie) mtemtyk włoski. 7 Gbriel Crmer (ur. 3 VII 74 w Genewie, zm. 4 I 75) szwjcrski mtemtyk i fizyk. 6
Ukłd (.5) jest oznczony, gdyż wyzncznik jego mcierzy głównej (.4) jest niezerowy. Zstosujemy wzory Crmer. Poniewż [ ] [ ] [ ] A 6 =, A 7 + 4y 8z 6 5 =, A 7 + 4y 8z, 5 + y z u =, 5, 5 + y z skąd A = 3, A = 75 + 6y z, A u = 5 + y 4z 35 y + 4z =, ztem rozwiąznie ukłdu (.5) m postć { A = A = 5 + y 4z u = A u A = 3. W konsekwencji, rozwiązniem ukłdu (.3) jest kżd czwórk liczb postci = 5 + y 4z y R z R u = 3 Zdnie.3.7. () Rozwiązć ukłdy równń + y + z = () + y + 3z =, y z = + 3y 4z = 4 (b) 3 + y z =, 4y + 7z = 5 4 + 5y 6z = 3 (c) y z =, + 3y 3z = + y + z = (d) + 3y 3z =, + 4y z = 4 y = 7 (e) 3 + y = 4, + 3y = { + y + 5z = 4 (f), 3 y + z = 5 { + y + z + u = (g), y z u = + y + z + u = (h) 3 + 4y z + u =. 4 + 5y z + u = () Rozstrzygnąć, dl jkich wrtości prmetru R ukłd równń + y z = 9 (.6) + y z = 9 3 4y + z = 5 jest oznczony, nieoznczony, sprzeczny, nstępnie rozwiązć ukłd (.6) dl =. 7.
Definicj.3.8. Jeśli dl ukłdu (.) zdefiniujemy dodtkowo mcierze kolumnowe X :=. b Rn, B :=. Rm, n b m zwne, odpowiednio, mcierzą zmiennych orz mcierzą wyrzów wolnych ukłdu (.), to równnie nzywmy równniem mcierzowym ukłdu (.). AX = B Twierdzenie.3.9. Jeśli dl ukłdu (.) m = n orz det A, to X = A B. Przykłd.3.. Rozwiązć równnie mcierzowe y = 3. z Łtwo wyliczmy, że skąd 3 b 3 =, 6 3 3 3 y = 3 = z 6 3 Zdnie.3.. Rozwiązć równni mcierzowe 3 4 y =, z 3.. Funkcje. Pojęci wstępne. y =. z 3. Funkcje rzeczywiste zmiennej rzeczywistej Definicj 3... Niech X R będzie dowolnym zbiorem niepustym. Funkcją f określoną n zbiorze X o wrtościch rzeczywistych (piszemy f : X R) nzywmy przyporządkownie, które kżdej liczbie X przypisuje dokłdnie jedną liczbę y R (piszemy f() = y lub f y). Zbiór X nzywmy dziedziną funkcji f, elementy dziedziny nzywmy rgumentmi funkcji f. Dl dowolnego zbioru A X zbiór f(a) := {y R : A : f() = y} nzywmy obrzem zbioru A przez funkcję f. Zbiór f(x) nzywmy obrzem funkcji f (lub zbiorem wrtości funkcji f), jego elementy nzywmy wrtościmi funkcji f. Wykresem funkcji f : X R nzywmy zbiór Γ(f) := {(, y) R : X, y = f()}. Przykłd 3... () Obrzem funkcji f() =, R, jest zbiór R +. Jej wykresem jest prbol. (b) Obrzem funkcji f() =,, jest zbiór R +. Jej wykresem jest lewe rmię prboli. Definicj 3..3. Funkcję f : X R nzywmy różnowrtościową, jeśli dl dowolnych rgumentów, X,, mmy f( ) f( ). Uwg 3..4. Funkcj f : X R jest różnowrtościow wtedy i tylko wtedy, gdy dl dowolnych rgumentów, X zchodzi implikcj f( ) = f( ) = =. Przykłd 3..5. () Funkcj f() =, R, nie jest różnowrtościow, bo f( ) = f(). (b) Funkcj f() =,, jest różnowrtościow. 8
Uwg 3..6. Jeśli funkcję określmy wzorem nie podjąc jej dziedziny, to zkłdmy, że dziedziną jest zbiór tych rgumentów, dl których wzór m sens. Przykłd 3..7. Dziedziną funkcji f() = 4 jest przedził [, ]. Jej wykresem jest górny półokrąg o środku w punkcie (, ) i promieniu. Uwg 3..8. Niech f : X R będzie dowolną funkcją. () Funkcj f jest różnowrtościow wtedy i tylko wtedy, jeśli kżd prost poziom przecin wykres Γ(f) funkcji f w co njwyżej jednym punkcie. () Obrzem funkcji f jest zbiór tych punktów c R, dl których prost poziom o równniu y = c przecin wykres Γ(f) w co njmniej jednym punkcie. Przykłd 3..9. () Funkcj f() = 4 nie jest różnowrtościow, jej zbiorem wrtości jest przedził [, ]. () Funkcj g() = := m{n Z : n } nie jest różnowrtościow, zbiorem jej wrtości jest Z. (3) Dziedziną funkcji h() = / jest zbiór R \ {}, jest to tkże jej zbiór wrtości, funkcj t jest różnowrtościow. Zdnie 3... () Dl poniższych funkcji wyznczyć dziedzinę, zbiór wrtości, nrysowć ich wykres orz sprwdzić, czy są różnowrtościowe. () f() =, (b) g() =, (c) h() =. () Sprwdzić, czy poniższe funkcje są różnowrtościowe () f() = + +, (b) g() =, (c) h() = /, { (d) i() =, gdy, gdy =, { (e) j() =, gdy, gdy =. Definicj 3.. (Funkcje monotoniczne). Niech I X. Funkcję f : X R, nzywmy rosnącą w zbiorze I, jeśli mlejącą w zbiorze I, jeśli, I < = f( ) f( );, I < = f( ) f( ). Funkcje tkie nzywmy monotonicznymi w zbiorze I. Jeśli I = X, to f nzwywmy funkcją rosnącą (odp. mlejącą). Funkcję rosnącą lub mlejącą nzywmy monotoniczną. Funkcję f : X R nzywmy silnie rosnącą w zbiorze I, jeśli silnie mlejącą w zbiorze I, jeśli, I < = f( ) < f( );, I < = f( ) > f( ). Funkcje tkie nzywmy silnie monotonicznymi w zbiorze I. Anlogicznie określmy funkcję silnie mlejącą, silnie rosnącą, czy silnie monotoniczną. Uwg 3... Funkcj stł jest rosnąc i mlejąc. Przykłd 3..3. () Funkcj f() = 4 jest silnie rosnąc w przedzile [, ], silnie mlejąc w przedzile [, ], więc w kżdym z tych przedziłów jest silnie monotoniczn, ntomist w przedzile [, ] nie jest monotoniczn. () Funkcj g() = stł n przedziłch postci [n, n+), n N, jest więc n tych przedziłch zrówno rosnąc jk i mlejąc. 9
(3) Funkcj h() = / jest silnie mlejąc w kżdym z przedziłów (, ), (, ), nie jest jednk silnie mlejąc. Zdnie 3..4. Sprwdzić monotoniczność funkcji z Zdni 3.. (). Definicj 3..5. Funkcję f : X R, określoną w tkim zbiorze X, że X dl dowolnej liczby X, nzywmy przystą, jeśli f( ) = f(), X; nieprzystą, jeśli f( ) = f(), X. Przykłd 3..6. () Funkcj f() = jest przyst, le nie jest nieprzyst. () Funkcj f() = 3 jest nieprzyst, le nie jest przyst. (3) Funkcj f() = + nie jest ni przyst, ni nieprzyst. Zdnie 3..7. () Sprwdzić przystość i nieprzystość funkcji z Zdni 3... () Wykzć, że kżdą funkcję f : R R możn zpisć jko sumę funkcji przystej i nieprzystej. (3) Wyznczyć wszystkie funkcje f : R R, które są jednocześnie przyste i nieprzyste. Definicj 3..8. Funkcję f : X R nzywmy okresową, gdy istnieje stł c > tk, że + c X orz c X dl dowolnej liczby X, przy czym f( + c) = f(). Liczbę c nzywmy okresem dnej funkcji. Njmniejszy okres (jeśli istnieje), nzywmy okresem podstwowym dnej funkcji. Przykłd 3..9. () Funkcj stł f() = c, jest funkcją okresową, któr nie m okresu podstwowego. () Funkcj f() = jest funkcją okresową o okresie podstwowym. Definicj 3... Dl dnych funkcji f : X R, g : X R określmy ich () sumę f + g : X R, (f + g)() := f() + g(), () różnicę f g : X R, (f g)() := f() g(), (3) iloczyn fg : X R, (fg)() := f()g(), (4) ilorz f/g : X R, (f/g)() := f()/g(), gdzie X = { X : g() }. 3.. Wielominy. Funkcje wymierne. Definicj 3... Funkcję postci (3.) f() = n n + n n + + +, R, gdzie n,..., R, n, n N, nzywmy wielominmi. Liczbę n nzywmy stopniem wielominu (3.). Uwg 3... () Funkcje stłe f() = nzyw się czsem wielominmi stopni. Wtedy nie żądmy, by. () Kżdy wielomin stopni pierwszego f() = + nosi nzwę funkcji liniowej. Jego wykres jest linią prostą. (3) Wielomin stopni drugiego f() = + + nosi nzwę funkcji kwdrtowej lub trójminu kwdrtowego. Jego wykres jest prbolą o wierzchołku ( /, /4 ), gdzie wyrżenie := 4 nzywne jest wyróżnikiem dnej funkcji kwdrtowej. Ilość miejsc zerowych funkcji kwdrtowej zleży od znku. Jeśli <, to dn funkcj nie m miejsc zerowych. Mówimy wtedy, że trójmin kwdrtowy jest nierozkłdlny. Jeśli =, to dn funkcj m jedno podwójne miejsce zerowe := /. Mmy wtedy rozkłd y = ( ). Jeśli >, to dn funkcj m dw miejsc zerowe := ( )/, := ( + )/. Mmy wtedy rozkłd y = ( )( ). (4) Kżdy wielomin rozkłd się n czynniki będące wielominmi pierwszego stopni bądź nierozkłdlnymi trójminmi kwdrtowymi, np. f() = 3 + = ( + )( + ), g() = 4 + = ( + + )( + ). Przykłd 3..3. () Rozwiązć nierówność 7 > 8. Równowżnie, ( 8)( ) >, skąd < lub > 8.
() W jkich przedziłch funkcj f() = ( + 4)( + )( ) jest () ujemn, (b) nie mniejsz od 4? Bezpośrednio z wykresu wnioskujemy, że f() < dl < 4 lub < <. Ntomist nierówność f() 4 równowżn jest skąd 5 lub + 5. ( + + 5)( + 5), Zdnie 3..4. () Rozwiązć równni i nierówności () + <, (b) 4 + 5 6 >, (c) 5 =, (d) 4 + 4 3 8 + 9 =, (e) 5 4 + 3. () W jkich przedziłch funkcj f() = ( + )( )( 3) jest () dodtni, (b) większ od 6? Definicj 3..5. Funkcję f() = w () w (), R \ { R : w () }, gdzie w, w są wielominmi, nzywmy funkcją wymierną. Uwg 3..6. Funkcjmi wymiernymi są np. Wykresem funkcji f() = f() =, g() = + 4. jest hiperbol o symptotch leżących n osich współrzędnych. Przykłd 3..7. () Rozwiązć równnie = + 4. Zuwżmy, że i ±. Równowżnie, + 4 3 4 =, skąd = 4. 4 () Rozwiązć nierówność 5+6 3. Zuwżmy, że i 3. Równowżnie, 3( /3)( ) ( )( 3). Poniewż sgn(/b) = sgn(b), więc równowżnie mmy skąd /3 lub < < 3. Zdnie 3..8. Rozwiązć równni i nierówności () 3 + = 6 ( + ), 3 () =, (3) + > +, (4) + <. 3.3. Funkcje trygonometryczne. 3( /3)( )( )( 3),, 3, Definicj 3.3.. Mir łukow kąt jest to mir kąt wyrżon przez stosunek długości łuku okręgu oprtego n tym kącie do długości promieni okręgu. Jednostką tk zpisnego kąt jest rdin ( rd). Z definicji wynik, że wymirem rdin jest jedność. Uwg 3.3.. Mir łukow kąt mjącego α stopni wyrż się wzorem = π 8 α. W szczególności,
α 3 45 6 9 8 7 36 π/6 π/4 π/3 π/ π 3π/ π. Definicj 3.3.3. Niech P = ( p, y p ) będzie punktem okręgu o środku w punkcie (, ) i promieniu. Jeśli jest mirą łukową kąt skierownego pomiędzy dodtnią półosią promieniem przechodzącym przez punkt P, to sin := y p, cos := p, R. Funkcję sin (odp. cos) nzywmy sinusem (odp. kosinusem). Uwg 3.3.4. () Dziedziną funkcji sin i cos jest zbiór R, zś ich zbiorem wrtości przedził [, ]. () Funkcje sin i cos są okresowe, ich okresem podstwowym jest liczb π, czyli sin( + π) = sin, cos( + π) = cos. (3) Funkcj sin jest nieprzyst, tj. sin( ) = sin, ntomist funkcj cos jest przyst, tj. cos( ) = cos. (4) Funkcje sin i cos rozptrywne w dowolnym przedzile ogrniczonym są przedziłmi monotoniczne. (5) Zchodzą wzory () sin + cos =, (b) sin( ± y) = sin cos y ± cos sin y (w szczególności, dl = y otrzymujemy sin = sin cos ), (c) cos( ± y) = cos cos y sin sin y (w szczególności, dl = y otrzymujemy cos = cos sin = cos = sin ). (6) Kwdrt, trójkąt równoboczny i symetri wykresów sinus i kosinus generują nstępującą tbelę Przykłd 3.3.5. π/6 π/4 π/3 π/ π 3π/ π sin / / 3/ cos. 3/ / / () Rozwiązć równnie sin = sin. Równowżnie, sin ( cos ) =, czyli sin = lub cos = /, skąd = kπ lub = π/3 + kπ lub = π/3 + kπ, k Z. () Rozwiązć nierówność 4 cos 3. Równowżnie, 3 3 cos lub cos, skąd π/6 + kπ π/6 + kπ, k Z. Zdnie 3.3.6. Rozwiązć równnie i nierówność () cos = cos, () cos = cos, (3) sin > cos. Definicj 3.3.7. Funkcję tg := sin, { R : cos }, cos nzywmy tngensem, zś funkcję ctg := cos, { R : sin }, sin nzywmy kotngensem. Uwg 3.3.8. () Funkcj tg określon jest w przedziłch (k )π < < (k + )π, k Z, zś funkcj ctg określon jest w przedziłch () Ich zbiorem wrtości jest zbiór R. kπ < < (k + )π, k Z.
(3) Funkcje tg i ctg są okresowe. Ich okresem podstwowym jest liczb π, tj. (4) Funkcje tg i ctg są nieprzyste, tj. (5) Zchodzi związek tg( + π) = tg, ctg( + π) = ctg. tg( ) = tg, ctg( ) = ctg. tg = ctg, k π, k Z. (6) Definicje orz tbel wrtości sinus i kosinus generują nstępującą tbelę π/6 π/4 π/3 π/ π 3π/ π tg / 3 3 ctg 3 / 3 Przykłd 3.3.9. Rozwiązć nierówność tg( ). Poniewż π + kπ < π + kπ, k Z, 4 więc π 4 + k π < + π 8 + k π, k Z. Zdnie 3.3.. Rozwiązć równni i nierówność () tg = 3, () ctg = tg, (3) tg( + 3) > 3. Definicj 3.3.. Funkcje sin, cos, tg i ctg nzywmy funkcjmi trygonometrycznymi. 3.4. Funkcj wykłdnicz. Funkcj potęgow. Dowodzi się, że w obrębie liczb rzeczywistych dobrze zdefiniowne jest potęgownie,, R, >. Odnotujmy, że >, = = dl dowolnych, R, >. Pondto, dl dowolnych, b,, y R,, b >, zchodzą związki () y = +y, () = y, y (3) ( ) y = y, (4) =, (5) (b) = b, (6) (/b) = /b. Definicj 3.4.. Niech >,. Funkcję (3.), R, nzywmy funkcją wykłdniczą. Uwg 3.4.. () > dl R. () Funkcj (3.) jest różnowrtościow (tj. = wtedy i tylko wtedy, gdy = ). (3) Gdy >, funkcj (3.) jest silnie rosnąc (tj. > wtedy i tylko wtedy, gdy > ). (4) Gdy <, funkcj (3.) jest silnie mlejąc (tj. < wtedy i tylko wtedy, gdy > ). Przykłd 3.4.3. () Rozwiązć równnie 4 + 6 =. Zuwżmy, że. Podstwijąc t = otrzymmy t t + 6 =, skąd t = lub t = 8, czyli = lub = 3. W konsekwencji, = 3 lub =. () Rozwiązć nierówność 3+5 4 >. Rownowżnie, > 7, skąd > 7. Zdnie 3.4.4. Rozwiązć równni i nierówności () 3 < ( () ( ) 4 ( 7 ) 9 8 3, (3) ( 6 + 9) +3 <, 3), 3.
(4) 8 + 8 7 =, (5) >. Definicj 3.4.5. Niech R \ {}. Funkcję (3.3), >, nzywmy funkcją potęgową. Uwg 3.4.6. () Jeśli N, to funkcję (3.3) określmy dl R wzorem := } {{ }. rzy () Jeśli Z, <, to funkcję (3.3) określmy dl wzorem :=. (3) Zwyczjowo dl n N piszemy n := /n orz :=. Dodtkowo określmy n :=. (4) > dl >. (5) Funkcj (3.3) jest różnowrtościow (tj. = wtedy i tylko wtedy, gdy = ). (6) Gdy >, funkcj (3.3) jest silnie rosnąc (tj. > wtedy i tylko wtedy, gdy > ). (7) Gdy <, funkcj (3.3) jest silnie mlejąc (tj. < wtedy i tylko wtedy, gdy > ). (8) Jeśli Z jest liczbą przystą, to funkcj (3.3) z dziedziną rozszerzoną jk w uwgch () lub () jest przyst. (9) Jeśli Z jest liczbą nieprzystą, to funkcj (3.3) z dziedziną rozszerzoną jk w uwgch () lub () jest nieprzyst. Przykłd 3.4.7. Rozwiązć nierówność. Zuwżmy, że. Wtedy, podnosząc stronmi nierówność do kwdrtu, otrzymmy. Równowżnie, ( ), skąd, po uwzględnieniu złożeni,. Zdnie 3.4.8. () Rozwiązć równnie = +. () Rozwiązć nierówność 3 + +. 3.5. Funkcj logrytmiczn. Dowodzi się, że równnie = b dl dowolnych, b >,, m dokłdnie jedno rozwiąznie względem, które oznczmy przez log b i nzywmy logrytmem liczby b o podstwie. Zwyczjowo piszemy log b := log b i nzywmy logrytmem dziesiętnym. Dl dowolnych, b, c >, c, p R, zchodzą związki () log c c p = p, () c log c =, (3) log c (b) = log c + log c b, (4) log c (/b) = log c log c b, (5) log c ( p ) = p log c, (6) log b = log c b log c,. Definicj 3.5.. Niech > i. Funkcję (3.4) log, >, nzywmy funkcją logrytmiczną. Uwg 3.5.. () Funkcj (3.4) jest różnowrtościow (tj. log = log wtedy i tylko wtedy, gdy = ). () Gdy >, funkcj (3.4) jest silnie rosnąc (tj. log > log wtedy i tylko wtedy, gdy > ). (3) Gdy <, funkcj (3.4) jest silnie mlejąc (tj. log < log wtedy i tylko wtedy, gdy > ). Przykłd 3.5.3. () Rozwiązć równnie log(log ) + log(log ) =. Zuwżmy, że >. Podstwijąc t = log otrzymmy t t =, skąd t = 5/ lub t =, czyli log = 5/ lub log =. W konsekwencji, po uwzględnieniu złożeń, =. 4
() Rozwiązć nierówność ( ) log + ( 5 > 5 ) log 3 4. Zuwżmy, że >. Podstwijąc t = log otrzymmy ( ) t + ( ) 6t 4 >, 5 5 skąd t 6t + 5 <, czyli < t < 5. W konsekwencji, < <. Zdnie 3.5.4. Rozwiązć równni i nierówności +3 () log log 5 >, ( ) () log log 8 3, +3 (3) log >, (4) log 5 5 5 4 = log 5, (5) log ( + 4) + log ( + ) 6. 3.6. Złożenie funkcji i funkcje i odwrotne. Definicj 3.6. (Złożenie funkcji). Niech X, Y R będą dowolnymi niepustymi zbiormi. Niech będą dne funkcje (3.5) f : X R, g : Y R, tkie, że f(x) Y. Funkcję g f : X R określoną wzorem (3.6) (g f)() := g(f()), X, nzywmy funkcją złożoną lub złożeniem funkcji (3.5). Funkcję f nzywmy funkcją wewnętrzną, g funkcją zewnętrzną złożeni (3.6). Przykłd 3.6.. () h() = 4 jest złożeniem funkcji g(y) = y i f() = 4. () h() = 3 jest złożeniem funkcji g(y) = y i f() = 3. (3) Wyznczyć f f, f g, g f i g g orz dziedziny tych funkcji, jeśli f() = sin, g() =. () (f f)() = sin sin, R. (b) (f g)() = sin,. (c) (g f)() = sin, kπ + kπ, k Z. (d) (g g)() =, R. Zdnie 3.6.3. () Wyznczyć f f, f g, g f i g g orz dziedziny tych funkcji, jeśli () f() =, g() =, (b) f() = log 3, g() = tg, (c) f() = 3, g() = +. () Zpisć, jko złożenie dwóch lub więcej funkcji, nstępujące funkcje złożone () f() = log +, sin + (b) f() = sin, (c) f() = sin ( ), (d) f() = 33 +, (e) f() = log 3 (cos( 3)). Definicj 3.6.4 (Funkcj odwrotn). Niech funkcj (3.7) f : X R będzie funkcją różnowrtościową. Funkcję (3.8) g : f(x) R nzywmy odwrotną względem funkcji (3.7), jeśli i oznczmy f := g. (g f)() =, X, (f g)(y) = y, y f(x). Uwg 3.6.5. Funkcją odwrotną względem funkcji (3.8) jest funkcj (3.7). Twierdzenie 3.6.6. Kżd funkcj f silnie rosnąc (lub silnie mlejąc) w przedzile I jest różnowrtościow. W szczególności, m funkcję odwrotną określoną n zbiorze f(i). 5
Przykłd 3.6.7. () Funkcj f() = n dl n N jest silnie rosnąc w przedzile [, ) i przybier wszystkie wrtości nieujemne; funkcją względem niej odwrotną jest f () = n dl. () Gdy n jest nieprzyste, funkcj f() = n jest silnie rosnąc w przedzile (, ) i przybier wszystkie wrtości rzeczywiste; funkcj do niej odwrotn to { n, gdy f () = n., gdy < (3) Funkcj f() =, gdzie >, jest silnie rosnąc i dodtni w R i przybier wszystkie wrtości dodtnie; funkcją odwrotną jest f () = log, >. Zdnie 3.6.8. Wyznczyć funkcje odwrotne fo funkcji () f() = +, <, () f() = log 3 ( ) + 3, >, (3) f() =, >. Uwg 3.6.9. Niech f będzie funkcją posidjącą funkcję odwrotną. Jeśli dziedziny obu tych funkcji umieścimy w prostokątnym ukłdzie współrzędnych n jednej osi (np. osi ), to wykresy Γ(f) i Γ(f ) będą wzjemnie symetryczne w symetrii względem prostej y =. 3.7. Funkcje cyklometryczne. Funkcje trygonometryczne (3.9) sin, cos, tg, ctg są silnie monotoniczne odpowiednio w przedziłch [ (3.) π, π ], [, π], ( π, π ), (, π), przy czym funkcje sin i tg są silnie rosnące, cos i ctg silnie mlejące. Wobec tego istnieją funkcje względem nich odwrotne. Definicj 3.7.. Funkcje odwrotne względem funkcji (3.9) zwężonych odpowiednio do przedziłów (3.) nzywmy funkcjmi cyklometrycznymi lub (kołowymi) i oznczmy je odpowiednio (3.) rc sin, rc cos, rc tg, rc ctg. Wrtości dwóch pierwszych funkcji (3.9) wypełniją przedził [, ], dwóch osttnich przedził (, + ), ztem funkcje cyklometryczne (3.) są określone odpowiednio n przedziłch Przykłd 3.7.. () Wykzć, że [, ], [, ], (, + ), (, + ). () rc sin / = π/6, rc cos( / ) = 3π/4, rc ctg( 3) = 5π/6. rc sin + rc cos = π, [, ]. Istotnie, ustlmy [, ] i oznczmy α := rc sin, β := rc cos. Wtedy α [ π/, π/], β [, π], skąd π/ β [ π/, π/]. Pondto, ( π ) sin α = = cos β = sin β, skąd, dzięki różnowrtościowości funkcji sin w przedzile [ π/, π/], wnioskujemy, że co było do okzni. α = π β, Zdnie 3.7.3. () Obliczyć rc sin( 3/), rc cos( /), rc tg 3, rc ctg( ). () Wykzć nstępujące związki () rc tg + rc ctg = π/, [, ]; (b) rc ctg = rc tg(/), > ; (c) rc ctg = π + rc tg(/), <, (d) rc tg + rc tg + rc tg 3 = π. 6
3.8. Ciągi. Szereg geometryczny. Definicj 3.8.. () Ciąg jest to funkcj f : N R. Wrtość f(n) dl rgumentu n nzywmy n-tym wyrzem ciągu i oznczmy przez n, zś sm ciąg przez ( n ) lub ( n ) n= lub ( n ) n N. () Liczbę S n := + + n nzywmy sumą n początkowych wyrzów ciągu liczbowego ( n ). Przykłd 3.8.. () Ciąg ( n ) n= nzywmy ciągiem hrmonicznym. () Ciąg (n) n= nzywmy ciągiem nturlnym. (3) Ciąg (( ) n ) n= jest przykłdem ciągu nprzemiennego. (4) Ciąg ( + (n )d) n=,, d R, nzywmy ciągiem rytmetycznym o różnicy d. (5) Ciąg (q n ) n=,, q R, nzywmy ciągiem geometrycznym o ilorzie q. (6) Ciąg ( n ) n= określony rekurencyjnie =, =, n = n + n, n 3, nzywmy ciągiem Fiboncciego 8. Ciąg ten pojwi się w wielu modelch przyrodniczych, np. w drzewie pszczół. Rozwżmy rodowód smc pszczoły. Kżdy smiec (znny tkże jko truteń) jest spłodzony bezpłciowo z smicy (znnej również jko królow). Jednk kżd smic m dwoje rodziców, smc i smicę. Truteń m jednego dzidk i jedną bbcię, jednego prdzidk i dwie prbbcie. M dwóch prprdzidków i trzy prprbbcie. W ogólności, łtwo sprwdzić przez indukcję, że m dokłdnie n+ pr n -dzidków i n+3 pr n -bbć. Twierdzenie 3.8.3. Niech ( n ) będzie ciągiem rytmetycznym o różnicy d. Wtedy S n = + (n )d n, n N. Twierdzenie 3.8.4. Niech ( n ) będzie ciągiem geometrycznym o ilorzie q. Wtedy { n, gdy q = S n = q n, n N. q, gdy q Definicj 3.8.5 (Grnic ciągu). Mówimy, że ciąg ( n ) m grnicę g R, jeśli ε> n N n>n n g < ε (wyrzy n ze wzrostem wskźnik n zbliżją się do liczby g), co zpisujemy n g gdy n lub lim n = g. n Czsem dl wygody piszemy n g lub lim n = g. Przykłd 3.8.6. () lim n n =. () lim n ( n ) =. (3) Ciągi ( n) n= i (( ) n ) n= nie mją grnicy. Definicj 3.8.7. Rozszerzonym systemem liczb rzeczywistych nzywmy zbiór R {, }. Zchowując nturlny porządek w zbiorze R przyjmujemy < <, R. Uwg 3.8.8. () Przyjmujemy nstępującą konwencję () jeśli R, to + = + =, = + =, / = /( ) = ; (b) jeśli >, to = =, ( ) = ( ) = ; (c) jeśli <, to = =, ( ) = ( ) = ; (d) = ( ) ( ) = ; ( ) = ( ) =. () Opercje, +, (± ), (± ) i ± / nie są określone. Definicj 3.8.9 (Grnic niewłściw ciągu). Mówimy, że ciąg ( n ) m grnicę niewłściwą (odp. ), jeśli M> n N n>n n > M (odp. M> n N n>n n < M) 8 Fiboncci (Leonrdo z Pizy; ur. około 75 r., zm. 5 r.) włoski mtemtyk. Znny jko: Leonrdo Fiboncci, Filius Boncci (syn Boncciego), Leonrdo Pisno (z Pizy). 7
(wyrzy n ze wzrostem wskźnik n zbliżją się do (odp. )), co zpisujemy n gdy n lub lim n = n (odp. n gdy n lub lim n = ). n Czsem dl wygody piszemy n ± lub lim n = ±. Przykłd 3.8.. () lim n n =. () lim n n =. (3) lim n n =. (4) Ciąg (( n) n ) n= nie m grnicy (nwet niewłściwej). Twierdzenie 3.8.. () Jeśli k N, to lim n k n =. () Ogólniej, jeśli >, to lim n n =, jeśli <, to lim n n =. (3) Jeśli >, to lim n n =, jeśli < <, to lim n n =. Twierdzenie 3.8.. Jeśli n i b n b, gdzie, b R {, }, to () n ± b n ± b, () n b n b, (3) jeśli dodtkowo b n, n N, to n /b n /b, o ile tylko dziłni ± b, b i /b są określone. Przykłd 3.8.3. () Poniewż c c i n, więc c n c =. Podobnie, n n = n n =. Ogólnie dl k N. n k () 5 + 3 n n 5 + = 5. (3) n 3 n + n = n 3 ( n + n n ) = ( + ) =. 3 (4) Ogólnie, jeśli p, to p n p + p n p + + n + sgn( p ). (5) n 7 3n+ n 7 3, bo 3n+ = 7/n 3+/n orz 7 n i 3 + n 3. 3n (6) lim 3 n+4 n 5n 3 n = lim n 3 /n +4/n 3 5 /n = 3 5. (7) lim n n n = lim n n /n /n =. (8) lim n n 3n 5 = lim n n 5 (/n 3 3) = lim n n 5 /n 3 3 =. (9) Ogólnie, jeśli p b q, to lim n pn p + p n p + + n+ b qn q +b q n q + +b n+b = lim n ( n + n) = lim n ( n + n) n++ n n++ n = lim n 4 lim n +5 n (4/3) n 3 n + = lim n +(5/3) n n n +(/3) =. n 4 lim n 5 n (4/3) n 3 n + = lim n (5/3) n (5/3) n n +(/3) = lim n ((4/5) n ) n n +(/3) =. n Zdnie 3.8.4. Obliczyć grnice ciągów 3 () lim n n n, n () lim n 3, (3) lim n (n 3 3n + n ), (4) lim n ( n + n 3n 3 + 4n 4 5n 5 ), 4n 3 (5) lim n 6 5n, n (6) lim 3 4n n 6n+3n n, 3 (n ) (7) lim n (4n )(3n+), (8) lim n ( n 3 3n+ ), 5n n (9) lim n 3n+5, n () lim 3 n ( n), n () lim 3 n ( n ), n () lim +5n 6 n n 4 +5n 6, ( (3) lim n+3) n n+, (4) lim n n n+, n 8, bo, gdy p < q p b q, gdy p < q. sgn( p b q ), gdy p > q n++ n =.
(5) lim n n+ 3 n ( n ), (6) lim n ( n + n n + ), (7) lim n ( 3 n + 3 n), (8) lim n n 3 n 5 n + n, (9) lim n n 5 n 3 n + n, () lim n 3n+ 5 8 n +3, () lim n 3n+ 5 8 n +3, () lim n 3 n+ 8 4 9 n +, (3) lim n 3 n n 3 n, Twierdzenie 3.8.5. Niech ( n ) będzie ciągiem geometrycznym o ilorzie q i. Wtedy ciąg (S n ) m grnicę S wtedy i tylko wtedy gdy q <. W tkim przypdku nzywmy sumą nieskończoną ciągu ( n ). S = q Przykłd 3.8.6. Obliczyć sumę + + 4 +.... Jest to sum nieskończon S ciągu geometrycznego o wyrzie pierwszym = i ilorzie q =. Ztem S = =. Zdnie 3.8.7. () Obliczyć sumę () + 3 9 + 7..., (b) 4 3 + 9 4 7 6 +.... () W trójkąt równoboczny o boku długości wpisujemy okrąg, kolejne okręgi wpisujemy w trzech wierzchołkch trójkąt w ten sposób, że są one styczne do dówch boków trójkąt i okręgu. Procedurę kontynuujemy w nieskończoność. Obliczyć sumę pól powstłch kół. (3) Odcinek długości d podzielono n n równych części. N kżdej z nich, z pominęciem pierszej i osttniej, zbudowno trójkąty równoboczne. Obliczyć grnicę pól S n i obwodów P n otrzymnej figury przy n. 3.9. Liczb e. Twierdzenie 3.9.. Ciąg (( + n )n ) n= jest zbieżny. Definicj 3.9.. ( e := lim + n. n n) Liczb e nzywn jest tkże liczbą Npier 9, oznczenie e wprowdził w 736 roku Euler, który wykzł, że e jest liczbą niewymierną. W 873 roku Hermite pokzł, że e jest przestępn. W przybliżeniu, e, 78 8 88 459 45 35 36 87.... Dowodzi się, że e = n! = + + + 6 + 4 + +... n= Im większe weźmiemy n, tym dokłdniejsze przybliżenie otrzymmy. Wzór ten brdzo szybko dje dobre przybliżeni, dl n = otrzymujemy dokłdną wrtość liczby e do piątej cyfry po przecinku. Definicj 3.9.3. ln := log e nzywmy logrytmem nturlnym. Twierdzenie 3.9.4. Jeśli lim n n = i n, to lim n ( + n ) /n = e. Przykłd 3.9.5. Obliczyć lim n ( 3/n) n. Zuwżmy, że ( ( lim 3 n ( = lim + n n) 3 ) ) n/3 3 = e 3 n n n podstwie powyższego twierdzeni dl n = 3/n. 9 John Npier Lord of Merchiston (ur. 55, zm. 4 kwietni 67) szkocki włściciel ziemski, ntyppist, mtemtyk, odkrywc logrytmów. Leonhrd Euler (ur. 5 kwietni 77 w Bzylei, zm. 8 wrześni 783 w Petersburgu) szwjcrski mtemtyk i fizyk. Chrles Hermite (ur. 4 grudni 8, zm. 4 styczni 9) mtemtyk frncuski. 9
Zdnie 3.9.6. Obliczyć grnice ( () lim n+5 n n ( () lim n +n n ) n, ) n, (3) lim n ( 5 n) n. 4. Elementy rchunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej 4.. Grnic funkcji. Ciągłość funkcji. Definicj 4.. (Otoczenie, sąsiedztwo). Niech R. Otoczeniem punktu R nzywmy kżdy przedził otwrty zwierjący punkt. Sąsiedztwem lewostronnym (odp. prwostronnym) punktu nzywmy przedził otwrty (, ), gdzie < (odp. (, b), gdzie < b). Sąsiedztwem punktu nzywmy zbiór postci gdzie < < b. (, b) \ {} = (, ) (, b), Definicj 4.. (Grnice jednostronne). Funkcj f, określon w sąsiedztwie lewostronnym (odp. prwostronnym) punktu R, m w punkcie grnicę lewostronną g R (odp. prwostronną), co zpisujemy lim f() = g (odp. lim f() = g), jeśli dl dowolnego otoczeni U punktu g istnieje sąsiedztwo lewostronne (odp. prwostronne) V punktu tkie, że f(v ) U (wrtość f() zbliż się do g, gdy rgument zbliż się do z lewej (odp. prwej) strony). Grnice lewo- i prwostronn noszą wspólną nzwę grnic jednostronnych. Przykłd 4..3. () Jeśli f() = c jest określon w sąsiedztwie punktu R, to lim f() = lim + f() = c. () Jeśli >, to lim + =. (3) Jeśli f() =, to lim f() =, lim + f() =. (4) Jeśli f() =, to lim + f() nie istnieje. (5) Jeśli f() = sin, to lim + nie istnieje. Zdnie 4..4. Wyznczyć grnice jednostronne funkcji () f() = w punktch Z, () f() = w punktch Z. Definicj 4..5 (Grnic funkcji). Funkcj f, określon w sąsiedztwie punktu R, m w punkcie grnicę g R, co zpisujemy lim f() = g, jeśli funkcj f m w punkcie grnice jednostronne orz lim f() = lim f() = g. + Przykłd 4..6. Funkcj z Przykłdu 4..3 () m grnicę w punkcie, zś funkcj z Przykłdu 4..3 (3) nie m grnicy w punkcie. Twierdzenie 4..7. Jeśli lim f() = orz lim g() = b, to () lim (f() ± g()) = ± b, () lim f()g() = b, (3) lim f() g() = b o ile g() w sąsiedztwie i b. Definicj 4..8 (Ciągłość funkcji). Funkcję f, określoną w otoczeniu punktu, nzywmy ciągłą w punkcie, jeśli f m w grnicę orz lim f() = f( ). Funkcję nzywmy ciągłą, jeśli jest on ciągł w kżdym punkcie dziedziny. Funkcję ciągłą określoną n przedzile nzywmy krzywą.
Przykłd 4..9. () Funkcj () Funkcj f() =, R \ {}, jest ciągł. f() = {, gdy, gdy = nie jest ciągł, poniewż nie jest ciągł w punkcie =. Istotnie, funkcj f nie m grnicy w punkcie = (grnice lewo- i prwostronne są różne). (3) Funkcj f() = {, gdy, gdy = nie jest ciągł, poniewż nie jest ciągł w punkcie =. Istotnie, funkcj f m grnicę w punkcie =, le jest on różn od wrtości funkcji w tym punkcie. Twierdzenie 4... () Funkcje wielominowe, wykłdnicze i trygonometryczne są ciągłe. () Funkcj odwrotn do funkcji ciągłej jest funkcją ciągłą. W szczególności, funkcje potęgowe, logrytmiczne i cyklometryczne są ciągłe. (3) Sum, różnic, iloczyn, ilorz orz złożenie funkcji ciągłych są ciągłe. W szczególności, funkcje wymierne są ciągłe. Uwg 4... Sklejenie funkcji ciągłych nie musi być funkcją ciągłą. Istotnie, funkcj {, gdy < f() =, gdy jest ciągł w kżdym punkcie, le nie jest cigł w punkcie =. Przykłd 4... określon). Istotnie, zuwżmy, że () Funkcj f() = 3 f() = ( )( + + ) m w punkcie grnicę 3 (choć nie jest w tym punkcie = ( + + ). Funkcj g() = + + jest ciągł (jko wielomin), więc lim ( + + ) = + + = 3. Funkcj h() = jest funkcją stłą (równą ) określoną w sąsiedztwie punktu =, więc, =. Poniewż f jest iloczynem funkcji g i h, więc, n mocy Twierdzeni 4.., lim 3 lim t = lim ( + + ) lim = 3 = 3. () Funkcj g() = sin, określon z obu stron punktu, nie m w = grnicy. Zdnie 4..3. () Obliczyć grnice 6 () lim 3 4 +5+4, 3+ (b) lim +, (c) lim 3 + 3 +3 +, (d) lim 4 (e) lim, 4 +, (f) lim 3 7 3 3, (g) lim +, (h) lim 3 +5 5 5. () Zbdć ciągłość funkcji () f() =, (b) f() =, R \ Z, (c) f() = {, (d) f() =,, gdy gdy =.
4.. Grnice niewłściwe. Grnice w nieskończoności. Asymptoty funkcji. Definicj 4.. (Otoczeni nieskończoności). Otoczeniem nzywmy kżdy przedził (, ), gdzie R { }. Otoczeniem nzywmy kżdy przedził (, b), gdzie b R { }. Definicj 4.. (Grnic niewłściw, symptot pionow). Funkcj f, określon w sąsiedztwie punktu R, m w punkcie grnicę niewłściwą (odp. ), co zpisujemy lim f() =, (odp. lim f() = ), jeśli dl dowolnego otoczeni U punktu (odp. ) istnieje sąsiedztwo V punktu tkie, że f(u) V (wrtość f() dąży do (odp. ), gdy rgument zbliż się do ). Jk przy grnicch zwykłych, możn mówić o grnicy niewłściwej prwostronnej lim + f() i lewostronnej lim f(). Jeśli funkcj f m w punkcie grnicę niewłściwą (odp. jednostronną), to prostą o równniu = nzywmy symptotą pionową (odp. jednostronną) funkcji f. Twierdzenie 4..3. Jeśli lim f() =, lim g() = b, gdzie, b R {, }, to, jeśli tylko poniższe dziłni są określone, () lim (f() ± g()) = ± b, () lim f()g() = b, (3) lim f() g() = b o ile g w sąsiedztwie. Przykłd 4..4. () Jeśli <, to lim + =. W szczególności, prost o równniu = jest symptotą pionową prwostronną funkcji, <. () lim (π/+kπ) tg =, lim (π/+kπ) + tg =, k Z. W szczególności, prost o równniu = π/ + kπ, k Z, jest symptotą pionową funkcji tg. (3) Jeśli >, to lim + log =. Jeśli < <, to lim + log =. W szczególności, prost o równniu = jest symptotą pionową prwostronną funkcji log. Uwg 4..5. Aby obliczyć grnicę funkcji wymiernej gdy, wstwimy do licznik i minownik wrtość = i, jeśli dziłnie m sens, wynik jest szukną grnicą. Jeśli punkt jest miejscem zerowym licznik i minownik, rozkłdmy licznik i minownik n czynniki i skrcmy w ułmku czynnik ( ). Jeśli punkt jest miejscem zerowym tylko minownik, to wynik jest nieskończonością ze znkiem zdeterminownym znkmi licznik i minownik. Przykłd 4..6. () lim + (+) + = lim 3 (+)( +) = lim + = 3. () lim 3 + 4 8 (+) +3+ = lim ( ) (+)(+) =. (3) lim + 3 3 6 +9 nie istnieje, bo lim 3 lim 3 + + 3 6 +9 = lim 3 ( 3)(+4) ( 3) = lim +4 3 ( 3) + 3 6 +9 = lim 3 ( 3)(+4) + ( 3) = lim +4 3 + ( 3) 7 =, 7 + = +. (4) Wyznczyć symptoty pionowe funkcji f() = +. Zuwżmy, że + = dl = lub = /. Poniewż f, będąc funkcją wymierną, jest funkcją ciągłą, ztem funkcj f może posidć grnice niewłściwe tylko w punktch leżących poz dziedziną, tj. w punktch = i = /. Bez trudu sprwdzmy, że lim + = lim ( )(+) = lim + = 3, lim / ( )(+) = lim / + =, lim / + ( )(+) = lim / + + + =. Stąd prost o równniu = / jest jedyną symptotą pionową funkcji f. Zdnie 4..7. () Obliczyć grnice () lim 4 ( ), 4 4 +4+, (b) lim + 7 (c) lim 3 3 (d) lim 3 9 +7 7, (+), 3
(e) lim 5 + 3 5 5. () Wyznczyć symptoty pionowe funkcji () f() =, (b) f() = (c) f() = 4 (d) f() =,, ++. Definicj 4..8 (Grnic w nieskończoności, symptot poziom). Mówimy, że funkcj f, określon w otoczeniu (odp. ), m w (odp. ) grnicę g R {, }, co zpisujemy lim f() = g (odp. lim f() = g), jeśli dl dowolnego otoczeni U punktu g istnieje otoczenie V punktu (odp. ) tkie, że f(v ) U (wrtość f() dąży do g, gdy rgument dąży do (odp. )). Jeśli grnic g jest włściw, to mówimy, że prost o równniu y = g jest symptotą poziomą prwostronną (odp. lewostronną) funkcji f. Asymptotę poziomą lewo- i prwostronną nzywmy symptotą poziomą. Przykłd 4..9. () Jeśli <, to lim =. W szczególności, prost o równniu y = jest symptotą poziomą funkcji, <. Jeśli dodtkowo Z, to tkże lim =. W szczególności, prost o równniu y = jest symptotą poziomą funkcji, Z, <. () lim ± = lim ± ( ) =. W szczególności, prost o równniu y = jest symptotą poziomą funkcji. (3) Jeśli >, to lim =, lim =. W szczególności, prost o równniu y = jest symptotą poziomą lewostronną funkcji, >. (4) Jeśli < <, to lim =, lim =. W szczególności, prost o równniu y = jest symptotą poziomą prwostronną funkcji, < <. (5) lim rc tg = π/. W szczególności, prost o równniu y = π/ jest symptotą poziomą lewostronną funkcji rc tg. (6) lim rc tg = π/. W szczególności, prost o równniu y = π/ jest symptotą poziomą prwostronną funkcji rc tg. (7) lim rc ctg = π. W szczególności, prost o równniu y = π jest symptotą poziomą lewostronną funkcji rc ctg. (8) lim rc ctg =. W szczególności, prost o równniu y = jest symptotą poziomą prwostronną funkcji rc ctg. (9) lim sin nie istnieje, bo np. nπ, ntomist sin nπ = dl n przystych i sin nπ = dl n nieprzystych. Uwg 4... Aby obliczyć grnicę funkcji wymiernej gdy ±, dzielimy licznik i minownik przez w njwyższej potędze minownik. 4 Przykłd 4... () lim 3 / 5+6 7 = lim / 4 5/ +6/ 7 =. () lim +7 4 = lim / /+7 4 / = 7 4. (3) lim ++ ( 3 +) = lim /4 +/ 3 +/ +/ 3 =. Zdnie 4... Obliczyć grnice () lim 4 3, () lim 3 3 ( )(+). Definicj 4..3 (Asymptot ukośn). Niech f będzie funkcją określoną w otoczeniu (odp. ). Jeśli lim (f() ( + b)) = (odp. lim (f() ( + b)) = ), to prostą o równniu y = + b nzywmy symptotą ukośną prwostronną (odp. lewostronną) funkcji f. Uwg 4..4. Asymptot poziom jest szczególnym przypdkiem symptoty ukośnej ( = ). 3
Twierdzenie 4..5. Jeśli y = + b jest równniem symptoty ukośnej prwostronnej (odp. lewostronnej) dl f, to (odp. = f() = lim lim, b = lim (f() ), f(), b = lim (f() )). Funkcj nie m symptoty ukośnej prwostronnej (odp. lewostronnej), jeśli choć jedn z tych grnic nie istnieje. Przykłd 4..6. () Funkcj f() = 3 +3 m symptotę ukośną o równniu y =, f() poniewż lim ± = orz lim ± (f() ) =. () Funkcj f() = 3 3 f() nie m symptoty ukośnej, poniewż lim ± = ±. Zdnie 4..7. Wyznczyć symptoty funkcji () f() =, () f() = +, (3) f() = ++. 4.3. Pochodn funkcji. Niech f będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu punktu. Definicj 4.3.. Pochodną funkcji f w punkcie nzywmy grnicę (4.) lim h f( + h) f() h i oznczmy f () lub df d (). Funkcj nie m pochodnej w punkcie, jeśli grnic (4.) nie istnieje. Funkcję mjącą pochodną w kżdym punkcie dziedziny nzywmy różniczkowlną. Twierdzenie 4.3.. Fukcj różniczkowln jest ciągł. Przykłd 4.3.3. () f() =. Mmy f ( + h) h + h () = lim = lim = lim ( + h) =, h h h h h ztem funkcj f m w kżdym punkcie pochodną f () =. () f() =. Mmy f ( + h) h () = lim = lim h h h h =, ztem funkcj f m w kżdym punkcie pochodną równą f () =. (3) Funkcj f() = nie m pochodnej w punkcie, bo grnic + h h lim = lim h h h h nie istnieje. Istotnie, lim h h + h =, lim h h h =. Jest to przykłd funkcji ciągłej, któr nie jest różniczkowln (por. Twierdzenie 4.3.). Uwg 4.3.4 (Interpretcj geometryczn pochodnej). Pochodn funkcji f w punkcie równ jest tngensowi kąt, jki tworzy styczn do wykresu funkcji f w punkcie o równniu (4.) y f( ) = f ( )( ) z dodtnim zwrotem osi O. Przykłd 4.3.5. Wyznczyć styczną do prboli y = w punkcie o współrzędnej =. Zuwżmy, że dl f() = mmy f () =, skąd f () =. Pondto, f() =, skąd równnie szuknej stycznej m postć czyli y =. y = ( ) +, 4
Twierdzenie 4.3.6 (Pochodne funkcji elementrnych). Funkcje elementrne są różniczkowlne orz ( ) =, R, ( ) = ln, (log ) =, >,, ln (sin ) = cos, (cos ) = sin, (tg ) = cos, (ctg ) = sin, (rc sin ) =, (rc cos ) =, (rc tg ) = +, (rc ctg ) = +. Wniosek 4.3.7. W szczególności, ( ) () =, =, ( ) =, (e ) = e, (ln ) =. Twierdzenie 4.3.8 (Pochodne sumy, różnicy, iloczynu i ilorzu). Sum, różnic, iloczyn i ilorz funkcji różniczkowlnych u i v są różniczkowlne orz ( u ) (u ± v) = u ± v, (uv) = u v + uv u v uv, = v v. W przypdku ilorzu zkłdmy, że v(). Przykłd 4.3.9. () Jeśli f() = const, to f () =. () Jeśli c R, to (cu()) = cu (). (3) ( 3 + ) = 3 +. (4) ( 5 3 + 7 4) = 5 4 6 + 7. (5) (sin cos ) = cos sin = cos. (6) ( ) = ( ) ( ) (7) ( = ( ). rc sin ) = ln rc sin /. rc sin Twierdzenie 4.3. (Pochodn funkcji złożonej). Niech funkcj f m pochodną w punkcie, funkcj g m pochodną w punkcie f(). Wtedy funkcj złożon g f m pochodną w punkcie wyrżoną wzorem (4.3) (g f) () = g (f())f (). Przykłd 4.3.. (4.3), () h() = ( ) 5. Oznczjąc f() = otrzymujemy, n mocy wzoru h () = 5(f()) 4 = ( ) 4. () h() = +. Oznczjąc f() = + otrzymujemy (3) Dl h() = ln sin mmy h () = f() =. + h () = cos = ctg. sin Wniosek 4.3.. Pochodn złożeni dowolnej skończonej liczby funkcji różniczkowlnych równ jest iloczynowi pochodnych poszczególnych funkcji. Przykłd 4.3.3. Niech f() = rc tg +. Funkcj f jest złożeniem czterech funkcji g + tzn. f = j i h g, gdzie h + i rc tg + j rc tg +, g() = +, h() =, i() = rc tg, j() =. W konsekwencji, f () = j (i(h(g()))) i (h(g())) h (g()) g (), czyli f () = rc tg + + + rc tg + = + ( + ) +. Zdnie 4.3.4. Obliczyć pochodne funkcji 5
() f() = 3 6 + 5, () f() = e, (3) f() = sin(5 3), (4) f() = ( 3 ), (5) f() = e 4, (6) f() = sin cos, (7) f() = ( ) 3, (8) f() = ln( 4), (9) f() = ln(sin ), () f() = +, () f() = / + /3, () f() = (ln ), (3) f() = 4 + 3, (4) f() = ln +, (5) f() =, (6) f() = ln(ln ). 4.4. Ekstrem loklne i globlne. Jednym z zstosowń pochodnej jest wyzncznie przebiegu zmienności funkcji. Twierdzenie 4.4. (Monotoniczność funkcji). Funkcj o pochodnej w dnym przedzile równej zero jest w tym przedzile stł; nieujemnej (przy czym liczb punktów, w którch pochodn może się zerowć, jest co njwyżej skończon) jest w tym przedzile silnie rosnąc; niedodtniej (przy czym liczb punktów, w którch pochodn może się zerowć, jest co njwyżej skończon) jest w tym przedzile silnie mlejąc. Przykłd 4.4.. Wyznczyć przedziły monotoniczności funkcji () f() = 3 3. f () = 3 6 = 3( ). Mmy tu f () >, gdy < lub >, ntomist f () <, gdy < <. Funkcj f() = 3 3 jest więc silnie rosnąc w przedziłch (, ) i (, ), silnie mlejąc w przedzile (, ). () f() =. f () = ( )(+), skąd f () > dl < <, zś f () < dl < < lub < <. Funkcj f jest więc silnie rosnąc w przedzile (, ), silnie mlejąc w przedziłch (, ) i (, ). Zdnie 4.4.3. Wyznczyć przedziły monotoniczności funkcji () f() = (3 ), () f() = 4 4 + 3, (3) f() = e. Definicj 4.4.4 (Ekstrem loklne). Mówimy, że funkcj f określon w otoczeniu punktu m w punkcie mksimum loklne, jeśli istnieje tkie otoczenie U punktu, że f( ) f() dl dowolnego punktu U; włściwe (silne) mksimum loklne, jeśli istnieje tkie otoczenie U punktu, że f( ) > f() dl dowolnego punktu U \ { }; minimum loklne, jeśli istnieje tkie otoczenie U punktu, że f( ) f() dl dowolnego punktu U; włściwe (silne) minimum loklne, jeśli istnieje tkie otoczenie U punktu, że f( ) < f() dl dowolnego punktu U \ { }. Mksimum i minimum loklne, włściwe lub nie, nzywmy ekstremum loklnym. Twierdzenie 4.4.5 (Wrunek konieczny istnieni ekstremum loklnego). Jeśli funkcj różniczkowln f m ekstremum loklne w punkcie, to (4.4) f ( ) =. Uwg 4.4.6. Wrunek (4.4) nie jest wystrczjący. Istotnie, funkcj f() = 3 jest różniczkowln, bo f () = 3. Pondto, f () =, le funkcj f nie m ekstremum loklnego w punkcie. 6
Twierdzenie 4.4.7 (Wrunek dostteczny istnieni ekstremum loklnego). Jeśli funkcj różniczkowln f spełni wrunek (4.4) orz pochodn f jest, w pewnym otoczeniu punktu, dodtni z jednej strony i ujemn z drugiej strony punktu, to funkcj f m ekstremum loklne w punkcie. Chrkter ekstremum określ Twierdzenie 4.4.. Przykłd 4.4.8. Wyznczyć ekstrem loklne funkcji () f() = 4 3 +. Poniewż f () = 4 3 6 = ( 3), ekstrem loklne mogą być w punktch, w których f () =, więc = lub = 3/. Ze znku pochodnej (Przykłd 4.4.) wnioskujemy, że w punkcie = funkcj nie m ekstremum loklnego, w punkcie = 3/ m minimum loklne. () f() = 5 3. Poniewż f () = (3 )( 3) (+) ( ), więc ekstrem loklne mogą być w punktch = /3 i = 3. Ze znku pochodnej wnioskujemy, że w punkcie = /3 funkcj m mksimum loklne, w punkcie = 3 minimum loklne. Zdnie 4.4.9. Wyznczyć ekstrem loklne funkcji () f() = 4 4 3 3, () f() = 3 4 8 3 8 +, (3) f() = 4, (4) f() = 3 ln, (5) f() = e, (6) f() = e 4, (7) f() = ( ) e + /. Uwg 4.4.. () Mksimum loklne nie musi być njwiększą wrtością funkcji w dnym przedzile. Podobnie, minimum loklne nie musi być njmniejszą wrtością. Co więcej, funkcj może nie posidć wrtości njwiększej czy njmniejszej. Istotnie, wystrczy rozptrzyć funkcję f() = 3 3 w przedzile (, 3). () Dowodzi się, że funkcj ciągł przyjmuje w przedzile domkniętm wrtość njwiększą i njmniejszą. (3) Aby znleźć njwiększą i njmniejszą wrtość ciągłej funkcji f w domkniętym przedzile [, b], stosujemy nstępujący lgorytm. () Notujemy rozwiązni równni f () = leżące wewnątrz przedziłu [, b]. (b) Obliczmy wrtość funkcji f w punkch, b i wszystkich wynotownych wcześniej punktch. (c) Wybiermy te punkty, w których wrtość funkcji f jest njwiększ i njmniejsz. Przykłd 4.4.. () Znleźć njwiększą i njmniejszą wrtość funkcji f() = e +7 ( + ) w przedzile [ 4, ]. Poniewż f () = e +7 ( + 3), więc ekstrem loklne funkcj może mieć tylko w punktch 3 i. Poniewż f( 3) = e, f() = e 7 zś f( 4) = 7e i f() = e 9, ztem funkcj f przyjmuje wrtość nwiększą równą e 9 w punkcie = i wrtość njmniejszą równą e 7 w punkcie =. () N rogch kwdrtowego rkusz blchy o boku 36 cm wyciąć tkie kwdrty, by po zgięciu blchy otrzymć pudełko o njwiększej objętości. Jeśli przez oznczymy długość boku wycinnych kwdrtów wyrżoną w cm, to objętość V pudełk wyrż się wzorem V () = 4( 8), [, 8]. Poniewż V () = V (8) = orz V >, więc funkcj V przyjmuje wrtość njwiększą w przedzile otwrtym (, 8). Zuwżmy, że V () = ( 8)( 6), skąd wnioskujemy, że funkcj V m mksimum globlne w punkcie = 6, czyli nleży wyciąć kwdrty o bokch długości 6 cm. Zdnie 4.4.. () Znleźć njwiększą i njmniejszą wrtość funkcji () f() = 3 3 w przedzile [, 3], (b) f() = w przedzile [6, 8], (c) f() = e w przedzile [ 3, ], (d) f() = sin w przedzile [ π/, π/], (e) f() = ln w przedzile [, e 8/3 ], (f) f() = e w przedzile [ /, ]. 7