Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli liczb jest równ to jej wrtość bezwzględn równ jest Jeżeli liczb jest dodtni, to wrtość bezwzględn nic nie zmieni Jeżeli liczb jest ujemn, to wrtość bezwzględn poprzedz liczbę dodtkowym minusem czyniąc zeń liczbę dodtnią Wrtość bezwzględn liczby jest to po prostu odrzucenie minus jeżeli tki liczb posid Wrtość bezwzględną liczby interpretujemy n osi liczbowej jko odległość liczby od zer Równość ozncz, że jest liczbą odległą od zer o, więc lub gdyż tylko te dwie liczby położone są n osi w odległości dw od zer T interpretcj okże się wżn podczs rozwiązywni równń i nierówności Wrtość bezwzględn posid nstępujące włsności: I II b b III b b IV b b V b b Aby je uzsdnić korzystmy bezpośrednio z definicji Przykłdowo dl włsności II mmy, jeżeli, b to b b b Jeżeli jedn z liczb jest zerem, to po obu stronch równości mmy Jeżeli jest ujemne b dodtnie, to b ( ) b b b Przejście od drugiej do trzeciej równości jest możliwe poniewż jest dodtnie dl liczby dodtnich równość pokzno wcześniej Aby pokzć włsność IV (nzyw się tę włsność nierównością trójkąt) zuwżmy, że: Stąd mmy: b b b b Poniewż ( b) b b b b b b (włsność I), więc b b b b wszystkie liczby występujące w tych nierównościch są dodtnie) (gdyż
Włsność V jest konsekwencją włsności IV gdyż ( b) b b b stąd wynik, że : b b Podstwijąc w tej nierówności z b liczbę b otrzymmy b b Osttni nierówność pozwl n rozszerzenie nierówności trójkąt, n wzór: VI b b b Zuwżmy pondto, że b ( b) b b z czego będziemy często korzystć Pmiętjąc, że pierwistek rytmetyczny (Definicj 5) jest zwsze nieujemny możemy podć brdzo wżny wzór: Przykłd 43 ) 3 57 357 3 5 7 b) 5 5 5 3 3 3 c) 4 4 4 d) ( 5) 5 5 e) 4 4 RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI Z WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ Kżde równnie, w którym niewidom występuje pod znkiem wrtości bezwzględnej nzywmy równniem z wrtością bezwzględną Nszym celem będzie terz poznnie metod rozwiązywni tkich równń Zczniemy od njprostszych przypdków Przykłd 44 Rozwiążmy równnie: 3 Wykorzystujemy definicję wrtości bezwzględnej:, ( ), Powyższ definicj podzielił oś liczbową n dwie części W części pierwszej, tm gdzie, czyli, ) możn w myśl definicji opuścić symbol wrtości bezwzględnej Równnie przybierze wtedy postć 3, rozwiązniem jego jest liczb 5, któr jk widć nleży do przedziłu,) W części drugiej osi dl, czyli (,) opuszczmy wrtość bezwzględną zmienijąc znk n przeciwny, równnie ztem wygląd nstępująco 3 Rozwiązniem równni jest liczb, rozwiąznie to nleży do przedziłu (,) Podsumowując równnie m dw rozwiązni 5 orz
Jk widć w tej metodzie rozptruje się dw przypdki Dl kżdego z nich równnie będzie wyglądć nieco inczej Po znlezieniu rozwiązni nleży sprwdzi, czy rozwiąznie rzeczywiście jest z włściwego przedziłu Przykłd 45 Rozwiążmy równnie Wykorzystujemy włsność, że wrtość bezwzględn jest odległością n osi liczbowej od zer W nszym równniu pytmy nim jk liczb (umieszczon między znkmi bezwzględnej wrtości) oddlon jest od zer o? Oczywiście są dwie tkie liczby minowicie orz Mmy ztem: 3 Metod t jest brdzo krótk i szybko prowdzi do rozwiązni nleży jednk pmiętć, że możemy ją stosowć tylko do równń postci b k Metodę tę nzyw się żrtobliwie metodą zsłnini plcem Wyobrźmy sobie, że zsłnimy kciukiem zwrtość wrtości bezwzględnej i pytmy, jkie liczby zsłonięte kciukiem mj tę włsność, że oddlone są od zer o? Przykłd 46 W ten sm sposób możemy postąpić rozwiązując nierówność W przypdku, zsłnijąc plcem pytmy o liczby, których odległość od zer jest mniejsz niż dw Ztem są to liczby, które nleżą do przedziłu (,), co jest równoznczne z koniunkcj nierówności: z czego wynik, że 3 czyli (,3) W przypdku, zsłnijąc plcem pytmy o liczby, których odległość od zer jest większ niż dw Ztem są to liczby, które nleżą do sumy przedziłów ( ) (, ), co jest równoznczne z lterntywą nierówności: z czego wynik, że 3 czyli (, ) (3, ) Przykłd 47 Czsmi z budowy równni możemy ntychmist odczytć informcję o rozwiązniu Weźmy równnie Skoro po lewej stronie mmy zwsze wielkość nieujemną po prwej zwsze ujemną, równnie jest sprzeczne i ntychmist możn podć rozwiąznie Znlizujmy budowę równni Jest to równniу z zgnieżdżoną wrtością bezwzględną Widć, że zewnętrzn wrtość bezwzględn nie jest potrzebn i nsze równnie równowżne jest równniu, to równnie rozwiązuje Co nleży zpmiętć? wrtość bezwzględn poleg n odrzuceniu znku liczby, możn ją też interpretowć jko odległość liczby od n osi liczbowej, wrtość bezwzględn m nstępujące włsności: I II b b 3
III IV b b b b V b b njprostszą metodą rozwiązywni równń i nierówności z bezwzględną wrtością jest metod zsłnini plcem, nierówność typu k spełniją z wnętrz przedziłu ( kk, ), nierówność typu k spełniją leżąc n zewnątrz przedziłu ( kk),, czyli leżące w sumie przedziłów (, k) ( k, ) Zdni przeznczone do smodzielnego rozwiązni Rozwiąż w pmięci nstępujące równni ) b) c) 4 5 d) e) 3 3 f) g) 3 5 h) 4 i) j) 3 Rozwiąż w pmięci nstępujące nierówności ) b) c) 4 5 d) e) 3 3 f) g) 3 5 h) 4 i) j) 3 4
Zwnsowne równni i nierówności z wrtością bezwzględną Równni zwierjące wrtość bezwzględną zwykle są brdziej skomplikowne Często spotyk się równni gdzie występuje kilk wrtości bezwzględnych lub jedn wrtość jest zgnieżdżon w drugiej Jeżeli znk równości zstąpimy nierównością otrzymmy nierówność z wrtością bezwzględną Pokżemy n przykłdch jk rozwiązywć tkie zdni Przykłd 48 Rozwżmy równnie brdziej skomplikowne W tym przykłdzie poniewż mmy dwie wrtości bezwzględne nie możemy zstosowć metody zsłnini plcem, pozostje ztem skorzystć z definicji i rozwżyć kilk przypdków, () ( ),, () ( ), Zuwżmy, że ze względu n przypdek () otrzymliśmy dw przedziły, ) orz (,) Ze względu n przypdek () otrzymliśmy kolejne dw przedziły, ) orz (, ) Opuszczmy w tych przedziłch wrtość bezwzględną, zmienijąc lub nie znk przed wyrżeniem stojącym pomiędzy symbolem bezwzględnej wrtości Biorąc to pod uwgę możemy wyróżnić 4 przypdki: ) co ozncz, ), ), ) W tym przypdku obie wrtości bezwzględne możn opuścić bez zminy znku równnie przybierze postć: Znlezione rozwiąznie nleży do przedziłu, w którym go poszukiwno tzn, ) b) co ozncz, ) (,) W tym przypdku jko ewentulny zbiór do poszukiwni rozwiązni otrzymliśmy zbiór pusty Wobec czego brk jest tu rozwiązń c) co ozncz (,), ),) W tym przypdku opuszczjąc pierwszą wrtość bezwzględną zmienimy znk n przeciwny, opuszczjąc drugą wrtość bezwzględną nie zmienimy znku Równnie przybierze postć: ( ) 5
Otrzymn tożsmość ozncz, że kżd liczb z rozptrywnego przedziłu spełni równnie (podstwijąc kżdą liczbę z rozptrywnego przedziłu w miejsce otrzymmy prwdziwą równość) Ztem, ) d) co ozncz (,) (, ), ) W tym przypdku równnie przybierze postć: ( ) ( ), ) Zuwżmy, że znleziono rozwiąznie, które nie nleży do zbioru, dl którego określono równnie Ztem liczb nie jest włściwym rozwiązniem w tym przedzile i nleży ją odrzucić Aby zkończyć zdnie nleży zebrć rzem (zsumowć) przypdki ) d) Wnioskujemy z nich, że równnie rozwiązują, Przykłd 49 Równnie 4 (wrtość bezwzględn zgnieżdżon) łtwiej możn rozwiązć metodą odległości od zer N wstępie zuwżmy, że zewnętrzn wrtość bezwzględn może zostć pominięt, gdyż wyrżenie wewnątrz niej n pewno jest dodtnie Ztem równnie przybier prostszą formę: 4 Pytmy terz o liczbę, któr odległ jest od zer o dw Są dwie tkie liczby i Ztem mmy: 4 Rozwiązniem równni są dwie liczby, tzn {, 4} Przykłd 5 Równnie ( ) pomimo swojego wyglądu jest równniem z wrtością bezwzględną, gdyż jk wiemy ( ) Stąd: Osttnie równnie możn rozwiązć korzystjąc z definicji wrtości bezwzględnej:, ( ), 6
) dl to znczy, ) otrzymujemy: Otrzymn sprzeczność pokzuje, że nie m rozwiązń, ztem b) dl to znczy (,) równnie przybierze postć: ( ) Podsumowując stwierdzmy, że jedynym rozwiązniem równni jest Zuwżmy, że korzystnie z definicji wrtości bezwzględnej może być czsmi kłopotliwe Jeżeli równnie posidło jedną wrtość bezwzględną rozróżniliśmy przypdki Dl równń z dwiem wrtościmi bezwzględnymi przypdków do rozwżeni mieliśmy 4 Gdyby równnie zwierło trzy wrtości bezwzględne, nleżłoby rozptrzyć 8 przypdków itd Ztem rozwiąznie nwet prostych równń może okzć się brdzo mozolne Istnieje metod, któr te trudności redukuje Przykłd 5 Rozwiążmy równnie Ustlmy liczby dl których poszczególne wrtości bezwzględne zerują się W nszym przypdku są to liczby,, Zznczmy te liczby n osi liczbowej i rozwżmy przedziły, n które te liczby podzieliły oś I II III IV - Jk widć 8 przypdków, które otrzymlibyśmy korzystjąc w osttnim przykłdzie z definicji wrtości bezwzględnej zredukowno do 4 przypdków Będąc w części I, przedził (, ) otrzymmy równnie ( ) ( ) ( ) Aby szybko się o tym przekonć weźmy jkąkolwiek liczbę (dobrą do obliczeń) z bdnego przedziłu i podstwmy ją w miejsce Ntychmist zorientujemy się czy opuścić wrtość bezwzględną czy przed opuszczeniem poprzedzić ją minusem Dl przykłdu biorąc widzimy, że jest ujemne, ztem poprzedzmy wyrżenie minusem, będzie tkże ujemne, stąd minus (który ze znkiem odejmowni d plus), jest również ujemne dl nszej próbkowej liczby, dltego minus po opuszczeniu wrtości bezwzględnej Mmy więc równnie: Znlezione rozwiąznie nleży do przedziłu (, ), w którym było poszukiwne 7
Rozwiązujemy nstępnie równnie w części II tzn dl,) (domykmy tu lewy koniec przedziłu, co jest zgodne z definicją wrtości bezwzględnej), przy ustlniu jk opuścić wrtość bezwzględn njłtwiej próbkowć liczbą ( ) ( ) ( ) Znlezione rozwiąznie nleży do przedziłu,), w którym było poszukiwne Przechodzimy do części III, tzn ( ) ( ) 3, ) 3, ) Otrzymmy: Znlezione rozwiąznie nie nleży do przedziłu, ) ztem trzeb je odrzucić i w tym przedzile brk jest rozwiązń Osttni, IV przypdek obejmuje przedził, ) Podstwijąc jkąkolwiek dużą liczbę z tego przedziłu widzimy, że wszystkie wrtości bezwzględne możn opuścić nie zmienijąc znku Otrzymmy równnie: ( ), ) To rozwiąznie odrzucmy gdyż nie nleży do przedziłu, ) Podsumowując rozwiązniem nszego równni są dwie liczby {, } Przykłd 5 Rozwiązć nierówność 3 Metod rozwiązywni nierówności jest identyczn z metodą rozwiązywni równń, nleży podzielić oś n przedziły i w kżdym opuścić wrtość bezwzględną Nstępnie sprwdzić rozwiąznie tzn wziąć część wspólną przedziłu, w którym jesteśmy i znlezionego przedziłu, który spełni nierówność Wrtości bezwzględne zerują się dl liczb,,, które n osi wyznczją przedziły: (, ),, ),, ),, ) ) (, ) ( ) 3( ) 36 4 (, 8
Zwróćmy uwgę, że w przedzile ) (, znleźliśmy rozwiąznie (,, ztem nleży wziąć część wspólną tych przedziłów, czyli (, ) b), ) ( ) 3( ) 36 4 8, ), ), ), ) c), ) ( ) 3( ) 3 6 4,) Tożsmość ozncz, że wszystkie liczby z rozptrywnego przedziłu spełniją nierówność d), ) ( ) 3( ) 36 4 <, ), ), ), ) Podsumowując wszystkie przypdki otrzymujemy Przykłd 5 Rozwiązć równnie Przypdek ten komplikuje wrtość bezwzględn zgnieżdżon Fktycznie występują tu cztery wrtości bezwzględne Nleży ustlić w jkich punktch wrtości bezwzględne się zerują Zcznijmy od wrtości zgnieżdżonej jeżeli To zchodzi dl orz 3 (metod zsłnini plcem) Pozostłe wrtości bezwzględne nie sprwiją kłopotu, zerują się dl liczb,, Liczby te dzielą oś n przedziły: (, 3), 3, ),, ),,),, ) ) ) (, 3 ( ) ( ) 3 b) 3, ) ( ) ( ) 3 9
c), ) ( ) d),) ( ) Równnie przyjęło prostszą postć, któr w rozptrywnym przedzile sprowdz się do równni: ( ),) e), ) W rozptrywnym przedzile możn opuścić wrtość bezwzględną, więc: Podsumowując przypdki widzimy, że równnie m jedno rozwiąznie Przykłd 53 Rozwiązć nierówność: Podobnie jk w poprzednim przykłdzie, znjdujemy liczby dl których wrtości bezwzględne zerują się Problem może sprwić wyrżenie Aby się z nim uporć nleży rozwiązć równnie Było to zrobione wcześniej (Punkt 4), rozwiązniem są liczby z przedziłu, W tkim rzie dl liczb z przedziłu, zgnieżdżon wrtość bezwzględn będzie równy Mmy ztem cztery przedziły (wyznczją je trzy punkty,, ) (, ),, ),,),, ) ) ) (, ( ) ( ) 4 Zuwżmy, że obie strony możn podzielić przez i w rozptrywnym przedzile sprowdzić nierówność do postci: (, ) (, ) (, ) ) (,
b), ) zgnieżdżon wrtość bezwzględn w tym przedzile zeruje się (,),) (,),) c),) jk poprzednio zgnieżdżon wrtość bezwzględn w tym przedzile zeruje się d), ) \{} z wyjątkiem dl kżdego zchodzi nierówność,, ) \{} (, ) Ztem nierówność wyjściow jest spełnion dl (, ),) (, ) (,) (, ) Co nleży zpmiętć? by rozwiązć równnie z wrtością bezwzględną nleży rozptrywć je w kilku przedziłch tk, żeby znk wrtości bezwzględnej możn było w rozptrywnym przedzile opuścić, przedziły te uzyskujemy dzieląc oś liczbową punktmi, w których wrtości bezwzględne się zerują, nierówności z wrtością bezwzględn rozwiązujemy identycznie jk równni, dzielimy oś n przedziły i opuszczmy wrtości bezwzględne dl poszczególnych przedziłów, nleży pmiętć, że z kżdym rzem porównujemy przedził rozwiązujący z przedziłem gdzie rozwiązni szukmy Co pondto wrto wiedzieć? Równni z wrtością bezwzględną i prmetrem Do tej pory spotykliśmy się z równnimi, które nleżło rozwiązć tzn wskzć zbiór liczb (może to być nwet zbiór pusty), o tkiej włsności, że kżd liczb z tego zbioru podstwion w miejsce niewidomej zmieni równnie w zdnie prwdziwe (w sensie logicznym) Zuwżyliśmy przy tym, że już proste równni z wrtością bezwzględną mogą mieć jedno, kilk lub nie mieć wcle rozwiązń Tym rzem pytnie postwimy inczej Nie będzie ns interesowło smo rozwiąznie le wrunki, które muszą być spełnione by to rozwiąznie istniło lbo istniło kilk rozwiązń lbo rozwiązń nie było wcle Weźmy równnie i zpytjmy, kiedy to równnie posid rozwiąznie lbo precyzyjniej, dl jkiej wrtości prmetru równnie posid rozwiąznie? N pierwszy rzut ok widć, że dl równnie sprowdz się do postci, któr m nieskończenie wiele rozwiązń (wszystkie ) Jeżeli będzie różne od np, nleży skorzystć z definicji wrtości bezwzględnej:
, ( ), ) Dl, ) Jeżeli to otrzymujemy sprzeczność czyli b) Dl (, ) Jeżeli to liczb (, ), ztem mmy jedno rozwiąznie Jeżeli to liczb (, ) więc jest brk rozwiązń Podsumowując widzimy, że w zleżności od wrtości prmetru rozptrywne równnie może mieć jedno rozwiąznie, nieskończenie wiele rozwiązń lub może nie mieć ich wcle Odnjdywnie i rozptrywnie poszczególnych przypdków, kiedy równnie posid określoną liczbę rozwiązń nzyw się dyskusją rozwiązń w zleżności od prmetru Zwykle zdni, w których tką dyskusję nleży przeprowdzi są trudniejsze od zdń, w których wystrczy rozwiązć konkretne równnie Przeprowdzić dyskusję rozwiązń równni m m m w zleżności od wrtości prmetru ) Jeżeli m to równnie nie m oczywiście rozwiązń gdyż po stronie prwej mmy liczbę ujemną, po stronie lewej dodtnią b) Jeżeli m równnie m jedno rozwiąznie, jest to c) Jeżeli m równnie m dw rozwiązni, gdyż pytmy wtedy o liczbę, któr odległ jest n osi od o m Jk widomo są dwie tkie liczby po przeciwnych stronch Zdni przeznczone do smodzielnego rozwiązni Rozwiązć nstępujące równni: ) b) 3 3 c)
d) 3 e) 3 f) g) 4 4 h) i) j) 6 9 3 Rozwiąż nierówności ) b) c) d) e) f) g) 3 3 h) i) j) 3