Zadania z matematyki na egzamin wst pny na studia II stopnia

Zadania z matematyki na egzamin wst pny na studia II stopnia Wydziaª MIiM UW ostatnie poprawki: 9 maja Spis tre±ci Wst p Analiza Matematyczna i Równania Ró»niczkowe Geometria z Algebr Liniow i Algebra 9 3 Topologia z elementami Teorii Mnogo±ci 3 4 Rachunek Prawdopodobie«stwa z elementami Statystyki 5 5 Przykªady rozwi zanych zada«9 Wst p Egzamin trwa co najmniej minut i skªada si z siedmiu zada«wybranych z poni»szego zestawu: trzech z cz ±ci pierwszej, dwóch z cz ±ci drugiej, jednego z cz ±ci trzeciej i jednego z cz ±ci czwartej. Zadania wybierane s tak, aby tematyka obj tego nimi materiaªu byªa mo»liwie najszersza. Podczas egzaminu nie wolno posªugiwa si telefonami komórkowymi, kalkulatorami, laptopami, palmtopami itp. Wszystkie odpowiedzi nale»y uzasadni. Rozwi zania ka»dego zadania punktowane s w skali. Wynik ka»dego zdaj cego jest sum zdobytych przeze«punktów. Nie s wystawiane oceny w tradycyjnej skali, a na»yczenie kandydata wydaje si tylko za±wiadczenia o liczbie zdobytych punktów. Ranking kandydatów tworzony jest w kolejno±ci uzyskanych wyników. Analiza Matematyczna i Równania Ró»niczkowe. Poda przykªad funkcji f : R R, która nie jest ci gªa w»adnym punkcie swojej dziedziny, oraz przykªad takiej funkcji f : R R, która jest ci gªa w dokªadnie jednym punkcie swojej dziedziny.. Udowodni,»e je±li funkcja f : R R jest wielomianem nieparzystego stopnia, to dla ka»dej liczby y R istnieje taka liczba x R,»e f(x) = y. Wykaza,»e nie jest to prawd dla»adnego wielomianu stopnia parzystego. 3. Poda przykªad takiej funkcji f : R R,»e dla ka»dej liczby δ > zachodzi inkluzja f ( [ δ, δ] ) [, ]. 4. Znale¹ wszystkie punkty ci gªo±ci funkcji f : R R, { yx e yx, dla x ; f(x, y) = dla x =. 5. Udowodni,»e je±li funkcja f : [, + ) R jest ci gªa i ma asymptot w +, czyli gdy istniej takie liczby a, b R,»e lim x ( f(x) (ax + b) ) =, to f jest jednostajnie ci gªa. 6. Znale¹ pochodn funkcji f(x) = ( + sin x) x, x R.

7. Poda przykªad funkcji ci gªej w (a, b) i nieró»niczkowalnej w ustalonych punktach a < x < x < < x n < b, n, ale ró»niczkowalnej w ka»dym przedziale (a, x ), (x n, b), (x i, x i+ ), i =,..., n. 8. Sformuªowa i udowodni twierdzenie Rolle'a. Poda przykªad funkcji f : R R, która jest ró»niczkowalna, ±ci±le rosn ca i speªnia warunek: f (a) = dla niesko«czenie wielu a R. 9. Dowie±,»e arctg x + arctg x +x = π 4 dla x >.. Niech f : R R b dzie funkcj ci gª, za± a < b liczbami rzeczywistymi. Udowodni,»e je±li g : R R jest okre±lona wzorem g(x) = b a f(x + t) dt, to funkcja g jest ró»niczkowalna i równo± g (x) = f(x + b) f(x + a) zachodzi dla ka»dej liczby rzeczywistej x.. Niech f(x) = 5 x + 3 x + 5 dla x R. Wykaza,»e f przyjmuje warto± najmniejsz i znale¹ t warto±.. Znale¹ maksimum obj to±ci sto»ka wpisanego w kul o promieniu. 3. Znale¹ minimum obj to±ci sto»ka opisanego na kuli o promieniu. 4. Niech Znale¹ ϕ (x) dla x R. Niech f(x) = ϕ(x) = { sin x, x ;, x =, { dla x =, x cos x dla x. g(x) = { sin x, x ;, x =. Wykaza,»e funkcja f jest pochodn pewnej funkcji ró»niczkowalnej na caªej prostej R, a funkcja g nie jest pochodn»adnej funkcji ró»niczkowalnej na caªej prostej. 5. Niech f(x) = 3x 4 4x 3 36x. Znale¹ lokalne ekstrema i kresy funkcji f na przedziale [, 4 ] oraz na przedziale [, 5 ]. 6. Niech h(x, y) = ay(e x )+x sin x cos y dla x, y R. Wykaza,»e h ma ekstremum lokalne w punkcie (, ) wtedy i tylko wtedy, gdy a (, ). 7. Znale¹ punkty zerowania si gradientu funkcji f danej wzorem f(x, y) = x 4 y 4 4xy x dla (x, y) R, a nast pnie wyja±ni, w których z nich funkcja f ma lokalne ekstrema. 8. Niech A = {(x, y, z) R 3 : 5x + 5y z = i x + y + 3z = }. Znale¹ kresy górny i dolny funkcji f zdeniowanej wzorem f(x, y, z) = x + y + z na zbiorze A. 9. Niech H = {(x, y, z) R 3 : x + y z + 4 = }. Znale¹ w zbiorze H punkt, którego odlegªo± od punktu (, 4, ) jest najmniejsza.. Niech A = {(x, y, z) R 3 : x + y + z =, xy + yz + zx + = }. Znale¹ kresy górny i dolny funkcji f zdeniowanej wzorem f(x, y, z) = x + y 3z na zbiorze A.. Znale¹ najmniejsz i najwi ksz warto± iloczynu xyz przy zaªo»eniu,»e x + y + z = i x + y + z = 36.. Niech A = { (x, x,..., x ) R : i<j } x i x j = 45, x, x,..., x i niech f(x, x,..., x ) = x + x + + x. Znale¹ kres górny i kres dolny funkcji f na zbiorze A; wskaza, który z nich jest osi gany.

3. Wykaza,»e szereg n 3 q n, gdzie q R, jest zbie»ny wtedy i tylko wtedy, gdy q (, ). n= 4. Zdeniowa poj cia szeregu zbie»nego i szeregu zbie»nego bezwzgl dnie. Dla jakich a R szereg ( ) n n= jest zbie»ny, a dla jakich jest zbie»ny bezwzgl dnie? 5. Wykaza,»e szereg n= jest zbie»ny, ale nie jest zbie»ny bezwzgl dnie. 6. Wykaza,»e szereg n a ( π sin cos(πn) n) n= jest zbie»ny wtedy i tylko wtedy, gdy p >. 7. Udowodni,»e 8. Udowodni,»e szereg n= n(ln n) p n(n + ) =. n α ( n 3 ), α R, n= jest zbie»ny wtedy i tylko wtedy, gdy α <. 9. Sformuªowa warunek Cauchy'ego zbie»no±ci szeregu. Dane s trzy szeregi liczb rzeczywistych n= a n, n= b n i n= c n, przy czym a n < b n < c n dla wszystkich n N. Wiadomo,»e szeregi n= a n i n= c n s zbie»ne. Wykaza,»e szereg n= b n te» jest zbie»ny. 3. Dane s dwa szeregi zbie»ne liczb rzeczywistych n= a n = A, n= c n = C, przy czym a n < c n dla wszystkich n N. Niech B (A, C); skonstruowa taki szereg zbie»ny n= b n,»e a n < b n < c n dla wszystkich n N i n= b n = B. 3. Rozwin funkcj f(x) = ln( x) w szereg pot gowy o ±rodku w zerze. Wykaza,»e otrzymany szereg jest zbie»ny jednostajnie na przedziale (, ), ale nie jest zbie»ny jednostajnie na przedziale (, ). 3. Poda przykªad funkcji ró»niczkowalnej f : R R 3, dla której f(r ) jest torusem. 33. Znale¹ równanie pªaszczyzny stycznej do powierzchni M w punkcie p M, je±li (a) M = {(x, y, z) R 3 : x + y + 3z = 6}, p = (,, ) M. (b) M ma parametryzacj za± p = (,, π) M. f(u, v) = (u cos v, u sin v, v), u >, v R, 34. Obliczy granic π lim n + n x sin x dx. 3

35. Obliczy granic 36. Wykaza,»e π lim n + (, ) (, ) sin n x + x dx. dx dy xy = n. n= 37. Zbada, czy funkcja f(x, y) = ( xy ) jest caªkowalna na kwadracie (, ) (, ). 38. Wykaza,»e + sin x lim dx =. n + xn+ 39. Poda przykªad funkcji ci gªej na przedziale [a, b], która jest nieró»niczkowalna tylko w jednym punkcie przedziaªu (a, b) i nie speªnia tezy twierdzenia Lagrange'a o warto±ci ±redniej. 4. Niech f(x) = x + sin ( ln (/x) ) dla x. Wykaza,»e f(x) f(y) 3 x y dla wszystkich x, y. 4. Funkcja ci gªa f : [, ] R jest ró»niczkowalna na (, ], przy czym istnieje sko«czona granica lim x + f (x). Wykaza,»e f ma pochodn prawostronn w zerze. 4. Wykaza,»e funkcje f(x) = ln ( + x) i g(x) = x/( + x) speªniaj nierówno± f(x) > g(x) dla x >. 43. Wykaza,»e + x ln ( x + + x ) + x dla wszystkich x R. 44. Udowodni,»e odwzorowanie Φ : [, + ) R, Φ(x) = ln (x + ), ma dokªadnie jeden punkt staªy α >. Wykaza,»e dla dowolnego x ci g zadany wzorem rekurencyjnym x n+ = ln (x n + ) jest zbie»ny do α. 45. Udowodni,»e dla liczb dodatnich a i b, takich,»e a+b =, zachodz nierówno±ci a 3 +b 3 4, a 4 + b 4 8. 46. Korzystaj c z wkl sªo±ci odpowiedniej funkcji udowodni nierówno± Younga xy xp p + yq q Nast pnie udowodni nierówno± Höldera: n ( n x i y i i= i= x p i dla x, y, p, q >, p + q =. ) /p ( n ) /q y q i dla x i, y i, p, q >, 47. Udowodni,»e je±li < p, to dla dowolnych x, y R zachodzi 48. Wykaza,»e ci g a n := ma granic równ π/4. i= x p + y p x + y p. n + n + n + n + + n n, n =,,... + n p + q =. Wskazówka. Ci g a n jest ci giem sum caªkowych pewnej funkcji f : [, ] R. 4

49. Wykaza,»e ci g a n := n ( + n + ma granic równ. + n +... + ), n =,,... n + n Wskazówka. Ci g a n jest ci giem sum caªkowych pewnej funkcji f : [, ] R. 5. Wykaza,»e ci g ma granic równ 4e. a n := n n (n + )(n + ) (n + n), n =,,... Wskazówka. Ci g log a n jest ci giem sum caªkowych pewnej funkcji f : [, ] R. 5. Znale¹ dwa trójk ty równoboczne o sumie pól równej, których suma obwodów jest maksymalna. 5. Znale¹ punkty przegi cia krzywych y = e x i y = xe x. 53. Obliczy warto± caªki oznaczonej 54. Udowodni,»e xn sin x dx < n+ π e t sin t dt. dla n N. 55. Warto± caªki I = e x dx przybli»ono, korzystaj c z prostej kwadratury trapezów, liczb T = ( + e ). Wykaza,»e bª d bezwzgl dny I T tego przybli»enia speªnia nierówno± I T 6. 56. Wyznaczy tak trójk liczb rzeczywistych a, b, c,»eby dla dowolnego wielomianu w stopnia nie wi kszego ni» speªniona byªa zale»no± w(x) x dx = aw() + bw(/) + cw(). 57. Dla rzeczywistych x i y obliczamy a = x y oraz b = xy, stosuj c algorytm: p := x y; q := x + y; a = p q; b = (x y); Uzasadni,»e ten algorytm jest numerycznie stabilny. 58. Funkcja f : [a, b] (, + ) jest ci gªa. Okre±lamy now funkcj ψ : (a, b) R, ψ(t) = b a (x t) f(x) dx. Wykaza,»e funkcja ψ osi ga na (a, b) swoje minimum. W jakim punkcie? Scharakteryzowa ten punkt w terminach wyj±ciowej funkcji f. 59. Obliczy dªugo± jednej fali cykloidy t (t sin t, cos t), t π. 6. Obliczy dªugo± asteroidy x /3 + y /3 =, gdzie (x, y) R. 6. Wykaza,»e dªugo± elipsy x + y = jest równa dªugo±ci jednej peªnej fali wykresu sinusoidy x sin x, x π. 6. Obliczy dªugo± wykresu funkcji f(x) = 3( x + ) 3/, x [, ]. 63. Dla jakich α > funkcja f(x) = ( sin x) α jest caªkowalna na przedziale (, π )? 5

64. Dowie± zbie»no±ci caªki niewªa±ciwej + ln x dx. +x 65. Dowie± zbie»no±ci caªki niewªa±ciwej + 66. Czy istnieje sko«czona caªka niewªa±ciwa π 67. Czy funkcja f(x) = x( x) cos x x dx. ln(sin x) dx? jest caªkowalna na (, )? 68. Obliczy obj to± elipsoidy powstaªej przez obrót elipsy wokóª osi Ox. x a + y b, z =, 69. Obliczy pole gury pªaskiej ograniczonej przez p tl krzywej y = x + x 3. Wskazówka. Podstawienie y = tx pozwala znale¹ parametryzacj caªej krzywej parametrem t. 7. Obliczy pole gury w R zawartej mi dzy osi Ox i jedn peªn fal cykloidy x(t) = t sin t, y(t) = cos t, t π. 7. Wykaza,»e funkcja f(x, y) = cos x cos y nie jest caªkowalna na kwadracie ( π, π ) ( π, π ). 7. Wykaza,»e funkcja f(x, y) = x y jej caªk po tym kwadracie. x +y jest caªkowalna na kwadracie (, ) (, ) i obliczy 73. Wykaza,»e funkcja f(x, y) = x y (x +y ) nie jest caªkowalna na kwadracie (, ) (, ). 74. Poda przykªad dyfeomorzmu klasy C, który przeprowadza zbiór {(x, y) R : < x + y <, x < y < x} na kwadrat {(x, y) R : x <, y < }. 75. Poda przykªad dyfeomorzmu klasy C, który przeprowadza zbiór {(x, y) R : < x + y < } na zbiór {(x, y) R : x + y > }. 76. Wykaza,»e funkcja ( f(x, y) = 3 + ) e x y x 3 y jest caªkowalna na R, a jej caªka po R jest równa. 77. Obliczy pole gury pªaskiej ograniczonej przez lemniskat Bernoulliego ( x +y ) = x y. 78. Krzywa zwana kardioid ma opis parametryczny x(t) = cos t cos t, y(t) = sin t sin t, t π. Obliczy dªugo± kardioidy. 79. Krzywa zwana kardioid ma opis parametryczny x(t) = cos t cos t, y(t) = sin t sin t, t π. Obliczy pole obszaru w R ograniczonego t krzyw. 8. Obliczy granic lim x + x 3x. 8. Sformuªowa twierdzenie o ró»niczkowaniu szeregów pot gowych. Wykaza,»e n x n = n= x( + x) ( x) 3 dla wszystkich x (, ). 8. Niech f(x) = x ln x dla x >. Znale¹ lokalne ekstrema funkcji f oraz jej kres dolny i górny. Zbada, na jakich przedziaªach f jest wypukªa, a na jakich wkl sªa. Naszkicowa wykres tej funkcji. 6

83. Znale¹ rozwini cie Taylora w punkcie x = do wyrazów drugiego rz du, z reszt w postaci Lagrange'a funkcji f(x) = sin(π/x), x. 84. Znale¹ wszystkie lokalne minima i maksima funkcji f : R R, zadanej wzorem f(x, y) = ( + e y ) cos x + ye y. 85. Znale¹ równanie pªaszczyzny stycznej do powierzchni opisanej równaniem w punkcie (,, ). x + y z 3 + xyz = 86. Znale¹ kres dolny i górny funkcji f(x, y, z) = xyz na sferze jednostkowej {(x, y, z) R 3 : x + y + z = }. 87. Znale¹ kres górny i dolny funkcji f(x, y) = x 3 + y 3 na zbiorze {(x, y) R : x + y }. ( 88. Korzystaj c z twierdzenia Fubiniego obliczy e dx) x. Nast pnie, u»ywaj c otrzymanego wyniku, znale¹ warto± funkcji Γ Eulera, w punkcie s =. Γ(s) := R t s e t dt 89. Zbada, czy funkcja F : R R okre±lona wzorem { x 3 dla (x, y) (, ), F (x, y) = x +y dla (x, y) = (, ) jest ró»niczkowalna w punkcie (, ). 9. Wykaza,»e funkcja f : R R okre±lona wzorem f(x, y) = e x y (e x ) jest ró»niczkowalna w punkcie (a, b) R wtedy i tylko wtedy, gdy e a b lub a =, b =. 9. Wykaza,»e je±li ci g liczb rzeczywistych a n jest zbie»ny do sko«czonej granicy a, to a + a + + a n lim n + n = a. Poda przykªad, który ±wiadczy,»e twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. 9. Sformuªowa nierówno±ci mi dzy ±rednimi: arytmetyczn, geometryczn i harmoniczn liczb dodatnich a,..., a n. Udowodni,»e dla ka»dych liczb naturalnych k i m zachodzi nierówno± k+m k m m k k + m 93. Sformuªowa nierówno±ci mi dzy ±rednimi: arytmetyczn, geometryczn i harmoniczn liczb dodatnich a,..., a n. Udowodni,»e dla ka»dych liczb naturalnych k i m zachodzi nierówno± k+m k k m m k + m Uwaga: Wszystkie rozwi zania równa«ró»niczkowych w zadaniach 94 rozwa»ane s na maksymalnym przedziale, na którym mo»na je okre±li. 94. Znale¹ wszystkie rozwi zania równania dx dt = 3 x speªniaj ce warunek x() =. 7..

95. Znale¹ wszystkie rozwi zania równania dx dt = x. 96. Du»y garnek ±wie»o ugotowanej zupy o temperaturze C chªodzony jest w bie» cej wodzie o temperaturze 5 C; zupa jest mieszana, wi c mo»na przyj,»e jej temperatura jest taka sama we wszystkich punktach garnka. W ci gu minut temperatura zupy obni»ona zostaªa do 6 C. Zakªadaj c,»e obowi zuje prawo stygni cia Newtona (szybko± zmniejszania si temperatury ukªadu jest proporcjonalna do ró»nicy temperatur mi dzy ukªadem a otoczeniem), obliczy, w jakim czasie garnek ostygnie do temperatury C. 97. Wykaza,»e je±li funkcja f : R n R n speªnia warunek Lipschitza, to rozwi zania równania = f(x) s okre±lone dla wszystkich t R. dx dt 98. Rozwi za równanie x + tx = e t sin t. 99. Rozwi za równanie tx = + x.. Rozwi za równanie tx = x(ln x ln t).. Rozwi za równanie x = x+t 6 x+t.. Niech A b dzie funkcj ci gª okre±lon na przedziale (a, b), a < b, której warto±ciami s macierze wymiaru n n. Udowodni,»e zbiór rozwi za«ukªadu równa«x = A(t)x jest przestrzeni liniow. Znale¹ jej wymiar. 3. Obliczy exp(ta), je±li ( (a) A = 4. Macierz ), (b) A = A = ( 6 4 3 ). ma dokªadnie dwie ró»ne warto±ci wªasne, obie nierzeczywiste, jej wyznacznik jest równy 5. Rozwi za ukªad równa«liniowych jednorodnych x = Ax. 5. Rozwi za ukªad równa«liniowych jednorodnych x = Ax, je±li 4 A =, 3 wiedz c,»e jedn z warto±ci wªasnych macierzy A jest liczba 3, dwie nast pne nie s rzeczywiste, a wyznacznik A jest równy 3. 6. Udowodni,»e dziedzina ka»dego rozwi zania ukªadu równa«dx dt = x(x + xy + ), dy dt = y(y + xy + ). zawiera póªprost (, ] oraz»e ka»de rozwi zanie tego ukªadu speªnia warunek ( x(t) + y(t) ) =. lim t 7. A jest macierz wymiaru n n, której wszystkie warto±ci wªasne maj ujemne cz ±ci rzeczywiste. Funkcja x: R R n jest dowolnym rozwi zaniem ukªadu: x (t) = Ax(t). Udowodni,»e lim t x(t) =. 8

8. A jest macierz wymiaru n n. Cz ± rzeczywista jednej z jej warto±ci wªasnych jest dodatnia. Udowodni,»e dla dowolnej liczby δ > istnieje taka funkcja x: R R n,»e: x (t) = Ax(t) oraz x() < δ i nie jest prawd,»e lim t x(t) =. 9. Niech H : R R b dzie funkcj klasy C. Rozwa»amy ukªad równa«x = H y, y = H x. Zaªó»my, (»e ) grad H() =. Udowodni,»e dla dowolnej liczby ( δ > istnieje takie rozwi zanie x(t), y(t),»e x(), y() < δ i nie jest prawd,»e limt x(t) + y(t) ) =.. Znale¹ rozwi zanie ogólne równania. Znale¹ rozwi zanie ogólne równania x (5) + x (4) + x (3) + 4x + x + x = e t. x (t) + 3x (t) + x(t) = e t + e t + sin t.. Znale¹ tak funkcj x zmiennej t,»e x (t) cos t x sin t = dla t ( π, π ) i x() =. Geometria z Algebr Liniow i Algebra 3. Czy istniej ciaªa charakterystyki 4? Ile rozwi za«ma równanie x 4 = w ciele charakterystyki? 4. Znale¹ wszystkie pierwiastki wielomianu x 6 w ciaªach R i C. 5. Niech V b dzie przestrzeni liniow nad ciaªem R, oraz v, v, v 3 V. Wykaza,»e zbiory wektorów {v + v, v + v v 3, 5x 3 } i {v, 4v, 6v 3 } rozpinaj t sam podprzestrze«liniow. 6. Wykaza,»e je±li zbiór {v, v,..., v n } jest baz pewnej przestrzeni liniowej V, to zbiór {v, v + v,..., v + v +... + v n } równie» jest baz tej przestrzeni. 7. Sprawdzi, które z poni»szych podzbiorów przestrzeni liniowej wszystkich funkcji z R w R s jej podprzestrzeniami liniowymi: a) zbiór wszystkich funkcji przyjmuj cych w punkcie warto± 7, b) zbiór wszystkich funkcji maj cych co najwy»ej sko«czenie wiele punktów nieci gªo±ci, c) zbiór wszystkich funkcji przyjmuj cych warto± poza zbiorem sko«czonym (zale»nym od funkcji). 8. Niech W b dzie podprzestrzeni liniow przestrzeni V nad ciaªem K i v V \W. Wykaza,»e je»eli dim ( lin{w {v}} ) = dim W, to wymiar przestrzeni V jest niesko«czony. 9. Znale¹ baz podprzestrzeni lin{(,, 3), (,, ), (,, ), (, 4, 6)} R 3. 3. Znale¹ macierze odwrotne (o ile istniej ) macierzy: 7 9, 5 3 4. 5. Obliczy wyznacznik macierzy. Zaªó»my,»e przeksztaªcenie liniowe f : R 3 R 3 ma w pewnych bazach macierz 7 9. 5 Wykaza,»e nie istniej takie bazy w R 3, w których f miaªoby macierz. 5 9

3. Niech przeksztaªcenie liniowe f : V V ma w bazie {v, v, v 3 } macierz A. Jak macierz ma f w bazie {v + v, v + v 3, v 3 }? 4. Niech f : V W b dzie przeksztaªceniem liniowym. Wykaza,»e j dro ker f i obraz Im f s podprzestrzeniami liniowymi oraz dim V = dim ker f + dim Im f. 5. Wyznaczy zbiór rozwi za«ukªadu równa«(nad ciaªem R) w zale»no±ci od parametru t R. x x + 3x 3 4x 4 = 5 x + x + 3x 3 + 4x 4 = 4x + x 3 = t 6. Niech a, b, c R. Zaªó»my,»e zbiór rozwi za«ukªadu równa«ax + bx = c ax + cx 3 = b bx + cx 3 = a jest jednoelementowy. Wykaza, ze abc i znale¹ rozwi zanie powy»szego ukªadu. 7. Znale¹ macierz przeksztaªcenia sprz»onego do f(x, y) = (x y, x) w bazie (R ) sprz -»onej do bazy {(, ), (, )} przestrzeni R. 8. Wyznaczy posta Jordana macierzy 4 4. 9. Poda denicj wielomianu charakterystycznego endomorzmu f sko«czenie wymiarowej przestrzeni liniowej V nad ciaªem K. Uzasadni,»e denicja ta nie zale»y od wyboru bazy w przestrzeni V. 3. Poda denicj ±ladu endomorzmu f sko«czenie wymiarowej przestrzeni liniowej V nad ciaªem K. Wykaza,»e denicja ta nie zale»y od wyboru bazy w przestrzeni V. 3. Niech f b dzie niezerowym endomorzmem przestrzeni liniowej V takim,»e f 3 jest odwzorowaniem zerowym. Wykaza,»e nie istnieje baza, w której f ma macierz diagonaln. 3. Sprawdzi, czy zbiory punktów {(,, ), (,, ), (3,, )} i {(,, ), (3,, ), (3,, )} rozpinaj w R 3 t sam podprzestrze«aniczn. 33. Poda wzór na obrót pªaszczyzny R o k t π 4 wokóª punktu (, ). 34. Forma dwuliniowa ξ : R 3 R 3 R ma w bazie standardowej macierz 4. Obliczy ξ((,, ), (,, )). 35. Sprawdzi, czy forma dwuliniowa zadana w bazie standardowej macierz 4 4 4 zadaje na R 3 pewien iloczyn skalarny.

36. Które spo±ród przeksztaªce«liniowych zadanych w bazie standardowej macierzami 3, 3, s izometriami przestrzeni R 3 ze standardowym iloczynem skalarnym? 37. Znale¹ w wybranej przez siebie bazie macierz rzutu prostopadªego R 3 (ze standardowym iloczynem skalarnym) na podprzestrze«opisan równaniem x + x 3x 3 =. Poda wektory tej bazy. 38. Rozwa»my przestrze«r n ze standardowym iloczynem skalarnym. Wykaza,»e je±li przeksztaªcenie liniowe f : R n R n zachowuje prostopadªo± wektorów, to istnieje g : R n R n zachowuj ce iloczyn skalarny i takie,»e f = cg dla pewnej staªej c R. 39. Obliczy obj to± czworo±cianu, który ma wierzchoªki w punktach (,, ), (,, ), (,, ) i (,, ) przestrzeni R 3. 4. Obliczy odlegªo± punktu (,, ) od pªaszczyzny opisanej równaniem x + x + x 3 = 5. 4. Zastosowa algorytm ortogonalizacji GramaSchmidta do ukªadu wektorów (,, ), (3, 3, ), (, 6, 6) przestrzeni euklidesowej R 3 ze standardowym iloczynem skalarnym. 4. Dla jakich warto±ci parametru t R hiperpowierzchnie rzeczywiste opisane równaniami: 5x + 3x + 6x x + 4x x 3 + 4x + 4x 3 + 8 = oraz x + x + (t + )x 3 4x + = s równowa»ne anicznie? 43. Obliczy pole trójk ta o wierzchoªkach w punktach (,, 3), (, 3, 5), (,, 3). 44. Wykaza,»e dowolna symetryczna macierz rzeczywista jest diagonalizowalna, a ka»de dwa wektory wªasne takiej macierzy odpowiadaj ce jej ró»nym warto±ciom wªasnym s prostopadªe. 45. Niech V bedzie przestrzeni liniow wielomianów rzeczywistych stopnia co najwy»ej n. Dla jakich w V zbiór {w, w, w,..., w (n) } jest baz V? 46. Znale¹ wielomian f stopnia 4 o wspóªczynnikach rzeczywistych, dla którego f() = 5, f () = 9, f () = 4, f (3) () = 48, f (4) () = 4. 47. Czy istnieje wielomian w stopnia 4 o wspóªczynnikach rzeczywistych taki,»e w() = w() = w() = w(3) = w(4) =, w(5) = 5? 48. Czy dla dowolnych dwóch parabol na pªaszczy¹nie istnieje podobie«stwo, które przeprowadza jedn z nich na drug? 49. Niech V b dzie przestrzeni liniowa wielomianów jednej zmiennej stopnia co najwy»ej n nad ciaªem R, za± ϕ : V V odwzorowaniem ró»niczkowania. Wykaza,»e ϕ jest liniowe. Znale¹ baz, w której ϕ ma macierz w postaci Jordana. Poda t macierz. 5. Dany jest równolegªobok o przek tnych u i v. Wpisano w niego romb o bokach równoleg- ªych do u i v. Wykaza,»e dªugo± boku tego rombu jest równa u v u + v. 5. Znale¹ wielomian w mo»liwie niskiego stopnia, który przyjmuje warto±ci: Obliczy w (). w() =, w() = 3, w() = 5, w(3) =, w(4) =.

5. Dla danego niezerowego v R 4 okre±lamy macierz H = I v T v vvt, gdzie I jest macierz identyczno±ciow. Wykaza,»e H = H T = H. Wskaza taki wektor v,»eby przeksztaªcenie, które w standardowej bazie R 4 ma macierz H, przeprowadzaªo wektor (,,, ) T na pewien wektor równolegªy do wektora (,,, ) T. 53. Znale¹ wszystkie wektory i warto±ci wªasne macierzy A = ( ) 3. 4 Wykaza,»e ci g zadany wzorem rekurencyjnym x n+ = Ax n, gdzie x = (3, ) T, jest zbie»ny do wektora (, ) T. 54. Niech f : R R b dzie zadana wzorem f(λ) = Ax λx, gdzie x jest niezerowym wektorem w R n, natomiast A jest kwadratow macierz rzeczywist wymiaru n. Wykaza,»e minimum f jest osi gane dla λ = xt Ax x T x. 55. Wykaza,»e ka»da grupa sko«czona jest izomorczna z podgrup pewnej grupy permutacji. 56. Niech p b dzie liczb pierwsz. Wykaza,»e dla dowolnego x Z jest x p p x. 57. Niech G b dzie sko«czon grup cykliczn. Wykaza,»e je»eli n dzieli G, to w G istnieje element rz du n. Ile jest takich elementów? 58. Poda przykªad grupy sko«czonej G i liczby naturalnej n takiej,»e n dzieli G, ale w G nie ma elementu rz du n. 59. Wykaza,»e je»eli grupa G zawiera dokªadnie jeden element rz du n, to n = lub n =. 6. Wykaza,»e ka»da grupa, której rz d jest liczb pierwsz jest cykliczna. Opisa, z dokªadno±ci do izomorzmu, wszystkie obrazy homomorczne grupy cyklicznej rz du 36. 6. Wykaza,»e je»eli a n = e, gdzie e oznacza element neutralny w grupie G, to rz d a dzieli n. Obliczy ilo± elementów rz du 6 w grupie S 3 C, gdzie S 3 oznacza grup permutacji zbioru 3elementowego, za± C oznacza elementow grup cykliczn. 6. Niech G b dzie grup. Wykaza,»e odwzorowanie f : G G G dane wzorem f(a) = (a, a) jest homomorzmem grup wtedy i tylko wtedy gdy G jest grup abelow. 63. Wykaza,»e grupa (Z Z)/H, gdzie H = {(a, b) Z Z a + 6b = }, jest izomorczna z grup liczb caªkowitych Z. 64. Czy istnieje dziaªanie grupy -elementowej na zbiorze liczb caªkowitych maj ce co najmniej jedn orbit 5elementow? 65. Wykaza,»e zbiór wszystkich automorzmów wewn trznych grupy G tworzy podgrup normaln w grupie wszystkich automorzmów grupy G. 66. Wykaza,»e ka»da grupa rz du 4 jest abelowa. Uwaga: W zadaniach 6773 sªowo pier±cie«oznacza zawsze pier±cie«przemienny z. 67. Wykaza,»e w pier±cieniu sko«czonym R ka»dy element, który nie jest dzielnikiem zera, jest odwracalny. Wskaza przykªad pier±cienia i elementu nie b d cego dzielnikiem zera, który nie jest odwracalny. 68. Znale¹ najwi kszy wspólny dzielnik wielomianów x 6 +x+, x +x+ w pier±cieniu Z [x].

69. Zbada nierozkªadalno± wielomianu x 5 + 4x 4 + x + 4 w ka»dym z pier±cieni C[x], R[x], Q[x], Z[x]. 7. Wykaza,»e Z[i 5] nie jest dziedzin z jednoznaczno±ci rozkªadu. 7. Niech R b dzie dziedzin. Dla elementów a, b R zdeniowa ich najwi kszy wspólny dzielnik N W D(a, b). Wykaza,»e je»eli R jest dziedzin ideaªów gªównych, to zachodzi wzór NW D(a, b)r = ar + br, gdzie cr oznacza ideaª generowany przez element c R. 7. Wykaza,»e pier±cie«r[x]/((x + )x) zawiera niezerowe dzielniki zera, ale nie zawiera niezerowych elementów nilpotentnych. 73. Wykaza,»e je»eli f : R T jest homomorzmem pier±cieni i I jest ideaªem w T, to przeciwobraz f (I) jest ideaªem w R. Niech J b dzie ideaªem w R. Czy f(j) musi by ideaªem w T? 3 Topologia z elementami Teorii Mnogo±ci 74. Niech (X, d) b dzie przestrzeni metryczn. rednic zbioru A X nazywamy liczb δ(a) = sup{d(x, y) : x, y A}. Wykaza,»e δ(a) = δ(a) dla dowolnego A X. 75. Niech (X, d) b dzie przestrzeni metryczn. Wykaza,»e dla a X funkcja f a : X R okre±lona wzorem f a (x) = d(a, x) jest ci gªa. 76. Na zbiorze C([, ]) funkcji ci gªych z przedziaªu [, ] w R okre±lamy metryki d (f, g) = f(t) g(t) dt, d (f, g) = sup f(t) g(t). t [,] Niech τ i b dzie topologi w C([, ]) generowan przez d i, i =,. Wykaza,»e τ τ i τ τ. 77. Niech L C([, ]) b dzie podzbiorem funkcji postaci f a (t) = at, a R. Wykaza,»e metryki d i d okre±lone w poprzednim zadaniu generuj na zbiorze L takie same topologie. 78. Poda przykªad przestrzeni metrycznej, której topologia nie ma przeliczalnej bazy. 79. Poda przykªad przestrzeni metrycznej, która nie jest homeomorczna z»adn podprzestrzeni przestrzeni euklidesowej R n (n =,,...). 8. Wykaza,»e dla ka»dego podzbioru A przestrzeni euklidesowej R n zbiór a A takich,»e a A \ {a} jest przeliczalny. 8. Okre±li ci gª bijekcj z przedziaªu (, ] R na okr g S R. Wykaza,»e nie istnieje ci gªa bijekcja z S na (, ]. 8. Niech f, g : X R b d przeksztaªceniami ci gªymi okre±lonymi na zwartej przestrzeni X i niech I x oznacza odcinek w R 3 ª cz cy punkt (cos(f(x)), sin(f(x)), ) z punktem (,, g(x)) (wraz z ko«cami). Wykaza,»e Z = x X I x jest zwartym podzbiorem R 3. 83. Wykaza,»e podzbiór A przestrzeniu euklidesowej R n jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy ka»da funkcja ci gªa f : A R jest ograniczona. 84. Niech A b dzie podzbiorem przestrzeni euklidesowej R n takim,»e R n \A jest nieograniczony. Wykaza,»e A jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy d(a, B) > dla ka»dego domkni tego zbioru B rozª cznego z A (gdzie d(a, B) = inf{d(a, b): a A, b B}, a d jest metryk euklidesow na przestrzeni R n ). 85. Niech Z = N, Z = {} { i : i =,,...}, Z = Z N. Wykaza,»e»adne dwie spo±ród podprzestrzeni Z, Z, Z prostej euklidesowej nie s homeomorczne. 3

86. Niech Z = N, Z = {} { i : i =,,...}, Z = Z N. Wykaza,»e podprzestrzenie Z Z i Z Z pªaszczyzny euklidesowej s homeomorczne. 87. Sformuªowa twierdzenie Baire'a. Wykaza,»e ka»da niepusta i przeliczalna przestrze«metryczna zupeªna ma punkt izolowany. 88. Sformuªowa twierdzenie Banacha o punkcie staªym. Niech (X, d) b dzie przestrzeni zupeªn, a T : X X funkcj tak,»e T (X) = X. Wykaza,»e je±li T jest rozszerzaj ce (tzn. istnieje r > takie,»e d(t (x), T (y)) rd(x, y) dla x, y X), to T ma dokªadnie jeden punkt staªy. 89. Dla A R, niech X(A) R b dzie sum odcinków (z ko«cami) ª cz cych punkt (, ) pªaszczyzny z punktami (a, ), a A. Wykaza,»e zbiór X(A) jest zupeªny w metryce euklidesowej wtedy i tylko wtedy, gdy jest zwarty. 9. Dla A R, niech X(A) R b dzie sum odcinków (z ko«cami) ª cz cych punkt (, ) pªaszczyzny z punktami (a, ), gdzie a A, i niech X (A) = {(x, y) R : (x, y) X(A)}. Wykaza,»e dla A, B R podzbiór pªaszczyzny euklidesowej X(A, B) = X(A) X (B) jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory A i B nie s rozgraniczone jako podzbiory prostej euklidesowej (tzn. (A B) (A B) ). 9. Wykaza,»e przedziaª [, ] R nie jest homeomorczny z okr giem S R. 9. Wykaza,»e nie istnieje ci gªa bijekcja z przedziaªu (, ) R na okr g S R. 93. Niech Z = { i : i =,,...}, Z = {} Z i niech I = (, ), I = [, ]. Wykaza,»e»adne dwie spo±ród podprzestrzeni Z I, Z I, Z I, Z I pªaszczyzny euklidesowej nie s homeomorczne. 94. Wykaza,»e je±li A R jest zbiorem przeliczalnym, to R \ A jest spójnym podzbiorem pªaszczyzny euklidesowej. 95. Zdeniowa bijekcj ϕ : A B zbioru A = {f N N : n N f(n) f(n + )} na zbiór B = {f N N : n N f(n) < f(n + )} (zakªadamy,»e N). 96. Wykaza,»e nie istnieje funkcja ci gªa f : R R taka,»e dla ka»dego r R zbiór f (r) ma dokªadnie dwa elementy. Wykaza,»e istnieje funkcja nieci gªa o tej wªasno±ci. 97. Wykaza,»e dla dowolnej funkcji f : R R zbiór punktów, w których f ma minimum lokalne wªa±ciwe, jest zbiorem co najwy»ej przeliczalnym (uwaga: przyjmujemy,»e f ma w punkcie x R minimum lokalne wªa±ciwe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ε > takie,»e f(x) > f(x ) dla wszystkich x R speªniaj cych warunek < x x < ε). 98. Niech a n oznacza liczb ci gów dªugo±ci n o wyrazach nale» cych do zbioru {,,, 3} maj cych parzyst liczb zer. Znale¹ denicj indukcyjn ci gu (a n ) n i wykaza,»e a n = (4n + n ). Wskazówka. Zauwa»y,»e 4 n a n jest liczb ci gów dªugo±ci n maj cych nieparzyst liczb zer. 99. Niech A n X (gdzie n =,,...) b d podzbiorami ustalonego zbioru X. Wykaza,»e ci g funkcji charakterystycznych ( An ) n jest zbie»ny punktowo do A wtedy i tylko wtedy, gdy A n = A. m N n>m A n = m N n>m 4

4 Rachunek Prawdopodobie«stwa z elementami Statystyki Uwaga: Dystrybuant zmiennej losowej X nazywamy funkcj F (t) = P(X t), t R.. Obliczy prawdopodobie«stwo tego,»e w nieograniczonym ci gu rzutów monet wypadnie seria OOOROORR, przy zaªo»eniu,»e orzeª wypada z prawdopodobie«stwem < p <.. W urnie znajduj si dwie kule jedna czarna i jedna biaªa. Wykonujemy nast puj cy niesko«czony ci g losowa«: wyci gamy z urny jedn kul, ogl damy j, wrzucamy z powrotem oraz dokªadamy do urny jedn kul biaª. Wyznaczy prawdopodobie«stwo tego,»e niesko«czenie wiele razy wyci gniemy czarn kul.. Trzech my±liwych, z których ka»dy traa do celu z prawdopodobie«stwem,8, strzeliªo do dzika. Jakie jest prawdopodobie«stwo tego,»e dzik zostaª traony? Je»eli wiadomo,»e dzik zostaª traony, to jakie jest prawdopodobie«stwo tego,»e traªo go co najmniej dwóch my±liwych? 3. W szuadzie znajduje si monet 9 symetrycznych, na których orzeª i reszka wypadaj z równym prawdopodobie«stwem oraz monet asymetrycznych, na których orzeª wypada trzy razy cz ±ciej ni» reszka. Z pudeªka wylosowano monet i rzucono ni 3 razy, uzyskuj c za ka»dym razem orªa. Obliczy prawdopodobie«stwo tego,»e wylosowana moneta jest niesymetryczna. 4. Urna zawiera pi kul: biaª, czarn, czerwon, niebiesk i zielon. Losujemy razy kul, za ka»dym razem zwracaj c j do urny. a) Jakie jest prawdopodobie«stwo tego,»e ka»da kula zostanie wylosowana przynajmniej raz? b) Jaka jest warto± oczekiwana liczby ró»nych kolorów, które otrzymamy? 5. Nauczyciel na ka»dej lekcji wybiera losowo do odpowiedzi dwóch uczniów i jedn uczennic. Wiedz c,»e w klasie, do której chodz Jacek i Agatka uczy si 8 chªopców i 8 dziewczynek znale¹ a) prawdopodobie«stwo tego,»e zarówno Jacek jak i Agatka b d odpowiada przynajmniej raz w czasie 5 pierwszych lekcji; b) warto± oczekiwan liczby dzieci wybranych do odpowiedzi w czasie 5 pierwszych lekcji. 6. Zmienna losowa X ma dystrybuant dla t <, F X (t) = 7 dla t < 4, 7 + t dla 4 t < 3 7, dla t 3 7. Obliczy P( < X < 3 7 ), P(X = ) oraz EX. 7. (a) Dla jakich warto±ci parametrów a, b R funkcja { b a dla t (t+) F (t) =, dla t < jest dystrybuant pewnej zmiennej losowej? (b) Niech X b dzie zmienn losow o dystrybuancie F postaci takiej jak w cz ±ci (a) z a = 4 i b =. Znale¹ dystrybuant zmiennej losowej Y =. Wykaza,»e zmienna Y ma g sto± i (X+) j obliczy. 8. Zmienna losowa X ma ci gª dystrybuant F. Wykaza,»e zmienna losowa F (X) ma rozkªad jednostajny na [, ]. 9. Z odcinka o dªugo±ci losujemy na chybiª traª (prawdopodobie«stwo geometryczne) i niezale»nie dwa punkty X i Y. Znale¹ g sto± rozkªadu odlegªo±ci pomi dzy X i Y. 5

. Zmienne losowe X, Y, Z s niezale»ne, przy czym X i Y maj standardowy rozkªad normalny, a Z rozkªad dwupunktowy P(Z = 3) = P(Z = 3) =. Wykaza,»e zmienna X + Y Z ma rozkªad normalny i zidentykowa parametry tego rozkªadu.. Zmienna losowa X ma g sto± g(x) = ax (,3) (x). Znale¹ a oraz obliczy warto± oczekiwan i wariancj zmiennej X.. Zmienne losowe X i Y s niezale»ne o wspólnym rozkªadzie jednostajnym na (, ). Znale¹ g sto± zmiennej losowej X Y. 3. Znale¹ g sto± zmiennej losowej X 4 + 5, gdy X ma rozkªad normalny ze ±redni i wariancj 5. 4. Obliczy EX 4, gdy X ma rozkªad normalny ze ±redni a i wariancj σ. 5. Zmienna losowa X ma rozkªad Poissona z parametrem. Obliczy warto± oczekiwan i wariancj zmiennej losowej e 3X. 6. Rzucamy par kostek, dopóki na której± z kostek nie pojawi si szóstka. Obliczy warto± oczekiwan i wariancj liczby wykonanych rzutów. 7. Zmienna losowe X i Y s takie,»e P(X =, Y = ) =, P(X =, Y = 3) = 4, P(X =, Y = ) = 5, P(X =, Y = 3) =. a) Czy X i Y s niezale»ne? b) Znale¹ EX, Var(X), EY, Cov(X, Y ). 8. Poda przykªad nieskorelowanych zmiennych losowych, które nie s niezale»ne. Wykaza,»e je±li wspóªczynnik korelacji zmiennych losowych X i Y jest równy, to istniej liczby a > i b takie,»e X = ay + b prawie na pewno. 9. Zmienne losowe X i Y s niezale»ne i maj rozkªad Poissona z parametrem 3. Obliczy a) P(X + Y = 7); b) P(XY ).. Zmienne losowe X i Y s niezale»ne. X ma rozkªad wykªadniczy z parametrem, a Y rozkªad wykªadniczy z parametrem 3. Obliczy a) P(X > Y ); b) P(X Y > t X > Y ), dla t R.. Niech (X, Y ) b dzie wektorem losowym z g sto±ci { 8xy x y, f(x, y) = w przeciwnym przypadku. Znale¹ g sto±ci rozkªadów X i Y. Obliczy kowariancj X i Y.. Zmienne losowe X i Y s takie,»e EX =, Var(X) =, EY = 3, Var(Y ) =, EXY = 5. Czy te informacje pozwalaj wyznaczy rozkªad zmiennej losowej X Y? 3. Rzucamy 36 razy symetryczn kostk. Jakie jest przybli»one prawdopodobie«stwo tego,»e otrzymamy co najmniej 7 szóstek? Wynik prosz wyrazi za pomoc dystrybuanty standardowego rozkªadu normalnego. 4. Losowania pewnej gry liczbowej odbywaj si raz na tydzie«, typuje je niezale»nie od siebie 6 osób. Dla ka»dego z graj cych prawdopodobie«stwo wygrania w pojedynczym losowaniu jest równe 3. a) Znale¹ przybli»one prawdopodobie«stwo tego,»e w ci gu trzech ustalonych tygodni b d ª cznie co najmniej dwie wygrane; b) Je±li wiadomo,»e w ci gu ustalonych czterech tygodni padªo w sumie wygranych, to jakie jest przybli»one prawdopodobie«stwo tego,»e w pierwszym z tych tygodni byªy dokªadnie 3 wygrane? 6

5. Zmienne losowe X, X,... sa niezale»ne i maj wspólny rozkªad jednostajny na odcinku (, ). Wykaza,»e X X X n d»y do zera prawie na pewno. 6. Zmienne losowe X, X,... sa niezale»ne i maj wspólny rozkªad taki,»e P(X n = ) = 3/4, P(X n = ) = /4. Wykaza,»e X +... + X n zbiega do + prawie na pewno. 7. Zmienne losowe X, X,... sa niezale»ne i maj wspólny rozkªad wykªadniczy z parametrem 3. Wykaza,»e ci g zmiennych losowych X +... + X n + 3n X +... + X n jest zbie»ny prawie na pewno i wyznaczy jego granic. 8. Niech X,..., X n b d niezale»nymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkªadzie z dystrybuant F, za± ˆF n (t) = n #{i n: X i t} oznacza dystrybuant empiryczn. Obliczy E ˆF n (x), Var ˆF n (x), Cov( ˆF n (x), ˆF n (y)). 9. Niech X,..., X n b d niezale»nymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkªadzie z dystrybuant F, za± ˆF n (t) = n #{i n: X i t} oznacza dystrybuant empiryczn. Pokaza,»e ci g zmiennych losowych n( ˆF n (x) F (x)) jest zbie»ny do rozkªadu normalnego. Zidentykowa parametry tego rozkªadu. 3. Niech X,..., X n b dzie próbk z rozkªadu o dystrybuancie F, za± X :n X :n X n:n b d statystykami porz dkowymi (pozycyjnymi). Wykaza,»e zmienna losowa X k:n ma dystrybuant n ( ) n P(X k:n x) = F (x) i ( F (x)) n i. i i=k 3. Mamy trzy skrzynie, ka»da napeªniona towarem pochodz cym z jednej z trzech fabryk. Wiemy, ze pierwsza fabryka wypuszcza 6% wadliwych towarów, druga %, a trzecia 4%. Losowo wybieramy jedn ze skrzy«(z jednakowym prawdopodobie«stwem /3), a nast pnie losowo wybieramy jedn sztuk towaru. a) Jakie jest prawdopodobie«stwo tego,»e wylosujemy produkt wadliwy? b) Widzimy,»e wybrana losowo sztuka towaru jest wadliwa. Jakie jest prawdopodobie«stwo tego,»e pochodzi z pierwszej fabryki? c) Widzimy,»e wybrana losowo sztuka towaru jest wadliwa. Odkªadamy j do skrzyni i losujemy drugi raz, wci» z tej samej skrzyni. Jakie jest prawdopodobie«stwo tego,»e za drugim razem wylosujemy produkt wadliwy? 3. Samoloty bombowe przedzieraj si przez dwie linie obrony przeciwlotniczej. Ka»dy samolot, niezale»nie od pozostaªych, z prawdopodobie«stwem θ mo»e zosta str cony przez pierwsz lini obrony. Je±li pokona pierwsz lini, z prawdopodobie«stwem θ mo»e zosta str cony przez drug lini. Prawdopodobie«stwo θ jest nieznane. Spo±ród n = samolotów, K = 4 zostaªo str conych przez pierwsz lini, a dalszych K = zostaªo str conych przez drug lini. a) Obliczy wiarogodno± dla zaobserwowanych warto±ci K i K, czyli P θ (K = 4, K = ). b) Poda estymator najwi kszej wiarogodno±ci parametru θ. 33. Niech X,..., X n b dzie próbk z rozkªadu normalnego N(, σ ) (o warto±ci oczekiwanej równej i nieznanej wariancji). a) Poda wzór na estymator ˆσ najwi kszej wiarogodno±ci parametru σ, czyli odchylenia standardowego. b) Obliczy warto± oczekiwan i wariancj ˆσ. 34. Wykonujemy n = 8 do±wiadcze«zgodnie ze schematem Bernoulliego, z nieznanym prawdopodobie«stwem θ sukcesu. Niech K b dzie liczb sukcesów. Rozwa»amy dwa estymatory: ˆθ = K n = K 8 ; ˆθ = K + n + = K +. 7

Niech R i (θ) = E θ (ˆθ i θ), i =, oznaczaj funkcje ryzyka obu estymatorów. Wyznaczy te funkcje. 35. Zaªó»my,»e X, X,..., X 8 jest próbk z nieznanego rozkªadu prawdopodobie«stwa z median m. Wiemy,»e rozkªad ma ci gª dystrybuant i m jest jedyn median. Niech X :8 X :8 X 8:8 b d statystykami porz dkowymi (pozycyjnymi). Przyjmijmy,»e przedziaªem ufno±ci dla m jest [X 4:8, X 5:8 ]. Obliczy poziom ufno±ci, czyli P(X 4:8 m X 5:8 ). 36. Niech X, X,..., X n b d niezale»nymi zmiennymi losowymi o tym samy rozkªadzie o g sto±ci f θ (x) = θ 6 x5 e x/θ dla x >, w przeciwnym przypadku, gdzie θ > jest nieznanym parametrem. Wiadomo,»e E θ X i = 6 θ i Var θ X i = 6 θ. Dobra staª c tak, aby statystyka T = c n (X + X +... + X n ) byªa estymatorem nieobci»onym parametru θ i obliczy wariancj T. 37. Zwa»ono paczek biaªego sera i otrzymano nast puj ce wyniki: 95; 98; ; 9; ; 94; 96; 98; 97; 98. a) Znale¹ ±redni i wariancj otrzymanej próbki. b) Zaªó»my,»e jest to próbka losowa z rozkªadu normalnego N(µ, 9) z nieznanym parametrem µ i wariancj 9. Poda przedziaª ufno±ci dla ±redniej masy paczki µ na poziomie ufno±ci α =.95. W rozwi zaniu mo»na przyj,»e Φ (,95),645 i Φ (,975),96. 38. Niech X, X,..., X n b d niezale»nymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkªadzie N(µ, σ ). Wykaza,»e statystyki X = X i, n S = n i (X i X) s niezale»ne. Wskazówka: Kombinacje liniowe niezale»nych zmiennych normalnych s niezale»ne, je±li s nieskorelowane. 39. W jeziorze jest nieznana liczba N ryb. W celu oszacowania N zªowiono m ryb, oznakowano je i wpuszczono do jeziora. Po pewnym czasie zªowiono ponownie n ryb i okazaªo si,»e k z nich jest oznakowanych. Poda oszacowanie N uzyskane metod najwi kszej wiarogodno±ci. 4. Niech X, X,..., X n b dzie prób z rozkªadu jednostajnego na przedziale (, θ), θ >. Niech T = n + n max{x,..., X n }, i S = X b d estymatorami parametru θ. Czy s to estymatory nieobci»one? Który z nich ma mniejsza wariancj? 8

5 Przykªady rozwi zanych zada«poni»ej zamieszczono kilka przykªadowych zada«z do± szczegóªowymi rozwi zaniami. Zadanie. Wiedz c,»e znale¹ sum szeregu π 4 = 3 + 5 7 + 9 + 3 5 + 7 9 + = ( ) n n +, + 5 7 + 3 + 7 9 3 + 5 + 9 3 35 + = sin (n+)π 4 3 + 6n cos(nπ). Rozwi zanie. Wyrazy drugiego szeregu s równie» wyrazami pierwszego, ale oprócz wyrazów drugiego szeregu w pierwszym pojawiaj si dodatkowo 3, 9, 5,, 7,.... Ich sum jest 3 ( 3 + 5 7 + ) = 3 π 4 = π. Mo»emy wi c napisa π = π 3 4 ( π ) ( = 3 + 5 7 + 9 + 3 5 + 7 9 + ) 3 + ( 3 + 9 5 + ) 7 + ( ( = 3 + ) ( + 5 7 + 9 ) ( + 3 5 + ) ( + 7 9 + ) ) + 3 ( 3 + 9 5 + ) 7 + = ( + 5 ) ( + 7 ) ( + 3 + ) ( + 7 9 ) +. 3 Otrzymali±my w zasadzie to, co mieli±my obliczy. Pozostaje tylko wyja±ni, dlaczego wolno otworzy nawiasy. Niech s =, s = + 5, s 3 = + 5 7, s 4 = + 5 7,... oznaczaj kolejne sumy cz ±ciowe szeregu, który powstaje przez otworzenie nawiasów z szeregu zbie»nego ( + ( 5) + 7 ) ( + 3 + ) ( 7 + 9 3) +. Zbie»no± tego szeregu oznacza, (»e ci g s, ) s 4, s 6,... ma sko«czon granic (i ju» wiemy,»e jest ni π 3 ). Poniewa» jednak lim sn s n =, wi c ta granica jest równie» granic ci gu s, s 3, s 5,.... Wynika st d, n»e ci g s, s, s 3, s 4,... jest zbie»ny do granicy sko«czonej, a to oznacza zbie»no± szeregu, o którym mowa w tezie zadania. Wykazali±my wi c,»e n= n= π 3 = + 5 7 + 3 + 7 9 3 + 5 + 9 3 35 + = sin (n+)π 4 3 + 6n cos(nπ). n= Zadanie. Zaªó»my,»e a, b >. Wykaza,»e ( 3)a + 3 + ( + 3)b 3 4 4 ab. Rozwi zanie. Pochodna funkcji e x jest ±ci±le rosn ca, wi c funkcja ta jest ±ci±le wypukªa. Ponadto, liczby p = 3 4 i q = + 3 4 = s dodatnie i speªniaj warunek p + q = = 6pq. Wobec tego, z nierówno±ci Jensena (tzn. wprost z denicji funkcji wypukªej), 3 4 a + 3 + + 3 b 3 4 = pe 4q ln a 4p ln b + qe 4pq ln a+4pq ln b e = e 4 ln a+ 4 ln b = e 4 ln(ab) = 4 ab. 9

Uwaga. Oczywi±cie zamiast korzysta z wypukªo±ci funkcji wykªadniczej, mo»na skorzysta z wkl sªo±ci logarytmu. Po podzieleniu stronami przez 4 nierówno±ci, któr nale»y udowodni, mo»na j zlogarytmowa, ( po czym zastosowa denicj funkcji wkl sªej. Wygl da to tak: mamy wykaza, )»e ln 3 4 a + 3 + + 3 4 b 3 ln 4 ab = 4 (ln a + ln b); poniewa» pochodna funkcji ln jest ±ci±le malej ca, wi c funkcja ln jest ±ci±le wkl sªa, zatem ( ln pa 4q + qb 4p) p ln ( a 4q) + q ln (b 4p) = 4pq(ln a + ln b) = (ln a + ln b). 4 Dodajmy jeszcze,»e poniewa» funkcja wykªadnicza jest ±ci±le wypukªa, wi c dla a b nierówno± jest ostra. Zadanie. Niech f(x, y) = 4x + y ( + x) 3 dla (x, y) R. Wykaza,»e jedynym punktem, w którym gradient tej funkcji jest wektorem zerowym, jest punkt (, ) R. Wyja±ni, czy funkcja f ma lokalne ekstremum w punkcie (, ); okre±li, czy jest to minimum, czy maksimum. Niech Q = {(x, y) R : x i y }. Znale¹ kresy funkcji f w kwadracie Q. Rozwi zanie. Mamy grad f(x, y) = ( 8x+6y (+x), y(+x) 3). Z równo±ci y(+x) 3 = wynika,»e x = lub y =. W pierwszym przypadku otrzymujemy 8x =, czyli x =, co przeczy temu,»e x =. W drugim przypadku wnioskujemy,»e 8x =, zatem jedynym punktem zerowania si gradientu funkcji f jest punkt (, ). Bez trudu stwierdzamy,»e f (, ) = 8, x f x y (, ) = i f (, ) =. Macierz drugiej ró»niczki f w punkcie (, ) jest wi c y ( ) 8. Z kryterium Sylvestera wynika natychmiast,»e jest ona dodatnio okre±lona, zatem w punkcie (, ) funkcja f ma lokalne minimum wªa±ciwe, co zreszt wida od razu, bo f(x, y) = 4x + y + skªadniki wy»szego stopnia (por. dowód twierdzenia o lokalnych ekstremach). Kwadrat Q jest oczywi±cie zbiorem zwartym, wi c funkcja ci gªa f osi ga na nim kresy. Wewn trz mo»e osi ga tylko kres dolny, bo w jedynym punkcie krytycznym funkcja ma lokalne minimum wªa±ciwe. Zbadamy zachowanie f na brzegu Q. Mamy f(x, ) = f(x, ) = 4 ( x +(+x) 3). Najwi ksz i najmniejsz warto± tej funkcji na przedziale [, ] znajdujemy w standardowy sposób. Okazuje si,»e najmniejsza warto± tej funkcji to f(, ) = f(, ) = 4 ( 3) = 9, a najwi ksza to f(, ) = f(, ) = 4 9 = 56. Podobnie, mamy f(, y) = 6 7y. Na przedziale [, ] najmniejsza warto± tej funkcji to f(, ) = f(, ) = 6 7 4 = 4(4 7) = 9, a najwi ksza to f(, ) = 6. Dalej, f(, y) = 6+5y. Najmniejsza warto± tej funkcji to f(, ) = 6, a najwi ksza to f(, ) = f(, ) = 6 + 4 5 = 56. Wida wi c,»e najmniejsza warto± funkcji f na kwadracie Q to 9, a najwi ksza to 56, natomiast w ±rodku kwadratu funkcja ma lokalne minimum wªa±ciwe, f(, ) = ( 9, 56). Uwaga: funkcja jednej zmiennej f(x, ) = 4x + ( + x) 3 jest wielomianem trzeciego stopnia, wi c jest nieograniczona zarówno z góry jak i z doªu; wynika st d,»e kres górny funkcji f w caªej pªaszczy¹nie jest równy +, a dolny. Zadanie. Niech A = 4 5 3 3 3 3 Znale¹ rozwi zanie ogólne ukªadu x = Ax, wiedz c,»e macierz A ma dokªadnie jedn warto± wªasn..

Rozwi zanie. Poniewa» macierz A ma dokªadnie jedn warto± wªasn, wi c ta warto± jest równa 5 ( + 5 + 3 + 3 + 3) = 3, bo warto± wªasna musi w tej sytuacji by pi ciokrotna, a suma wszystkich warto±ci wªasnych macierzy to jej ±lad. (To,»e 3 jest warto±ci wªasn macierzy A, wida te» bez obliczania ±ladu: det(a 3I) =, bo macierz A 3I ma przedostatni kolumn zªo»on z samych zer, przy okazji e 4 to jeden z wektorów wªasnych macierzy A.) Rz d macierz A 3I = 4 3 której j dro skªada si z wektorów wªasnych macierzy A, jest równy 3, bo j dro skªada si z tych wektorów (x, x, x 3, x 4, x 5 ), dla których x 3 3x 5 =, x + x = oraz x 3 + x 5 =, czyli z takich (x, x, x 3, x 4, x 5 ), dla których x 3 = x 5 = i x = x, wi c dim ker(a 3I) =. Prosty (to nie»art) rachunek pokazuje,»e (A 3I) = 4 a st d natychmiast wynika,»e (A 3I) 3 =. Macierz A zapisana w postaci Jordana ma wi c dwie klatki: jedn wymiaru 3, a drug wymiaru. Mamy (A 3I)e 3 = e e + e 4,,, (A 3I)( e e + e 4 ) = e e + 4e + e = e + e i wreszcie (A 3I)(e + e ) =. Wªa±nie wykazali±my,»e wektory e 3, e e + e 4 i e + e rozpinaj trówymiarow przestrze«niezmiennicz wzgl dem przeksztaªcenia liniowego zdeniowanego macierz A. Do peªni szcz ±cia brakuje nam wektora spoza tej przestrzeni i spoza ker(a 3I), którego obraz jest w j drze A 3I. Mamy (A 3I)(e 3 +e 5 ) = e 4 oraz (A 3I)e 4 =. Mo»emy wi c napisa rozwi zanie ogólne ukªadu: x(t) = c [ e3 + t( e e + e 4 ) + t (e + e ) ] e 3t + c [ t(e + e ) + ( e e + e 4 ) ] e 3t + + c 3 [ e + e ) ]e 3t + c 4 [ (e3 + e 5 ) + te 4 ] e 3t + c 5 e 4 e 3t. Przy okazji: stwierdzili±my,»e jedn z licznych baz Jordana dla przeksztaªcenia liniowego zdeniowanego macierz A jest pi tka wektorów e 3, e e + e 4, e + e, e 3 + e 5, e 4. Zadanie. Pr dko± wody wypªywaj cej przez otwór w dnie naczynia jest równa,6 Gh, gdzie G = m s, a h oznacza gª boko± wody. Naczynie ma ksztaªt walca o ±rednicy podstawy R =,8 m. Otwór w dnie ma ±rednic r = 6 cm. Wysoko± walca jest równa H =,45 m. Po jakim czasie caªa woda wycieknie z walca? Zakªadamy,»e w chwili pocz tkowej walec jest wypeªniony w caªo±ci wod. Rozwi zanie. Niech h(t) oznacza gª boko± wody w naczyniu w chwili t. W szczególno±ci h() =,45. W bardzo krótkim czasie t z naczynia wypªynie w przybli»eniu,6 Gh(t) t π r wody; poziom wody obni»y si wtedy o h(t) h(t + t),6 Gh(t) t π r. (Przybli»enie bierze π R si st d,»e pr dko± wody w»adnym momencie nie jest staªa). Po podzieleniu obu stron przez t, przej±ciu do granicy t i podstawieniu warto±ci r, R otrzymujemy h h(t) h(t + t) (t) = lim =,6 G r t t R h(t) 5 = 75 h(t).

Mamy wi c h (t) = 5 h(t) 75. St d h(t) = 5 75 dt = 5 75 t + C, wi c h(t) = ( C 5 5 t). St d wynika,»e,45 = h() = ( ) C, nale»y wi c wzi C =,45. Oczywi±cie h(t) = wtedy i tylko wtedy, gdy t = 5 5 C = 75,45 5 = 75,49 = 75,7 = 55 s = 8 3 4 min. Zadanie. Znale¹ rozwi zanie ogólne równania e t sin(t). x (t) x (t) + 5x(t) = 4e t + 7 cos(t) Rozwi zanie: Mamy do czynienia z równaniem liniowym niejednorodnym o staªych wspóªczynnikach. Równanie charakterystyczne to = λ λ + 5 = (λ ) + 4. Jego pierwiastkami s wi c liczby ± i. Wynika st d,»e rozwi zanie ogólne równania jednorodnego ma posta c e (+i)t + c e ( i)t, gdzie c, c oznaczaj liczby zespolone. Po prawej stronie wyst puj quasiwielomiany (e t ) lub ich cz ±ci rzeczywiste (7 cos(t)) b d¹ urojone ( e t sin(t)). Liczba nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, wi c istnieje taka liczba c,»e funkcja ce t jest rozwi zaniem równania pomocniczego x (t) x (t) + 5x(t) = 4e t. By tak byªo musi by speªniona równo± c c+5c = 4, czyli c =. Poszukiwanym rozwi zaniem jest funkcja e t. Kolej na równanie x (t) x (t) + 5x(t) = 7 cos(t) = R ( 7e it). Rozwi»emy równanie x (t) x (t) + 5x(t) = 7e it. Poniewa» liczba i nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, wi c istnieje taka liczba zespolona c,»e funkcja ce it jest rozwi zaniem równania x (t) x (t) + 5x(t) = 7e it. Podstawiaj c ce it w miejsce x w tym równaniu otrzymujemy 4ce it 4cie it + 5ce it = 7e it, czyli c( 4i)e it = 7e it. Wobec tego c = 7 4i = + 4i. Wobec tego funkcja ( + 4i)e it jest rozwi zaniem równania x (t) x (t) + 5x(t) = 7e it, a poniewa» wszystkie wspóªczynniki z lewej jego strony s liczbami rzeczywistymi, wi c funkcja R ( (+4i)e it) = R ( ( + 4i)(cos(t) + i sin(t)) ) = cos(t) 4 sin(t) jest rozwi zaniem równania x (t) x (t) + 5x(t) = 7 cos(t). Wreszcie, rozpatrzmy równanie x (t) x (t) + 5x(t) = e t sin(t) = I ( e (+i)t). Tym razem liczba + i jest pierwiastkiem jednokrotnym równania charakterystycznego, wi c rozwi zaniem równania c e (+i)t b dzie quasiwielomian stopnia pierwszego z wykªadnikiem + i, czyli funkcja postaci (ct + d)e (+i)t, gdzie symbole c, d oznaczaj liczby zespolone. Z tego, jak wygl da rozwi zanie równania jednorodnego, jasno wynika,»e nie ma»adnych ogranicze«na liczb d (w rozwi zaniu wyst puje skªadnik c e (+i)t, wi c mo»na uzna,»e d = c ). Znajdziemy c. Podstawiamy do równania x (t) x (t) + 5x(t) = e (+i)t funkcj x(t) = cte (+i)t. Obliczamy pochodne tej funkcji, wstawiamy je do lewej strony równania i po krótkim rachunku otrzymujemy warunek e (+i)t = 4ice (+i)t. Zatem c = 3i. Wobec tego,»e wszystkie wspóªczynniki po lewej stronie równania s rzeczywiste, funkcja I ( 3ite (+i)t) = 3te t cos(t) jest rozwi zaniem szczególnym ostatniego równania pomocniczego x (t) x (t) + 5x(t) = e t sin(t). Wobec tego rozwi zaniem ogólnym równania x (t) x (t) + 5x(t) = 4e t + 7 cos(t) e t sin(t) jest suma rozwi za«szczególnych trzech pomocniczych równa«niejednorodnych oraz rozwi zania ogólnego równania jednorodnego, czyli funkcja e t + cos(t) 4 sin(t) + 3te t cos(t) + c e (+i)t + c e ( i)t, gdzie c, c oznaczaj dowolne liczby zespolone. Mo»na bez trudu zauwa»y,»e je±li c = c, to warto±ci tej funkcji s rzeczywiste. Mo»na te» zapisa to samo rozwi zanie w postaci e t + cos(t) 4 sin(t) + 3te t cos(t) + d e t cos(t) + d e t sin(t). W tym przypadku rozwi zania rzeczywiste otrzymujemy dla rzeczywistych d, d.

Zadanie. Niech f(x) = x M κ sin(x), gdzie M (, π) oraz κ (, ). Wyka»,»e mo»na wskaza takie punkty pocz tkowe a, b [, π] dla metody bisekcji,»e miejsce zerowe f b dzie mo»na z jej pomoc wyznaczy z bª dem bezwzgl dnym nie przekraczaj cym 4, obliczaj c przy tym nie wi cej ni» 3 warto±ci funkcji. Rozwi zanie. Warunkiem dostatecznym zbie»no±ci metody bisekcji startuj cej z pary punktów a < b jest, by f byªa ci gªa w [a, b] oraz f(a) f(b) <. Wówczas metoda bisekcji startuj ca z przedziaªu [a, b ] = [a, b] generuje ci g przedziaªów [a n, b n ], zawieraj cych miejsce zerowe f, przy czym na n-tej iteracji, b n a n b a / n i konsekwentnie przybli»enie miejsca zerowego x n = (a n + b n )/ ma bª d nie przekraczaj cy b a / n+. St d wynika,»e dla uzyskania przybli»enia miejsca zerowego f z bª dem poni»ej zadanego ɛ (, b a ) (wi ksze warto±ci nie miaªyby sensu) wystarczy wykona b a n log ɛ iteracji. Funkcja f podana w zadaniu jest ci gªa, przy czym f() = M < oraz f(π) = π M >, zatem speªnia warunki zbie»no±ci metody bisekcji dla przedziaªu pocz tkowego [a, b] = [, π]. Poniewa» π log 4 = 6, a n iteracji metody bisekcji wymaga obliczenia n + warto±ci funkcji f, to ª cznie wystarczy obliczy 8 warto±ci funkcji. Zadanie. Niech R = Z[i]. Czy a = + i jest elementem nierozkªadalnym pier±cienia R? Rozwi zanie. Rozpatrzmy funkcj N : R Z okre±lon formuª N(n + mi) := n + m (jest to w istocie kwadrat moduªu liczby zespolonej n + mi). Šatwo sprawdzi,»e dla x, y R zachodzi równo± N(xy) = N(x)N(y), oraz»e x R jest elementem odwracalnym R wtedy i tylko wtedy, gdy N(x) = (tak jest, poniewa» n+mi = n mi N(n+mi) ). Przypu± my teraz,»e a = xy dla pewnych x, y R. Wówczas, poniewa» N(a) = 5, wi c N(x) = lub N(y) =. Oznacza to, i» x lub y jest odwracalne. Wykazali±my wi c,»e a jest elementem nierozkªadalnym. Zadanie. Niech Z = N, Z = {} { i : i =,,...}. Wykaza,»e podprzestrzenie Z Z i Z Z \ {(, )} pªaszczyzny euklidesowej s homeomorczne. Rozwi zanie. Przestrze«S = Z Z jest sum przeliczalnie wielu parami rozª cznych otwartych podprzestrzeni U n = {n} Z (n =,,...) homeomorcznych z Z (Z ma topologi podprzestrzeni prostej euklidesowej). Niech T = Z Z \{(, )}. Dla ka»dego i =,,... zbiór V i = { i } Z jest otwarty w T (bo i jest punktem izolowanym Z ). Analogicznie, dla ka»dego j =,,..., zbiór H j = Z { j } jest otwarty w T. Zauwa»my,»e zbiory V i (a tak»e H j ) s parami rozª czne, ale V i H j = {( i, j )}. Niech W = {W n : n =,,... } b dzie rodzin tak zdeniowanych zbiorów otwartych, ustawionych w ci g W = {V, H, V, H,...} (to znaczy W i = V i i W j = H j ). Przestrze«T jest sum rodziny W otwartych podprzestrzeni T homeomorcznych z Z i dla ka»dego n, W n m<n W m jest sko«czonym podzbiorem W n zªo»onym z punktów izolowanych W n. Poªó»my W n = W n \ m<n W m. Dla ka»dego n zbiór W n jest otwarty (bo zbiory sko«czone s domkni te) i homeomorczny z Z (bo podprzestrze«z uzyskana z Z przez usuni cie sko«czenie wielu punktów izolowanych 3