243 Zeszyy Naukowe Wyższej Szkoły Bankowej we Wrocławiu Nr 20/2011 Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu Ocena efekywności procedury Congruen Specyficaion dla małych prób Sreszczenie. Procedura specyfikacji dynamicznego modelu zgodnego zapewnia, że każdy esymowany model (GUM) będzie posiadał proces reszowy o własnościach białego szumu. Celem arykułu jes przedsawienie procedury auomaycznej specyfikacji modelu według koncepcji modelowania zgodnego, dosępnej pod nazwą Congruen Specyficaion, jako pakie funkcji programu GRETL, oraz ocena jego efekywności w warunkach zmniejszającej się liczebności próby. Empiryczny przykład prezenuje różne aspeky skracania próby ze 120 do 24 obserwacji. Słowa kluczowe: modelowanie zgodne, auomayczne procedury modelowania, GRETL Wprowadzenie Celem arykułu jes przedsawienie procedury auomaycznej specyfikacji modelu 1 według koncepcji modelowania zgodnego, dosępnej jako pakie funkcji 1 Szerszy opis algorymu auomayzującego proces modelowania i prognozowania pod nazwą AUTOMETRICS, auorswa J.Doornika, można znaleźć w pracach: J.A. Doornik, Encompassing and Auomaic Model Selecion, Oxford Bullein of Economics and Saisics 2008, om 70,
244 programu GRETL 2, oraz ocena jego efekywności dla zmniejszającej się liczebności próby. Auorem koncepcji dynamicznego modelowania zgodnego 3 jes Zygmun Zieliński. Zgodność w nazwie modelu rozumiana jes jako zgodność harmonicznej srukury procesu objaśnianego z łączną harmoniczną srukurą procesów objaśniających oraz procesu reszowego. Proces reszowy jes niezależny od procesów objaśniających. Najprosszym przykładem modelu, kóry jes zawsze zgodny, jes model zbudowany dla procesów białoszumowych o posaci: (1) Powyższy model jes zawsze zgodny, gdyż srukura harmoniczna procesu ε y jes równa (lub inaczej spekrum ego procesu jes równoległe względem osi częsości) łącznej srukurze procesów ε oraz procesu ε xi, ponieważ funkcja gęsości spekralnej dla procesu o własnościach białego szumu jes sała. Zgodny dynamiczny model ekonomeryczny wykorzysuje przy budowie modelu informację na ema wewnęrznej srukury każdego uwzględnionego w badaniu procesu. Przyjmując za Y proces objaśniany oraz za X i (i = 1, 2,..., k) procesy objaśniające, wewnęrzna srukura opisywana jes za pomocą modeli podsawowych i zawiera: modele opisujące składniki niesacjonarne: Y = P y + S y + η y, X i = P xi + S x i + η x i, (2) gdzie: P y, P xi wielomianowe funkcje zmiennej czasowej dla odpowiednich procesów, S y, S xi składniki sezonowe o sałej lub zmiennej ampliudzie wahań dla odpowiednich procesów, η y, η xi sacjonarne auoregresyjne procesy odnoszące się do odpowiednich procesów oraz modele auoregresyjne: B(u)η y = ε y, A i (u)η xi = ε x i, (3) gdzie: B(u), A i (u) sacjonarne auoregresyjne operaory, dla kórych wszyskie pierwiaski równania B(u) = 0 i A i (u) = 0 leżą poza okręgiem jednoskowym, ε y, ε xi białe szumy dla odpowiednich procesów. s. 915-925; J.A. Doornik, Auomerics, w: J.L. Casle, N. Shephard, The Mehodology and Pracice of Economerics, Oxford Universiy Press 2009; J.A. Doornik, D.F. Hendry, Modelling Dynamic Sysems Using PcGive 11, Vol. II, wyd. 4, Timberlake Consulans Press, London 2009. 2 Pakie funkcji Congruen Specificaion jes auorswa: Marcina Błażejowskiego, Pawła Kufla oraz Tadeusza Kufla. 3 Por. Z. Zieliński, Zmienność w czasie srukuralnych paramerów modelu ekonomerycznego, Przegląd Saysyczny 1984, R. XXXI, z. 1/2, s. 135-148; L. Talaga, Z. Zieliński, Meody spekralne w modelowaniu ekonomerycznym, PWN, Warszawa 1986.
Ocena efekywności procedury Congruen Specyficaion dla małych prób 245 Budowa zgodnego dynamicznego modelu ekonomerycznego odbywa się przez podsawienie do zależności (1) procesów ε y, ε xi o własnościach białych szumów orzymanych z równań (3), a nasępnie na podsawie równań (2) wyznaczane są procesy auoregresyjne η y, η xi i podsawiane do orzymanego wcześniej równania. Po przekszałceniu orzymuje się zgodny dynamiczny model ekonomeryczny dla rzeczywisych procesów Y i X i : Proces reszowy w powyższym modelu ma własności akie same jak w modelu (1), a więc posiada własności białego szumu, zaem warunek zgodności srukur harmonicznych zosał spełniony. Zgodny dynamiczny model ekonomeryczny uwzględnia informację o wewnęrznej srukurze (składniki rendowe i sezonowe oraz auoregresyjne) oraz zależności przyczynowo-skukowe wykorzysanych procesów. Informacje e wykorzysywane są na eapie specyfikacji modelu. (4) 1. Opis algorymu specyfikacji zgodnego dynamicznego modelu ekonomerycznego Zaimplemenowany w oprogramowaniu GRETL algorym specyfikacji zgodnego dynamicznego modelu ekonomerycznego zosał podzielony na rzy eapy 4. Eap 1. Wczyanie danych do procedury: 1. Wskazanie zmiennej endogenicznej Y, lisy k poencjalnych zmiennych objaśniających X j (j = 1, 2,, k) oraz lisy deerminisycznych zmiennych zero-jedynkowych. 2. Określenie długości próby n i usalenie minimalnej liczby sopni swobody dfmin nieograniczonego ogólnego modelu: 3. Sprawdzenie częsoliwości modelowanych procesów i usalenie: 1) bloku periodycznych zmiennych zero-jedynkowych m, 2) maksymalnego rzędu auoregresji pmax dla wykorzysywanych procesów. 4 Opracowano na podsawie: M. Błażejowski, P. Kufel, T. Kufel, Auomayczna procedura budowy specyfikacji zgodnego dynamicznego modelu ekonomerycznego w oprogramowaniu GRETL, Aca Universiais Copernici, Ekonomia XXXIX, Wydawnicwo Naukowe UMK, Toruń 2009, s. 83-92.
246 Eap 2. Analiza wewnęrznej srukury wszyskich procesów: 1. Sprawdzenie, czy analizowane procesy posiadają deerminisyczny komponen (rend i/lub sezonowość). 2. Sprawdzenie, czy reszy po odjęciu bloku deerminisycznych komponenów wykazują sacjonarną srukurę auoregresyjną. 3. Określenie rzędów funkcji auokorelacji cząskowej dla procesów reszowych po odjęciu komponenów deerminisycznych oraz różnicowaniu (w przypadku swierdzenia pierwiaska jednoskowego), uwzględniając maksymalny rząd auoregresji. Warości funkcji PACF sprowadzane są do warości max_lag, określonej nasępująco: Eap 3. Zbudowanie sarowej specyfikacji nieograniczonego ogólnego (GUM), zw. pełnego modelu zgodnego: 1. Wyznaczenie liczby sopni swobody modelu pełnego dfsar po uwzględnieniu wszyskich składników: rozkładu opóźnień zmiennej endogenicznej Y, poencjalnych zmiennych objaśniających X j, deerminisycznego rendu i/lub sezonowości oraz deerminisycznych zmiennych zero-jedynkowych: 1) jeżeli dfsar < dfmin, o rzędy auoregresji o najwyższych warościach są zmniejszane o 1, 2) jeżeli dfsar dfmin, o sarowa specyfikacja (model pełny) jes drukowana w formie skrypu wewnęrznego języka programu Grel. Eap 1 jes przygoowaniem danych do wykonania procedury. Imporowane są wszyskie szeregi czasowe i na ich podsawie, jeśli konieczne, dodakowe zmienne zero-jedynkowe opisujące pewne okresy w próbie. W ym eapie określana jes częsoliwość obserwowania procesów oraz inne dodakowe zmienne wewnęrzne, jak np. minimalna liczba sopni swobody dla modelu pełnego dfmin. Rys. 1. Definiowanie lisy zmiennych dla procedury Congruen Specificaion
Ocena efekywności procedury Congruen Specyficaion dla małych prób 247 Rysunek 1 przedsawia definiowanie lisy zmiennych wykorzysywanych w procedurze. Należy zwrócić uwagę, aby pierwszą zmienną na liście była zmienna objaśniana. Rysunek 2 przedsawia okno dialogowe wyboru lisy zmiennych, lisy składników deerminisycznych oraz warości poziomu isoności. Rys. 2. Główne okno procedury Congruen Specificaion W drugim eapie algorymu przeprowadzana jes analiza wewnęrznej srukury wykorzysywanych szeregów czasowych. W pierwszej kolejności sprawdza się, czy wysępują isone składniki deerminisyczne, akie jak rend liniowy oraz cykliczność deerminisyczna. Określona w eapie pierwszym częsoliwość obserwowania deerminuje bloki (m 1) zmiennych zero-jedynkowych: dla danych miesięcznych (m = 12), kwaralnych (m = 4), ygodniowych (m = 52) lub danych dziennych (m = 5, 6, 7). Jeśli w kórymkolwiek z analizowanych szeregów wysąpił isony składnik deerminisyczny, o zosanie uwzględniony w bloku wspólnych komponenów deerminisycznych. Nasępnie budowany jes model dla składników deerminisycznych, a w jego reszach sprawdzany jes sopień inegracji procesu za pomocą esu pierwiaska jednoskowego ADF-GLS na poziomie isoności α = 0,1. Gdy wysępuje pierwiasek jednoskowy, wówczas proces jes różnicowany. W kolejnym kroku określane są rzędy auoregresji, co odbywa się za pomocą warości funkcji PACF i usalane jes jako maksymalna isona warość funkcji na poziomie α = 0,01. W rzecim eapie procedury budowana jes sarowa specyfikacja zgodnego modelu ekonomerycznego, zawierająca informacje uzyskane we wcześniejszych eapach: komponeny deerminisyczne, sopnie inegracji procesów oraz rzędy auoregresji procesów. Dodakowo sprawdzany jes warunek minimalnej liczby sopni swobody. W przypadku gdy liczba sopni swobody modelu sarowego
248 jes mniejsza niż minimalna warość sopni swobody dfmin, wówczas redukuje się maksymalne rzędy auoregresji o 1, aż do momenu spełnienia warunku o minimalnej liczbie sopni swobody. Rezulaem wywołania procedury jes skryp wewnęrznego języka programu GRETL, kóry przedsawia specyfikację modelu zgodnego. Przykłady działania algorymu dla zmniejszającej się próby przedsawione zosały w nasępnej części arykułu. 2. Przykłady wykorzysania auomaycznej procedury specyfikacji zgodnego dynamicznego modelu ekonomerycznego Dla empirycznego zilusrowania sposobu wykorzysania auomaycznej procedury Congruen Specificaion zosaną wykorzysane miesięczne dane makroekonomiczne dla Polski za okres od sycznia 1995 do grudnia 2004 (n = 120), kóre są dosępne na polskiej sronie inerneowej programu GRETL znajdującej się pod adresem hp://www.grel.pl w pliku macro_1993_2005.gd. Analizowany model doyczyć będzie sopy bezrobocia opisywanej przez procesy: sopy inflacji, imporu oraz udzielonych kredyów. Rys. 3. Modelowane procesy w procedurze Congruen Specificaion Scenariusz badania efekywności auomaycznej procedury specyfikacji zakładał, że ocenę liczby sopni swobody, liczby szacowanych paramerów, rzędów opóźnień procesów, a akże efekywności orzymanych 12 miesięcznych prognoz
Ocena efekywności procedury Congruen Specyficaion dla małych prób 249 za pomocą średnich miar ex pos: RMSE i MAPE, przy założeniu zmniejszającej się liczby obserwacji o 1 miesiąc, o jes od liczebności sarowej n = 120 (od sycznia 1995 do grudnia 2004 10 la) do liczebności końcowej n = 24 (od sycznia 2003 do grudnia 2004 2 laa). Łącznie auomayczną procedurę specyfikacji wykorzysano 96 razy. Zmienną objaśnianą była sopa bezrobocia, naomias poencjalnymi zmiennymi objaśniającymi były: sopa inflacji, impor oraz warość udzielonych kredyów. Rysunek 4 prezenuje wynik działania procedury Congruen Specificaion zrealizowanej na wyżej wymienionych danych dla n = 120, przy czym weryfikacja esów saysycznych zosała przeprowadzona na poziomie isoności α = 0,1. Rys. 4. Specyfikacja modelu sopy bezrobocia w Polsce wg koncepcji modelowania zgodnego uzyskana w procedurze Congruen Specificaion Nieograniczony model ogólny (GUM) powinien zawierać opóźnienie zmiennej bezrobocie o jeden okres, rend liniowy (ime), zesaw zmiennych zero-jedynkowych do opisu sezonowości miesięcznej (dm1, dm2, dm3, ), inflację bieżącą oraz opóźnioną do 7 okresów włącznie, impor bieżący oraz opóźniony do 2 okresów włącznie, bieżącą warość kredyów oraz opóźnioną o 1 okres. Oznacza o, że oszacowany model GUM posiadał: n = 120, k = 26, a sopni swobody s = 93. Weryfikacja i eliminacja nieisonych zmiennych przeprowadzona zgodnie z zasadą krokowej eliminacji a poseriori na poziomie isoności doprowadziła do uzyskania empirycznego modelu zgodnego, dla kórego oszacowano prognozy i wyznaczono średnie błędy ex pos dla 12 okresów (RMSE, MAPE). W kolejnych eapach, przy założeniu zmniejszającego się okresu modelowania o jeden miesiąc, liczbę sopni swobody i liczbę szacowanych paramerów przedsawia rysunek 5.
250 Rys. 5. Liczba sopni swobody i liczba szacowanych paramerów dla empirycznego modelu zgodnego sopy bezrobocia w Polsce według zmniejszającej się liczby obserwacji Na szacowane paramery w powyższych modelach składa się: wyraz wolny, rend liniowy, zesaw 11 zmiennych sezonowych, opóźnione procesy endogeniczne oraz rzy procesy objaśniające wraz z własnymi opóźnieniami. Efek zmniejszającej liczby obserwacji powoduje w pierwszej kolejności zmniejszenie się liczebności procesów opóźnionych, co wynika z dwóch powodów, że lag_max nie może być większy niż 20% liczebności próby, a przy zmniejszającym się n warość kryyczna isoności dla funkcji PACF szybko rośnie (1,96/n 0,5 ), dlaego dla n = 24 wysąpił ylko jeden proces opóźniony w czasie (impor 1 ). Liczbę procesów opóźnionych w modelach, o jes sopień isonego rzędu funkcji PACF dla każdego procesu oddzielnie, a akże liczbę sopni swobody dla oszacowanych modeli przy zmniejszającej się próbie od n = 120 do 24, przedsawia rysunek 6. Rysunek 6 przedsawia liczebności procesów opóźnionych w nieograniczonym modelu zgodnym (GUM), kóre ulegają zmniejszeniu wraz ze spadkiem długości modelowanego szeregu czasowego (n = 120,, 24). Miesiące dla 1998 i 1999 mają najniższy poziom bezrobocia, a wzros w nasępnych okresach (zmiana kierunku rendu na rosnący) dał efek zaburzeń w ocenie rzędu auoregresji i liczby szacowanych paramerów.
Ocena efekywności procedury Congruen Specyficaion dla małych prób 251 Rys. 6. Liczba szacowanych paramerów wraz z rzędami opóźnień dla wszyskich procesów w empirycznym modelu zgodnym dla sopy bezrobocia w Polsce według zmniejszającej się liczby obserwacji Rys. 7. Syneyczne mierniki jakości prognoz
252 Rysunek 7 przedsawia syneyczne mierniki jakości prognoz oszacowanych zawsze dla horyzonu 12 miesięcy 2005 r. przy zmniejszającej się długości próby. Ocenę rafności prognoz przedsawiają: pierwiasek średniokwadraowego błędu prognoz RWSE oraz średni absoluny błąd procenowy MAPE. Nierafność uzyskanych prognoz wynikała z faku wsąpienia Polski do srukur Unii Europejskiej i owarcia europejskich rynków pracy dla Polaków, co zaowocowało znaczną emigracją, a prognozowana sopa bezrobocia miała endencje do przeszacowania. Powyższe scenariusz modelowania przy zmniejszającej się liczebności próby pozwalają wyciągnąć wniosek, że średnie błędy prognoz ex pos świadczą o wysokiej jakości modelowania. Podsumowanie Procedura specyfikacji dynamicznego modelu zgodnego zapewnia, że każdy ak esymowany model (GUM) będzie posiadał proces reszowy o własnościach białego szumu, a jes o podsawowy warunek dobroci modelu wykorzysywanego do prognozowania. Algorym Congruen Specyficaion opracowany jako pakie funkcji dla programu GRETL wskazuje sarową pełną specyfikację modelu, kóra zawiera informacje: jakie składniki będzie zawierał człon deerminisyczny (rend/sezonowość) oraz jaka jes srukura auoregresyjna (opóźnień) wszyskich procesów wykorzysywanych w modelu. Wykorzysanie funkcji esymacji i weryfikacji, a akże predykcji w oprogramowaniu GRETL powoduje, że cała procedura modelowania i prognozowania jes wysoce efekywna pomimo zmniejszającej się liczebności próby. Tesowanie algorymu Congruen Specyficaion i włączanie kolejnych esów specyfikacji pozwoli uzyskać jeszcze doskonalszy algorym auomayzujący proces ekonomerycznego modelowania i prognozowania. Lieraura Błażejowski M., Kufel P., Kufel T., Auomayczna procedura budowy specyfikacji zgodnego dynamicznego modelu ekonomerycznego w oprogramowaniu GRETL, Aca Universiais Nicolai Copernici, Ekonomia XXXIX, Wydawnicwo Naukowe UMK, Toruń 2009.
Ocena efekywności procedury Congruen Specyficaion dla małych prób 253 Doornik J.A., Encompassing and Auomaic Model Selecion, Oxford Bullein of Economics and Saisics 2008, om 70. Doornik J.A., Auomerics, w: J.L. Casle, N. Shephard, The Mehodology and Pracice of Economerics, Oxford Universiy Press 2009. Doornik J.A., Hendry D.F., Modelling Dynamic Sysems Using PcGive 11, Vol. II, wyd. 4, Timberlake Consulans Press, London 2009. Talaga L., Zieliński Z., Meody spekralne w modelowaniu ekonomerycznym, PWN, Warszawa 1986. Zieliński Z., Zmienność w czasie srukuralnych paramerów modelu ekonomerycznego, Przegląd Saysyczny 1984, R. XXXI, z. 1/2. Zieliński Z., Liniowe modele zgodne opisujące zależności sumacyjnych (zinegrowanych) procesów ekonomicznych. w: Przesrzenno-czasowe modelowanie i prognozowanie zjawisk gospodarczych, red. A. Zeliaś, AE Kraków, Kraków 1995.