CZSOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISK I RCHIEKURY JOURNL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMEN ND RCHIECURE JCEE,. XXXII, z. 62 (3/I/5), lipi-wrzsiń 25, s. 3-327 Lszk OPYRCHŁ FUNKCJ NIEZWODNOŚCI I CZS EZWRYJNEJ PRCY ODPOWIDJĄCY EKSPONENCJLNEJ INENSYWNOŚCI USZKODZEŃ Funkja nizawodnośi odgrywa w nau o nizawodnośi podsawową rolę, gdyż pozwala na olizni prawdopodoińswa uszkodznia w okrślonym zasi. y olizyć funkję nizawodnośi nalży olizyć ałkę z funkji innsywnośi uszkodzń. W doyhzasowj praky olizń nizawodnośi sosowano funkję innsywnośi uszkodzń, kóra js sała w zasi. Jdnozśni podaj się, ż innsywność uszkodzń ni js sała w zasi. Najprosszy przypadk liniowj zalżność funkji innsywnośi uszkodzń od zasu zosał już rozwiązany. Jak wskazuj wilu auorów innsywność uszkodzń js wykładnizą funkją zasu. Dlago w ninijszym arykul zosał przdsawiony sposó olizń funkji nizawodnośi oraz śrdnigo zasu zawaryjnj pray w przypadku, gdy innsywność uszkodzń zminia się w zasi wykładnizo. Rozważono rzy przypadki. Pirwszy, gdy funkja innsywnośi uszkodzń js maljąa a pom sała w zasi. aka zalżność wysępuj na poząku isninia wyworu hniki. Drugi przypadk, gdy na poząku funkja innsywnośi uszkodzń js sała w zasi a nasępni szyko rośni. aka zalżność odpowiada końowj fazi isninia wyworu hniki. rzi przypadk js połąznim dwóh pirwszyh. Js ona maljąą na poząku użykowania, pom sała i wrszi rosnąą, gdy zas żyia wyworu hniki doiga końa. W wyniku przprowadzonyh olizń uzyskano analiyzn wzory na funkję nizawodnośi R oraz śrdni zas żyia S. Wykazano, ż w lu oliznia śrdnigo zasu żyia ni rza ani olizać skomplikowanyh ałk, ani korzysać z spjalisyzngo oprogramowania. Wysarzy w lu oliznia odpowidnij ałki zasosować modę rapzów i zwykły arkusz kalkulayjny. Popłniany w ym wypadku łąd js mnijszy od %. Co dla inżynira js wysarzająą dokładnośią. Słowa kluzow: funkja nizawodnośi, zas zawaryjnj pray, innsywność uszkodzń, funkja ksponnjalna Lszk Opyrhał, GH kadmia Górnizo-Huniza, Wydział Godzji Górnizj i Inżynirii Środowiska, Kadra Inżynirii i Ohrony Środowiska, al. Mikiwiza 3, 3-59 Kraków, l. 2 67 44 97, opyrhal@agh.du.pl
32 L. Opyrhał. Wsęp W ogólnośi funkja nizawodnośi wyraża się [4] wzorm: R( ) xp( λ ( τ ) dτ ) () gdzi: R() funkja nizawodnośi, λ() innsywność uszkodzń, zas, τ zminna ałkowania, a śrdni zas zawaryjnj pray S dfiniowany js jako: S R( ) d (2) Przy założniu, ż innsywność uszkodzń λ ni zalży od zasu, orzymuj się znan wzory: ( ) R, S (3) λ λ Jdnakż, jak wykazuj wilu auorów [np. 7] założni sałośi w zasi funkji innsywnośi uszkodzń na ogół ni js spłnion. W przypadku, gdy innsywność uszkodzń, js liniową funkją zasu, wzory na () i S zosały podan w [5] i na ogół ni dają wyrazić się w prosj posai. W nau o nizawodnośi szzgólną rolę odgrywa wykładniza zalżność innsywnośi uszkodzń od zasu, gdyż js ona najzęśij spoykana [4] w okrsi poząku i końa isninia wyworu hniki. Rozważniu, jak w ym przypadku olizać funkję nizawodnośi oraz śrdni zas zawaryjnj pray poświęony js ninijszy arykuł. 2. ypy wykładnizj funkji innsywnośi uszkodzń 2.. yp I maljąy Innsywność uszkodzń moż mić harakr maljąy (rys nr ), kidy o na poząku użykowania wyworu hniki innsywność uszkodzń js duża, po zym malj i urzymuj się na sałym poziomi. W ym przypadku funkja innsywnośi uszkodzń wyraża się wzorm:
Funkja nizawodnośi i zas zawaryjnj pray 33 λ ( ) a + (4) gdzi: a, i są sałymi oraz a,, >.aki yp innsywnośi uszkodzń odpowiada na przykład hydrohniznym udowlom pięrząym wodę. Na rysunku przdsawiono wykrs ksponnjalnj, maljąj funkji innsywnośi uszkodzń opisanj wzorm (4), gdzi, przyjęo nasępują warośi paramrów: a,,,2. Ih warość przyjęo ylko w lu pokazania wykrsu funkji. Dla konkrnj funkji innsywnośi uszkodzń paramry nalży wyznazyć modą symaji [np. ]. λ(),8,6,4,2,5,5 Rys.. Wykrs funkji innsywnośi uszkodzń. yp I maljąy. W wzorz (4) przyjęo warość paramrów: a,,2, λ() - +,2 Fig. h graph of h failur ra funions. yp I - drasing. In h formula (4) following valu of h paramr wr assumd: a,,,2. λ() - +,2 Jaźwiński i Fiok [4] podają, ż n yp funkji innsywnośi uszkodzń wysępuj w praky dla 68% przypadków. 2.2. yp II rosnąy Drugi przypadk wykładnizj zalżnośi o yp rosnąy (rys. nr 2). Na poząku użykowania wyworu hniki innsywność uszkodzń js sała, a od pwngo zasu, na skuk sarznia, szyko wzrasa. W ym przypadku funkja innsywnośi uszkodzń wyraża się wzorm: λ( ) a + (5) gdzi: a, i są sałymi oraz a,, >.
34 L. Opyrhał Na rysunku 2 przdsawiono wykrs ksponnjalnj, rosnąj funkji innsywnośi uszkodzń opisanj wzorm (5), gdzi przyjęo paramry: a -6,,,2. λ(),8,6,4,2,5,5 Rys 2. Wykrs funkji innsywnośi uszkodzń. yp II rosnąy. W wzorz (5) przyjęo warość paramrów: a -6,,,2. λ() -6 +,2 Fig 2. h graph of h failur ra funions. yp II - inrasing. In h formula (5) following valu of h paramr wr assumd: a -6,,,2. λ() -6 +,2 2.3. yp III maljąo-rosnąy yp III sanowi połązni ypu I i II. Poząkowo innsywność uszkodzń szyko malj, nasępni urzymuj sały poziom, aż do osiągnięia zasu granizngo G, kidy o nasępuj zmiana rndu z maljągo na wzrosowy. Poząkowo po zmiani rndu wysępuj okrs sailizaji uszkodzń, y w końowym okrsi gwałowni rosnąć. Funkja innsywnośi uszkodzń wyraża się wdy wzorm: dla < G λ( ) a + (6) gdzi: a, i są sałymi oraz a,, >, dla > G λ( ) d g + h (7) gdzi: d, g i h są sałymi oraz d, g, h >.
Funkja nizawodnośi i zas zawaryjnj pray 35 Sała h powinna yć ak dorana, ay funkja λ() yła iągła w punki G, zyli powinin yć spłniony warunk: a G h a + d G g G + d + h g G (8) Na rysunku 3 przdsawiono wykrs ksponnjalnj, maljąo-rosnąj funkji innsywnośi uszkodzń opisanj wzorami (6,7), gdzi przyjęo paramry: a,,,2, d -6, g, G,6. Sała h wylizona z warunku (8) wynosi h,2275. λ(),2,8,6,4,2 G,5,5 Rys. 3. Wykrs funkji innsywnośi uszkodzń. yp III maljąo-rosnąy. W wzorah (6,7) przyjęo warość paramrów: a,,,2, d -6, g, G,6. Sała h wylizona z warunku (8) wynosi h,2275. Dla < G funkja innsywnośi uszkodzń wynosi: λ() +,2; naomias dla > G wynosi: λ() -6 +,2275 Fig 3. h graph of h failur ra funions. yp III - drasing-inrasing. In formulas (6,7) following valu of h paramr wr assumd: a,,,2, d -6, g, G,6. H onsan alulad from h ondiion (8) is h,2275. For < G λ() +,2; whil for > G λ() -6 +,2275 Wdług Szopy [9] js o ypowy, najzęśij wysępująy w praky przig funkji innsywnośi uszkodzń.
36 L. Opyrhał 3. Funkja nizawodnośi i śrdni zas zawaryjnj pray 3.. Funkja nizawodnośi yp I Gdy innsywność uszkodzń js ypu I, zyli maljąa w zasi, wdy podsawiają zalżność (4) do wzoru () i wykonują ałkowani orzymujmy wzór na funkję nizawodnośi: τ RI ( ) xp( λ( τ ) dτ ) xp ( a + ) dτ (9) a xp ( τ + τ ) a xp a a xp ( ) Wykrs funkji nizawodnośi R() dla paramrów a,, podanyh w rozdzial 2. i wynosząyh: a,,2, pokazany js na rysunku 4. R(),2,8,6,4,2 2 4 6 Rys. 4. Wykrs funkji nizawodnośi R I () dla maljąj funkji innsywnośi uszkodzń. Przyję paramry wynoszą: a,,2. R I () xp(,(xp(- )-)-,2 ) Fig. 4. h graph of h rliailiy funion for drasing failur ra funion ssumd valu of h paramr ar: a,,2. R I () xp(,(xp(- )-)-,2 ) 3.2. Olizni śrdnigo zasu zawaryjnj pray Śrdni zas zawaryjnj pray orzymujmy podsawiają zalżność (9) do wzoru (2). ( ) d a S ( I ) xp ()
Funkja nizawodnośi i zas zawaryjnj pray 37 Poniważ ałka (9) ni js olizana przz kalkulaor ałk Wolfram Mahmaia [], wykonujmy nasępują przkszałnia. Dokonujmy podsawinia a/. Gdzi wzśnij założono, ż > i wzór () przyjmuj posać: S ( I ) xp xp [ ( ) ] xp( ) d xp( ) ( ) d d () Końową ałkę () rozwiązujmy modą podsawinia wprowadzają zminną u. du ln u u; d ; (2) u W graniah i zminna u przyjmuj nasępują warośi: limu lim limu lim Po podsawiniu zminnj u orzymujmy: du ( ) u ( ) S ( I ) xp xp u Wykorzysujmy osanią z formuł (2) oraz zaminiamy grani ałkowania du (3) (4) lnu S I du u ( ) xp xp Dla orzymania wzoru (5) wykorzysano poniższą ożsamość (6): lnu lnu u Wprowadzają /, orzymujmy: ( u ) S ( I ) xp du du (5) (6) (7)
38 L. Opyrhał Całkę (7) już można olizyć za pomoą kalkulaora Wolfram, kóry podaj dwa równoważn wyniki: u E ( ) u S ( I ) a po zamiani grani ałkowania u E ( u ) S ( I ) (8) gdzi przz E (-)/ oznazono funkję ałki ksponnjalnj zdfiniowanj jako: E ( z) n z d Drugi rozwiązani js posai: u u Γ, u (9) S ( I ) gdzi przz Γ oznazono funkję gamma Eulra, kórj dfinija podana js w wilu podręznikah mamayki np. []. Zgodni z wzśnijszymi podsawiniami warość odpowidnih paramrów wynosi: a ;. 3.2.. Rozwiązani analiyzn n ( ). Nisy wysępują prolmy przy olizniu oydwu formuł. Na przykład dla sałyh a,,,2 orzymujmy,, 5. W graniah ałkowania i orzymujmy - u -, 5 -, oraz - u -, 5. Jak podaj kalkulaor Wolfram funkja ksponnjalna przyjmuj warość E,98 (-,).56962-3.258 i oraz E,98 () i. Podony prolm wysępuj przy drugim rozwiązaniu (9). Czynnik - u < podnoszony js do poęgi rzzywisj równj -/. W ogólnośi aki rozwiązani ni isnij w ziorz liz rzzy-
Funkja nizawodnośi i zas zawaryjnj pray 39 wisyh. prziż funkję nizawodnośi ypu I można przdsawić w posai ilozynu dwóh funkji: Funkja sanowiąa pirwszy zynnik js w przdzial [,) funkją monoonizną i ogranizoną o: oraz: Jdnozśni drugi składnik js funkją ałkowalną w przdzial (,), gdyż: Zam, na moy kryrium la [3] isnij ałka z funkji R I () w graniah [,) i jako pol pod wykrsm nr powinna wyrażać się skońzoną lizą rzzywisą. 3.2.2. Rozwiązani numryzn Z punu widznia prakyki inżynirskij najważnijsz js orzymani lizowj warośi śrdnigo zasu zawaryjnj pray. hnizn szzgóły olizń mamayznyh ni są dla inżynira ison. Dlago śrdni zas zawaryjnj pray można olizyć sosują mody ałkowania numryzngo. W ym lu wykorzysano program owarj linji QOav [6] dosępny w każdj dysryuji Linuxa Uunu. y olizyć warość ałki oznazonj okrślonj wzorm () nalży w powyższym programi wykonać nasępują komndy: funion yw(x) a; ;.2; y^(a/*(^(-*x)-)-*x); ndfunion zquadv("w",,+5) a ( ) xp ( a RI ( ) xp ) a f ( ) xp a lim xp a ( ) xp a a ( ) xp ( ). d +.
32 L. Opyrhał Sał a,, przyjęo zgodni z podanymi warośiami w rozdzial 2.3. Górną granię ałkowania wynosząą przyjęo równą 5. Jako rzula orzymano warość: 4,5333. ardzo zliżony rzula orzymuj się przy zasosowaniu zwykłgo arkusza kalkulayjngo. Sosują modę rapzów oraz zminną długość przdziału ałkowania, podaną w a. orzymujmy warość ałki równą 4,5386. ala.. Przyję przdziały ałkowania numryzngo modą rapzów al.. ssumd rangs for numrial ingraion using h rapzoidal mhod od do długość przdziału,,,,,,, Różnia wynosi zaldwi, o z punku widznia inżynirskigo js wilkośią niisoną. Czyli ałkowani można z uray dokładnośi wykonać w zwykłym arkuszy kalkulayjnym. js o narzędzi dosępn każdmu inżynirowi. 3.3. Funkja nizawodnośi yp II Gdy innsywność uszkodzń js ypu II wdy podsawiają zalżność (5) do wzoru () i wykonują ałkowani orzymujmy wzór na funkję nizawodnośi: R II ( ) a xp ( λ( τ ) dτ ) xp xp( τ + τ ) xp a τ ( a + ) + dτ xp ( ) (2) Wykrs funkji nizawodnośi R II () dla paramrów podanyh w rodz. 2.3 i wynosząyh: a -6,,,2 prznuj rysunk 5. a a
Funkja nizawodnośi i zas zawaryjnj pray 32,5 R(),5,5,5 2 Rys. 5. Wykrs funkji nizawodnośi R II () dla rosnąj funkji innsywnośi uszkodzń, przyję paramry wynoszą: a -6,,,2. R II () xp(- -7 (xp( -)-,2 ) Fig. 5. h graph of h rliailiy funion for inrasing failur ra funion ssumd valu of h paramr ar: a -6,,,2. R II () xp(- -7 (xp( -)-,2 ) 3.4. Olizni śrdnigo zasu zawaryjnj pray Śrdni zas zawaryjnj pray orzymujmy podsawiają zalżność (2) do wzoru (2). a S ( II ) xp ( ) d (2) Całką olizymy wykonują analogizn przkszałnia i podsawinia jak w poprzdnim rozdzial. a ; xp podsawiamy u; S ( II ) ( ) olizamy grani xp [ ( ) ] xp( ) d xp( ) d; du d ; u lnu, d i orzymujmy: limu lim limu lim du ( ) u xp( ). S ( II ) xp du u
322 L. Opyrhał Zaminiamy zminną, grani ałkowania oraz podsawiamy xp ln u S ( II ) xp( u ) du. du xp u Jako wynik ałkowania Wolfram Mahmaia [] podaj: oraz formę alrnaywną, du gdzi, i u ma yć niujmn, o w rozważanym przypadku js spłnion. 3.4.. Rozwiązani analiyzn (22) (23) Podoni jak w poprzdnim przypadku wysępują kłopoy z zasosowanim wzoru (22), gdyż kalkulaor funkji [] podaj warość niskońzoną dla u. Naomias zasosowani wzoru (23) prowadzi do wyniku ędągo lizą rzzywisą. Na przykład dla sałyh a -6,,,2 orzymujmy nasępują wyniki Warość funkji Γ w graniah ałkowania (;) wynosi odpowidnio: dla u dla u u u ( u ) ( ) E u S ( II ) E,2, Γ S ( II ) Γ, u 7, 5, (,2; ) 49, 4422 u 7, Γ,38.,384, 7 (,2; ) 3,224.,276, 5,
Funkja nizawodnośi i zas zawaryjnj pray 323 Czyli S wynosi S Co parzą na wykrs funkji nizawodnośi (rys. 5) wydaj się yć warośią niralną. 3.4.2. Rozwiązani numryzn ( 3,224 49,4422) 4,9986.,38 Rozwiązani numryzn, ak jak poprzdnio zosało wykonan za pomoą programu QOav oraz modą rapzów i arkusz kalkulayjngo. W programi QOav wykonano nasępują insrukj: funion yw(x) a; ;.2; y^(-a/*(^(-*x)-)-*x); ndfunion zquadv("w",,+) i orzymano wynik S,3345. Idnyzny rzula uzyskuj się sosują modę rapzów i krok ałkowania,5. Różnia wyników uzyskanyh w ym i poprzdnim rozdzial js zaskakująo duża. 3.5. Funkja innsywnośi uszkodzń yp III W przypadku, gdy innsywność uszkodzń ma harakr maljąo rosnąy wzór, jakim wyraża się funkja innsywnośi uszkodzń zalży od górnj graniy ałkowania. Gdy < G, wdy RIII ( ) xp( λ( τ ) dτ ) xp a τ a xp( τ ) xp a xp ( ). τ ( a + ) a dτ (24) Naomias gdy > G, wdy
324 L. Opyrhał gdzi R III ( ) xp( a xp( a xp τ G d xpk g G τ gτ λ ( τ ) dτ ) xp ( a + ) dτ + ( d + h) τ ) a G g G + h d + g d g g gτ hτ d g + g G gg + h G G dτ + (25) a a d gg K G G + hg (26) g + oraz sał a,,, d, g, h >. Funkję nizawodnośi ypu III odpowiadająj maljąo-rosnąj innsywnośi uszkodzń dla paramrów a,,,2, d -6, g, h,2275 oraz G,6 prznuj rysunk nr 6. Warośi paramrów zosały przyję dowolni, w lu wykonania wykrsu. Dla rzzywisgo prolmu, warośi harakryzują funkję innsywnośi uszkodzń nalży olizać modą symaji [np. ]. W omawianym przypadku sała K zdfiniowana wzorm (26) wynosi K -,98467. 3.6. Olizni śrdnigo zasu zawaryjnj pray Śrdni zas zawaryjnj pray orzymujmy podsawiają wzór (24) i (25) do wzoru (2): S G a xp d g ( ) d + xpk + h d. G g (27) 3.6.. Rozwiązani analiyzn Z przyzyn podanyh w rozdzial 3.2.. ni da się w analiyzny sposó polizyć pirwszgo złonu ałki (27), a w rozdzial 3.4. wykazano nipoprawność olizń drugigo złonu ałki za pomoą kalkulaora Wolfram []. Dlago rza posłużyć się rozwiązanim numryznym.
Funkja nizawodnośi i zas zawaryjnj pray 325 R(),2,8,6,4,2,5,5 2 Rys. 6. Wykrs funkji nizawodnośi R III () dla maljąo-rosnąj funkji innsywnośi uszkodzń. Przyję warośi paramrów wynoszą: a,,,2, d -6, g, h,2275 oraz G,6. Funkja nizawodnośi wynosi: R III () xp(,(xp(- )-)-,2 ) dla <,6 oraz R III () xp(- -7 (xp( -)-,2275 ) dla >,6. Fig. 6. h graph of h rliailiy funion for drasing-inrasing failur ra funion. ssumd valu of h paramr ar a,,,2, d -6, g, h,2275 and G,6. h rliailiy funion is: R III () xp(,(xp(- )-)-,2 ) for <,6 whil R III () xp(- -7 (xp( -) -,2275 ) for >,6. 3.6.2. Rozwiązani numryzn Zasosowana w arkuszu kalkulayjnym moda rapzów z krokim ałkowania,5 daj rzula S,264. W programi QOav [6] nalży wykonać dwi opraj dla każdj ałki oddzilni, a nasępni zsumować wynik. funion yw(x) a; ;.2; y^(a/*(^(-*x)-)-*x); ndfunion zquadv("w",,.6) z.5267 funion yf(x) a-.98467; de-6; g; h.2275; y^(a-(d/g*^(g*x)+h*x)); ndfunion zquadv("f",.6,+) z.69548
326 L. Opyrhał Sumują orzyman warośi orzymuj się wynik S,26. Różnia pomiędzy wynikami uzyskanymi za pomoą QOav [6] oraz arkusza kalkulayjngo wynosi,2. 4. Wnioski Nalży zwróić uwagę na dwa uzyskan rzulay: ) w przypadku ałk wykładnizyh o podsawi, kalkulaor ałk [] najprawdopodonij ni daj poprawnyh rzulaów, gdyż olizona w rozdzial 3.4. modą analiyzną warość śrdnigo zasu zawaryjnj pray js wilkośią nipoprawną. Możliw js akż z kalkulaor funkji spjalnyh daj nipoprawn warośi. Wydaj się jdnak, ż z względu na fak sosowania funkji spjalnyh od XIX w i isniją ali ih warośi opja a js mnij prawdopodona; 2) różni pomiędzy śrdnimi zasami zawaryjnj pray olizonymi spjalisyznym programm do ałkowania numryzngo QOav [9], a olizniami modą rapzów przprowadzoną za pomoą zwykłgo arkusza kalkulayjngo ni przkrazają % warośi. W przypadku inżynirskim js o dokładność wysrazająa. Zam w lu oliznia śrdnigo, zawaryjngo zasu pray, ni ma koniznośi wykonywania skomplikowanyh ałk wykładnizyh, ądź sięgania po i uznia się osługi spjalisyznyh programów kompurowyh. W ym lu wysarzy olizyć sosunkowo prosą ałkę (), kórj rozwiązania można znalźć w aliah ałk [np.2, 8], a w lu oliznia warośi ałki (2) zasosować arkusz kalkulayjny i powszhni znaną modę rapzów. Podziękowania Składam srdzn podziękowania Pani dr ha. prof. GH nni arańskij za sprawdzni olizń i zwróni mi uwagi na łędy i niśisłośi. Liraura [] ajr J., Iwanjko R., Kapia J., Nizawodność sysmów wodoiągowyh i kanalizayjnyh w zadaniah, Polihnika krakowska, Kraków 26 r. [2] Dwigh H.., als of ingrals and ohr mahmaial daa, (wydani rosyjski), Moskwa 973 r. [3] Fihnholz G.M., Rahunk różnizkowy i ałkowy, 2, PWN, Warszawa, 972 r. [4] Jaźwiński J., Warzyńska-FiokK., zpizńswo sysmów, PWN, Warszawa 993. [5] Opyrhał L., Funkja nizawodnośi i zas zawaryjnj pray odpowiadająy liniowj innsywnośi uszkodzń, Czasopismo Inżynirii Lądowj, Środowiska i rhikury,. XXXI, z. 6, 24 r. sr. 73-82 [6] QOav, hp://www.gnu.org/sofwar/oav/, 2..25 r.
Funkja nizawodnośi i zas zawaryjnj pray 327 [7] Rak J.R. (rd), Kwiniwski M., Kowalski D., hórzwska-ciślak., Zimoh I., ajr J., Iwanjko R., Misza-Kruk K., Sudziński., oryzko K., Piruha- Uranik K., Pigoń I., Mody ony nizawodnośi i zpizńswa dosawy wody do odiorów, Ofiyna Wydawniza Polihniki Rzszowskij, Rzszów 23. [8] Ryżyk I.M., Gradszjn I.S., ali ałk sum, szrgów i ilozynów, PWN, Warszawa 964 r. [9] Szopa., Nizawodność i zpizńswo. Ofiyna Wydawniza Polihniki Warszawskij, Warszawa, 29 r. [] Wolfram Mahmaia, www.wolframalfa.om, 2..25 r. [] Whiakr E.., Wason G.N., Kurs analizy współzsnj, 2, PWN, Warszawa 968. HE RELIILIY FUNCION ND ERROR FREE RUNNING IME RESPECIVE O HE EXPONENIL FILURE RE S u m m a r y h rliailiy funion plays a fundamnal rol in h rliailiy, as i allows o alula h proailiy of failur in a givn im. o alula h rliailiy funion is nssary o alula h ingral of h failur ra funion. In urrn prai, h alulaion of rliailiy failur ra funion is usd, whih is onsan in im. h sam im givn ha h failur ra is no onsan ovr im. h simpls as of linar dpndn of h innsiy funion of im, damag has alrady n solvd. s poind ou y many auhors, h innsiy of h damag is h xponnial funion of im. hrfor, his aril xplains how h alulaions of h rliailiy and rror fr running im in h as whr h failur ra varis wih im xponnially. hr ar hr ass. Firs, whn h funion is drasing failur ra hn sood a h im. Suh dpndn ours a h ginning of h produ. h sond as is whn h ginning of h funion failur ra is sal ovr im and hn rapidly grows. his rlaionship orrsponds o h final phas of h produ. h hird as is a ominaion of h firs wo. I is drasing a h ginning of us, and hn was finally inrasd whn h lifim of h produ nds. s a rsul of alulaions oaind analyial formulas for h rliailiy funion R and h rror fr running im S. I has n shown ha in ordr o alula h rror fr running im nd nihr alula ingrals, nor o us spial sofwar. Jus o alula h orrsponding ingrals of h mhod of rapzoids and plain spradsh. Commid in his as, h rror is lss han %. hr is o nginrs a suffiin auray. Kywords: rliailiy funion, rror fr running im, failur ra, xponnial funion Przsłano do rdakji: 23.5.25 r. Przyjęo do druku: 3..25 r. DOI:.7862/r.25.6