FUNKCJA NIEZAWODNOŚCI I CZAS BEZAWARYJNEJ PRACY ODPOWIADAJĄCY LINIOWEJ INTENSYWNOŚCI USZKODZEŃ

Transkrypt

1 CZASOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXXI, z. 61 (1/14), styczeń-marzec 14, s Leszek OPYRCHAŁ 1 FUNKCJA NIEZAWODNOŚCI I CZAS BEZAWARYJNEJ PRACY ODPOWIADAJĄCY LINIOWEJ INTENSYWNOŚCI USZKODZEŃ Funkcja niezawodności odgrywa podstawową rolę w nauce o niezawodności, gdyż pozwala na oliczenie prawdopodoieństwa uszkodzenia w określonym czasie t. Ay oliczyć funkcję niezawodności, należy wyznaczyć całkę z funkcji intensywności uszkodzeń. W dotychczasowej praktyce oliczeń niezawodności stosowano funkcję intensywności uszkodzeń, która jest stała w czasie. Jednocześnie wielu autorów wskazuje, że intensywność uszkodzeń nie jest stała w czasie. Najprostszym przypadkiem jest liniowa zależność funkcji intensywności uszkodzeń od czasu. W związku z tym w niniejszej pracy został przedstawiony sposó oliczeń funkcji niezawodności oraz średniego czasu ezawaryjnej pracy, w przypadku gdy intensyw zmienia się liniowo w czasie, czyli at +. Podano wzory na średni czas ezawaryjnej pracy, gdy współczynnik a > oraz a <. Przedstawiono przykładowe oliczenia dla oceny niezawodności sieci wodociągowej. Oliczenia całek przeprowadzono za pomocą narzędzi udostępnionych na stronie internetowej WWW Wolfram-Mathematica. Pokazano, że otrzymane za pomocą zaproponowanej metody wartości średniego czasu ezawaryjnej pracy znacznie się różnią od dotychczasowego sposou opartego na założeniu czasowej niezmienności intensywności uszkodzeń. Różnice wynoszą od do 43%. Słowa kluczowe: funkcja niezawodności, czas ezawaryjnej pracy, intensywność uszkodzeń 1. Wprowadzenie W ogólności funkcja niezawodności wyraża się wzorem [1]: t R( t) exp ( ( ) d ) (1) gdzie: R(t) funkcja niezawodności, (t) intensywność uszkodzeń, 1 Leszek Opyrchał, Akademia Górniczo-Hutnicza, al. Mickiewicza 3, 3-59 Kraków, opyrchał@agh.edu.pl, tel

2 174 L. Opyrchał t czas, zmienna całkowania. Średni czas ezawaryjnej pracy T S jest definiowany jako: T R( t) dt () S Przyjmując założenie, że intensywność uszkodzeń nie zależy od czasu, otrzymuje się znane wzory: t 1 R( t) e, T S. Jednakże wielu autorów (np. []) wskazuje, że intensywność uszkodzeń jest funkcją czasu. Powstaje wówczas prolem, jaką postać przyjmuje funkcja niezawodności oraz jaką funkcją wyraża się średni czas ezawaryjnej pracy. Odpowiedź na to pytanie zostanie udzielona dla najprostszego przypadku, czyli gdy intensywność uszkodzeń jest liniową funkcją czasu. Wyniki całkowań otrzymano za pomocą narzędzi udostępnionych na stronie WolframAlfa [3].. Funkcja niezawodności i ezawaryjny czas pracy Oliczenie funkcji niezawodności Gdy intensywność uszkodzeń jest liniowo zależna od czasu, wtedy: ( t) at (3) gdzie a i są stałymi. Intensywność uszkodzeń maleje lu rośnie w czasie w zależności od znaku stałej a. Podstawiając zależność (3) do wzoru (1) i wykonując całkowanie, otrzymuje się wzór na funkcję niezawodności: t 1 t 1 (4) R( t) exp( ( a )d exp[( a ) ] exp[ t( at )] Oliczenie średniego czasu ezawaryjnej pracy Średni czas ezawaryjnej pracy otrzymuje się, podstawiając zależność (4) do wzoru (). W tym przypadku wynik jest nieco ardziej skomplikowany i wymaga rozważenia dwu przypadków. Przypadek a > Jeżeli a >, wtedy:

3 Funkcja niezawodności i czas ezawaryjnej pracy at t at d a ( ) a a TS e t e erf (5) Ay jednak równość (5) yła określona, musi yć spełniony warunek a >. Funkcja erf(x), zwana funkcją łędu, występująca we wzorze (5) wyraża się następującym wzorem [4]: erf ( x ) e d Posiada ona następujące właściwości: erf (), erf ( ) 1. x Funkcja erf jest funkcją nieparzystą, czyli: erf ( x) erf ( x). Dlax 1 można zastosować rozwinięcie Maclaurina [4]: erf ( x ) ( ) x 3 x 1 x 4 x.... Dla x 1 wartość funkcji erf(x) może yć oliczona także ze wzoru: x erf ( x) e ( x x x...) Dla x 1 wartość funkcji erf(x) jest oliczana na podstawie rozwinięcia: x e erf ( x) 1 ( x x x x...). 4 8 Wartości funkcji erf są podawane także w talicach statystycznych. W celu dokończenia oliczenia średniego czasu ezawaryjnej pracy należy oliczyć wartość funkcji (5) w granicach całkowania i. Ponieważ at lim t a

4 176 L. Opyrchał oraz erf( ) = 1, w górnej granicy całkowania t = otrzymuje się e. a Dla dolnej granicy całkowania t =, po podstawieniu tej wartości do wzoru (5), otrzymuje się wartość dolnej granicy całkowania e erf ( ). a a Wynik uzyskuje się, odejmując wartość dolnej granicy całkowania od górnej: a TS e (1 erf ( )) a a (6) Ponieważ erf( ) = 1, więc wielkość T S jest zawsze nieujemna. Przypadek a < W analizowanym przypadku należy wykonać podstawienie: a' a. Wówczas równanie (4) przyjmie postać: 1 1 R( t) exp ( a' t t) exp[ t( a' t )] (7) Średni ezawaryjny czas pracy ędzie się wyrażać wzorem: a a S 1 a' t t a' t d a ( ) (8) a a T e t e erfi Funkcja erfi(z), urojona funkcja łędu jest zdefiniowana jako: erf ( iz) erfi ( z), i gdzie z licza zespolona, i jednostka urojona, i posiada następujące właściwości: erfi (), erfi(1), erfi( ).

5 Funkcja niezawodności i czas ezawaryjnej pracy Funkcja erfi jest funkcją nieparzystą: erfi ( x) erfi ( x). W rozwinięciu Maclauriena dla x funkcja erfi(x) przyjmuje postać: erfi () x x x x x Dla dużych wartości x funkcja erfi(x) może yć przyliżona szeregiem: x erfi() x e ( x x 4 x Ponieważ w nieskończoności funkcja erfi przyjmuje wartość nieskończoną, całka (8) jest rozieżna. Wynika to z faktu, że funkcja intensywności uszkodzeń jest funkcją malejącą, co teoretycznie może doprowadzić do sytuacji, w której od pewnego czasu granicznego T L intensywność uszkodzeń (t) ędzie przyjmować wartości ujemne. Ponieważ jest to przypadek nieinżynierski, należy zmodyfikować funkcje niezawodności w następujący sposó: Jeżeli funkcja intensywności uszkodzeń jest liniowo zależna od czasu, czyli: () t at i jest spełniony warunek a <, to przez czas graniczny należy rozmieć czas, dla którego funkcja intensywności uszkodzeń przyjmuje wartość zerową: czyli ( t T ) at (9) T L L. a L Funkcja niezawodności R(t) ędzie definiowana następująco: 1 1 R( t) exp( at t) exp[ t( at )] dla t (, T L ), w pozostałych zaś przypadkach R ( t). Dla tej definicji funkcji niezawodności wzór (8) na średni czas ezawaryjnej pracy przyjmuj postać:

6 178 L. Opyrchał T 1 a' t t a' L a' t TL TS e d t e erfi ( ) a' a' gdzie a' = a. a'tl e a' [ erfi ( ) erfi ( )] (1) a' a' a' Uwzględniając równość (9), można stwierdzić, że mianownik w pierwszej funkcji erfi jest równy zeru, a ponieważ erfi() = oraz wykorzystując nieparzystość tej funkcji, otrzymuje się: a' TS e erfi ( ) a' a' (11) 3. Praktyczne oliczenia Talice funkcji erf(x) i erfi(x) W celu wykonania praktycznych oliczeń niezędna jest znajomość wartości funkcji erf(x) oraz erfi(x). Zamiast stosować rozwinięcia prościej jest skorzystać z talic ądź kalkulatorów funkcji dostępnych na stronie internetowej WolframAlfa (ta. 1. i.). Taela 1. Wartości funkcji erf(x) wyliczone za pomocą WolframAlfa Tale 1. The values of the function erf (x) calculated using WolframAlfa x erf(x) x erf(x) x erf(x) x erf(x) x erf(x),5, ,8478, , ,5,5637,55, ,1,8851,1,9975 3,1, ,1,11469,6, ,,91314,, ,,999994,15,167996,65,6493 1,3,93479,3, ,3, ,,76,7, ,4,95851,4, ,4, ,5,76364,75, ,5,966151,5, ,5, ,3,38668,8,7411 1,6, ,6,999764,35,379381,85, ,7,983795,7, ,4,48394,9, ,8,98995,8,99995,45, ,95,8898 1,9,99794,9,

7 Funkcja niezawodności i czas ezawaryjnej pracy Taela. Wartości funkcji erfi(x) wyliczone za pomocą WolframAlfa Tale. The values of the function erfi (x) calculated using WolframAlfa x erfi(x) x erfi(x) x erfi(x) x erfi(x) x erfi(x),5, , , , ,5,56446,55, ,1 1,991167,1 6, ,5 1, ,1,11315,6, ,,415913, 37, , ,15,175349,65, ,3,956866,3 55, ,5 1, ,,8713,7,9489 1,4 3, ,4 84, , ,5,88836,75 1, ,5 4,584733,5 13, , ,3, ,8 1, ,6 5, , , ,35, ,85 1, ,7 7, ,5 3, , ,4,466646,9 1, ,8 9, , ,45,544317,95 1, ,9 13, ,5 8, Przykład oliczeniowy Kwietniewski, adając intensywność uszkodzeń sieci wodociągowej, otrzymał następujące zależności []: dla przewodów azestowo-cementowych AC uszk. AC,3915t,9168, km rok dla przewodów stalowych uszk.,138t 1,6883. km rok Zgodnie ze wzorem (4) odpowiednie funkcje niezawodności wynoszą: RAC ( t) exp,1958t,9168 t, RSTAL ( t) exp,664t 1,6883 t. Kształt funkcji niezawodności pokazano na rys. 1.

8 18 L. Opyrchał Rys. 1. Wykres funkcji niezawodności R(t) dla rurociągów stalowych (STAL) i azestowo-cementowych (AC) Fig. 1. The plot of the reliaility function R (t) for steel (STEEL) and asestoscement (AC) pipelines W celu oliczenia średniego ezawaryjnego czasu pracy dla przewodów AC stosuje się wzór (6), ponieważ stała a =,3915 >.,9168,3915 3,14159,9168 TS ( AC) e (1 erf ( )) km rok,,3915,3915 gdzie wartość funkcji erf (1,368) =,8563 yła interpolowana na podstawie danych zawartych w ta. 1. W celu oliczenia czasu ezawaryjnej pracy dla rurociągu stalowego należy zastosować wzór (11), gdyż współczynnik a w liniowej funkcji intensywności uszkodzeń jest mniejszy od zera. 1,6883,138 3, ,6883 TS e erfi ( ), 65 [km rok].,138,138 Wartość funkcji erfi(3,7594) = 834,1 oliczono kalkulatorem funkcji znajdującym się na stronie WolframAlfa. 4. Dyskusja Oliczona na podstawie danych podanych przez Kwieniewskiego [] średnia uszkadzalność przewodów w latach 7-11 wynosiła odpowiednio:

9 Funkcja niezawodności i czas ezawaryjnej pracy uszk. uszk.,91, 1,898 km rok km rok AC STAL. Przyjmując model stałości uszkadzalności w czasie, czyli (t) = const, można oliczyć średni czas ezawaryjnej pracy, który dla odpowiednich przewodów wynosi: T T S ( AC) S ( STAL) 1 1,478 km rok, AC,91 1 1,755 km rok. 1,898 STAL Porównując otrzymane wyniki z rezultatami z poprzedniego punktu T S(AC) = =,84 km rok oraz T S(STAL) =,65 km rok, otrzymuje się względne różnice rezultatów:,84,478 TS ( AC),43 43,%,, 84,65,775 TS ( STAL),4 4,%.,65 Można zauważyć znaczną rozieżność wyników, ponieważ czas ezawaryjnej pracy jest oliczany na podstawie całki () od zera do nieskończoności, czyli oejmuje cały okres istnienia adanego wytworu techniki. Czas ezawaryjnej pracy jest zatem prognozą. Natomiast intensywność uszkodzeń jest otrzymywana na podstawie rzeczywistych, zaoserwowanych awarii. Jeżeli na tej podstawie, tj. intensywności uszkodzeń, olicza się prognozę ezawaryjnego czasu pracy, to poprawność modelu wyjściowego, czyli funkcji intensywności uszkodzeń, odgrywa decydującą rolę w wiarygodności otrzymanych wyników. 5. Wnioski Uwzględnienie liniowego modelu funkcji intensywności uszkodzeń znacznie poprawia wyniki oliczeń średniego ezawaryjnego czasu pracy. Dlatego należy kontynuować proponowane oliczenia zwłaszcza dla wykładniczych w czasie funkcji intensywności uszkodzeń. Literatura [1] Jaźwiński J., Waryńska-Fiok K.: Bezpieczeństwo systemów. PWN, Warszawa 1993.

10 18 L. Opyrchał [] Rak J.R. (red.), Kwietniewski M., Kowalski D., Tchórzewska-Cieślak B., Zimoch I., Bajer J., Iwanejko R., Miszta-Kruk K., Studziński A., Boryczko K., Pietrucha- Uranik K., Piegoń I.: Metody oceny niezawodności i ezpieczeństwa dostawy wody do odiorców. Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, Rzeszów 13. [3] WolframAlfa, ( r.). [4] Dwight H.: Tales of integrals and other mathematical data. The MacMillan Company, New York THE RELIABILITY FUNCTION AND ERROR FREE RUNNING TIME RESPECTIVE TO THE LINEAR FAILURE RATE S u m m a r y The reliaility function plays in the science of the reliaility of the fundamental role since it allows the calculation of the proaility of damage at a given time t. To calculate the reliaility function should calculate the integral of the function of the failure rate function. In current practice, the calculation of reliaility the failure rate function is used which is constant over time. At the same time, many authors indicates that the failure rate is not constant over time. The simplest case is a linear correlation function of the intensity of damage over time. Therefore, in this article is the reliaility function calculation method, and the mean error free running time in the case where failure intensity varies linearly in time, that is, = at +. Formulas are given for the mean time etween failures when the original coefficient if a >, and if a <. There are examples estimated to assess the reliaility of the water supply system. The calculation of the integrals were performed using the tools availale on the we site Wolfram-Mathematica. It is shown that calculated using the proposed method the mean time to failure-free operation are significantly different from the previous method ased on the assumption of time invariance intensity of damage. The difference amounts from % to 43%. Keywords: reliaility function, errof free running time, failure rate Przesłano do redakcji: r. Przyjęto do druku:.6.14 r. DOI:1.786/r.14.1