DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 2005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersye Mikołaja Kopernika Empiryczna weryfikacja modeli popyu na pieniądz: zasosowanie analizy koinegracji nieliniowej 1. Wprowadzenie Jes bardzo prawdopodobnym, że żaden problem ekonomiczny nie zosał opisany na większej liczbie sron w czasopismach ekonomicznych i nie spowodował większego przerzucania danych niż poszukiwanie sabilnej i inerpreowalnej funkcji popyu na pieniądz 1. Równanie popyu na pieniądz jes jedną z głównych zależności behawioralnych w eorii i prakyce monearnej, co powoduje, że właściwa specyfikacja posaci funkcyjnej ej zależności jes kluczowa w wykonywaniu poliyki pieniężnej. Przyjmowanie bezpośredniego celu inflacyjnego przez banki cenralne (Direc Inflaion Targeing DIT) odsuwa nieco uwagę od modelowania popyu na pieniądz, jednak zmiany w agregaach pieniężnych nadal należą do zbioru wskaźników branych pod uwagę przez kraje prowadzące poliykę DIT. W pracach z zakresu makroekonomii sosowanej czyni się wyraźne rozróżnienie pomiędzy zależnościami zachodzącymi w długim i krókim okresie. Modelowanie długookresowego popyu na pieniądz należy do klasycznych zasosowań analizy koinegracji liniowej (parz np. Johansen, Juselius, 1990, Ericsson, 1998). Obecnie coraz częściej rozluźnia się założenie o liniowości zależności długookresowej i/lub symeryczności i proporcjonalności dososowania do długookresowego położenia równowagi, wykorzysując w badaniu popyu na pieniądz analizę koinegracji nieliniowej (Vinod, 1999, Bae, de Jong, 2004), nieliniowe modele koreky błędem (Lükepol i in., 1999, Escribano, 2004) oraz badanie nieliniowego co-rendingu (Cushman, 2002). 1 Hisoryczny przegląd sposobów modelowania popyu na pieniądz można znaleźć w pracy Hoffman, Rasche (1996).
144 Celem arykułu jes próba weryfikacji posaci funkcyjnych modeli popyu na pieniądz realny w gospodarce polskiej z wykorzysaniem paramerycznego podejścia do analizy koinegracji nieliniowej. Badanie zosało uzupełnione analizą nieliniowej koinegracji jedną z meod nie wymagających paramerycznej bądź nieparamerycznej esymacji zależności w długim okresie oraz esowaniem nieliniowego co-rendingu Bierensa (2000). W dalszej części arykułu, w punkach 2 i 3, zosaną skróowo przedsawione eorioekonomiczne podsawy modelowania popyu na pieniądz wraz z krókim wprowadzeniem do meod analizy nieliniowej koinegracji, uzupełnionym uwagami meodologicznymi. W punkcie 4 prezenuje się skróowo wyniki badania doyczącego modelowania zmodyfikowanego agregau M3. Arykuł zamykają wnioski końcowe. 2. Modelowanie popyu na pieniądz Posać funkcyjna modelu popyu na pieniądz jes zwykle wyprowadzana w ramach modelu równowagi ogólnej, w kórym reprezenaywne gospodarswo domowe maksymalizuje międzyokresową funkcję użyeczności konsumpcji i czasu wolnego posaci: V ( C, L) = j= U ( C j, L j ) β j gdzie C j i L j oznaczają konsumpcję pewnego dobra (consumpion) i wykorzysanie czasu wolnego (leisure) w okresie j, U jes wklęsłą funkcja użyeczności, rosnącą w malejącym empie ze względu na każdy z argumenów, zaś β jes czynnikiem dyskonującym odzwierciedlającym preferencje czasowe gospodarswa domowego. Przyjmuje się przy ym, że czas L j, jakim dysponują agenci poza pracą, jes dzielony między czas wolny oraz czas poświęcony na zakupy, en osani zaś jes funkcją sanu kona wyrażonego w warościach realnych, M /P (M oznacza nominalny san kona, zaś P jes poziomem cen). Nasępnie posuluje się isnienie dwóch rodzajów akywów finansowych, z kórych pierwszy, określany jako pieniądz M, daje nominalną sopę zwrou zw. walorem alernaywnym W o nominalnej sopie zwrou R > R. Ograniczenie budżeowe, jakiemu podlega gospodarswo domowe, ma przy ym posać W W M + M = (1 + R 1 ) W 1 + (1 + R 1 ) M 1 M R W M (1), zaś drugi jes P C. (2) W ramach zarysowanego powyżej modelu funkcję popyu na pieniądz orzymuje się jako produk uboczny maksymalizacji funkcji użyeczności V przy warunku (2). W ogólności posać funkcyjna popyu na pieniądz zależy od przyjęych założeń doyczących posać funkcji U oraz L. Przy założeniu, że funkcja L zależy jedynie od realnego sanu kona M /P, zaś funkcja użyeczności jes funkcją CES posaci
Empiryczna weryfikacja modeli popyu na pieniądz... 145 δ 1 δ 1/ [ ωc + (1 ω)( M / P ) ] δ U, (3) = gdzie δ <1 i δ 0, orzymujemy podwójnie logarymiczne równanie popyu na pieniądz M ( ω ) = ln( ) ln β + ln( C ) ln( R R ) ln 1 δ γ, (4) 1 P ω gdzie γ = 1/(1 δ ) (parz Sracca, 2001). W prakyce innowacje finansowe mogą z czasem obniżyć dochodową elasyczność popyu na pieniądz poniżej warości jeden 2. Dodakowo w modelach empirycznych w charakerze zmiennych objaśniających częso uwzględnia się osobno dwie sopy zwrou i (lub W ylko sopę R ) przewidując, że paramer sojący przy sopie zwrou z alernaywnego waloru będzie ujemny, zaś odpowiedni paramer dla depozyów bankowych, odpowiadających modelowanemu agregaowi, będzie dodani. Model podwójnie logarymiczny zakłada, że elasyczność popyu na pieniądz względem sopy procenowej jes niezależna od wysokości ej sopy (lub srukury erminowej sóp). Tymczasem preferencje płynności agenów mogą zależeć od rodzaju reżimu monearnego, j. od poziomu inflacji i ym samym nominalnej sopy procenowej. Zjawisko o dobrze opisuje popularna w lieraurze semilogarymiczna posać funkcyjna popyu na pieniądz (parz Ericsson, 1998): ( M ) ( ) ( = k + φ ln C γ R R ) ln, (5) P kóra zakłada, że elasyczność względem rozpięości sóp procenowych jes rosnącą funkcją ej rozpięości, co powoduje, iż preferencje płynności agenów są malejącą funkcją poziomu nominalnej sopy procenowej. Z drugiej srony popy na pieniądz pojedynczego gospodarswa domowego może posiadać nieciągłość dla pewnego poziomu nominalnej sopy procenowej, przy kórej dochód z lokay nie kompensuje koszów z nią związanych (np. koszów ransakcyjnych). Dlaego preferencje płynności znajdą się na wysokim sałym poziomie, gdy rozpięość sóp procenowych obniży się poniżej pewnej warości progowej. Ponieważ próg en może się zmieniać dla różnych agenów, w wielkościach zagregowanych zamias nieciągłości będziemy obserwować pewien ogólny wzros elasyczności popyu względem sopy procenowej. Aby opisać en efek Hoffman, Rasche (1996), sr. 103, Ashworh i Evans (1998) oraz Sracca (2001) proponują sosowanie funkcji logarymiczno-odwronej (log-inverse) posaci: R R 2 Większość modeli równowagi ogólnej posuluje ścisłą długookresową zależność między konsumpcją i dochodem. W modelach empirycznych zmienna C, odpowiadająca za poziom akywności gospodarczej, jes zwykle aproksymowana poprzez PKB, prywaną konsumpcję, produkcję przemysłową bądź sprzedaż dealiczną.
146 M γ ( ) = k + φ ln( C ) + ln, (6) P R R Trzy proponowane posacie funkcyjne modelu popyu na pieniądz można zapisać wykorzysując ransformację Boxa-Coxa jako M ( ) ( ) ( R R ) = k + φ ln C γ P λ λ ln. (7) gdzie λ = 0, 1 i 1 odpowiadają modelom (4), (5) i (6). Elasyczność popyu na pieniądz względem sopy procenowej wynosi wówczas γ ( R R ) λ. Pyanie o właściwą posać funkcyjną saje się wobec ego głównie pyaniem o charakerze empirycznym. 3. Koinegracja nieliniowa definicje i uwagi meodologiczne W lieraurze ekonomerycznej pojęcie koinegracji nieliniowej rozumie się zwykle dwojako. Jedni auorzy rozważają liniową posać zależności w długim okresie z nieliniowym dososowaniem do długookresowego położenia równowagi. Rozważania e zaowocowały badaniami nad wpływem nieliniowości procesów dososowawczych na meody esymacji i esowania zależności koinegracyjnych (parz np. Balke, Fomby, 1997, Charemza, Makarova, 1999). Analizuje się przy ym najczęściej procesy dososowawcze w posaci procesów dwuliniowych bądź kawałkami liniowych (piecewise linear), akich jak procesy SETAR (co określa się jako koinegrację progową hreshold coinegraion), lub LSTAR i ESTAR (co określane jes jako koinegracja wygładzonego przejścia smooh ransiion coinegraion). Alernaywnie rozważa się nieliniowe modele koreky błędem, w kórych koreka ze względu na odchylenie od długookresowego położenia równowagi ma posać dwuliniową, wielomianową, kawałkami liniową lub inną. Escribano i Mira (2002) częściowo rozszerzają wierdzenie Grangera o reprezenacji na przypadek procesów nieliniowych dowodząc, że jeśli dla uogólnionych procesów I(1) isnieje nieliniowy model koreky błędem, o procesy akie są liniowo skoinegrowane przy pewnych dodakowych założeniach na ema nieliniowego procesu dososowawczego. Ponado Escribano (2004) pokazuje, że nieliniowy model koreky błędem można równoważnie przedsawić w posaci nieliniowego procesu dososowawczego ylko wówczas, gdy spełnione są założenia o wysępowaniu zw. wspólnych czynników (common facors). Druga grupa auorów skupia uwagę na nieliniowej posaci funkcyjnej zależności w długim okresie, rozważając wekor niesacjonarnych procesów sochasycznych X = X X K X ], dla kórego isnieje mierzalna funkcja f aka, [ 0 1 k f ( X 0, X, K, X k że proces η = 1 ) jes procesem sacjonarnym lub α- mieszającym (geomerycznie ergodycznym, NED - near epoch dependen), albo
Empiryczna weryfikacja modeli popyu na pieniądz... 147 s ogólnie mówiąc procesem o słabszej srukurze zależności niż składowe wekora X. W ym nurcie badań prekursorami byli Granger i Hallman (1991), kórzy wprowadzili pierwszą operacyjną definicję koinegracji nieliniowej i zdefiniowali pojęcia procesów z króką i rozszerzoną pamięcią w średniej (shor and exended memory in mean), bardziej przysające do analizy procesów nieliniowych niż radycyjnie rozumiane procesy I(0) i I(1). Wadą podejścia Grangera i Hallmana była niekonsekwencja polegająca na ym, że w proponowanej procedurze esowania nieliniowej koinegracji oparli się oni na zwykłych esach pierwiasków jednoskowych, j. esach dla procesów liniowych. Z ego powodu w dalszych rozważaniach na ema nieliniowych zależności długookresowych kolejni auorzy bazują na uogólnionym pojęcie procesu sacjonarnego jako akiego, kóry spełnia funkcjonalne cenralne wierdzenie graniczne (parz np. Breiung, 2001, Dufréno, Mignon, 2002). Procesy ego ypu daje się wygodnie scharakeryzować z wykorzysaniem koncepcji mieszania (αmixing). Proces sochasyczny jes procesem α-mieszającym, jeśli zależy głównie od swych bieżących warości. Formalnie, jeśli jes procesem sochasycznym, a F = σ X, K, X ) generowaną przez niego σ-algebrą, o jes ( s α-mieszający, gdy α m 0 wraz z m, przy czym α m są współczynnikami posaci α m = sup sup P( G F) P( G) P( F). (8) { F F, G F + m} Uogólniony proces zinegrowany definiuje się wówczas jako aki proces niemieszający, kóry saje się α-mieszający po d-kronym zróżnicowaniu. Bazując na definicji procesu α-mieszającego Dufréno i Mignon (2002) wprowadzili do ekonomerii dynamicznej pojęcie wspólnego mieszania (comixing) jako rozszerzenie koncepcji koinegracji nieliniowej na przypadek procesów nieliniowych. Jeśli dane są dwa procesy niemieszające X i Y, o powiemy, że są one wspólnie mieszające (są ze sobą w relacji mieszania), jeśli (1) isnieje funkcja mierzalna f aka, że f ( X, Y, θ ) jes α-mieszający lub o krókiej pamięci w średniej dla θ =θ pamięci w średniej dla θ θ ; (2) isnieje funkcja mierzalna f aka, że f ( X, Y, θ ) jes niemieszający, ale o słabszej srukurze zależności niż procesy X i Y. X X i niemieszający lub o rozszerzonej O procesach X i Y zakłada się najczęściej, że mają en sam poziom auozależności, mierzonej np. rzędem uogólnionej inegracji. Podobna srukura auozależności procesów sanowi warunek konieczny budowy modelu zrównoważonego (balanced equaion) w rozumieniu Grangera (1995), czy modelu zgodnego w rozumieniu Zielińskiego (1991) i Kufla (2002). Definicję wspólnego mieszania dwóch procesów niemieszających można w bezpośredni sposób uogólnić na przypadek dowolnej liczby procesów. Przypadkiem szczególnym
148 procesów wspólnie mieszających są procesy skoinegrowane (liniowo bądź nieliniowo). Jeśli w definicji koinegracji wykorzysamy uogólnione pojęcie procesu zinegrowanego, erminy koinegracja i wspólne mieszanie będą w isocie oznaczać o samo. W niniejszym arykule pod pojęciem nieliniowej koinegracji rozumie się wysępowanie procesów w relacji wspólnego mieszania. Meody badania ak rozumianej koinegracji można podzielić na meody wymagające (paramerycznej bądź nieparamerycznej) esymacji posaci funkcyjnej zależności w długim okresie oraz meody niewymagające esymacji ej posaci funkcyjnej. W pierwszym przypadku do resz z poencjalnej zależności koinegracyjnej dla procesów zinegrowanych sosuje się różne meody badanie krókiej pamięci w średniej, akie jak zmodyfikowana analiza R/S, esy isoności współczynników wzajemnej informacji (lub innych miar zależności nieliniowej, jak np. współczynników maksymalnej korelacji czy miar enropii, a akże momenów wyższych rzędów w rodzaju funkcji bikowariancyjnej lub funkcji kowariancyjnej dla kwadraów) dla dużych opóźnień τ oraz esy sacjonarności i pierwiasków jednoskowych bazujące na uogólnionych definicjach procesów I(0) i I(1), akie jak es KPSS w swojej uogólnionej wersji dla resz z zależności długookresowej czy rangowy es pierwiasków jednoskowych. Oprócz wymienionych powyżej meod w esowaniu własności mieszania można wykorzysać esy krókiej pamięci w informacji, sugerowane przez Aparicio i Escribano (1998) w konekście zw. koinegracji informacyjnej. Naomias w drugiej grupie meod badania koinegracji nieliniowej można wyróżnić rangowy es koinegracji Breiunga (2001) oraz es wspomnianej już koinegracji informacyjnej. Ponieważ w niniejszym arykule główny nacisk kładzie się na badanie koinegracji w oparciu o esy dla resz z oszacowanej paramerycznie zależności długookresowej, należy sarannie wybrać meodę esymacji ej zależności. Właściwym wyborem wydaje się meoda FMOLS (fully modified ordinary leas squares) Phillipsa i Hansena (1990). Po pierwsze jes ona bardziej odporna niż MNK na nieliniowość procesu dososowawczego np. ypu dwuliniowego (parz Charemza, Makarova, 1999), ymczasem esując własność mieszania dopuszczamy wysępowanie sabilnych nieliniowych procesów dososowań. Po drugie koryguje ona obciążenie esymaorów paramerów relacji długookresowej związane z auokorelacją resz. Po rzecie wreszcie - dopuszcza sosowanie regresorów, kóre nie są słabo egzogeniczne, ymczasem w badaniu popyu na pieniądz zw. zmienna skali (np. PKB) częso nie jes słabo egzogeniczna względem paramerów zależności długookresowej (por. Fagan, Henry, 1998). W lieraurze na ema modelowania relacji makroekonomicznych dla zmiennych niesacjonarnych (w ym modelowania popyu na pieniądz) dokonuje się zwykle wyboru posaci funkcyjnej poprzez sosowanie esów liniowej koinegracji (przyjmując jako właściwą zależność, dla kórej zachodzi własność skoinegrowania) oraz różnego ypu esów diagnosycznych i esów hipoez niezagnieżdżonych zasosowanych do modeli koreky błędem, będących ekonomeryczną konsekwencją wysępowania koinegracji. To modele koreky błę-
Empiryczna weryfikacja modeli popyu na pieniądz... 149 dem poddaje się badaniu sopnia dopasowania, własności predykywnych, braku auokorelacji i heeroskedsyczności resz oraz poprawności posaci funkcyjnej. Naomias równanie długookresowe jes badane pod względem sabilności paramerów, co sanowi swojego rodzaju es poprawności specyfikacji modelowej i częso może być inerpreowane jako es wysępowania koinegracji (parz Hansen, 1992). Równania zależności długo- i krókookresowej bada się również pod względem sensowności saysycznej i ekonomicznej inerpreacji oraz ważności przyjęych a priori resrykcji. Należy jednak zaznaczyć, że jak do ej pory nie opracowano esów hipoez niezagnieżdżonych dla zależności koinegracyjnych, co pozwoliłoby bezpośrednio porównywać różne (w szczególności nieliniowe) specyfikacje między sobą. Z ego powodu Ashwoh i Evans (1998) proponują sosowanie ego ypu esów (np. sandardowego esu J) do sacjonarnych modeli koreky błędem. Alernaywą względem ego podejścia wydaje się być esowanie koinegracji nieliniowej, dopuszczającej nieliniowość procesu dososowaw-czego w bardzo ogólnej formie. Myślą przewodnią ego arykułu jes propozycja sosowania esów koinegracji nieliniowej jako meody poszukiwania akiej posaci funkcyjnej zależności długookresowej, kóra daje proces dososowawczy o relaywnie krókiej pamięci w średniej, będąc w en sposób narzędziem weryfikacji różnych posaci funkcyjnych. Waro również zauważyć, że przejście od koinegracji liniowej do esowania wspólnego mieszania jako podejścia bardziej uniwersalnego pozwoli znajdować sabilne położenia równowagi długookresowej am, gdzie zawodziły zwykłe esy koinegracji. Umożliwi o powórną weryfikację wielu hipoez makroekonomicznych i finansowych. 4. Wyniki empiryczne W badaniu wykorzysano nasępujące dane miesięczne z okresu 01.1993-02.2004 (134 obserwacje) 3 : dososowany sezonowo realny zmodyfikowany agrega M3, dososowaną sezonowo produkcję przemysłową w cenach sałych z M 1995 r., średnią sopę oprocenowania złoowych ROR jako miarę R oraz średnie oprocenowanie depozyów złoowych 3-miesięcznych w głównych W bankach komercyjnych jako miarę R. W dalszej analizie przyjmuję nasępujące oznaczenia: lnm3r logarym M3, lnip logarym produkcji przemysłowej, l_s rozpięość między długo- i krókookresową sopą procenową, lnl_s logarym l_s, invl_s odwroność l_s. 3 Zmodyfikowany agrega M3 zosał zaproponowany w pracy Ko (2004) jako wielkość dososowana ze względu na zw. podaek Belki z lisopada 2001 r. i zmianę meodologiczną w saysykach publikowanych przez NBP z marca 2002 r. Pragnę podziękować panu Adamowi Ko z Deparamenu Analiz Makroekonomicznych i Srukuralnych NBP za użyczenie ego szeregu czasowego na porzeby niniejszej pracy.
150 We wsępnej analizie szeregów esem KPSS z wyborem pasma meodą Neweya-Wesa i dwoma ypami hipoezy zerowej okazało się, że wszyskie szeregi można w zasadzie rakować jako procesy I(1). Jednak w dwóch przypadkach nie odrzucono H 0 o rendo-sacjonarności na poziomie isoności 5% (dla lnip oraz invl_s), zaś w przypadku szeregu l_s na ym samym poziomie isoności odrzucono hipoezy o sacjonarności i rendo-sacjonarności dla przyrosów. Zasosowane ransformacje szeregu l_s isonie wpływają więc na jego własności saysyczne (por. Ashworh, Evans, 1998). Nasępnie sosując esymaor Phillipsa-Hansena oszacowano rzy posacie zależności zgodnie z formułą (8) oraz dodakowo kolejne rzy równania, w kórych uwzględniono rend liniowy w zależności długookresowej jako efek procesu moneyzacji gospodarki polskiej (por. Ko, 2004). Wyniki esymacji oraz esowania sabilności paramerów zależności długookresowej za pomocą rzech saysyk Hansena (1992) zawaro w abeli 1 w dokumencie Wyniki.pdf na sronie domowej auorki (hp://www.uni.orun.pl/~bruzdaj). Trzy pierwsze modele mają znaki i wielkości paramerów zgodne z eorią, przy czym model semilogarymiczny charakeryzuje się sabilnością paramerów. W przypadku modeli z rendem znaki paramerów przesają być inerpreowalne, choć wszyskie modele wydają się mieć sabilne paramery srukuralne. Tesowanie nieliniowej koinegracji przeprowadzono z wykorzysaniem esu KPSS (posłużono się przy ym małopróbkowymi warościami kryycznymi dla resz z zależności koinegracyjnej parz Sephon, 1996), analizy R/S poprawionej zgodnie z sugesią Lo (1991), esów isoności współczynników wzajemnej informacji oraz esu Beiunga. Dodakowo przeprowadzono es nieliniowego co-rendingu Bierensa oraz es J obejmowania w wariancji dla modeli koreky błędem, zbudowanych z wykorzysaniem wyników esymacji meodą FMOLS. Wyniki zawierają abele 2 7 znajdujące się we wspomnianym dokumencie. Tes KPSS wskazuje (na poziomie isoności 5%) wysępowanie koinegracji ylko w przypadku modeli 1 i 6. Wyniki analizy R/S każą odrzucić hipoezę o krókiej pamięci w średniej w przypadku resz z modeli 2, 4 i 6. Analizując wyniki esów isoności współczynników wzajemnej informacji można zauważyć, że najkrószą pamięć w średniej mają reszy z modelu 2, zaś najdłuższą z modelu 1. Tes Breiunga pozwala odrzucić hipoezę o niewysępowaniu koinegracji nieliniowej na poziomie isoności 5%, zaś es nieliniowego corendingu wskazuje na wysępowanie dwóch wekorów, dających liniowe kombinacje zmiennych, kóre są sacjonarne wokół liniowego rendu. Każdy z 6 zbudowanych modeli VEC wskazywał na brak słabej egzogeniczności zmiennej lnip, zaś esy J nie pozwoliły wyróżnić modeli obejmujących inne w wariancji.
Empiryczna weryfikacja modeli popyu na pieniądz... 151 5. Wnioski końcowe Porównywanie różnych specyfikacji nieliniowych oparych o zmienne niesacjonarne jes problemayczne ze względu na o, że jak doąd nie zbadano własności esów hipoez niezagnieżdżonych w konekście relacji koinegrujących. Niekórzy auorzy proponują wobec ego sosowanie esów ego ypu do modeli koreky błędem. Alernaywę w sosunku do ego podejścia może sanowić analiza nieliniowej koinegracji, kóra pozwoli znajdować sabilne zależności długookresowe am, gdzie zawodzą zwykłe esy koinegracji oraz będzie pomocna przy wyborze właściwej posaci funkcyjnej ej zależności, wskazując na procesy dososowawcze o względnie krókiej pamięci w średniej. Spośród sześciu porównywanych posaci modeli popyu na pieniądz w gospodarce polskiej, zgodnie z proponowaną meodologią, najlepszych wyników dosarczyły modele 1 i 2, przy czym esy Hansena oraz esy isoności współczynników wzajemnej informacji wskazały na model semilogarymiczny, zaś es KPSS oraz analiza R/S wyróżniły model podwójnie logarymiczny. Popularne esy obejmowania w wariancji zasosowane do modeli koreky błędem nie pozwoliły rozsrzygnąć między alernaywnymi specyfikacjami. Lieraura Aparicio, F. M., Escribano, A. (1998), Informaion-Theoreic Analysis of Serial Dependence and Coinegraion, Sudies in Nonlinear Dynamics and Economerics, 3, 119 140. Ashworh, J., Evans, L. (1998), Funcional Form of he Demand for Real Balances in Cagan s Hyperinflaion Model, Applied Economics, 30, 1617 1623. Bae, Y., de Jong, R. M. (2004), Money Demand Funcion Esimaion by Nonlinear Coinegraion, Working Paper, Ohio Sae Universiy. Balke, N. S., Fomby, T. B. (1997), Threshold Coinegraion, Inernaional Economic Review, 38, 627 645. Bierens, H. J. (2000), Nonarameric Nonlinear Co-Trending Analysis, Wih an Applicaion o Ineres and Inflaion in he U.S., Journal of Business and Economic Saisics, 18, 323 337. Breiung, J. (2001), Rank Tess for Nonlinear Coinegraion, Journal of Business and Economic Saisics, 19, 331 340. Charemza, W. W., Makarova, S. (1999), Long-Run Relaionships and Bilinear Processes: Iniial Resuls, refera prezenowany na XXVIII Konferencji Zasosowania Maemayki, Zakopane-Kościelisko, 21 28 września 1999. Coenen, G., Vega, J.-L. (2001), The Demand for M3 in he Euro Area, Journal of Applied Economerics, 16, 727 748. Cushman, D. O. (2002), Nonlinear Trends and Co-Trending in Canadian Money Demand, Sudies in Nonlinear Dynamics and Economerics, 6, 1, 4.
152 Dufréno, G., Mignon, V. (2002), Recen Developmens in Nonlinear Coinegraion wih Applicaions o Macroeconomics and Finance, Kluwer Academic Publishers. Ericsson, N. R. (1998), Empirical Modeling of Money Demand, Empirical Economics, 23, 295 315. Escribano, A. (2004), Nonlinear Error Correcion: he Case of Money Demand in he Unied Kingdom (1878 2000), Macroeconomic Dynamics, 8, 76 116. Escribano, A., Mira S. (2002), Nonlinear Error Correcion Models, Journal of Time Series Analysis, 23, 509 522. Fagan, G., Henry, J. (1998), Long Run Money Demand in he EU: Evidence for Area- Wide Aggregaes, Empirical Economics, 23, 483 506. Granger, C. W. J. (1995), Modelling Nonlinear Relaionships Beween Exendend- Memory Variables, Economerica, 63, 265-279. Granger, C. W. J., Hallman, J. (1991), Long Memory Series wih Aracors, Oxford Bullein of Economics and Saisics, 53, 11 26. Hansen, B. E. (1992), Tess for Parameer Insabiliy in Regressions wih I(1) Processes, Journal of Business and Economic Saisics, 10, 321 335. Hoffman, D. L., Rasche R. H. (1996), Aggregae Money Demand Funcions. Empirical Applicaions in Coinegraed Sysems, Kluwer Academic Publishers, Boson/London/Dordrech. Johansen, S., Juselius, K. (1990), Maximum Likelihood Esimaion and Inference on Coinegraion wih Applicaions o he Demand for Money, Oxford Bullein of Economics and Saisics, 52, 169 210. Ko, A. (2004), The Impac of Moneizaion on he Money Demand in Poland, Bank i Kredy, 2, 30 36. Kufel, T. (2002), Posula zgodności w dynamicznych modelach ekonomerycznych, UMK, Toruń. Lo, A. W., Long-Term Memory in Sock Marke Prices, Economerica, 59, 1279 1313. Lükepol, H., Teräsvira, T., Wolers, J. (1999), Invesigaing Sabiliy and Lineariy of a German M1 Money Demand Funcion, Journal of Applied Economerics, 14, 511 525. Phillips, P. C. B., Hansen, B. E. (1990), Saisical Inference in Insrumenal Variables Regression wih I(1) Processes, Review of Economic Sudies, 57, 99 125. Sephon, S. (1996), Exended Criical Values for a Simple Tes for Coinegraion, Applied Economic Leers, 3, 155 157. Sracca, L. (2001), The Funcional Form of he Demand for Euro Area M1, European Cenral Bank Working Paper Series, 51. Vinod, H. D. (1999), Nonparameric Esimaion of Nonlinear Money Demand Coinegraion Equaion by Projecion Pursui Mehods, Working Paper, Fordham Universiy. Zieliński, Z. (1991), Liniowe modele ekonomeryczne jako narzędzie opisu i analizy przyczynowych zależności zjawisk ekonomicznych, UMK, Toruń.