3. Rozciąganie osiowe

3. 3. Rozciąganie osiowe 3. Podstawowe definicje Przyjmijmy, że materiał z którego wykonany został pręt jest jednorodny oraz izotropowy. Izotropowy oznacza, że próbka wycięta z większej bryły materiału posiada jednakowe właściwości bez względu na orientację próbki. Będziemy rozważali prostoliniowy pręt pryzmatyczny, który będzie obciążony na końcach obciążeniem powierzchniowym p. Kierunek obciążenia pokrywa się z osią pręta (czyli osią X układu współrzędnych związanych z prętem). Obciążenie będzie rozciągające czyli wszystkie siły będą działały od prżekroju. ie rozpatruje się tutaj przypadku pręta ściskanego. ponieważ w tym przypadku zastosowanie ma inna teoria (trzeba uwzględnić zjawisko wyboczenia nazywane także utratą stateczności zniszczenie pręta następuje przy siłach dużo mniejszych niż w przypadku pręta rozciąganego). Pręt został przedstawiony na rysunku 3.. p p Rys. 3.. Pryzmatyczny pręt z obciążeniem p. Wypadkowa z obciążenia wynosi P P= p, (3.) w którym równa się polu powierzchni przekroju pręta pryzmatycznego. Obciążenie może zostać przyłożone do pręta także za pomocą siły skupionej P. Będzie ona odpowiadała obciążeniu powierzchniowemu rozłożonemu na bardzo małej powierzchni. Przedstawia to rysunek 3.. W odległości większej od wymiarów przekroju pręta można przyjąć, że skutki działania obu typów obciążenia są takie same. Stanowi to treść zasady de Saint-Venanta. Zasada ta wynika z przesłanek intuicyjnych i jest potwierdzona wieloma doświadczeniami. Jak dotąd nie znalazła uzasadnienia teoretycznego.

Jeżeli pręt pryzmatyczny zostanie myślowo przecięty w dowolnym miejscu to aby odcięta część pręta była w równowadze, czyli aby wypadkowa siła działająca na odciętą część pręta wynosiła zero w przekroju muszą się pojawić naprężenia normalne. Oznacza się je sx. Jednostką naprężenia jest w układzie SI Pascal [Pa]. W budownictwie najczęściej korzysta się z wielokrotności MPa. Obok założenia jednorodności oraz właściwości izotropowych materiału, z którego wykonano pręt zakłada się, że podczas działania siły normalnej przekrój pręta pozostaje płaski czyli nie ulega spaczeniu. Jest to tak zwana hipoteza płaskich przekrojów. Konsekwencją tej hipotezy będzie fakt, że rozkład naprężeń normalnych na całej powierzchni przekroju będzie stały. Zostało to przedstawione na rysunku 3.3. P P Rys. 3.. Pręt pryzmatyczny obciążony siłą skupioną P. sx P Rys. 3.3. Równowaga odciętej części pręta. Jeżeli zsumujeny naprężenia normalne na całym przekroju to otrzymamy siłę normalną. = X d (3.)

3 Jeżeli naprężenia normalne są stałe na całym przekroju pręta to możemy je wyciągnąć przed znak całki. Ostatecznie wzór na obliczenie naprężeń będzie miał postać = X d= X X = (3.3) Z rysunku 3.3 wynika także, że wypadkowa naprężeń normalnych czyli siła normalna będzie równa sile rozciągającej P. aprężenia zapisuje się w tak zwanym tensorze naprężenia. Ma on postać następującej tablicy [ X = 0 0 0 0 0 0 0 0 ] (3.4) P P X DL L0 Rys. 3.4. Wydłużenie pręta rozciąganego osiowo. Rysunek 3.4. pokazuje pręt rozciągany siłą P. Dla ułatwienia przyjęto, że lewy koniec pręta będzie nieruchomy. W dowolnym punkcie pręta panuje siła normalna równa sile P. Badania doświadczalne pokazują, że wydłużenie pręta DL jest wprost proporcjonalne do siły normalnej. Współczynnikiem proporcjonalności jest moduł Younga E. Jest to jedna ze stałych materiałowych. Jednostką modułu Younga jest Pa, natomiast dla materiałów wykorzystywanych w budownictwie jednostką jest GPa. L. =E L0 (3.5) We wzorze (3.5) L0 oznacza początkową długość pręta. Wyrażenie X = L L0 (3.6) nazywa się odkształceniem liniowym po kierunku osi X. Jak widać ze wzoru (3.6) odkształcenie jest wielkością bezwymiarową. Równanie (3.5) będzie miało ostatecznie postać

4 X =E X (3.7) Równanie (3.7) nazywa się prawem Hooke'a lub inaczej równaniem fizycznym dla przypadku osiowego rozciągania. Rysunek 3.5 przedstawia widok pręta. Linią ciągłą zaznaczono pręt przed przyłożeniem siły P (konfiguracja pierwotna) natomiast linią przerywaną zaznaczono pręt po wydłużeniu. P P X Y=Y0 Z=Z0 Rys..3.5. Widok pręta rozciąganego osiowo. Z rysunku 3.5 wynika fakt istnienia obok wydłużenia DL (po kierunku osi X) także skrócenia po kierunku osi Y0 oraz Z0 (obie osie są osiami środkowymi). Doświadczalnie zostało stwierdzone, że skrócenie po kierunku Y0 (Y) i Z0 (Z) czyli DLY oraz DLZ są wprost proporcjonalne do wydłużenia DL. Współczynnikiem proporcjonalności jest współczynnik Poissona n, który obok modułu Younga jest drugą stałą materiałową. Współczynnik Poissona jest wielkością bezwymiarową. Skoro wydłużenia i skrócenia są do siebie proporcjonalne także odkształcenia będą proporcjonalne, a współczynnikiem proporcjonalności będzie współczynnik Poissona. Y = LY LZ,, Z = LY LZ (3.8) Y = X (3.9) Z = X (3.0)

5 Z prawa Hooke'a wynika zależność pomiędzy odkształceniem liniowym po kierunku osi X i naprężeniem normalnym w postaci X = X = E E (3.) Wyrażenie E nazywa się sztywnością rozciągania (ściskania) przekroju. Ostatecznie odkształcenia po kierunku osi Y oraz Z wynoszą Y =, E Z = (3.) E (3.3) Odkształcenia podobnie jak naprężenia zapisuje się w tensorze nazywanym tensorem odkształcenia. Będzie miał on postać [ X = 0 0 0 Y = X 0 x 0 0 Z = X ] (3.4) u(x) P P X DL L0 Rys. 3.6. Przemieszczenia przekrojów pręt rozciąganego osiowo. Zaznaczone na rysunku 3.6 wydłużenie (przemieszczenie) całkowite pręta DL będzie wynosiło L= X L0 = L E 0 (3.5)

6 Przemieszczenie u w dowolnym punkcie X będzie więc wynosiło u x = x E (3.6) Przemieszczenie u jest przemieszczeniem po kierunku osi X. Pozostałe przemieszczenia po kierunku osi Y oraz Z będą wynosiły v y = y, E w z = z E (3.7) (3.8) Wszystkie podane powyżej zależności są słuszne tylko dla pręta pryzmatycznego. W przypadku prętów o zmiennym przekroju nie są spełnione warunki brzegowe dla naprężeń. Przedstawia to rysunek 3.7. Widać z niego, że w bardzo małym elemencie znajdującym się na krawędzi pręta nie został spełniony warunek sumy rzutów an oś X. sx P X sx Rys. 3.7. ieprawidłowy rozkład naprężeń w pręcie o zmiennym przekroju. W przypadku pręta o zmiennym przekroju pojawi się inny (nieliniowy rozkład naprężeń). w bardzo małym elemencie na krawędzi pojawią się dodatkowe naprężenia normalne sz oraz styczne txz i tzx (naprężenia te zostaną omówione dokładne w następnych rozdziałach). Przedstawia to rysunek 3.8.

7 sx P X sz tzx sx txz Z=Z0 Rys. 3.8. Prawidłowy rozkład naprężeń w pręcie o zmiennym przekroju. P=0 u Chcąc wyznaczyć energię sprężystą U zmagazynowaną w pręcie rozpatrzono najpierw pracę siły P rozciągającą sprężynę. Przedstawia to rysunek 3.9. P(u) Rys. 3.9. Siła rozciągająca sprężynę. Jeżeli zależność pomiędzy siłą P a przemieszczeniem u jest liniowa to praca siły P na przemieszczeniu u odpowiada polu zakreskowanego trójkąta na rysunku 3.0. L= P k u k (3.9)

8 P Pk u uk Rys. 3.0. Zależność siły P od przemieszczenia u. Zgodnie z twierdzeniem Clapeyrona praca obciążeń L równa się energii sprężystej U zmagazynowanej wewnątrz układu. L=U (3.0) Całkowita energia sprężysta zmagazynowana wewnątrz ciała równa się (całkowanie odbywa się w całej objętości pręta). U = V dv. (3.) Zależność pomiędzy naprężeniami i odkształceniami jest liniowa (prawo Hooke'a) i dlatego pod całką pojawił się mnożnik ½. W przypadku rozciągania osiowego tensor naprężenia ma tylko jedną współrzędną więc energia sprężysta będzie miała postać U = X X dv. V (3.3) Całkę względem objętości zamieniamy na całkę iterowaną (po długości pręta X oraz po polu powierzchni przekroju ). U = X d dx, X X (3.4) Przy założeniu słuszności prawa płaskich przekrojów odkształcenie liniowe ex jest w obrębie przekroju stałe (na całym polu ) co pozwala wyłączyć je przed znak całki.

U = X X d dx X 9. (3.5) Całka po polu powierzchni oznacza siłę normalną. U = X dx X (3.6) Podstawiając wzór (3.) otrzymano U= dx. X E (3.7) Jeżeli na całej długości pręta o długości L siła normalna, pole powierzchni oraz moduł Younga są stałe to wartość energii sprężystej zmagazynowanej w pręcie wynosi U= L E (3.8) Rozpatrzmy pręt rozciągany siłą P. W dowolnym przekroju pręta działa siła normalna równa sile P. Dla wyznaczenia naprężeń na płaszczyźnie nachylonej pod kątem a rozłożono siłę normalną na dwie składowe. Przedstawia to rysunek 3.. = T (3.9) = cos (3.30) T = sin (3.3) Od sił a oraz Ta powstaną naprężenia: normalne sa oraz styczne ta. aprężenia te mają wartość = cos = = X cos, cos (3.3)

= 0 T sin = = X sin cos = X sin cos (3.33) sa s ta a Ta a P a Rys. 3.. aprężenia w przekroju nachylonym pod kątem a. Chcąc wyznaczyć ekstremalną wartość naprężenia stycznego należy wyznaczyć pochodną funkcji naprężenia stycznego w zależności od kąta a. d d = X cos = X cos. (3.34) by naprężenie styczne miało ekstremum pierwsza pochodna musi się równać zero. Warunek ten jest spełniony dla kąta równego 45 stopni. Płaszczyzna ekstremalnych naprężeń stycznych jest w przypadku osiowego rozciągania nachylona pod kątem 45 stopni do osi pręta. Ekstremalne naprężenie styczne oraz odpowiadające mu naprężenie normalne wynoszą ext = X sin 45 o = X, ext o = X cos 45 = X = X (3.35) (3.36) Chcąc wyznaczyć ekstremalną wartość naprężenia normalnego należy obliczyć pochodną funkcji naprężenia normalnego względem kąta a. d = X cos sin = X sin. d (3.35)

by naprężenie normalne miało ekstremum pochodna musi się równać zero. Warunek ten jest spełniony dla kąta równego zero stopni. Płaszczyzna ekstremalnych naprężeń normalnych nachylona jest pod kątem zero stopni czyli jest to przekrój prostopadły do osi pręta. Odpowiadające mu naprężenie styczne wynosi oczywiście zero (3.33). 3. Przykłady 3.. Belka rozciągana Dana jest belka swobodnie podparta obciążona siłą P=60,0 k. Przekrój belki jest kwadratem o boku równym,0 cm. Belkę przedstawia rysunek 3.. Wyznaczyć naprężenia normalne w przekroju oraz wykres przemieszczeń belki. B P = 60,0 k 0,0 m Rys. 3.. Belka swobodnie podparta obciążona siłą rozciągającą. a podporze będzie działała jedna reakcja równa 60,0 k. Jej zwrot i kierunek przedstawia rysunek 3.3. RX = 60,0 k B P = 60,0 k 0,0 m Rys. 3.3. Reakcja na podporze. W dowolnym przekroju belki działa siła normalna =60,0 k (rozciągająca). Przedstawia to rysunek 3.4. RX = 60,0 k = 60,0 k x Rys. 3.4. Siła normalna w dowolnym przekroju belki. aprężenie normalne w dowolnym punkcie przekroju wynosi X= 60,0 k = =5,0 =50, 0 MPa,0,0 cm (3.36)

Dla wyznaczenia funkcji przemieszczenia u(x) należy zsumować wyrażenie X ds (3.37) w przedziale od 0 do x. Zgodnie z prawem Hooke'a (3.) wyrażenie (3.37) będzie miało postać ds E (3.38) Funkcja przemieszczeń będzie miła postać (siła normalna, pole powierzchni oraz moduł Younga są stałe w całym przedziale) x x x u x = ds= ds= E 0 E 0 E (3.39) Pole powierzchni przekroju belki wynosi =,0,0 =4,0 cm (3.40) Przemieszczenie punktu B wynosi (x=0,0 m) u B= 60,0 0,0 =0,046 m=,46 cm 05 0 6 4,0 0 4 (3.4) Wykresy siły normalnej, przemieszczeń u oraz naprężeń normalnych w dowolnym przekroju belki przedstawia rysunek 3.5. B P = 60,0 k 0,0 m [k] RX = 60,0 k 0,046 60,0 u [m] sx =50,0 MPa Rys. 3.5. Wykresy siły normalnej, przemieszczeń u oraz naprężeń normalnych.

3 3.. Pręt rozciągany ciężarem własnym i siłą P 00,0 m Ciężar własny Dany jest pręt pryzmatyczny o przekroju kwadratowym o długości boku,0 cm obciążony ciężarem własnym oraz siłą P=0,0 k. Długość pręta wynosi 00,0 m. Pręt został przedstawiony na rysunku 3.6. P =0,0 k Rys. 3.6. Pręt rozciągany siłą osiową P oraz ciężarem własnym. Ciężar własny jest przykładem siły masowej. by go dostosować do modelu matematycznego pręta należy siłę masową równą ciężarowi własnemu stali (gs = 78,5 k/m3) przemnożyć przez pole powierzchni przekroju pręta czyli h x = s =78,5 0,0 0,0 =0,034 k m (3.4) 00,0 m 0,034 k/m Obciążenie pręta przedstawia rysunek 3.7. P =0,0 k Rys. 3.7. Obciążenie pręta.

4 Rysunek 3.8 przedstawia odcinek pręta o długości dx. Zapisując sumę wszystkich sił na oś pionową X otrzymano zależność różniczkową pomiędzy siłą normalną i obciążeniem h(x). dx h(x) +d X Rys. 3.8. Odcinek pręta o długości dx wraz z działającymi na niego siłami. X =0, d h x dx=0 (3.43) d h x dx =0, (3.44) d = h x dx (3.45) W celu wyznaczenia funkcji siły normalnej rozpatrzono równowagę odciętej części pręta. Przedstawia to rysunek 3.9. 00,0 -x 0,034 k/m (x) P =0,0 k X Rys. 3.9. Odcięta część pręta.

5 Siłę normalną (x) wyznaczono z sumy wszystkich sił na oś X. Wypadkowa z obciążenia h(x) równa się iloczynowi tego obciążenia razy długość obciążenia. X =0 x 0,034 00,0 x 0,0 =0 x =6,8 0,034 x (3.46) Dla x=0 m (utwierdzenie) siła normalna ma wartość 6,8 k natomiast dla x=00,0 m (dolny koniec pręta) siła normalna ma wartość 0,0 k. Wykres sił normalnych przedstawia rysunek 3.0. 00,0 m Ciężar własny 6,8 P =0,0 k + (x) [k] 0,00 Rys. 3.0. Wykres sił normalnych. Funkcja opisująca naprężenie normalne ma postać (mnożnik 0-3 zastosowano aby uzyskać wyniki w MPa) X= 6,8 0,034 x 3 = 0 =40,70 0,0785 x 0,0 0,0 (3.47) Dla x=0,0 m naprężenie normalne wynosi 40,70 MPa natomiast dla x=00,0 m naprężenie normalne wynosi 5,0 MPa. Podstawiając równanie (3.47) do prawa Hooke'a (3.) otrzymano równanie odkształceń liniowych. X = X 40,70 0,0785 x = =,985 0 4 0,38 0 6 x 3 E 05 0 (3.48) Dla x=0,0 m odkształcenie liniowe wynosi,985 0 4 natomiast dla x=00,0 m odkształcenie liniowe wynosi, 0 4. Wykres naprężeń normalnych oraz odkształceń liniowych przedstawia rysunek 3..

,985 0 4 00,0 m Ciężar własny 40,70 P =0,0 k + 6 + sx (x) [MPa] 5,00 ex (x) [-], 0 4 Rys. 3.. Wykresy naprężeń normalnych oraz odkształceń liniowych. Dla wyznaczenia funkcji przemieszczenia u(x) należy zsumować wyrażenie X ds (3.49) w przedziale od 0 do x. Zgodnie z prawem Hooke'a (3.) wyrażenie (3.49) będzie miało postać ds E (3.50) Funkcja przemieszczeń będzie miła postać (pole powierzchni oraz moduł Younga są stałe w całym przedziale) natomiast siła normalna będzie teraz zależna od zmiennej s. x x u x = ds= s ds E 0 0 E (3.5) Po podstawieniu funkcji opisującej siłę normalną (3.46) równanie (3.5) (zmienną jest s) będzie miało postać (w wyrażeniu podcałkowym zamiast zmiennej x zastosowano zmienną s, po której odbywa się całkowanie) x u x = 6,8 0,034 s ds. E 0 (3.5)

7 Po wyznaczeniu całki równanie (3.5) będzie miało postać 6,8 x 0,057 x x [ ] u x = 6,8 s 0,057 s 0 = E 05 0 6 4,0 0 4 (3.53) Ostatecznie funkcja przemieszczeń będzie miała postać 4 6 u x =,985 0 x 0,9 0 x (3.54) 00,0 m Ciężar własny Dla x=0,0 m przemieszczenie wynosi 0,0 m natomiast dla x=00,0 m przemieszczenie wynosi 0,03 m = 3, cm. Rysunek 3. przedstawia wykres przemieszczeń pręta. u(x) [m] P =0,0 k 0,03 Rys. 3.. Wykres przemieszczeń pręta. 3.3 Kratownice Kratownica jest ustrojem prętowym (złożonym z prętów) połączonych między sobą za pomocą pozbawionych tarcia przegubów. Kierunki wszystkich sił czynnych (obciążenia) oraz sił biernych w podporach (reakcji) przechodzą przez punkty wyznaczające przeguby. Przy takiej budowie oraz takim sposobie przyłożenia sił w prętach kratownicy występują tylko siły normalne. Przykładową kratownicę prezentuje rysunek 3.3. Poszczególne pręty kratownicy mają swoje nazwy. Przedstawia to rysunek 3.4. Powyższa definicja opisuje model matematyczny. Rzeczywista kratownica wygląda inaczej. Przeguby kratownicy nie są idealnymi przegubami pozbawionymi tarcia. Od przegubów wymaga się aby osie prętów kratownicy przechodziły przez jeden punkt wyznaczający miejsce przegubu. Przykłady rzeczywistych przegubów przedstawiają rysunki 3.5 oraz 3.6. Także założenie, że kierunki wszystkich sił: czynnych oraz biernych przechodzą przez przeguby nie jest zgodne z prawdą. Dla przykładu ciężar własny prętów nie jest siłą skupioną tylko tak zwanym obciążeniem ciągłym. Jednak, w większości przypadków ciężar własny prętów kratownicy sprowadza się do jednej siły, której kierunek przechodzi przez przegub.

8 Rys. 3.3. Przykładowy model matematyczny kratownicy. Krzyżulec Pas górny Pas dolny Słupek Rys. 3.4. azwy poszczególnych prętów kratownicy. Rys. 3.5. Przykładowy przegub kratownicy. Rys. 3.6. Przykładowy przegub kratownicy.

9 Przykłady rzeczywistych kratownic przedstawiają rysunki od 3.7 do 3.30. Przedstawiają one kratownice płaskie, czyli takie których osie prętów leżą na jednej płaszczyźnie. Rys. 3.7. Przykładowa kratownica płaska. Rys. 3.8. Przykładowa kratownica płaska. Rys. 3.9. Przykładowa kratownica płaska.

0 Rys. 3.30. Przykładowa kratownica płaska. Kratownice płaskie mogą być także częścią konstrukcji innego typu. Bardzo często kratownica jest pomostem mostu wiszącego. Przedstawia to rysunek 3.3. Rys. 3.3. Kratownica będąca pomostem mostu wiszącego. Oprócz przedstawionych powyżej kratownic płaskich często spotykaną konstrukcją jest kratownica przestrzenna. Kratownicą tego typu może być konstrukcja żurawia wieżowego, słupa podtrzymującego linię wysokiego napięcia lub konstrukcji wsporczej dla oświetlenia. Przedstawiają to rysunki 3.3 i 3.33. Kratownica może także stanowić usztywnienie ściany osłonowej wieżowca. Przedstawia to rysunek 3.34. Oprócz stali do konstruowania kratownic stosuje się żelbet będący materiałem kompozytowym czyli składającym się ze zbrojenia stalowego zatopionego w betonie. Przykład takiej kratownicy przedstawia rysunek 3.35.

Rys. 3.3. Kratownica przestrzenna żuraw wieżowy. Rys. 3.33. Kratownice przestrzenne. Materiałem, z którego wykonuje się kratownice jest także drewno. Przykład takiej kratownicy przedstawia rysunek 3.36. a rysunku 3.37 został przedstawiony przegub kratownicy drewnianej. Każdy z prętów tej kratownicy zbudowany jest z dwóch elementów. Pomiędzy nimi znajduję się stalowe elementy łączące poszczególne pręty między sobą. Elementy te przytrzymywane są za pomocą śrub. Rysunki 3.38 oraz 3.39 przedstawiają przykładowe podpory przegubowo-nieprzesuwne. atomiast rysunek 3.40 przedstawia dwie podpory przegubowo-przesuwne. Rysunek 3.4 przedstawia kratownicę, której prętami są inne kratownice. Jest to słynny most Firth of Forth.

Rys. 3.34. Kratownica płaska jako konstrukcja ścian osłonowych wieżowaca. Rys. 3.35. Przestrzenna kratownica żelbetowa. Rys. 3.36. Przykład kratownicy drewnianej.

3 Rys. 3.37. Przegub kratownicy drewnianej. Rys. 3.38. Podpora przegubowo-nieprzesuwna. Rys. 3.39. Podpora przegubowo-nieprzesuwna.

4 Rys. 3.40. Podpory przegubowo-przesuwne. Rys. 3.4. Most Firth of Forth. 3.4 naliza kinematyczna kratownic Od kratownicy tak samo jak i od innych konstrukcji budowlanych będziemy wymagali aby była nieruchoma czyli geometrycznie niezmienna. ależy w tym celu odebrać wszystkie stopnie swobody (niezależne parametry opisujące położenie kratownicy na płaszczyźnie lub w przestrzeni). W niniejszym rozdziale będą rozpatrywane tylko kratownice płaskie. Pojedynczy przegub kratownicy traktujemy jako punkt, który na płaszczyźnie posiada dwa stopnie swobody czyli współrzędne x oraz y. Przedstawia to rysunek 3.4. Jeżeli na płaszczyźnie znajduje się w punktów (przegubów) to posiadają one w stopni swobody. Stopnie te muszą zostać odebrane przez pręty kratownicy oraz więzy (podpory). Pojedynczy pręt kratownicy oraz podpora przegubowo-przesuwna odbierają jeden stopnień swobody natomiast podpora przegubowonieprzesuwna odbiera dwa stopnie swobody. Minimalna liczba stopni swobody, które muszą zostać odebrane przegubom kratownicy wynosi w. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności będzie miał postać

w p r, 5 (3.55) w którym p oznacza liczę prętów kratownicy, a r oznacza liczbę stopni swobody, które odbierają podpory. Warunek (3.55) jest słuszny dla wszystkich typów kratownic (statycznie wyznaczalne i statycznie niewyznaczalne). W niniejszym rozdziale rozpatrywane będą tylko kratownice statycznie wyznaczalne, dla których warunek konieczny będzie miała postać w= p r. (3.56) Y x y X Rys. 3.4. Stopnie swobody punktu na płaszczyźnie. Spełnienie warunku koniecznego geometrycznej niezmienności nie gwarantuje jeszcze, że kratownica jest geometrycznie niezmienna. Konieczne jest spełnienie także warunków dostatecznych geometrycznej niezmienności. Warunki te opierają się w większości przypadków na pojęciu tarczy sztywnej. Tarcza sztywna jest bryłą geometryczną, w której pod wpływem obciążenia odległość dwóch dowolnych punktów pozostaje stała. Jest ona więc rodzajem bryły sztywnej znanej z kursu fizyki. Jako tarczę sztywną można traktować układ prętów przestawiony na rysunku 3.43. 3 Rys. 3.43. Układ prętowy będący tarczą sztywną. iewspółliniowe przeguby, i 3 połączone są między sobą trzema prętami. ie można w tym układzie zmienić położenia dowolnego przegubu bez zmiany długości prętów (pręty są także sztywne czyli nie zmieniają swojej długości). Czyli taki ukłąd prętowy jest geometrycznie niezmienny. Jeżeli do takiego układu dodamy następny przegub numer 4 za pomocą dwóch niewspółliniowych prętów to tak rozbudowany układ będzie także geometrycznie niezmienny. Przedstawia to rysunek 3.44. Jeżeli następne przeguby będą dodane w ten sam sposób to układ taki będzie geometrycznie niezmienny. Układ prętowy, który jest zbudowany z trójkątów nazywamy kratownicą o strukturze prostej. Kratownica taka będzie zawsze tarczą sztywną.

6 4 3 Rys. 3.44. Rozbudowany układ prętowy będący tarczą sztywną. Jeżeli kratownica o strukturze prostej tworzy jedną tarczę sztywną podpartą podporą przegubowo-przesuwną oraz przegubowo-nieprzesuwną to aby taki układ był geometrycznie niezmienny to podpora przegubowonieprzesuwna nie może leżeć na kierunku podpory przegubowo-przesuwnej. Kratownicę taką przestawia rysunek 3.45. Tarcza sztywna B Rys. 3.45. Kratownica o strukturze prostej geometrycznie niezmienna. C Jeżeli kratownica o strukturze prostej tworzy jedną tarczę sztywną podpartą podporą trzema podporami przegubowo-przesuwnymi to aby taki układ był geometrycznie niezmienny to kierunki wszystkich podpór przegubowo-przesuwnych nie mogą przecinać się w jednym punkcie. Kratownicę taką przestawia rysunek 3.46. Tarcza sztywna B Rys. 3.46. Kratownica o strukturze prostej geometrycznie niezmienna.

7 Jeżeli kratownica o strukturze prostej tworzy dwie tarcze sztywne, z których jedna jest podparta podporami przegubowo-przesuwną i przegubowo-nieprzesuwną lub trzema podporami przegubowo-przesuwnymi w sposób zapewniający geometryczną niezmienność to tarcza ta stanowi podłoże dla drugiej tarczy sztywnej. nalizując drugą tarczę sztywną należy zastosować identyczne warunki dostateczne geometrycznej niezmienności jak dla tarczy pierwszej. Kratownicę taką przedstawia rysunek 3.47. a rysunku tym podpora C nie leży na kierunki podpory D. Tarcza sztywna Tarcza sztywna C Tarcza sztywna D Tarcza sztywna B Rys. 3.47. Kratownica o strukturze prostej geometrycznie niezmienna. Jeżeli kratownica o strukturze prostej tworzy dwie tarcze sztywne, z których każda jest podparta do podłoża podporą przegubowo-nieprzesuwną oraz tarcze miedzy sobą połączone są przegubem to taki układ nazywamy układem trójprzegubowym. Kratownicę taką przedstawia rysunek 3.48. Warunkiem dostatecznym geometrycznej niezmienności dla układu trójprzegubowego jest aby podpory przegubowo-nieprzesuwne ( i C) oraz przegub łączący obie tarcze (B) nie leżały na jednej prostej. Przegub podpierający tarczę sztywną może zostać utworzony także przez dwie podpory przegubowo-przesuwne. Będzie się on znajdował w punkcie przecięcia się kierunków obu podpór przegubowo-przesuwnych (także w nieskończoności). B Tarcza sztywna C Tarcza sztywna Rys. 3.47. Kratownica o strukturze prostej geometrycznie niezmienna układ trójprzegubowy.

8 Jeżeli kratownica nie jest zbudowana z prętów tworzących trójkąty to jest to kratownica o strukturze złożonej. naliza kinematyczna takich kratownic jest złożona. Jedna z metod analizy kinematycznej, oparta na analizie statycznej, zostanie opisana w następnym rozdziale. Można także czasami w kratownicy złożonej wyodrębnić tarcze sztywne, które analizuje się w sposób przedstawiony powyżej. 3.5 naliza statyczna kratownic naliza statyczna polega na wyznaczeniu sił normalnych występujących w prętach kratownicy pod wpływem sił czynnych (obciążenia) oraz sił biernych (reakcji). W trakcie obliczania sił normalnych w prętach kratownicy oraz reakcji podporowych stosujemy zasadę zesztywnienia czyli reakcje obliczamy w konfiguracji pierwotnej (przed przyłożeniem obciążenia) a nie w konfiguracji aktualnej (po przyłożeniu obciążenia). Możemy tak zrobić, ponieważ ugięcia kratownicy są bardzo małe w porównaniu z jej długością (rzędu paru procent) i możemy zaniedbać wpływ tych małych przemieszeń kratownicy na reakcje oraz siły normalne. Pierwsza z metod obliczania sił normalnych to metoda zrównoważenia węzłów. W metodzie tej w wyciętym myślowo węźle kratownicy należy sprawdzić równowagę czyli czy wypadkowa wszystkich sił działających w węźle równa się zero. W tym celu wykorzystuje się dwa równania sumy rzutów wszystkich sił na dwa kierunki (na przykład na oś X i Y). Przedstawia to rysunek 3.48. P 5 4 8 9 0 3 7 6 P S Y RX X S3 RY Rys. 4.48. Równowaga węzła numer. Przedstawione na rysunku 3.48 zwroty sił normalnych S oraz S3 przyjęto jako dodatnie. Dodatni zwrot siły oznacza, że pręt jest rozciągany, ujemny, że pręt jest ściskany. W obliczeniach tą metodą należy zawsze przyjmować zwroty sił normalnych od węzła (dodatnie), jeżeli siła normalna w pręcie wyjdzie ujemna z obliczeń to taki pręt jest w rzeczywistości ściskany. Dla każdego węzła można napisać po dwa równania. Otrzymujemy więc układ w równań z w niewiadomych, który ma postać

9 { X =0 Y =0... X w =0 w Y =0 (3.57) Rozwiązując układ (3.57) otrzymamy niewiadome siły bierne (reakcje) oraz siły normalne we wszystkich prętach kratownicy. Jeżeli wyznacznik główny tego układu równań równa się zero to taka kratownica jest układem geometrycznie zmiennym. Metodę tę można zastosować więc dla kratownic o strukturze złożonej. W większości przypadków dla kratownic o strukturze prostej nie ma konieczności rozwiązywania całego układu równań, ponieważ traktując kratownicę jako tarcze sztywne można wyznaczyć reakcje za pomocą odpowiednich równań sum rzutów wszystkich sił na dowolną oś oraz sum momentów statycznych wszystkich sił względem dowolnych punktów. astępnie znając już reakcje podporowe można wyznaczyć w prosty sposób siły normalne w prętach kratownicy. Drugą metodą rozwiązywania kratownicy jest metoda Rittera. Jest to metoda mająca zastosowanie w przypadku, gdy chcemy wyznaczyć siłę normalną w ściśle określonym pręcie kratownicy. Chcąc ją wyznaczyć przecinamy myślowo kratownicę przez pręty, wśród których jest pręt z poszukiwaną siłą normalną a następnie rozpatrujemy równowagę odciętej części kratownicy (traktowanej jako tarczę sztywną). Ponieważ mamy do dyspozycji tylko trzy warunki równowagi więc przeciąć kratownicę możemy tylko przez trzy pręty. Przypadki szczególne zostaną opisane w dalszej części. Chcąc wyznaczyć siły w pręcie pasa dolnego D kratownica została myślowo przecięta w sposób pokazany na rysunku 3.49. P 5 4 8 9 0 3 D 6 7 P Rys. 3.49. Myślowy przekrój kratownicy w celu wyznaczenia siły normalnej w pręcie D. Chcąc wyznaczyć siłę w pręcie D należy zastosować warunek sumy momentów statycznych wszystkich sił działających na lewą lub prawą część kratownicy względem punktu 4. Przedstawia to rysunek 3.50. Punkt numer 4 jest tak zwanym punktem Rittera. Względem tego punktu momenty statyczne dwóch pozostałych sił normalnych w prętach K i G wynoszą zero. Z równania równowagi można w ten sposób obliczyć wartość siły w pręcie pasa dolnego D. nalogicznie, jeżeli chcemy wyznaczyć siłę w pręcie pasa górnego G należy wykorzystać sumę momentów statycznych wszystkich sił działających na lewą lub prawą część kratownicy względem punktu 6 W obliczeniach należy wykorzystać obliczone z innych warunków równowagi reakcje w podporach kratownicy.

30 P 4 RX Y G K RY 3 D 6 X Rys. 3.50. Lewa część kratownicy wraz z działającymi na nią siłami czynnymi i biernymi. Jak widać na rysunku 3.50 pręty pasa dolnego i górnego są do siebie równoległe. Dla wyznaczenia siły w pręcie krzyżulca K należałoby wybrać punkt Rittera znajdujący się w nieskończoności. W takim przypadku należy zastosować sumę rzutów wszystkich sił działających na lewą lub prawą część kratownicy na oś prostopadłą do prętów pasa dolnego i górnego czyli oś Y. Pierwszym przypadkiem szczególnym zastosowania metody Rittera jest przypadek kratownicy z drugorzędnym zakratowaniem. Chcąc wyznaczyć siły w prętach D, K oraz K w pierwszej kolejności należy wyznaczyć siłę w pręcie pasa górnego G (przekrój -). astępnie można już wyznaczyć siły w prętach D, K oraz K (przekrój B-B). Przedstawia to rysunek 3.5. B G K B K D Rys. 3.5. Kratownica z drugorzędnym zakratowaniem. Drugim przypadkiem szczególnym zastosowania metody Rittera jest kratownica półkrzyżulcowa. Dla tego typu kratownicy można wyznaczyć siły w prętach pasa dolnego oraz górnego. ależy wykonać przekrój pokazany na rysunku 3.5. Siłę normalną w pręcie D oblicza się z warunku sumy momentów statycznych względem punktu 6, natomiast siłę normalną w pręcie G oblicza się z warunku sumy momentów statycznych względem punktu 4.Wykorzysuje się tutaj fakt, że kierunki trzech spośród czterech sił przecinają się w jednym punkcie. Trzeci przypadek szczególny zastosowania metody Rittera ma zastosowanie dla kratownicy o strukturze złożonej przedstawionej na rysunku 3.53. Po wykonaniu myślowego wycięcia części kratownicy zaznaczonej na rysunku 3.53 możliwe jest obliczenie sił normalnych w prętach,, i 3 korzystając z warunków sum momentów statycznych względem odpowiednich punktów Rittera. Wykorzystuje się tutaj fakt, że trzy pręty są przecięte jeden raz natomiast pozostałe pręty są przecięte parzystą liczbę razy. Momenty statyczne sił na końcach prętów przeciętych parzystą liczbę razy wynoszą zero ze względu na to, że siły te mają jednakową wartość, jednakowe ramię siły ale różne zwroty. ależy zwrócić uwagę, że poniższa kratownica w punktach przecięcia się kilku prętów nie posiada przegubów.

6 G 4 D 3 Rys. 3.5. Kratownica półkrzyżulcowa. 3 Rys. 3.53. Kratownica o strukturze złożonej.