Uiwesytet Techologiczo- Huistyczy w Rdoiu Rdo 3 Podstwy tetyki fisowej D Zbigiew Śleszyński ted Bizesu i Fisów Międzyodowych Wydził kooiczy tudi podyploowe OWOCZ UŁUGI BIZOW
Teść wykłdu: Powtók z tetyki eleetej Wtość pzyszł lokt Dyskoto Wtość pzyszł wkłdów Rchuek et Pl spłty kedytu Róże pzykłdy
Litetu: Bijk W., Podgósk M., Utki J., Mtetyk Fisow teoi i pktyk obliczeń, Bizt, Wszw 994. Dobij M., g., Podstwy tetyki fisowej i ubezpieczeiowej, Wydwictwo ukowe PW, Wszw 995. Dygus M., Pewysz-wito P., Mtetyk fisow, Toik, Touń 5. Jwoski P., Micł J., Modelowie tetycze w fisch i ubezpieczeich, Poltext, Wszw 5. owk., obczyk M., Rchuek wtości pieiądz w czsie, Wydwictwo Uiwesytetu Mii Cuie kłodowskiej, Lubli 995/ Pisecki., Rok-Chielowiec W., Mtetyk fisow, Wydwictwo C.H. Beck, Wszw. obczyk M., Mtetyk fisow. Agecj Wydwicz Plcet, Wszw 3. Śleszyński Z., Wybe zgdiei z podstw tetyki fisowej, Wydwictwo Politechiki Rdoskiej, Rdo. Ustw o kedycie kosuecki, Dz. U. z. 6, poz. 75. 3
Repetytoiu z tetyki eleetej CIĄGI LICZBOW Ciągie liczbowy zywy fukcję okeśloą zbioze liczb tulych o wtościch zeczywistych : R Jeżeli pzez ozczyy wtość fukcji dl liczby, to ożey zpisć () =. Ie ozczeie:,, 3,,. Gic ciągu (defiicj Cuchy ego): li g Uwg Ciąg zbieży tylko jedą gicę. żdy ciąg ootoiczy i ogiczoy jest zbieży. g 4
tł ule e stł ule Jeśli x i jest zbieży do ze to li li e,78888459... li ( x ) x e 5
Ciąg ytetyczy Ciąg ytetyczy jest to ciąg, w któy óżic d dowolych dwóch kolejych wyzów jest stł d d d d d d ) (,,... 3 6
Ciąg geoetyczy Ciągie geoetyczy zywy tki ciąg liczbowy, w któy iloz dwóch dowolych kolejych wyzów jest stły 3 Jeśli iloz jest óży od jede to: 7
Ciąg geoetyczy Zuwży, że jeśli wtość bezwzględ ilozu jest iejsz od jede, to: li tąd ożey wówczs wyzczyć suę wyzów ieskończoego ciągu geoetyczego:... li Pzykłd: Zieić ułek okesowy,77(7) zwykły 8
Logyty,,, log x x y x y Włsości logytów: x x x x y x y x y x y x d d log log log log log log log log log log ) ( log log log 9
Pzykłd. Rozwiązć ówie :(,6) =. Logytując obustoie powyższe ówie otzyujey: log,6 log log log,6,39995,8957,535865
Pocet liczby Pocet liczby jest to jej set część. p% liczby wyosi: p, p Jeśli pewą liczbę zwiększyy o p%, stępie otzyą liczbę ziejszyy o p% to ie otzyy tej sej liczby, le zwsze liczbę iejszą. Pocet pukt pocetowy pukt pocetowy = puktów bzowych Pzykłd: Ce pewego dob wzosł o 5%. O ile leży obiżyć ceę by wócił do wyjściowej?
Istot kpitlizcji Pzyjujey stępujące ozczei: początkow wtość kpitłu, wtość kpitłu w chwili, Z odsetki z okes, stop pocetow. Odsetki jest to kwot pieięż, któą płciy z pwo użytkowi dego kpitłu. Jest to ce wypożyczei kpitłu. tosuek odsetek do wtości kpitłu początkowego zywy stopą pocetową. Jeśli = +Z, y zte Z = + = (+) pitlizcj jest to dopisywie odsetek do kpitłu. Okes kpitlizcji, to czs po któy odsetki zostą dopise do kpitłu. Gdy odsetki są dopisywe końcu okesu kpitlizcji, ówiy o kpitlizcji z dołu, toist, gdy początku tego okesu, to o kpitlizcji z góy. pitlizcj oże być poz ty zgod lub iezgod
Rodzje kpitlizcji Jeśli okes kpitlizcji jest ówy okesowi stopy pocetowej, to kpitlizcj jest zgod, w pzeciwy wypdku iezgod. Podto wyóżiy kpitlizcję postą i złożoą. pitlizcj post jest wtedy, gdy podstwą ustli odsetek jest tylko kpitł początkowy. Jeżeli ustly je w opciu o kpitł początkowy i godzoe dotychczs odsetki, to y kpitlizcję złożoą. APITALIZACJA z dołu z góy post złożo zgod iezgod zgod iezgod zgod iezgod 3
pitlizcj w podokesch Jeśli y do czyiei z kpitlizcją iezgodą, kpitlizcj odsetek jest częstsz iż wskzywłby to okes stopy pocetowej. Dzieliy te okes podokesów i zkłdy, że po kżdy z podokesów dopisujey odsetki według stopy Jest to względ stop pocetow. jczęściej pzyjuje się: = - kpitlizcj ocz = - kpitlizcj półocz = 4 - kpitlizcj kwtl = - kpitlizcj iesięcz = 5 - kpitlizcj tygodiow = 365 - kpitlizcj dobow (dzie) = 876 - kpitlizcj godzi = 556 - pitlizcj iutow = - kpitlizcj ciągł 4
Opocetowie lokt Pocet posty O pocecie posty (odsetkch postych) ówiy wtedy, gdy podstwą ustli odsetek jest tylko kpitł początkowy, se odsetki ie podlegją opocetowiu. ą oe płcoe koiec okesu kpitlizcji. Zkłdy początek, że okes kpitlizcji pokyw się z okese stopy pocetowej................... Z Z ( ),,,... ( ) ( ) Jeśli pzyjiey, że kpitlizcj jest iezgod i kpitlizcj występuje zy w ciągu okesu stopy pocetowej, y: ( ) ( ) Zte ic się ie zieiło w stosuku do kpitlizcji zgodej, jedk z powyższego wypowdzei wyik, że wzó kpitlizcję post ożey stosowć dl dowolych ieujeych ( ie tylko cłkowitych). 5
pitlizcj złożo z dołu Pzy pocecie skłdy (złożoy z dołu) wtość odsetek kolejy okes wyzczy w opciu o kpitł w okesie bieżący. Zte odsetki zleżą zówo od kpitłu początkowego, jk i od godzoych wcześiej odsetek Z Z ( ) ( ), ( ) ( ) ( ),,... Pzykłd Pzyjijy, że stop pocetow = 6%. Iteesuje s zte po jki czsie kpitł ulegie podwojeiu pzy kpitlizcji złożoej z dołu, jeśli ocz stop pocetow wyosi 6% i kpitlizcj jest ocz? 6
pitlizcj z góy Pzyjijy ozczeie: W wtość kpitłu koiec -tego okesu. Pzy kpitlizcji z góy będziey wyzczć wtości W w kolejych okesch 7 3 W W W W...... W W W ) ( ) ( W Ogólie więc dl =,,, y: W
pitlizcj z góy-ciąg dlszy Pzykłd Chcey dokoć lokty kpitłu. My ożliwość wybou jedego z dwóch bków A oz B. Ich ofet jest stępując: Bk A kpitlizcj z dołu, = %, Bk B kpitlizcj z góy, = %. tóy bk wybć?,,...,9,9,9, W,999,9,,9, W, W,
Rówowżość stopy z dołu i z góy Ozczy: - stopę pocetową pzy opocetowiu z góy, stopę pocetową pzy opocetowiu złożoy z dołu. Zuwży, że by ofet pzy kpitlizcji z dołu i z góy był jedkow, wówczs: Dl opocetowi z dołu: Dl opocetowi z góy:
pitlizcj -kot Jeśli pzyjiey, że kpitlizcj jest iezgod, występuje zy w czsie okesu stopy pocetowej, wówczs wtość kpitłu w chwili będzie wyosić: Dl kpitlizcji postej (dl zeczywistego ieujeego): dl kpitlizcji złożoej z dołu:,,,... dl kpitlizcji z góy:,,,... W o
pitlizcj ciągł Rozptując kpitlizcję złożoą, iezgodą oz zkłdjąc, że otzyujey wzó wtość pzyszłą pzy kpitlizcji ciągłej:,, e li li W e li li Zówo dl kpitlizcji z dołu, jk i z góy gic jest tk s. pitlizcj ciągł jest giczy pzypdkie kpitlizcji złożoej iezgodej, gdy
wtosc Akuulcj pzy ożych kpitlizcjch Poówjy sposób, w jki stją odsetki pzy poszczególych pocesch kpitlizcji. ysuku zpezetowe są cztey podstwowe pzypdki kpitlizcj post, złożo z dołu oz z góy i ciągł. poces kuulcji złożo z dołu post ciągł złożo z góy 6 6 6 3 36 4 46 5 t
Wtość pzyszł pzy kpitlizcji złożoej z dołu Obliczyy pzyszłą wtość kwoty ulokowej lt pzy oilej stopie pocetowej (kpitlizcj złożo z dołu) pzy óżych stopch pocetowych i óżych okesch kpitlizcji. Wyiki obliczeń pzedstwioo w poiższej tbeli: częstość kp. ocz półocz kwtl iesięcz dobow ciągł 4 365 6% 3,6 5,5 6,49 7,6 7,49 7,5 5% 6,89 63,86 64,36 64,7 64,87 64,87 5% 5, 5,63 5,95 5,6 5,7 5,7 4% 4, 4,4 4,6 4,74 4,8 4,8 3% 3, 3,3 3,34 3,4 3,45 3,45 3
Wtość pzyszł pzy kpitlizcji z góy Obliczyy pzyszłą wtość kwoty ulokowej lt pzy oilej stopie pocetowej (kpitlizcj z góy) pzy óżych stopch pocetowych i óżych okesch kpitlizcji. Wyiki obliczeń pzedstwioo w poiższej tbeli: częstość kp. ocz półocz kwtl iesięcz dobow ciągł 4 365 6% 3,73 9,57 8,5 7,84 7,5 7,5 5% 67, 65,9 65,39 65,4 64,88 64,87 5% 5,63 5,94 5,6 5,38 5,75 5,7 4% 4,67 4,3 4, 4,88 4,83 4,8 3% 3,93 3,69 3,57 3,49 3,456 3,455 4
Pzecięte opocetowie i stop efektyw Powiey, że dw wuki opocetowi są ówowże, jeśli wtość kpitłu w chwili jest tk s dl obu pzypdków, tz. dl pocetu skłdego (kpitlizcji złożoej z dołu): 5 Rocz stop pocetow z oczy okese kpitlizcji odsetek ówowż dej stopie opocetowi skłdego to efektyw stop pocetow (zw często RO-zeczywist stop opocetowi). Dl opocetowi z dołu spełi o zte wuek: ef ef ef
top efektyw pzy kpitlizcji z góy Pzez efektywą stopę pocetową ozuiey oczą stopę pocetową z oczą kpitlizcją odsetek z dołu, ówowżą dej stopie, więc pzy kpitlizcji z góy chcąc wyzczyć efektywe opocetowie leży posłużyć się zleżością: 6 ef ef ef ef ef Dl pzykłdu, jeśli ocz stop pocetow jest ów %, kpitlizcj stępuje kwtlie z góy to efektywe ocze (z dołu) opocetowie wyosi:,66%,6577, 4 4 4 ef
fektywe opocetowie pzy -kotej kpitlizcji odsetek z dołu op. w stos. oczy op. w stos. oczy kpitlizcj odsetek 3% 6,% 3,% 6,9% 3,3% 6,4% 4 3,4% 6,7% 3,453% 6,83% 365 3,455% 6,84% 7
Rówowże stopy pocetowe pzy óżych częstotliwościch kpitlizcji odsetek z dołu kpitlizcj odsetek op. w stos. oczy op. w stos. oczy () 3% 6,%,9778% 5,96%,9668% 5,8695% 4,9595% 5,84%,956% 5,874% 365,9559% 5,869% 8
Wtość pzyszł lokt pzy zieej stopie pocetowej Pzyjowliśy, że stop pocetow jest stł pzez cły czs twi iwestycji. Obecie zkłdy, że pzez piewszych okesów stop pocetow wyosił, pzez okesów wyosił,, pzez p. okesów wyosił p, pzy czy su tych okesów jest ów : Wtedy, pzy kpitlizcji postej (z dołu) kpitł w chwili będzie ił wtość: 9 p i i i p p... Pzy pocecie skłdy (kpitlizcj złożo z dołu) y: p p ) (... ) ( ) ( Dl kpitlizcji z góy: p p W ) (... ) ( ) ( Dl kpitlizcji ciągłej: p i i i p p e e e e...
Pzecięt stop pocetow Istieje tk ocz stop pocetow, dl któej dowoly kpitł początkowy osiągie w chwili tką są wtość jk pzy zóżicowych stopch pocetowych,,, p. topę tką zywy pzeciętą stopą pocetową ( pzec ). Dl kpitlizcji postej oż ją wyzczyć zte ozwiązując ukłd ówń: 3 p i i i pzec ) ( My wiec: p i i i pzec toist dl kpitlizcji złożoej z dołu, jeśli w kolejych okesch obowiązywły stopy pocetowe,,, pzec i i tąd: i pzec i Dl kpitlizcji z góy, logiczie jk dl kpitlizcji z dołu pzecięte opocetowie wyzczy podstwie śediej geoetyczej, toist dl kpitlizcji ciągłej podstwie śediej ytetyczej (logiczie jk w pzypdku kpitlizcji postej).
Dyskoto poste, hdlowe i skłde Opecją pzeciwą do opocetowi kpitłu jest dyskotowie kpitłu. Jest to wyzczie wtości bieżącej, gdy zy jego wtość pzyszłą. Dyskoto jest to opłt z pwo dyspoowi kpitłe końcowy w chwili bieżącej. Jest to óżic poiędzy pzyszłą wtością kpitłu wyzczoą jego podstwie wtością początkową. Opecją odwotą do opocetowi postego jest dyskotowie zeczywiste poste. Dyskoto hdlowe jest to etod opocetowi kpitłu, w któej odsetki są oblicze z góy ( ie końcu okesu). Jest to zte opłt z pwo dyspoowi kpitłe licz od kwoty końcowej, któą dłużik zwócić, ie od kwoty początkowej, pobie pzy udzieliu pożyczki. Dyskoto skłde jest to opecj pzeciw do opocetowi kpitłu według pocetu skłdego 3
Dyskoto poste Dyskotowie zeczywiste poste poleg wyzcziu wtości kpitłu początkowego ze wzou: 3 D Dyskoto zeczywiste poste wyosi zte: Jest więc oo ówe pocetowi posteu od kpitłu początkowego.
Dyskoto hdlowe Dyskoto hdlowe z okes wyzczy ze wzou: D H d gdzie d jest oczą stopą dyskotową. podstwie dyskot wyzczy wtość zdyskotową: D d H Pzy idetyczej stopie pocetowej i dyskotowej dyskoto zeczywiste jest zwsze iższe iż dyskoto hdlowe wyzczoe dl tego sego kpitłu i tego sego czsu. Istieje tk stop dyskotow, że dyskoto zeczywiste i dyskoto hdlowe są sobie ówe. Mówiy wtedy, że stop pocetow jest ówowż stopie dyskotowej d. Aby wyzczyć tką stopę kozysty z wyzczoych wcześiej wzoów D oz D H D d d lub DH d Zte: d D DH Jeśli dl pzykłdu = oz = %, to d = 9,9%, toist, gdy d = % to =,%. 33
Dyskoto skłde Pzy pocecie skłdy zchodzi ówość: 34 ) ( Zte wtość bieżąc kpitłu, wyzczo w opciu o wtości pzyszłą wyosi: toist dyskoto: D toist jeśli kpitlizcj odbyw się zy w ciągu oku, to dyskotowie zpisujey stępująco Jeśli jest ieskończeie duże y kpitlizcję ciągłą i otzyujey stępujący wzó wtość zdyskotową: C e D zte e :
Pzykłd wyzczi dyskot Dl kwoty =63 zł oz =,5, =% wyzczyy wtości ktule oz wielkości dyskot pzy óżych sposobch dyskotowi. dyskotowie zeczywiste poste 63 63 6,,5 dyskotowie hdlowe D 63,,9563 598,5 D 3, 5 H dyskotowie skłde 63 63 6,68 D,,488 dyskotowie ciągłe, 3 9,3 e 3, 73 e 63e 63,9594 599,7 DC 35
Wkłdy oszczędościowe Zzwyczj powiększie kpitłu wyik ie tylko z kpitlizcji odsetek, le ówież z dokoywi wielokotych wpłt. Tkie godzeie kpitłu zyw się wkłdi oszczędościowyi. Pzyjujey, że koleje wpłty są dokoywe w tych sych odstępch czsu okesch wpłt. Wyóżiy wkłdy zgode i iezgode. Wkłdy są zgode, jeśli okes wpłt pokyw się z okese kpitlizcji odsetek i okese stopy pocetowej. W pzeciwy wypdku, zte gdy pzyjiej dw z tzech wyieioych okesów są óże wkłdy są iezgode. Poz ty wkłdy ogą być óżej bądź ówej wielkości, dokoywe końcu (wkłdy z dołu), lub początku okesu wpłt (wkłdy z góy). Podstwowe stwiedzeie, jki opie się chuek wkłdów oszczędościowych to zsd, że pzyszł wtość suy wkłdów jest ów suie pzyszłych wtości poszczególych wpłt. Pzyjujey, że kpitlizcj jest złożo z dołu. Podto wkłdy w okesch,,, wyoszą odpowiedio,,,, stop pocetow wyosi, okes kpitlizcji pokyw się z okese wpłt. Podto wkłdów dokoujey z dołu. Wtedy pzyszł wtość wszystkich wpłt wyosi: Dl wkłdów z góy: ( )... ( )...... 36
Wkłdy zgode stłej kwoty Jeśli pzyjiey, że poszczególe wkłdy są tej sej wielkości ówej i skozysty ze wzou suę wyzów ciągu geoetyczego, otzyy dl wkłdów z dołu: 37 R d ) (... toist dl wpłt z góy y: R g ) ( ) ( Aby wyzczyć wtość obecą (teźiejszą, zdyskotową) suy wszystkich wpłt dl wkłdów z dołu y: R dl wkłdów z góy wtość bieżąc wyż się wzoe: R
Pzykłd wkłdów zgodych z dołu Pzez 5 kolejych lt dokoujey lokty ówych kwot po 5 zł kżd, koiec kolejego okesu, ocz stop pocetow jest ów 6% i kpitlizcj jest ocz. Ustlić pzyszłą wtość wkłdów oszczędościowych. Jk jest ich obec wtość? Wtość pzyszł:,6 d R5 5 49,73,6 5 Wtość obec: R,6 49,73,3386 d 5 5 53,9 Zuwży, że wtość obec wkłdów jest zwsze iższ od suy dokoych wpłt wpłt tych dokoy w pzyszłości, stąd otzyy ezultt. 53,9 zł < 5 zł< 49,73 zł 38
Wkłdy iezgode, okesy wpłt i kpitlizcji się pokywją Jeśli w popzedich wzoch dokoy podstwiei: 39 oz otzyy wtość pzyszłą dl wkłdów z dołu: R d dl wkłdów z góy: R g Ich wtość obec jest ów odpowiedio: g d R R R R lub
) Pzykłd wkłdów częstszych od kpitlizcji Obiecłe cóce, że z lt d jej 8 tys. zł. W ty celu: ) koiec b) początek kżdego kwtłu wpłc stłą kwotę W. Złóży, że oil ocz stop pocetow wyosi 6%, kpitlizcj stępuje kwtlie. Jką kwotę ) końcu b) początku kżdego kwtłu uszę wpłcć? Jką wtość obecą zgodzoy wkłd? R W d 8,6 4,6 4 8,848,5 4 474,9 g R 8 b) W 45, 38,5,848,869,5 8 8 Wtość bieżąc zgodzoej kwoty jest ów:,5 R 4,848 44,99 4
Ret wieczyst - pzykłd Pew fudcj koto pewej odziy wpłc co iesiąc 5 zł bez ustlei liitu czsu (tzw. et płt do ieskończoości). Złóży, że oil stop pocetow wyosi =6%, kpitlizcj stępuje iesięczie. Rty ety są płte z dołu. Jk jest bieżąc wtość tych wpłt? 4,6 5...... W W W W W R Łtwo zuwżyć, że wzó powyższy oż otzyć jko gice wtości bieżącej wkłdów, gdy liczb okesów dąży do ieskończoości: W W R li
Wkłdy częstsze od kpitlizcji Do tej poy pzyjowliśy, że wkłdy i kpitlizcj odsetek stępują w tych sych okesch (lub kpitlizcj stępowł częściej). Ty ze złóży, że wkłdy są częstsze iż kpitlizcj dokoujey ich zy w kżdy okesie kpitlizcji. Wówczs okes kpitlizcji dzieliy podokesów, w któych dokoujey wkłdów oszczędościowych. Odsetki są dopisywe do kpitłu koiec kżdego okesu. W odiesieiu do pełych okesów obowiązuje kpitlizcj złożo z dołu, toist w odiesieiu do podokesów obowiązuje kpitlizcj post. Pzyjijy podto: oil stop pocetow, / względ stop pocetow dl podokesów. Zjiey się początek wpłti dokoywyi z dołu. Łącze odsetki od kwot zgodzoych w piewszy okesie kpitlizcji, obliczoe według kpitlizcji postej, wyiosą Z, gdzie: 4 ) (...... ) ( ) ( Z Dl wpłt z góy:...... ) ( Z
Wkłdy częstsze od kpitlizcji-cd Zte, wtość kpitłu zgodzoego po piewszy okesie kpitlizcji dl wpłt z dołu oz z góy wyosi odpowiedio: 43 Z Z W dugi okesie kpitlizcji kpitł wzośie do (+), poz ty koto powiększy się o owe wpłty djące tką są kwotę jk w piewszy okesie kpitlizcji. Zte: )... (... ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3
Wkłdy częstsze od kpitlizcji - pzykłd fudusz eeytly wpłcy pzez okes lt, koiec kżdego kwtłu stłą kwotę zł. Wyzczyy wtość pzyszłą oz bieżącą tego ciągu wpłt, pzy złożeiu, że ocz oil stop pocetow jest ów 6%, stop dyskotow jest idetycz, toist kpitlizcj jest: ) ocz, b) półocz, c) kwtl, d) iesięcz, e) ciągł. ) 3,6 4,6,6 4,936,78559 5453,9,6 5453,9 5453,9 3,735 4,9 499,98 3,735,6 44
Pzykłd: Wkłdy częstsze od kpitlizcji, wpłty kwtle, kpitlizcj półocz 45 46576,7 3,63779 5933,54,3 5933,54 5933,54 75,4597,5,3 3,63779,5,3,3,3 ) 4 4 b
c) Pzykłd: Wkłdy częstsze od kpitlizcji, wpłty kwtle, kpitlizcj kwtl (zgodość) 4 4 8,5,5 57,85 4 4 4 3,966787,5 57,85,5 8 57,85 3,966787 5,785 4647,3 46
Pzykłd: pitlizcj częstsz iż wpłty, wpłty kwtle, kpitlizcj iesięcz d) 3 3,5,5 5346, 4 3 4 3,345,575 5346,,5 4 5346, 3,345 34 3 53,46 4695,6 47
Pzykłd: pitlizcj częstsz iż wpłty, wpłty kwtle, kpitlizcj ciągł e e 8,5,5 e e e e, e,5 e,,5,394,53, 37 5357,3, 53,69886,53 Pukt k kpitlizcj o ) zł 4 ocz 5 453,7 zł 46 9,98 zł b) zł 4 półocz 5 933,54 zł 46 576,7 zł c) zł 4 kwtl 5 7,85 zł 46 47,3 zł d) zł 4 iesięcz 53 46, zł 46 95,6 zł e) zł 4 ciągł 53 57,3 zł 46 38,5 zł 4638,5 48
Rchuek et Ret jest to systetyczie uzyskiwy dochód z kpitłu, ie wygjący kłdu pcy. Aby pwidłowo wyzczyć etę, leży uwzględić chuek wtości pieiądz w czsie zówo kpitłu etowego jk i kolejych kwot ety. Moż ozóżić: ety stłe, ety twozące ciąg ytetyczy, geoetyczy lub uogólioe ciągi: ytetyczy, czy geoetyczy. Rety ogą być płcoe z góy lub z dołu, zgodie z okese stopy pocetowej lub w podokesch. Zjiey się eti, w któych kwot płtości jest stł. Poz ty, że et oże być płt z dołu ( końcu okesu) lub z góy ( początku okesu),to dodtkowo liczb płtości ety oże być ieskończo, skończo okeślo, lub skończo ieokeślo ( pzykłd et życiow płt do chwili zgou). My zjiey się jedyie eti pewyi. Złóży, że wysokość ety jest stł i wyosi W. Wtość pzyszł wszystkich wypłt wyosi (wypłty z dołu): R Wi R W W... W, i W i W W i 49
Rchuek et-ciąg dlszy toist dl wypłt z góy jej wtość pzyszł jest ów: R W ( ) Dyskotując pzyszłe wypłty chwilę bieżącą otzyujey wtość obecą ety. Jeśli spełioy jest wuek, to wysokość ety ie pzekcz leżych odsetek, bo: = (+) W, czyli stąd: W. Moż wtedy wypłcć etę pzez czs ieogiczoy (etę wieczystą). Jej ksyl wtość jest ów: dl ety z dołu: W dl ety z góy: W x x Pzykłd Fudusz, z któego być wypłc stł iesięcz et z dołu jest ówy = zł, =,5% (kpitlizcj i stop pocetow iesięcz). Wówczs ksyl et iesięcz jest ów: W,5 zł x 5
Rety-pzykłdy-ciąg dlszy Gdy chcey pobieć etę wielkości, p. zł to w celu wyzczei (liczby okesów, pzez któe ożey pobieć etę) y ozwiązć ówie: W,5,5,5 38,7 38 38 W 94,9 Pzykłd W wieku 5 lt podejujey pcę, pzez lt wpłcy fudusz eeytly kwotę 3 zł iesięczie ( koiec kżdego iesiąc). W ty czsie obowiązuje ocz stop pocetow 6% i kpitlizcj ocz. Pzez koleje: ) 5 lt; b) lt wpłcy fudusz 5 zł iesięczie stop pocetow jest 4%. Jką eeytuę będę pobieł pzez: ) lt, b) 5 lt, jeśli będzie wtedy obowiązywł ocz stop pocetow 3%? Jk jest jej bieżąc wysokość? początek kozystjąc ze wzou wtość pzyszłą wkłdów iezgodych z dołu (częstszych iż kpitlizcj) wyzczyy st kot po ltch oszczędzi. Zte otzyujey:,6 3,6 3669, 9zł,6 38 5
Rety-pzykłdy- eeytu kobiet Rozwiązie podpuktu ) (kobiet): wyzczy st kot po 35 ltch: 5 5,4 35,4 5,4 367398,33,4 Wyzczy obecie wysokość eeytuy oczej jką ożey pobieć pzez lt.,3,3 35,3 4694,94 tej podstwie wyzczy wysokość eeytuy iesięczej :,3 3, Dyskotujey powyższą kwotę chwilę bieżącą, by uzyskć wtość ktulą piewszej eeytuy iesięczej WA : WA 5,6,4 35,46 5
Rety-pzykłdy- eeytu ężczyz Rozwiązie podpuktu b) (ężczyz): wyzczy st kot po 4 ltch:,4 4,4 5,4 4889,97,4 Wyzczy obecie wysokość eeytuy oczej 5 jką ożey pobieć pzez 5 lt.,3,3 5 4 5 5,3 45,5 tej podstwie wyzczy wysokość eeytuy iesięczej 5 : 5,3 5 335,84 Dyskotujey powyższą kwotę chwilę bieżącą, by uzyskć wtość ktulą piewszej eeytuy iesięczej WA 5 : WA 5 5,6,4 47,43 53
OF jk być powio Zkłdy, że w wieku 5 lt OF koie kżdego iesiąc wpłcy zł. Po ukończeiu 67 lt, pzez 3 lt, ówież koiec kżdego iesiąc pobie eeytuę stłą. Pzy złożeiu, że ocz stop zwotu fuduszu jest ów 4%, jką eeytuę powiiee otzyywć? wyzczy st kot po 4 ltch oszczędzi: 4,4,4,4 4 889,55 Wyzczy obecie wysokość eeytuy oczej 3 jką ożey pobieć pzez 3 lt.,4,4 3 4 3 3 87,36 tej podstwie wyzczy wysokość eeytuy iesięczej 3 : 3,4 Dyskotujey powyższą kwotę chwilę bieżącą, by uzyskć wtość ktulą piewszej eeytuy iesięczej (pzy złożeiu, że pzecięt iflcj wyosił 3%) WA 3 : 3 WA 3 33,3 4,3,4 3 49,7 54
płt kedytu zsdy, ozczei Do podstwowych tskcji fisowych leży udzielie oz spłcie pożyczek i kedytów. Z tytułu zciągiętych pożyczek lub kedytów powstje dług. Dług jest to su ieuegulowych zobowiązń. ie ozóżiy kedytu i pożyczki i pojęci te stosowć będziey wyieie. Pzy dokoywiu obliczeń związych z długi stosuje się zwykle tzy podstwowe zsdy: Zsd ogól. okeśloy oet czsu (p. oet zciągięci pożyczki lub elizcji kedytu) dług i spłty długu (leżości i zwoty leżości), pzy uwzględieiu chuku wtości pieiądz w czsie uszą być sobie ówe. Zsd kupieck. W dowoly oecie czsu T iespłcoy dług oblicz się jko óżicę iędzy początkową wtością długu zktulizową oet T, suą wtości spłcoych t zktulizowych oet T (wyik o z zsdy ogólej pzeiesioej oet T). Zsd eykńsk. Wysokość długu bieżącego wyzcz jest po spłcie kżdej ty długu. Od długu bieżącego licze są odsetki w oecie płcei kolejej ty z okes iędzy osttii płtościi. Dług ziejsz się o óżicę iędzy tą i leżyi odsetki, jeśli t óżic jest dodti. Jeśli óżic jest uje wówczs t pzyjęt pzez wiezyciel ie jest tktow jko t spłcjąc dług i zwykle ieopocetow dolicz jest do kolejej ty spłty długu i w ty oecie powtz jest pocedu wyzczi wtości długu bieżącego (pioytet spłt odsetek, w stępej kolejości spłcy jest dług). Pzyjijy stępujące ozczei: zciągięty dług, liczb t, w któych spłcy dług, stop pocetow (dyskotow), += - czyik pożjący, A -t t łącz, (-t spłt, -t płtość), T -t t długu, (część długu spłco w -tej cie łączej), Z odsetki spłcoe w -tej cie, eszt długu, pozostł do spłcei po spłceiu t, Z su wszystkich odsetek. Zkłdy początek, że kedytobioc spłc jedyie zciągięty dług oz leże odsetki. ie uwzględiy żdych opłt dodtkowych, powizji, itp. 55
płt kedytu podstwowe wzoy Zchodzą stępujące ówości: A = T + Z =,,..., Z = Z + Z +... +Z = T + T +... + T Jeśli ty są spłce zgodie z okese stopy pocetowej i okese kpitlizcji odsetek, to y spłty zgode, iczej spłty są iezgode. płty ogą być dokoywe z góy lub z dołu, le spłty z góy oż tktowć jko spłty z dołu pożyczki -A (pożyczk poiejszo o piewszą tę łączą), więc y zjiey się tylko spłti z dołu, co ie ziejsz ogólości ozwżń. Aby okeślić pl spłt długu leży okeślić ciągi (A ), (T ), (Z ), ( ). jczęściej do okeślei plu spłty długu posługujey się jedy z dwóch schetów:. ustly ty łącze A, A,...A,. ustly ty długu T, T,...T. Ad.. płty o zdych tch łączych. Jeśli de są ty łącze A, A,...A, wówczs pozostłe eleety plu spłty długu wyzczy w sposób stępujący: Z T A My : Z Z i A Z i i A A i... A,,...,,,..., 56
płt kedytu podstwowe wzoy ty łącze stłe Jeżeli z jest stop pocetow, wszystkie ty A i ją być idetycze, ówe A, to wysokość ty ustly z ówi = : 57 A Z T Z...... A A A A A A A Ostteczie dl t łączych stłych (uitetowych) y:
płt kedytu ty łącze stłe -pzykłd Dług w wysokości tys. zł być spłcoy w czteech oczych ówych tch łączych, ocz stop pocetow wyosi % (Uwg: pzypoiy, że zjujey się ti zgodyi płtyi z dołu i tką są kpitlizcją złożoą z dołu). Wyzczyć wielkość ty łączej, tkże pozostłe eleety plu spłty długu. A 4 A 3,547837 4, 4,,,464 4,,464 Pozostłe eleety plu spłty długu uieszczoo w dej dlej tbeli. = zł - Z A T, zł, zł 3 547, zł 547, zł 78 45,9 zł 78 45,9 zł 7 845,3 zł 3 547, zł 3 7,8 zł 54 75, zł 3 54 75, zł 5 475, zł 3 547, zł 6 7, zł 8 679, zł 4 8 679, zł 867,9 zł 3 547, zł 8 679, zł, zł - 6 88,3 zł 6 88,3 zł, zł - 58
płt kedytu podstwowe wzoy ty spłty długu ustloe Zkłdy, że zostły ustloe ty spłty długu T, T,..., T. Oczywiście uszą oe ze być ówe wielkości zciągiętego kedytu 59......... Z Z Z T Z A Z T T T T T T i i i i i i Z T A Z T T Gdy ty ze złożyy, że wszystkie ty spłty długu są idetycze, to w tkiej sytucji y do czyiei z ti łączyi lejącyi. Zuwży ówież, że w ty wypdku:
płt kedytu ty długu ustloe -pzykłdy Dług zł spłcy w 5 tch, pzy czy 4 piewsze ty spłty długu są ówe: 3 tys., 5 tys., tys., 7 tys. zł, stop pocetow wyosi %. Wyzczyć pl spłty długu. = zł - Z A T, zł, zł 4, zł 3, zł 7, zł 7, zł 7, zł 3, zł 5, zł 45, zł 3 45, zł 4 5, zł 4 5, zł, zł 5, zł 4 5, zł 5, zł 9 5, zł 7, zł 8, zł 5. 8, zł 8, zł 8 8, zł 8, zł, zł XXXXX 4 8, zł 4 8, zł, zł XXXXXX Jeśli złożyy, że ty spłty długu są stłe wówczs y (któ ofet tkcyjiejsz?: = zł - Z A T, zł, zł 3, zł, zł 8, zł 8, zł 8, zł 8, zł, zł 6, zł 3 6, zł 6, zł 6, zł, zł 4, zł 4 4, zł 4, zł 4, zł, zł, zł 5., zł, zł, zł, zł, zł XXXXX 3, zł 3, zł, zł XXXXXX 6
edyt z dodtkową opłtą Jk ówi pwo bkowe kedytobioc opócz długu, leżych odsetek płci też powizję. jczęściej powizj płco jest początku, jedozowo, jko pocet kwoty kedytu. Wtedy wypłco kwot kedytu jest poiejsz o leżą powizję (p. %), toist pl spłty wyzczy podstwie cłej kwoty. iekiedy ustl się, że kedytobioc opócz zwotu długu i odsetek zobowiązy jest wosić powizję jko dodtkową opłtę G, płtą wz z kżdą tą.. Mówiy wtedy o kedytch z dodtkową opłtą. Wówczs -t t łącz jest ów: A = T + Z + G.. -t t łącz = -t t długu + odsetki spłcoe w -tej cie + -t dodtkow opłt Zwykle G ustl się w zleżości od: ) spłcoego długu w -tej cie T G = T p, wtedy łącz dodtkow opłt jest ów G = p b) ie spłcoego długu -, czyli długu pozostłego do spłcei po spłceiu - t G = - p. Wówczs: A T Z G T p T p 6
Poi kosztu kedytu Obecie zwóciy uwgę poi kosztu kedytu. W ty celu leży wyzczyć efektywą oczą stopę pocetową ( ef ). Jeśli zy ty łącze A, A,...,A wówczs leży wyzczyć stopę pocetową bzową =+ zgodie Aze wzoe A A... stępie wyzczyć odpowiedią oczą stopę pocetową odpowidjącą stopie. Pzykłd Dele sochodowy ofeuje sochód z gotówkę z kwotę36 6,4 zł, lub 3 ty, płte co dw iesiące, po 5 zł. kżd. Czy wto bć sochód ty, jeśli widoo, że yku dostępy jest kedyt, któego efektywe ocze opocetowie wyosi 5%? Opocetowie dwuiesięcze kedytu ofeowego pzez dele wyosi = +, y pzy ty: 366,4,5 ef ef,5,34 34% 5 5 5 3 5% 6 Zte stop oil ocz wyosi 65% = 3%. fektywy koszt tego kedytu, iezoy efektywą stopą pocetową wyosi 34%, jest wyższy o 9 puktów pocetowych iż opocetowie iych ogólie dostępych kedytów. Zwcy uwgę, że często póbuje się wówić, że poiewż w zpezetowy pzykłdzie kupując ty zpłciy więcej o około %, iż ce, więc pzedstwio ofet jest zczie kozystiejsz od kedytu bkowego (gdyż jego opocetowie wyosi 5%). W świetle pzedstwioych obliczeń widocz jest pułpk tkiej itepetcji. 6
Pzykłdy wyzczi opocetowi kedytu Pzykłd Pzedstwić óżice iędzy deklowy zeczywisty koszte kedytu zł opocetowego efektywie % oczie pzy złożeiu, że kedyt spłcy iesięczie w ówych tch (z wizytę dodcy w dou płciy kwotę 5 zł, któ jest dolicz do kwoty kedytu), płciy tkże jedozowo powizję 3% od zciągiętej pożyczki. Łtwo oż wyliczyć, że iesięcze pocetowie tkiego kedytu wyosi,797%. Pzyjując, że usiy spłcić 5 zł (zciągięty kedyt plus opłt z wizytę dodcy), wyzczy stłą tę łączą i wyosi o 8,73 zł. Jeśli tez chcey wyzczyć zeczywiste opocetowie kedytu (koszt kedytu), to zuwży, że w pktyce otzyliśy 97 zł (odejujey 3 zł powizji) toist dokoujey stłych spłt iesięczych 8,73 zł. tej podstwie otzyujey, że zeczywiste iesięcze opocetowie kedytu wyosi 3,58%. Wyzczy więc ocze efektywe opocetowie i stwiedzy, że wyosi oo ż 5,57%. Pzykłd (Różic iędzy zeczywisty i eklowy koszte kedytu) Pzyjijy, że chcey zciągąć oczy kedyt kwotę zł, spłcy iesięczyi ówyi ti łączyi. płt kedytu stąpić w ciągu jedego oku. podstwie ekl wybliśy dw bki. Jede ofeuje kedyt, dl któego odsetki od kwoty zł wyoszą zł iesięczie, w wypdku dugiego bku odsetki od kwoty złotych wyoszą zł iesięczie. tó ofet jest kozystiejsz, jeśli w piewszy wypdku odsetki liczy od zciągiętego kedytu, w dugi od iespłcoego kedytu. 63
Ustw o kedycie kosuecki Zgodie z Ustwą z di j. o kedycie kosuecki (Dz. U. z. 6, poz. 75, Złączik 4) zeczywistą oczą stopę pocetową kedytu oblicz się zgodie z stępującyi zsdi: Rzeczywistą oczą stopę opocetowi stowiącą cłkowity koszt kedytu pooszoy pzez kosuet, wyżoy jko wtość pocetow cłkowitej kwoty kedytu w stosuku oczy, kedytodwc lub pośedik kedytowy, oblicz zgodie z ' stępujący wzoe tetyczy: tk x D x Poszczególe litey i sybole użyte we wzoze ozczją: x zeczywistą oczą stopę opocetowi; ue kolejy osttiej wypłty ty kedytu; k ue kolejy wypłty, zte k ; C k kwotę wypłty k; k l t k okes, wyżoy w ltch lub ułkch lt, iędzy die piewszej wypłty die kżdej kolejej wypłty, zte t = ; ' ue kolejy osttiej spłty lub woszoych opłt; l ue kolejy spłty lub woszoych opłt; D l kwotę spłty lub woszoych opłt; l okes, wyżoy w ltch lub ułkch lt, iędzy die piewszej wypłty die kżdej spłty lub wiesiei opłt. W celu obliczei zeczywistej oczej stopy opocetowi pzyjuje się stępujące złożei: ) uow o kedyt będzie obowiązywć pzez czs, któy zostł zwt oz że kedytodwc i kosuet wypełią zobowiązi wyikjące z uowy o kedyt w teich okeśloych w tej uowie; b) kwoty wypłce i spłce pzez stoy uowy o kedyt kosuecki ie uszą być ówe i ie uszą być płcoe w ówych odstępch czsu; c) dtą początkową będzie dt piewszej wypłty ty kedytu; d) odstępy czsu iędzy dti używyi w obliczeich wyżoe będą w ltch lub w ułkch oku, pzy czy ok liczy 365 di, w pzypdku lt pzestępych 366 di, 5 tygodie lub dwście ówych iesięcy. Pzyjuje się, że ówy iesiąc 3,4666 di; e) wyik obliczeń podje się z dokłdością do co jiej jedego iejsc po pzeciku, pzy czy jeżeli cyf występując po wyby pzez obliczjącego iejscu po pzeciku jest iejsz iż 5, cyfę tę poij się, gdy zś jest większ lbo ów 5, cyfę popzedzjącą zwiększ się o ; C k l l 64
Pzykłdowy zestw testowy.pewie kpitł po tzech ltch depoowi w bku pzy kwtlej kpitlizcji odsetek z dołu i oilej stopie pocetowej 4% pzyiósł 945,48 zł odsetek. W bku zdepoowo: ) 963 zł; b) 85 zł; c) 647 zł; d) 97 zł; e) ie wie. Jeśli w bku obowiązuje oile opocetowie kedytów 6,8% i kpitlizcj iesięcz z dołu to efektywe opocetowie kedytu wyosi: ) 7,%; b) 6,4%; c),4%; d) 8,6%. ) ie wie. 3. Wpłcy co kwtł z góy kwotę zł pzy kwtlej stopie pocetowej % i kwtlej kpitlizcji odsetek (z dołu) pzez okes pięciu lt. t kot po ty okesie wyiesie: ) 497,37 zł. B) 357,93 zł. C) 4783,3 zł. D) 34,59 zł. e) ie wie. 4. Bk ziez zieić kpitlizcję kwtlą z dołu z oilą stopą pocetową 8% kpitlizcję kwtlą z góy. Aby zchowć ówowżość opocetowi bk powiie: ) podieść oilą stopę pocetową. b) obiżyć oilą stopę pocetową. c) zchowć oilą stopę pocetową 8%. d) wpowdzić kwtlą stopę pocetową %. e) ie wie. 5. Pzyszł wtość suy wpłt woszoych co 6 iesięcy z dołu pzez dw lt pzy półoczej kpitlizcji odsetek i oilej oczej stopie pocetowej 9,6% wyosi 3 zł. Wtość bieżąc tych wpłt wyosi: ) 487, zł. b) 634,3 zł. c) 96, zł. d) 497,47 zł. e) ie w ie 6. pitł 5 zł zostł opocetowy oilie 6% w stosuku oczy pzy kpitlizcji kwtlej. Wtość odsetek z piąty kwtł wyosi: ) 75,36 zł. b) 9743,84 zł. c) 339,7 zł. d) 75,5 zł. e) ie wie. 7. Wz ze wzoste częstości kpitlizcji odsetek tkcyjość opocetowi z góy (dl pożyczkobiocy): ) ośie. b) leje. c) ie ziei się. d) leje lub ośie, zleży to od wysokości oilej stopy pocetowej. e) ie wie 8. fektywe opocetowie lokt wyosiło %, stępie obiżoo je o 5%. Obecie wyosi: ) ie oż okeślić, zleży to od częstości kpitlizcji odsetek. b) 7%. c),8%. d),4%. e) ie wie. 9. edyt zł być spłcy iesięczie w ciągu pięciu lt ówyi ti długu. Rocz stop pocetow wyosi % i kpitlizcj jest iesięcz. Dziesiąt t łącz wyosi: ) 6, zł. b) 3, zł. c) 4, zł. d) 4, zł. e) ie wie 65
Dziękuję z uwgę i życzę iłych spotkń z dysketą tetyką fisową d Zbigiew Śleszyński 66