2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 9

Spis treści 1 Podstawowe struktury algebraiczne 2 11 Grupa, pierścień, ciało 2 12 Grupy permutacji 4 13 Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik 6 14 Zadania 7 2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana 8 21 Wprowadzenie teoretyczne 8 22 Zadania 9 3 Wyznacznik macierzy opracowanie dra Piotra Rzonsowskiego 11 31 Teoria 11 32 Zadania 14 4 Przestrzeń liniowa, liniowa kombinacja wektorów, baza przestrzeni liniowej (opracowano na podstawie BG Elementy algebry liniowej t I ) 16 41 Wprowadzenie teoretyczne 16 42 Zadania 20 5 Macierz przekształcenia liniowego, wartości własne, wektory własne 21 51 Wprowadzenie teoretyczne 21 511 Macierz przekształcenia liniowego 21 512 Wektory własne, wartości własne i przestrzenie własne 22 52 Zadania 23 1

1 Podstawowe struktury algebraiczne 11 Grupa, pierścień, ciało Definicja 11 Działaniem wewnętrznym (w skrócie będziemy mówić działaniem) w zbiorze X nazywać będziemy każdą funkcję X X X Definicja 12 Niech F i A będą niepustymi zbiorami Dowolne odwzorowanie : działaniem zewnętrznym w zbiorze A ze zbiorem operatorów F F A A nazywamy Definicja 13 Grupą nazywamy zbiór G z działaniem : G G G, dla którego spełnione są następujące warunki: G1 Dla dowolnych a, b, c G : (a b) c = a (b c) (łączność) G2 Istnieje element e G (nazywany elementem neutralnym grupy) taki, że: dla każdego a G : e a = a e = a G3 Dla każdego a G istnieje element b G (nazywany elementem odwrotnym do a) taki, że: a b = b a = e Definicja 14 Grupą przemienną (lub abelową) nazywamy zbiór G z działaniem : G G G, spełniającym warunki G1 G3 z powyższej definicji oraz warunek: G4 dla dowolnych a, b G : a b = b a Fakt 11 Niech G będzie grupą 1 Element neutralny grupy G jest tylko jeden 2 Dla każdego elementu a G element odwrotny b do elementu a jest jednoznacznie określony, oznaczamy go symbolem a 1 3 Dla każdego a G mamy: ( a 1 ) 1 = a 4 Dla dowolnych a, b G zachodzi równość: (ab) 1 = b 1 a 1 Często dla uproszczenia zapisu element neutralny dla mnożenia ( ) będziemy oznaczać poprzez 1, natomiast dla dodawania (+) poprzez 0 Definicja 15 Niepusty podzbiór H grupy (G, ) nazywamy podgrupą grupy G, gdy (H, ) jest grupą Definicja 16 Pierścieniem nazywamy zbiór R z dwoma działaniami: z dodawaniem + : R R R i z mnożeniem : R R R, dla których są spełnione następujące warunki: P1 (R, +) jest grupą abelową P2 Dla dowolnych a, b, c R : (a b) c = a (b c) (łączność mnożenia) P3 Dla dowolnych a, b, c R : (rozdzielność mnożenia względem dodawania) a (b + c) = a b + a c (a + b) c = a c + b c 2

Jeśli ponadto R {0} oraz istnieje element neutralny mnożenia e R taki, że: to mówimy, że R jest pierścieniem z jedynką Jeśli mnożenie w pierścieniu R jest przemienne, tzn: to mówimy, że R jest pierścieniem przemiennym dla każdego a R : a e = e a = a, dla każdego a, b R : a b = b a, Definicja 17 Ciałem nazywamy niepusty zbiór K (posiadający co najmniej dwa elementy) wraz z działaniami + : K K K oraz : K K K takimi, że: C1 (K, +, ) jest pierścieniem przemiennym z jedynką C2 Zbiór K = K \ {0} z mnożeniem jest grupą Definicja 18 Niech (A, + A ) oraz (B, + B ) będą grupami Mówimy, że odwzorowanie f : A B jest homomorfizmem grup, gdy dla każdego a, b A: f (a + A b) = f (a) + B f (b) Niech teraz (A, + A, A) oraz (B, + B, B) będą pierścieniami Mówimy, że odwzorowanie f : A B jest homomorfizmem pierścieni, gdy dla każdego a, b A: Warto zauważyć, że w przypadku, gdy: f (a + A b) = f (a) + B f (b) f (a A b) = f (a) B f (b) 1 (A, + A ) oraz (B, + B ) są grupami i f : A B jest homomorfizmem grup, to: f (0 A ) = 0 B 2 (A, + A, A) oraz (B, + B, B) są dowolnymi pierścieniami i f : A B jest homomorfizmem pierścieni, to: f (0 A ) = 0 B 3 (A, + A, A) oraz (B, + B, B) są dowolnymi pierścieniami z jedynką i f : A B jest homomorfizmem tych pierścieni, to: f (0 A ) = 0 B, f (1 A ) = 1 B Jądrem homomorfizmu f : A B, jest zbiór: Ker f = {a A : f (a) = 0 B } Obrazem homomorfizmu f : A B jest zbiór: Im f = {b B, a A : f (a) = b} 3

12 Grupy permutacji Definicja 19 1 Niech f : X Y (a) Mówimy, że f jest suriekcją (odwzorowaniem na zbiór Y ), gdy dla każdego y Y, istnieje x X taki, że: y = f (x) (b) Mówimy, że f jest iniekcją (odwzorowaniem różnowartościowym), gdy dla dowolnych x 1, x 2 X zachodzi następująca implikacja: lub równoważna implikacja: x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 (c) Mówimy, że f jest bijekcją, gdy jest zarówno iniekcją jak i suriekcją 2 Niech: f : X Y g : Y Z Złożeniem funkcji f i g nazywamy funkcję h := g f : X Z określoną następująco: dla każdego x X : h (x) := (g f) (x) = g (f (x)) Czyli mamy następującą sytuację: f X Y Z g Zauważmy, że w ogólnym przypadku składanie funkcji nie jest przemienne Niech np f, g : R R, dla dowolnego x R dane wzorami: Wówczas dla dowolnego x R mamy: g f f (x) = 2x g (x) = x 2 (f g) (x) = f (g (x)) = f ( x 2) = 2x 2 (g f) (x) = g (f (x)) = g (2x) = 4x 2 Twierdzenie 11 Niech X będzie dowolnym zbiorem, a Bij (X) niech będzie zbiorem wszystkich bijekcji zbioru X (tzn Bij (X) = {f : X X; f jest bijekcją}) Zbiór Bij (X) wraz ze składaniem funkcji tworzy grupę Nas interesować będą zbiory, które mają skończoną liczbę elementów Definicja 110 Niech X będzie dowolnym zbiorem n-elementowym Grupę bijekcji takiego zbioru oznaczamy S n i nazywamy grupą permutacji zbioru n-elementowego Elementy grupy S n nazywamy permutacjami Zauważmy, że dowolny zbiór n elementowy możemy utożsamić ze zbiorem {1, 2, 3,, n}, niech więc X = {1, 2, 3,, n} Wówczas dowolną permutację σ S n możemy zapisać: ( ) 1 2 3 n σ = σ (1) σ (2) σ (3) σ (n) Elementem neutralnym grupy S n jest permutacja identycznościowa: ( ) 1 2 3 n Id = 1 2 3 n Elementem odwrotnym do σ jest: σ 1 = ( ) σ (1) σ (2) σ (3) σ (n) 1 2 3 n 4

Definicja 111 Permutację σ S n nazywamy cyklem długości k, gdy istnieje k elementowy podzbiór {a 1, a 2,, a k } zbioru X taki, że: σ (a 1 ) = a 2, σ (a 2 ) = a 3,, σ (a k 1 ) = a k, σ (a k ) = a 1 oraz σ (a) = a dla a / {a 1, a 2,, a k } Przyjmujemy, że permutacja identycznościowa jest cyklem długości jeden Zauważmy, że każdy cykl długości k można zapisać na k sposobów Definicja 112 Dwa cykle (a 1, a 2,, a j ), (b 1, b 2,, b k ) nazywamy cyklami rozłącznymi, gdy zbiory {a 1, a 2,, a j }, {b 1, b 2,, b k } są rozłączne Twierdzenie 12 Każdą permutację można przedstawić w postaci iloczynu parami rozłącznych cykli Przedstawienie to jest jednoznaczne z dokładnością do kolejności cykli Definicja 113 Cykl długości 2 nazywamy transpozycją Twierdzenie 13 Każdą permutację można rozłożyć na iloczyn transpozycji To przedstawienie nie jest jednoznaczne Jednak, gdy dana permutacja jest jednocześnie iloczynem p i r transpozycji, to liczby p i r są tej samej parzystości (tzn obie są parzyste lub obie są nieparzyste) W rozkładzie permutacji identycznościowej na transpozycje występuje zawsze parzysta ich ilość Poniższa równość określa sposób rozkładu cyklu długości k na iloczyn transpozycji: (a 1, a 2, a 3,, a k 1, a k ) = (a 1, a k ) (a 1, a k 1 ) (a 1, a 3 ) (a 1, a 2 ) Definicja 114 Znakiem permutacji σ nazywamy liczbę sgn σ = ( 1) r, gdzie r jest liczbą czynników w rozkładzie permutacji σ na iloczyn transpozycji Jeśli sgn σ = 1, to permutację σ nazywamy parzystą Jeśli sgn σ = 1, to permutację σ nazywamy nieparzystą Definicja 115 Niech dana będzie permutacja: ( ) 1 2 3 s t n σ = σ (1) σ (2) σ (3) σ (s) σ (t) σ (n) Mówimy, że liczby s, t tworzą inwersję, gdy: Np Liczba 6 tworzy 5 inwersji Liczba 4 tworzy 3 inwersji Liczba 2 tworzy 1 inwersji Liczba 3 tworzy 1 inwersji Liczba 7 tworzy 2 inwersji Liczba 5 tworzy 1 inwersji Liczba 1 tworzy 0 inwersji σ = s < t oraz σ (s) > σ (t) ( 1 2 3 4 5 6 ) 7 6 4 2 3 7 5 1 Liczba wszystkich inwersji w permutacji σ wynosi 5 + 3 + 1 + 1 + 2 + 1 + 0 = 13 Istnieje równoważna definicja parzystości permutacji: Definicja 116 (równoważna definicji 114) Permutację σ S n nazywamy parzystą, gdy dla n > 1 liczba inwersji w σ jest parzysta lub σ S 1 Permutację σ S n, n > 1 nazywamy nieparzystą, gdy liczba inwersji w σ jest nieparzysta 5

13 Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik Anna Iwaszkiewicz-Rudoszańska, Wstęp do algebry i teorii liczb, Wyd Naukowe UAM: 1 Pierścień wielomianów, str 125-132 2 Pierścień liczb całkowitych (Podzielność w Z, NWD, NWW, algorytm Euklidesa), str 52-63 Definicja 117 Mówimy, że liczba n dzieli liczbę a, co zapisujemy n a wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba k Z taka, że a = kn Definicja 118 Liczbą naturalną d nazywamy największym wspólnym dzielnikiem liczb a 1, a 2,, a m, gdy 1 i {1, 2,, m} : d a i oraz 2 c N : c a 1 c a 2 c a m = c d Piszemy wówczas d = (a 1, a 2,, a m ) Definicja 119 Liczbą naturalną w nazywamy najmniejszą wspólną wielokrotnością różnych od zera liczb a 1, a 2,, a m, gdy 1 i {1, 2,, m} : a i w oraz 2 c N : a 1 c a 2 c a m c = w c Piszemy wówczas w = [a 1, a 2,, a m ] Gdy i {1, 2,, m} : a i = 0, to w = [a 1, a 2,, a m ] = 0 Twierdzenie 14 Niech R będzie dziedziną całkowitości Niech f, g R[x] oraz współczynnik przy najwyższej potędze x w wielomianie g będzie odwracalny Istnieje wtedy dokładnie jedna para wielomianów q, r A[x], taka że: f = gq + r oraz deg r < deg g Definicja 120 Niech f, g K[x], gdzie K jest dowolnym ciałem Niech f 0 lub g 0 Największym wspólnym dzielnikiem wielomianów f i g nazywamy wielomian unormowany h K[x], spełniający następujące warunki: 1 h g oraz h f, 2 dla każdego h K[x] takiego, że h f i h g zachodzi: h h Piszemy wtedy h = (f, g) Definicja 121 Jeśli (f, g) = 1, to wielomiany f, g nazywamy względnie pierwszymi Definicja 122 Element a R nazywamy pierwiastkiem wielomianu f R[x], gdy f(a) = 0 Twierdzenie 15 (Bézouta) Element a R jest pierwiastkiem wielomianu f R[x] wtedy i tylko wtedy, gdy (x a) f Twierdzenie 16 Niech n N Wielomian n-tego stopnia o współczynnikach z dziedziny całkowitości ma co najwyżej n pierwiastków w tym pierścieniu Twierdzenie 17 Niech f = a n x n + + a 1 x + a 0 Z[x] Jeśli ułamek nieskracalny p q wielomianu f, to p a 0 oraz q a n jest pierwiastkiem Twierdzenie 18 (Zasadnicze twierdzenie algebry) Każdy wielomian f C[x] stopnia dodatniego ma w ciele C pierwiastek Wniosek 181 Każdy wielomian f C[x] stopnia n N ma w ciele C dokładnie n pierwiastków, licząc z krotnościami Twierdzenie 19 Każdy wielomian rzeczywisty nieparzystego stopnia ma pierwiastek w R 6

14 Zadania Zadanie 11 Wykonaj następujące działania: a 1 4 + 2 w ciele Z 5, b 1 + 1 2 + 1 3 + 1 5 w ciele Z 7, c 2 (1 + 2 3 ) + 3 2 w ciele Z 5, d 1 2 + 1 w ciele Z 3, e 2 (5 1 2 4 ) w pierśc Z 6, f 1 6 3 ( 1 4 + 2) 1 w ciele Z11, g (w ciele C) ( 1+2i)(2 5i) 4i 3 Zadanie 12 Zbuduj tabelkę działania w S 3 Zadanie 13 Niech σ = ( 1 2 3 4 5 2 1 5 4 3 ), τ = ( 1 2 3 4 5 4 1 5 2 3 ) Oblicz: στ, τσ, σ 1 τσ, τ 1 σ Zadanie 14 Zapisz poniższe permutacje w postaci dwuwierszowej: a σ = (1, 2, 4, 6), σ S 7, b τ = (3, 5, 4), τ S 5 Zadanie 15 Rozwiąż równania: a (1, 2)x = (1, 3)(2, 4) w grupie S 4, b ( 1 3 2 5 3 2 4 4 5 1 ) x ( 1 2 2 1 3 4 4 5 5 3 ) = ( 1 1 2 5 3 4 4 3 5 2 ) w grupie S 5, c ( 1 2 2 1 3 3 ) x ( 1 3 2 1 3 2 ) 1 = ( 1 1 2 3 3 2 ) w grupie S 3, d x ( 1 3 2 2 3 5 4 1 5 4 ) = ( 1 2 2 1 3 3 4 4 5 5 ) w grupie S 5 Zadanie 16 Daną permutację σ S 10 przedstaw w postaci iloczynu transpozycji Określ znak i parzystość permutacji σ a σ = ( 1 6 2 7 3 2 4 8 5 1 6 3 7 9 10 8 4 9 10 5 ) c σ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b σ = ( 1 3 2 2 3 6 4 8 10 5 1 6 4 7 5 8 7 9 10 9 ) d σ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Zadanie 17 Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: 10 1 3 5 4 8 9 7 6 2 ) 1 3 4 2 5 10 6 9 7 8 ) a (120, 195), b (80, 208), c (36, 60, 90), d (120, 168, 280), e (30, 42, 70, 105), f [120, 195], g [80, 208], h [36, 60, 90], i [120, 168, 280], j [30, 42, 70, 105] Zadanie 18 Przy pomocy algorytmu Euklidesa wyznacz: (14, 35), (180, 252), (345, 6642), (1001, 765), (148, 684), (819, 702, 689), (3059, 2737, 943) Zadanie 19 Wyznacz element odwrotny do liczby: a 35 w Z 37 b 125 w Z 257 c 637 w Z 1734 d 1633 w Z 1734 Zadanie 110 Oblicz f + g, f g: a f = 5X 2 (2 + i) X + i, g = ix + 13 i w pierścieniu C[X], b f = 3X 2 + X + 4, g = 2X 2 + 3X + 3 w pierścieniu Z 5 [X], c f = 2X 4 + 3, g = ( 2X 4 + 1 ) w pierścieniu Z[X] Zadanie 111 Wykonaj następujące dzielenia z resztą: a X 4 9X 3 + 23X 2 16X + 13 przez X 5 w Z[X] b 2X 4 + X 3 + X 2 + 3X + 3 przez 3X 2 + X + 4 w Z 5 [X] c X 5 + 4X 4 + 3X 2 + 2 przez 2X 3 + X + 4 w Z 5 [X] d 2X 5 + 8X 4 + 7X 3 + 3X + 5 przez 3X 3 + 7X 2 + 5X + 1 w Z 11 [X] Zadanie 112 Stosując metodę Hornera wykonaj następujące dzielenia z resztą: a X 5 + 2X 4 + 5X 3 + 13 przez X + 1 w Z[X] b 3X 5 + 7X 4 5X 3 14X 2 12X 4 przez X + 2 w Z[X] c X 4 + 5X 3 + 2X 2 + 4X + 3 przez X + 2 w Z 7 [X] d X 4 + 3X + 2 przez X + 4 w Z 5 [X] 7

2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana 21 Wprowadzenie teoretyczne Definicja 21 Mówimy, że macierz A jest w postaci zredukowanej, gdy spełnione są następujące warunki: 1 Począwszy od pewnego wiersza wszystkie następne wiersze macierzy składają się z samych zer Powyżej tego wiersza nie ma wierszy złożonych z samych zer 2 W każdym niezerowym wierszu pierwszy od lewej niezerowy wyraz jest równy 1 Ten niezerowy wyraz będziemy nazywać jedynką wiodącą wiersza 3 Jeśli dwa sąsiednie wiersze nie są złożone z samych zer, to wiodąca jedynka wyższego wiersza znajduje się na lewo od wiodącej jedynki niższego wiersza 4 Jeśli ponadto, każda kolumna zawierająca wiodącą jedynkę ma pozostałe wyrazy równe 0, to mówimy, że macierz A jest w postaci całkowicie zredukowanej Definicja 22 Następujące operacje wykonywane na wierszach macierzy, nazywać będziemy operacjami elementarnymi: OE1 Zamiana miejscami dwóch wierszy OE2 Pomnożenie wiersza przez niezerowy element ciała K OE3 Dodanie do danego wiersza wielokrotności innego wiersza Definicja 23 Rzędem macierzy A nazywamy liczbę wiodących jedynek w dowolnej postaci zredukowanej macierzy A Fakt 21 Operacje elementarne nie zmieniają rzędu danej macierzy Twierdzenie 21 (Kroneckera-Capellego) Niech [A b] będzie macierzą rozszerzoną danego układu równań liniowych Wówczas ten układ ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy: rz[a b] = rz A Ponadto, jeśli układ równań liniowych o n niewiadomych ma rozwiązanie, to jego rozwiązanie zależy od s = n rz A parametrów Twierdzenie 22 Jeśli A M n,n (K), to następujące warunki są równoważne: 1 A jest macierzą odwracalną, 2 postać całkowicie zredukowana macierzy A jest macierzą identycznościową I n, 3 rz A = n, 4 det A 0, 5 dla każdego b K n układ równań liniowych AX = b ma dokładnie jedno rozwiązanie, 6 jednorodny układ równań liniowych AX = θ n ma tylko jedno rozwiązanie: x 1 = x 2 = = x n = 0 8

22 Zadania Zadanie 21 Określ czy zbiór (A, ) jest grupą, grupą abelową: a a b = a 2 + b 1, a, b A, gdzie A = Z b a b = a+b 2, a, b A, gdzie A = Q c a b = a + b + ab, a, b A, gdzie A = ( 1, ) d a b = a + b + ab, a, b A, gdzie A = [ 1, ) e a b = a + b 5, a, b A, gdzie A = Z f a b = 5 log 5 a+log 5 b, a, b A, gdzie A = R + g a b = 3 log 3 a log 3 b, a, b A, gdzie A = R + h (a 1, a 2 ) (b 1, b 2 ) = (a 1 b 1, a 1 b 2 + a 2 b 1 ), (a 1, a 2 ), (b 1, b 2 ) A, gdzie A = (R \ {0}) R Zadanie 22 Niech: A = 1 1 2 2 0 1 0 2 3, B = 3 0 1 1 1 0, C = 2 1, D = 2 2 1 1 0 1 2 1, E = 1 2 2 1, 1 1 1 3 1 2 2 0 1 1 0 1 1 α R Oblicz: A + 3I, 3A, D + D, ( B + D T ) T, D + B T, AA T, ( AA T ) T, A T A, C T C, CC T, BDD T, CC T A, αb, ADBE, C T AE Zadanie 23 Wyznacz macierz hermitowsko-sprzężoną A do macierzy A: [ ] 0 2 + 3i i 1 i a A = 2 + 3i 0 1 b A = i 1 i 1 0 Macierz, z którego podpunktu jest macierzą hermitowską, a z którego jest macierzą antyhermitowską Zadanie 24 Zinterpretuj operacje na wektorach płaszczyzny (R 2 ) (translacja o wektor T = [ Tx T y ], skalowanie, obrót względem środka układu współrzędnych) jako operacje na odpowiednich macierzach Zadanie 25 Znajdź postacie zredukowane i rzędy następujących macierzy: 1 0 2 2 1 4 1 0 1 0 1 a A = 1 1 1 0 1 1, c C = 2 1 0 1 0 2 0 1 3 2 0 0 1 1 1 4, 0 1 2 3 1 1 1 0 2 b B = 0 1, 5 3 4, 5 0 0 4 5, 1 3 5 7 9 d D = 4 8 3 2 5 5 0 3 0 7 1 4 7 5 4 4 4 4 20 Zadanie 26 Znajdź postacie całkowicie zredukowane i rzędy następujących macierzy: 1 0 2 1 0 1 2 1 1 1 0 4 0 1 2 0 1 b B = 2 4 2 0 0 0 2 a A = 1 0 0 2 3 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1, 0 1 0 1 4 1 1 1 1 1 Zadanie 27 W zależności od parametru m R oblicz rząd poniższych macierzy: [ ] 3m + 7 m + 2 a A = 6m 5 2m 2 b B = 1 2m + 5 m2 + m 2 5m + 10 3m 2 + 3m 3 6m + 15 4m 2 + 2m 9

[ ] 2m c C = 2 + 9m 5 m 2 + 6m + 5 2m 2 + 8m 10 m 2 + 5m m + 1 m m m d D = m m + 1 m m m 2 m m 2 m 5m m 5m m Zadanie 28 W zależności od parametru m przeanalizuj liczbę rozwiązań układu równań: x 1 2x 2 x 3 = 0 2x 1 + 3x 2 + x 3 = 2 x 1 + mx 2 mx 3 = 1 Zadanie 29 (przykład 16, str 53, BG tom 1) Rozwiąż układ równań w ciele liczb rzeczywistych oraz w Z 5 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 = 18 4x 1 + 5x 2 + 6x 3 = 24 2x 1 + 7x 2 + 12x 3 = 40 Zadanie 210 Rozwiąż (metodą Gaussa) następujące układy równań w ciele liczb rzeczywistych: a b c x 1 + 3x 2 + 5x 3 = 2 2x 1 + 7x 2 + 9x 3 = 1 3x 1 + 8x 2 + 7x 3 = 7 2x 1 + 5x 2 + 2x 3 = 1 5x 1 + 9x 2 + 7x 3 = 3 x 1 8x 2 + 7x 3 = 1 x 1 + 2x 2 x 3 = 4 3x 1 + 5x 2 2x 3 = 9 4x 1 + 5x 2 x 3 = 7 d e f x 1 + 3x 2 + x 3 + 4x 4 = 0 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 + x 4 = 1 5x 1 + x 2 + 2x 3 + 8x 4 = 4 7x 1 + 3x 3 + 5x 4 = 0 x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 2 x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 6 3x 1 + 4x 2 + 4x 3 = 8 5x 1 6x 2 3x 3 = 8 x 1 + 4x 2 + 2x 3 + x 4 + 3x 5 = 5 x 1 + 3x 2 + x 3 + 2x 4 + 5x 5 = 2 x 1 + 7x 2 + 5x 3 2x 4 3x 5 = 14 Zadanie 211 Rozwiąż układ równań: a b c x + 11y + z = 5 2x + 2y = 6 5x + 10y + 4z = 1 x + 2y + 3z = 1 2x + y + z = 0 4x + 3y + z = 3 x + 2y + 3z = 4 3x + 4y + z = 4 2x + 3y + 2z = 1 w ciele Z 13, w ciele Z 5, w ciele Z 5, d e f x + y + z = 0 x + 4y + 2z = 3 3x + y + 4z = 3 2x + y + 4z = 4 3x + y + z = 0 2x + 3y + 3z = 0 x + 3y + 5z = 6 4x + 6y + 3z = 1 6x + 5y + 4z = 5 w ciele Z 5, w ciele Z 5, w ciele Z 7 Zadanie 212 Znajdź macierze odwrotne (o ile istnieją) dla poniższych macierzy: 3 4 2 2 1 3 2 A = 2 5 7, B = 1 3 1 1 2 2 1 1 3 2 0 3 1 0, C = 3 1 1, D = 1 4 1 1 2 4 1 4 1 0 1 3 2 2 1 1 Zadanie 213 Rozwiąż układ równań liniowych AX = b, znajdując macierz odwrotną do macierzy współczynników, gdzie: 1 0 1 1 a A = 0 1 0, b = 0, 0 1 1 1 2 0 1 1 1 b A = 1 1 1 0 1 0 6 1, b = 0 1 1 0 1 1 0 10

3 Wyznacznik macierzy opracowanie dra Piotra Rzonsowskiego 31 Teoria Definicja 31 Wyznacznik macierzy kwadratowej zdefiniujemy za pomocą indukcji matematycznej 1 Jeżeli A = [a] M 1,1 (K), to det A = a 2 Załóżmy, że został zdefiniowany wyznacznik macierzy kwadratowej o n 1 wierszach Niech A M n,n (K) oraz niech M i,j M n 1,n 1 (K) będzie macierzą, którą otrzymujemy po wykreśleniu z A i-tego wiersza i j-tej kolumny Ponadto niech A ij = ( 1) i+j det M ij Element A ij ciała K nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu a ij macierzy A Przy tych oznaczeniach wyznacznik macierzy A definiujemy za pomocą wyrażenia det A = a 11 A 11 + a 12 A 12 + + a 1n A 1n Twierdzenie 31 (Laplace a) Jeżeli A M n,n (K), to zachodzą następujące wzory: 1 det A = a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in dla każdego 1 i n, 2 det A = a 1j A 1j + a 2j A 2j + + a nj A nj dla każdego 1 j n Definicja 32 Niech A M n,n (K) będzie macierzą o współrzędnych a ij K Wówczas mówimy, że A jest macierzą: 1 dolną trójkątną/dolnotrójkątną, gdy ma zera nad przekątną, czyli a ij = 0 dla i < j, 2 górną trójkątną/górnotrójkątną, gdy ma zera pod przekątną, czyli a ij = 0 dla i > j, 3 przekątniową(diagonalną), jeżeli a ij = 0 dla i j Własności 31 (Wyznacznika) Niech a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = M n,n(k) a n1 a n2 a nn 1 Jeżeli macierz A ma wiersz lub kolumnę złożoną z samych zer, to det A = 0 2 Dla każdego c K i dla każdego 1 j n mamy a 11 ca 1j a 1n a 21 ca 2j a 2n det = c det A a n1 ca n2 a nn Taka sama własność zachodzi przy mnożeniu dowolnego wiersza macierzy przez skalar 3 Jeżeli macierze B, C M n,n (K) różnią się od macierzy A tylko j-tą kolumną i mają postać a 11 b 1j a 1n a 21 b 2j a 2n B = a n1 b n2 a nn a 11 a 1j + b 1j a 1n a 21 a 2j + b 2j a 2n C = a n1 a nj + b n2 a nn to det C = det A + det B Taka sama własność zachodzi dla wierszy macierzy 11

4 Jeżeli macierz A ma dwie identyczne kolumny (odpowiednio wiersze), to det A = 0 5 Zamiana miejscami dwóch kolumn (wierszy) macierzy powoduje, że znak wyznacznika zmienia się na przeciwny 6 Jeżeli jedna kolumna (wiersz) macierzy A jest wielokrotnością innej kolumny (odpowiednio - wiersza), to det A = 0 7 Jeżeli do jednej kolumny (wiersza) macierzy A dodamy wielokrotność innej kolumny (odpowiednio wiersza), to wyznacznik macierzy nie ulegnie zmianie 8 Jeżeli A, B M n,n (K) to zachodzą następujące równości: det(ab) = det A det B = σ S n (sgn σ)b σ(1)1 b σ(2)2 b σ(n)n σ S n (sgn σ)b σ(1)1 b σ(2)2 b σ(n)n gdzie S n jest grupą permutacji zbioru n-elementowego, a sgn σ jest znakiem permutacji σ S n Twierdzenie 32 (Cauchy ego) Jeżeli A, B M n,n (K), to det(ab) = det A det B Definicja 33 Dla macierzy kwadratowej A M n,n (K) definiujemy jej macierz dołączoną A 11 A 21 A n1 A D A 12 A 22 A n2 = A 1n A 2n A nn tzn A D jest macierzą kwadratową, która na przecięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny ma dopełnienie algebraiczne A ji Twierdzenie 33 Jeżeli A Gl n (K), to zachodzi następujący wzór: Mamy następujący układ równań: A 1 = 1 det A AD a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m (31) Twierdzenie 34 Jeżeli det A 0, to układ równań (32) ma dokładnie jedno rozwiązanie, które jest dane za pomocą wzorów x i = det A x i det A, dla 1 i n, gdzie A xi otrzymuje się przez zastąpienie i-tej kolumny macierzy A kolumną wyrazów wolnych układu (32) 12

Definicja 34 Mówimy, że macierz A jest w postaci zredukowanej, gdy spełnione są następujące warunki: 1 Począwszy od pewnego wiersza wszystkie następne wiersze macierzy składają się z samych zer Powyżej tego wiersza nie ma wierszy złożonych z samych zer 2 W każdym niezerowym wierszu pierwszy od lewej niezerowy wyraz jest równy 1 Ten niezerowy wyraz będziemy nazywać jedynką wiodącą wiersza 3 Jeśli dwa sąsiednie wiersze nie są złożone z samych zer, to wiodąca jedynka wyższego wiersza znajduje się na lewo od wiodącej jedynki niższego wiersza 4 Jeśli ponadto, każda kolumna zawierająca wiodącą jedynkę ma pozostałe wyrazy równe 0, to mówimy, że macierz A jest w postaci całkowicie zredukowanej Definicja 35 Następujące operacje wykonywane na wierszach macierzy, nazywać będziemy operacjami elementarnymi: OE1 Zamiana miejscami dwóch wierszy OE2 Pomnożenie wiersza przez niezerowy element ciała K OE3 Dodanie do danego wiersza wielokrotności innego wiersza Definicja 36 Rzędem macierzy A nazywamy liczbę wiodących jedynek w dowolnej postaci zredukowanej macierzy A Fakt 31 Operacje elementarne nie zmieniają rzędu danej macierzy Definicja 37 Wyznacznik macierzy kwadratowej zdefiniujemy za pomocą indukcji matematycznej 1 Jeżeli A = [a] M 1,1 (K), to det A = a 2 Załóżmy, że został zdefiniowany wyznacznik macierzy kwadratowej o n 1 wierszach Niech A M n,n (K) oraz niech M i,j M n 1,n 1 (K) będzie macierzą, którą otrzymujemy po wykreśleniu z A i-tego wiersza i j-tej kolumny Ponadto niech A ij = ( 1) i+j det M ij Element A ij ciała K nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu a ij macierzy A Przy tych oznaczeniach wyznacznik macierzy A definiujemy za pomocą wyrażenia det A = a 11 A 11 + a 12 A 12 + + a 1n A 1n Twierdzenie 35 (Laplace a) Jeżeli A M n,n (K), to zachodzą następujące wzory: 1 det A = a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in dla każdego 1 i n, 2 det A = a 1j A 1j + a 2j A 2j + + a nj A nj dla każdego 1 j n Własności 32 (Wyznacznika) Niech A = [a ij ] M n,n (K) 1 Jeżeli macierz A ma wiersz lub kolumnę złożoną z samych zer, to det A = 0 2 Dla każdego c K i dla każdego 1 j n mamy a 11 ca 1j a 1n a 21 ca 2j a 2n det = c det A a n1 ca n2 a nn Taka sama własność zachodzi przy mnożeniu dowolnego wiersza macierzy przez skalar 3 Jeżeli macierz A ma dwie identyczne kolumny (odpowiednio wiersze), to det A = 0 4 Zamiana miejscami dwóch kolumn (wierszy) macierzy powoduje, że znak wyznacznika zmienia się na przeciwny 13

5 Jeżeli jedna kolumna (wiersz) macierzy A jest wielokrotnością innej kolumny (odpowiednio - wiersza), to det A = 0 6 Jeżeli do jednej kolumny (wiersza) macierzy A dodamy wielokrotność innej kolumny (odpowiednio wiersza), to wyznacznik macierzy nie ulegnie zmianie 7 Jeżeli A, B M n,n (K) to zachodzą następujące równości: det(ab) = det A det B = σ S n (sgn σ)b σ(1)1 b σ(2)2 b σ(n)n σ S n (sgn σ)b σ(1)1 b σ(2)2 b σ(n)n gdzie S n jest grupą permutacji zbioru n-elementowego, a sgn σ jest znakiem permutacji σ S n Twierdzenie 36 (Cauchy ego) Jeżeli A, B M n,n (K), to det(ab) = det A det B 32 Zadania Zadanie 31 Obliczyć następujące wyznaczniki: 1 1 1 a 2 3 0 1 1 1, 1 1 0 0 b 0 1 2 1 1 1 1 3, c 0 5 1 0 1 1 0 0 0 1 2 1 0 0 1 3 0 0 0 3 Zadanie 32 Niech c R, A M n (R) i det A = a Oblicz det ca Zadanie 33 Oblicz wyznaczniki: a 1 9 100 29 23 0 5 2 24 67 0 0 2 345 2 0 0 0 3 22 0 0 0 0 1 b 1 3 1 4 5 1 2 1 4 2 3 2 3 5 4 3 c 2 2 3 3 1 2 0 1 4 4 0 0 0 2 3 0 d 4 3453 345 7 6786 678 1 9129 912 e f g h 9 4 3 8 4 3 7 3 2 8 4 3 7 3 2 9 4 3 8 3 4 7 2 3 9 3 4 1 3 2 2 1 2 7 4 7 2 3 8 5 6 1 4 5 3 5 2 5 9 7 9 4 14

Definicja 38 Dla macierzy kwadratowej A M n,n (K) definiujemy jej macierz dołączoną A 11 A 21 A n1 A D A 12 A 22 A n2 = A 1n A 2n A nn tzn A D jest macierzą kwadratową, która na przecięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny ma dopełnienie algebraiczne A ji Twierdzenie 37 Jeżeli A Gl n (K), to zachodzi następujący wzór: A 1 = 1 det A AD Zadanie 34 Oblicz macierze odwrotne do następujących macierzy (jeśli istnieją): [ ] 7 9 3 2 2 a A = 4 5 d D = 5 5 4 b B = 1 0 1 3 4 3 4 3 1 cos α 0 sin α 3 1 1 e E = 0 1 0 sin α 0 cos α 3 0 1 c C = 3 1 3 4 0 2 Zadanie 35 Rozwiąż równania: a [ ] [ ] [ ] 2 5 x11 x 12 1 3 = 1 3 x 21 x 22 0 4 b [ ] [ ] [ ] 3 8 x1 2 = 1 2 x 2 0 c x 11 x 12 x 13 x 21 x 22 x 23 2 1 2 3 2 3 = 1 2 0 0 1 0 x 31 x 32 x 33 4 1 2 0 2 1 Mamy następujący układ równań: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m (32) Twierdzenie 38 Jeżeli det A 0, to układ równań (32) ma dokładnie jedno rozwiązanie, które jest dane za pomocą wzorów x i = det A x i det A, dla 1 i n, gdzie A xi otrzymuje się przez zastąpienie i-tej kolumny macierzy A kolumną wyrazów wolnych układu (32) Zadanie 36 Za pomocą wzorów Cramera rozwiąż następujący układ równań nad ciałem R: { 4x1 7x a 2 = 3 x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 1 5x 1 6x 2 = 4 c 2x 1 + 4x 2 + 7x 3 = 2 4x 1 + 9x 2 + 11x 3 = 5 x 1 x 2 + x 3 = 1 b 3x 1 4x 2 + 5x 3 = 5 4x 1 5x 2 + 9x 3 = 8 15

4 Przestrzeń liniowa, liniowa kombinacja wektorów, baza przestrzeni liniowej (opracowano na podstawie BG Elementy algebry liniowej t I ) 41 Wprowadzenie teoretyczne Definicja 41 Zbiór V z wyróżnionym elementem θ = θ V V oraz z dwoma działaniami: + : V V V dodawania elementów V, : K V V mnożenia elementów V przez elementy K, nazywamy przestrzenią liniową nad ciałem K (lub przestrzenią wektorową nad ciałem K), jeśli spełnione są następujące warunki: 1 (V, +, θ) jest grupą abelową z elementem neutralnym θ, 2 α (v + w) = α v + α w, (α + β) v = α v + β v, 3 α (β v) = (αβ) v, 4 1 v = v Równości z dodpunktów 2 4 zachodzą dla wszystkich v, w V oraz α, β K Elementy przestrzeni liniowej nazywamy wektorami Elementy ciała K nazywamy skalarami Definicja 42 1 Układem wektorów przestrzeni liniowej V o wskaźnikach ze zbioru T nazywamy każdą funkcję v : T V Wartość funkcji v na elemencie t T oznaczamy v t Układ wektorów będziemy zapisywać w postaci (v t ) t T 2 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K Niech będzie dany układ wektorów S = (v 1, v 2,, v m ) z V oraz układ skalarów (α 1, α 2,, α m ) z K Wektor: v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α m v m = m α i v i nazywamy kombinacją liniową wektorów układu S Skalary α i nazywamy współczynnikami tej kombinacji Liniową kombinację wektorów można zdefiniować dla dowolnego układu wektorów S = (v t ) t T, gdzie T jest pewnym niekoniecznie skończonym zbiorem wskaźników Należy jednak pamiętać, że po to, aby wyrażenie: α t v t miało sens, trzeba założyć, że α t = 0 dla prawie wszystkich t T t T 3 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K Niech S = (v t ) t T będzie pewnym układem wektorów z V Weźmy układ skalarów (α t ) t T t T K, taki że α t = 0 dla prawie wszystkich t T Wektor: i=1 v = t T α t v t nazywamy kombinacją liniową wektorów układu S Skalary α t nazywamy współczynnikami tej kombinacji 4 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K Mówimy, że wektory układu S = (v 1, v 2,, v m ) z V rozpinają przestrzeń V, jeśli każdy wektor v V jest kombinacją liniową wektorów v i, dla i = 1, 2,, m Oznacza to, że każdy wektor v V można zapisać w postaci: dla pewnych skalarów α 1, α 2,, α m K v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α m v m 16

5 Niech będzie dany układ wektorów (v 1, v 2,, v m ) z przestrzeni V Wtedy zbiór wszystkich kombinacji liniowych: L(v 1, v 2,, v m ) = {α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α m v m : α 1, α 2,, α m K} wektorów v 1, v 2,, v m nazywa się powłoką liniową układu wektorów (v 1, v 2,, v m ) 6 Niech v 1, v 2,, v m V będą wektorami przestrzeni liniowej V nad ciałem K Mówimy, że te wektory są liniowo niezależne, gdy z równości: wynika, że wszystkie współczynniki są równe zero: α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α m v m = θ V α 1 = α 2 = = α m = 0 Mówimy, że wektory v 1, v 2,, v m V są liniowo zależne, gdy nie są liniowo niezależne Twierdzenie 41 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K Niech S = (v 1, v 2,, v m ) będzie pewnym układem wektorów z V Niech będzie dany układ wektorów S 0 = (v i1, v i2,, v ik ), gdzie v ij dla 1 j k są pewnymi wektorami układu S oraz liczby i 1, i 2,, i k są parami różne Wówczas: 1 Jeśli wektory z S są liniowo zależne, to jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych 2 Jeśli θ V jest jednym z wektorów układu S, to układ S jest liniowo zależny 3 Jeśli wektory układu S są liniowo niezależne, to wektory układu S 0 są liniowo niezależne 4 Jeśli wektory układu S 0 są liniowo zależne, to wektory układu S są liniowo zależne Twierdzenie 42 Jeśli v 1, v 2,, v n K m oraz n > m, to wektory v 1, v 2,, v n są liniowo zależne Wniosek 421 1 Każdy skończony układ liniowo niezależnych wektorów w K n składa się co najwyżej z n wektorów 2 Kolumny macierzy A M m,n (K) są wektorami liniowo zależnymi w K m wtedy i tylko wtedy, gdy równanie macierzowe: AX = θ m ma niezerowe rozwiązanie ze względu na X Twierdzenie 43 Niech v 1, v 2,, v n K n będą pewnymi wektorami Niech: A = [ v 1 v 2 v n ] Mn (K) będzie macierzą, której kolumnami są wektory v 1, v 2,, v n Wtedy następujące warunki są równoważne: 1 Wektory v 1, v 2,, v n są liniowo niezależne 2 Układ równań liniowych AX = θ n ma tylko jedno rozwiązanie w K n 3 det A 0 Twierdzenie 44 Niech S = (v 1, v 2,, v n ) będzie układem liniowo niezależnym w przestrzeni K n Wtedy każdy wektor w K n jest kombinacją liniową wektorów z układu S, tzn S rozpina przestrzeń K n Definicja 43 Niech funkcje f i (x), i = 1, 2,, n mają pochodne do rzędu n 1 włącznie na przedziale (a, b) Wyznacznik postaci: f 1 (x) f 2 (x) f n (x) f 1(x) f 2(x) f n(x) W (x) = f (n 1) 1 (x) f (n 1) 2 (x) f n (n 1) (x) nazywamy wyznacznikiem Wrońskiego lub wrońskianem dla funkcji f 1, f 2,, f n w punkcie x (a, b) 17

Twierdzenie 45 Jeśli funkcje f 1, f 2,, f n są liniowo zależne na przedziale (a, b), to ich wrońskian jest tożsamościowo równy zeru Wniosek 451 Jeśli dla pewnego x 0 (a, b), W (x 0 ) 0, to funkcje f 1, f 2,, f n są liniowo niezależne Definicja 44 Układ wektorów S = (v t ) t T przestrzeni V nazywamy bazą przestrzeni V, jeśli są spełnione następujące warunki: 1 Układ S jest liniowo niezależny 2 Układ S rozpina przestrzeń V, tzn V = L(S) W szczególności, jeśli skończony układ wektorów S = (v 1, v 2,, v n ) jest bazą przestrzeni V, to mówimy, że V ma bazę skończoną Definicja 45 Niech dane będą dwa układy wektorów S 1 = (v t ) t T1 oraz S 2 = (w t ) t T2 przestrzeni V Mówimy, że układ S 1 zawiera układ S 2, gdy T 2 T 1 oraz w t = v t dla każdego t T 2 Zawieranie układów zapisujemy S 2 S 1 Twierdzenie 46 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K i niech S = (v t ) t T będzie danym układem wektorów w V Wtedy następujące warunki są równoważne: 1 Układ S jest bazą przestrzeni V 2 Każdy wektor v V da się jednoznacznie zapisać w postaci kombinacji liniowej wektorów: v = t T α t v t, gdzie v t S i α t są prawie wszystkie równe zero 3 S jest maksymalnym układem liniowo niezależnym w V ze względu na relację zawierania układów 4 S jest minimalnym układem ze względu na relację zawierania układów, które rozpinają przestrzeń V Definicja 46 Niech S = (v t ) t T będzie bazą przestrzeni liniowej V oraz niech v V 1 Układ skalarów (α t ) t T taki, że α t = 0 dla prawie wszystkich t T oraz taki, że: v = α t v t, t T nazywamy współrzędnymi wektora v względem bazy S i oznaczamy symbolem v S 2 W szczególności, jeśli V ma bazę skończoną S = (v 1, v 2,, v n ) oraz: v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α n v n, to współrzędne wektora v V względem bazy S zapisujemy jako wektor z K n w następujący sposób: α 1 α 2 v S = α n Twierdzenie 47 Niech S = (v 1, v 2,, v n ) oraz S 2 = (w t ) t T będą bazami przestrzeni liniowej V Wówczas baza S 2 też jest skończona i składa się z n wektorów Definicja 47 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K 1 Jeśli V ma skończoną bazę S, to mówimy, że V jest przestrzenią skończenie wymiarową 2 Liczbę elementów bazy S przestrzeni skończenie wymiarowej V nazywamy wymiarem przestrzeni V i oznaczamy symbolem dim K V 3 Jeśli przestrzeń V nie ma skończonej bazy, to mówimy, że jest nieskończenie wymiarowa Wniosek 471 Niech dim K V = n 1 Jeśli S = (v 1, v 2,, v m ) jest liniowo niezależnym układem wektorów w V, to m n 2 Jeśli S = (v 1, v 2,, v n ) jest liniowo niezależnym układem wektorów w V, to S jest bazą przestrzeni V 18

Inne metody badania rzędu macierzy Twierdzenie 48 Niech A M n,m (K) Zachodzą następujące równości: rz A = rz(aa T ) = rz(a T A) Definicja 48 Minorem macierzy A nazywamy wyznacznik każdej macierzy kwadratowej, utworzonej z macierzy A w wyniku skreślenia odpowiedniej liczby kolumn i odpowiedniej liczby wierszy Stopień tego wyznacznika nazywamy stopniem minora Uwaga 1 Macierz A M m,n (K) posiada minory k-tego stopnia dla każdego 1 k min(n, m) Twierdzenie 49 Rząd macierzy A jest równy r wtedy i tylko wtedy, gdy: 1 istnieje niezerowy minor stopnia r macierzy A 2 każdy minor macierzy A stopnia wyższego niż r (o ile taki istnieje) jest równy zeru Uwaga 2 Dla dowolnej macierzy A M m,n (K) prawdziwa jest nierówność: 0 rz A min(n, m) Różne/wybrane metody badania liniowej zależności układu wektorów w przestrzeni liniowej K n nad ciałem K Niech S = (v 1, v 2,, v m ) będzie układem wektorów w przestrzeni K n, i niech v i1 v i2 v i = dla każdego i {1, 2,, m} v in 1 Jeśli m > n, to wektory v 1, v 2,, v m są liniowo zależne 2 Niech m n Rząd macierzy A M n,m (K) (A M m,n (K)), której kolumnami (wierszami) są wektory v 1, v 2,, v m jest równy m wtedy i tylko wtedy, gdy wektory te są liniowo niezależne v 11 v 12 v 1n v 21 v 22 v 2n 3 Niech m < n, A = Czyli A jest macierzą, której wierszami są wektory v 1, v 2,, v m v m1 v m2 v mn det(aa T ) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy wektory v 1, v 2,, v m są liniowo zależne 19

42 Zadania Zadanie 41 Sprawdzić, czy dany zbiór jest przestrzenią liniową: a zbiór R n z dodawaniem i mnożeniem przez skalar po współrzędnych b zbiór rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych c zbiór macierzy M mn (R) z dodawaniem i mnożeniem przez skalar d zbiór macierzy kwadratowych M n (R) z mnożeniem i mnożeniem przez skalar e zbiór wielomianów stopnia co najwyżej n o współczynnikach rzeczywistych (ozn R n [X]) z dodawaniem i mnożeniem przez skalar Zadanie 42 Sprawdzić, czy w przestrzeni V = K 4 nad ciałem K, prawdziwa jest przynależność : a K = R, (4, 6, 4, 5) L{(1, 4, 6, 5), (5, 6, 2, 4)}; b K = R, (3, 1, 5, 0) L{(1, 4, 8, 7), (1, 5, 5, 4), (1, 6, 0, 7)}; c K = Z 7, (1, 6, 5, 4) L{(2, 5, 3, 1)}; d K = Z 7, (4, 5, 3, 6) L{(1, 3, 4, 6), (1, 5, 1, 5), (1, 4, 3, 1)}; Zadanie 43 Sprawdzić, czy dane wektory przestrzeni V są liniowo zależne: a V = R 3 nad ciałem R, wektory: (3, 1, 2), ( 9, 3, 6); b V = R 3 nad ciałem R, wektory: (4, 4, 1), (1, 4, 4); c V = R 3 nad ciałem R, wektory: (1, 0, 4), (5, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 8); d V = Z 3 5 nad ciałem Z 5, wektory: (1, 1, 0), (4, 3, 1), (1, 4, 2); Zadanie 44 Sprawdź, czy wektory {(1, 0, 1), (1, 1, 3), (4, 1, 1)} tworzą bazę przestrzeni R 3 Zadanie 45 Wyznacz jedną z baz przestrzeni W nad ciałem R, gdzie: a W = { (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : 2x 1 + 3x 2 + 4x 4 = 0, 4x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0 } b W = { (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : 2x 1 + 4x 2 + x 3 + 2x 4 = 0, x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 0, 4x 1 + 4x 2 + 2x 3 + 4x 4 = 0 } c W = { (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 + 3x 2 + 9x 3 6x 4 = 0, x 1 + 7x 2 + x 3 2x 4 = 0 2x 1 + x 2 + 7x 3 5x 4 = 0 } Zadanie 46 Zbadaj dla jakich x R trójka wektorów tworzy bazę R 3 a (x, 4, 1), (x, 1, 2), (5, x, 2) b (1, 3, 4), (2, 1, 5), (1, 8, x) c (3, 1, 4), (2, 2, 5), (5, 4x, 7x) 20

5 Macierz przekształcenia liniowego, wartości własne, wektory własne 51 Wprowadzenie teoretyczne W poniższym opracowaniu: K oznaczać będzie dowolne ciało, V/K oznaczać będzie przestrzeń liniową V nad ciałem K 511 Macierz przekształcenia liniowego Definicja 51 Niech V, W będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K Mówimy, że funkcja T : V W jest przekształceniem liniowym, gdy spełnia następujące warunki: 1 T (v 1 + v 2 ) = T (v 1 ) + T (v 2 ) dla każdego v 1, v 2 V, 2 T (αv) = αt (v) dla każdego skalara α K i każdego wektora v V Jeśli V = W, to przekształcenie liniowe T nazywamy operatorem liniowym przestrzeni V lub endomorfizmem liniowym przestrzeni V Definicja 52 Niech będą dane przestrzenie liniowe V i W nad ciałem K, których wymiarami są odpowiednio n i m Niech T : V W będzie przekształceniem liniowym W przestrzeni V wybieramy bazę: a w przestrzeni W ustalamy bazę: B V = (v 1, v 2,, v n ), B W = (w 1, w 2,, w m ) Obrazy wektorów bazy B V przy przekształceniu T zapisujemy w postaci kombinacji liniowych wektorów bazy B W ze współczynnikami a ij K: Macierz A T M m,n (K): T (v 1 ) = a 11 w 1 + a 21 w 2 + + a m1 w m T (v 2 ) = a 12 w 1 + a 22 w 2 + + a m2 w m T (v n ) = a 1n w 1 + a 2n w 2 + + a mn w m (51) a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn której kolumnami są współrzędne wektorów T (v i ) w bazie B W, uzyskane z równań (51), nazywa się macierzą przekształcenia T w bazach B V i B W Uwaga 3 Jeśli A T jest macierzą przekształcenia liniowego T : V W w bazach B V, B W oraz A S jest macierzą przekształcenia liniowego S : W Z w bazach B W, B Z, to: A S T = A S A T jest macierzą przekształcenia liniowego S T w bazach B V, B W Ilustracja: T V W Z S T Twierdzenie 51 Niech T : V W będzie przekształceniem liniowym Niech B V = (v 1, v 2,, v n ), B W = (w 1, w 2,, w m ) będą bazami przestrzeni V i W odpowiednio Niech A T będzie macierzą przekształcenia T w bazach B V, B W Niech v V będzie dowolnym wektorem Wówczas zachodzi następujący wzór na współrzędne wektora T (v) w bazie B W : T (v) BW = A T v BV (52) S 21

512 Wektory własne, wartości własne i przestrzenie własne Definicja 53 Niech A M n,n (K) 1 Niezerowy wektor v K n nazywamy wektorem własnym macierzy A, gdy istnieje taki skalar λ K, że: Av = λv Skalar λ nazywamy wartością własną macierzy A odpowiadającą wektorowi v 2 Macierz A ti n o współczynnikach w pierścieniu wielomianów K[t] nazywamy macierzą charakterystyczną macierzy A 3 Równanie det(a ti n ) = 0 nazywamy równaniem charakterystycznym macierzy A 4 Wielomian f A (t) = det(ti n A) = ( 1) n det(a ti n ) K[t] nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy A 5 Załóżmy, że wielomian charakterystyczny f A (t) ma k-krotny pierwiastek w ciele K, tzn: f A (t) = (t λ) k g(t), gdzie g(t) K[t] oraz g(λ) 0 Wtedy liczbę k nazywamy krotnością algebraiczną wartości własnej λ Definicja 54 Niech T : V V będzie przekształceniem liniowym określonym na skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem K 1 Niezerowy wektor v V nazywamy wektorem własnym przekształcenia T, jeśli istnieje skalar λ K taki, że: T (v) = λv Skalar taki nazywamy wartością własną przekształcenia T, która odpowiada wektorowi v 2 Niech λ K będzie wartością własną przekształcenia liniowego T a Zbiór V λ = {v V : T (v) = λv} nazywamy przestrzenią własną przekształcenia T odpowiadającą wartości własnej λ b Liczbę dim K V λ nazywamy krotnością geometryczną wartości własnej λ przekształcenia T Definicja 55 Śladem macierzy A = [a ij ] M n (K) nazywamy skalar: tr A = a 11 + a 22 + + a nn K Fakt 51 Niech A M n (K) oraz λ 1, λ 2,, λ n będą wartościami własnymi macierzy A Wówczas zachodzą następujące równości: n n tr A = λ i oraz det A = λ i i=1 i=1 22

52 Zadania Zadanie 51 Wyznacz współrzędne wektora: a v = (1, 2, 0) b v = (0, 1, 2) w bazie B 2 = (1, 0, 1), ( 2, 1, 2), (0, 1, 1)) Zadanie 52 Niech ϕ : R 3 R 2, ψ : R 2 R 3 będą przekształceniami liniowymi danymi wzorami: ϕ x [ ] ([ ]) 1 3x x 2 4x1 + 3x = 2 + x 1 x 2 3 x1, ψ = 5x 5x x 1 + 4x 2 + 2x 3 x 1 3x 2 2 3 7x 1 5x 2 Wyznaczyć macierz przekształcenia liniowego ϕ, ψ, ϕ ψ, ψ ϕ Zadanie 53 Niech T : R 3 R 3 będzie przekształceniem liniowym danym wzorem: x 1 x 1 x 2 + x 3 T x 2 = x 1 + x 2 x 3 x 3 x 1 + x 2 + x 3 1 Wyznaczyć macierz przekształcenia T w bazach B 1 = 0, 1 0 1 0, 1, B 2 = 2, 0 0 1 1 1 2, 0 0 0 2 Zadanie 54 Niech T : R 2 R 2 będzie przekształceniem liniowym (endomorfizmem) Wyznaczyć wartości własne przekształcenia T oraz przestrzenie własne, gdzie: ([ ]) [ ] x1 x1 + 4x T = 2 x 2 x 1 + x 2 Zadanie 55 Niech T : R 3 R 3 będzie przekształceniem liniowym (endomorfizmem) Wyznaczyć wartości własne, wektory własne i przestrzenie własne przekształcenia T, gdzie: x 1 2x 1 x 2 x 3 T x 2 = x 3 x 2 + x 3 5x 3 Zadanie 56 Obliczyć wartości własne, wektory własne, przestrzenie własne dla macierzy: 3 2 4 A = 2 0 2 4 2 3 Zadanie 57 Niech A M n (R) a Niech n = 5 Niech 2+i, 1, 3 będą wartościami własnymi macierzy A oraz tr A = 7 Wyznaczyć pozostałe wartości własne macierzy A b Niech n = 6 Niech i, 4 2i, 2 będą wartościami własnymi macierzy A oraz det A = 20 Wyznaczyć pozostałe wartości własne macierzy A c Niech n = 8 Niech 3 5i, 8, 5 + 8i, 3, 3 będą wartościami własnymi macierzy A oraz tr A = 6 Czy macierz A jest macierzą odwracalną? 23