7. Szeregi funkcyjne

Podobne dokumenty
I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.

nazywamy n -tym wyrazem ciągu ( f n

3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.

Powtórka dotychczasowego materiału.

5. CIĄGI. 5.1 Definicja ciągu. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej liczbie naturalnej n liczbę rzeczywistej.

Ciągi i szeregi funkcyjne

Ciągi liczbowe podstawowe definicje i własności

Wykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.

Analiza Matematyczna 2 Szeregi liczbowe i funkcyjne

EAIiIB- Informatyka - Wykład 1- dr Adam Ćmiel zbiór liczb wymiernych

Analiza matematyczna ISIM I

CIĄGI LICZBOWE N 1,2,3,... zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 1 Narzędzia matematyczne. Karol Tarnowski A-1 p.223

CIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).

SZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n

Szeregi o wyrazach dowolnych znaków, dwumian Newtona

Literatura do ćwiczeń: Program zajęć: dr Krzysztof Żyjewski Informatyka; rok I, I o.inż. 17 listopada 2015

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a

Główka pracuje - zadania wymagające myślenia... czyli TOP TRENDY nowej matury.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 (LUX), lato 2017/18. a n n = 10.

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania

a a = 2 S n = 2 = r - constans > 0 - ciąg jest malejący q = b1, dla q 1 S n 1 CIĄGI jest rosnący (niemalejący), jeżeli dla każdego n a n

+ ln = + ln n + 1 ln(n)

ZADANIA NA POCZA n(n + 1) = 1 3n(n + 1)(n + 2).

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 2. (poziom rozszerzony) Rozwiązania zadań

Metoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać

Ciągi i szeregi liczbowe

Jan Nawrocki. MATEMATYKA cz. 2. Analiza matematyczna I

Zadania i rozwiązania prac domowych z Analizy Matematycznej 1.2 z grupy pana Ryszarda Kopieckiego, semestr letni 2011/2012.

log lim =log a e, a x 1 =loga, lim a (1+x) ,oiletagranicaistnieje. ,...,jeżeli a n a,tociągśrednicharytmetycznychb n a(odwrotnienie!

Analiza Matematyczna

Granica cigu punktów. ), jest zbieny do punktu P 0 = ( x0. n n. ) n. Zadania. Przykłady funkcji dwu zmiennych

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4

WYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe

ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ dla I roku kierunku informatyka WSZiB

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. średnica podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P

MATHCAD Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory

Wykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb.

Matematyka wybrane zagadnienia. Lista nr 4

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale

I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n

Wykład 8: Całka oznanczona

4. Rekurencja. Zależności rekurencyjne, algorytmy rekurencyjne, szczególne funkcje tworzące.

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP

1.1 Pochodna funkcji w punkcie

460 Szeregi Fouriera. Definicja. Definicja. Układ trygonometryczny. Definicja Układ ortogonalny funkcji ( ϕ n

dna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE

Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są

Analiza Matematyczna część 2

METODY NUMERYCZNE. Wykład 5. Całkowanie numeryczne. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH. Met.Numer. wykład 5 1

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)

1 Definicja całki oznaczonej

ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE

Macierze w MS Excel 2007

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski

Analiza Matematyczna część 2

RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.

Materiały dydaktyczne. Matematyka. Semestr II. Wykłady

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R

Obrazowo, zbiór jest ograniczony, gdy wszystkie jego elementy są położone między dwoma punktami osi liczbowej.

Wykład 12: Sumowanie niezależnych zmiennych losowych i jego związek ze splotem gęstości i transformatami Laplace a i Fouriera. Prawo wielkich liczb.

Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa użyteczne w statystyce

Całka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux

Szeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów.

Algebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1

Wykład 19. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ grudnia 2011

Analiza Matematyczna część 3

Rozdział 1. Ciągi liczbowe, granica ciągu

CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU

Analiza Matematyczna Wykªad

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

i interpretowanie reprezentacji wykorzystanie i tworzenie reprezentacji wykorzystanie wykorzystanie i tworzenie reprezentacji

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r.

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.

Zauważone błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub na ćwiczeniach. Z góry dziękuję :-)

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Całkowanie numeryczne. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH

Materiały do ćwiczeń z Analizy Matematycznej I

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

Wybrane zagadnienia. Wykład 2a. Metoda simpleks rozwiązywania zadań programowania liniowego.

Kombinowanie o nieskończoności. 4. Jak zmierzyć?

Twierdzenia o funkcjach ciągłych

SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO

Transkrypt:

7 Szeregi ukcyje Podstwowe deiicje i twierdzei Niech u,,,, X o wrtościch w przestrzei Y będą ukcjmi określoymi zbiorze X Mówimy, że szereg ukcyjy u jest zbieży puktowo do sumy, jeżeli ciąg sum częściowych { } tego szeregu, gdzie u u u jest zbieży dokłdiej: zbieży puktowo do ukcji Zpisujemy to u Poiewż jest to zbieżość puktow, więc ozcz to, że dl kżdego X szereg u jest zbieży do sumy Jest to więc zbieżość rozumi jk dl ciągów liczbowych, tyle, że dl kżdego X Mówimy, że szereg ukcyjy u jest zbieży jedostjie w zbiorze A X, jeżeli dl kżdego ε > istieje tkie N, że dl kżdego > N orz dl kżdego A zchodzi ierówość u < ε

Szereg ukcyjy postci L L osi zwę szeregu potęgowego Promieiem zbieżości szeregu potęgowego zywmy tką liczbę R >, że dy szereg jest zbieży dl < R, dl wrtości > R jest rozbieży Przedził -R ; R zywmy przedziłem zbieżości Twierdzeie Jeśli dl dego szeregu potęgowego g kryterium d Alembert to promień zbieżości tego szeregu wyosi istieje lbo s kryterium Cuchy ego R lbo g R Jeśli zś s g lbo s to R ; jeśli g lbo s to R Przykłd Wyzczyć obszr zbieżości szeregów: Rozwiązie orzystmy z kryterium d Alembert bdjąc jego bezwzględą zbieżość Otrzymujemy γ

Stąd ; Pozostją do rozstrzygięci przypdki, kiedy gric jest rów jede, czyli gdy lub W obydwu przypdkch otrzymuje się szeregi rozbieże: orz Ostteczie szereg ukcyjy jest zbieży gdy ; b Podobie jk w przypdku otrzymujemy Stąd ; γ Gdy lub otrzymujemy szeregi rozbieże ; Ostteczie szereg ukcyjy jest zbieży gdy c Obliczmy γ Ozcz to, że szereg jest zbieży dl dowolego R

Twierdzeie o różiczkowiu szeregów potęgowych Jeśli szereg potęgowy m promień zbieżości R, jego sum rów się, to szereg potęgowy z pochodych wyrzów szeregu pierwotego m te sm promień zbieżości R, jego sum g jest pochodą sumy szeregu pierwotego, czyli g Oblicz sumę szeregu dl -; Szeregi Tylor i McLuri Twierdzeie Tylor wzór Tylor Jeżeli ukcj m ciągłe pochode do rzędu - włączie przedzile ; b, istieje pochod przedzile ; b orz i są dowolymi różymi puktmi przedziłu ; b, to istieje tki pukt c, że L c gdzie < c < przy > i < c < przy < Ostti wyrz we wzorze Tylor zywmy resztą wzoru Tylor w postci Lgrge i ozczmy R c

Szereg potęgowy postci L L zywmy szeregiem Tylor Szereg te przedstwi rozwiiecie ukcji w szereg potęgowy Przykłd Rozwiąć w szereg Tylor ukcję w otoczeiu puktu Rozwiązie Obliczmy koleje pochode ukcji :,,,,,,,, czyli Przedstwić w postci szeregu Tylor w otoczeiu puktu ukcję

Twierdzeie Fukcj jest rozwijl w szereg Tylor w przedzile δ ; δ jeżeli w tym przedzile ukcj m pochode kżdego rzędu R UWAGA: wruek jest w szczególości spełioy, jeżeli wszystkie pochode są wspólie ogriczoe w przedzile δ ; δ, tz istieje tk liczb M, że dl kżdego < M Jeżeli we wzorze Tylor przyjmiemy, to otrzymujemy tzw wzór Mcluri: L c W podoby sposób otrzymuje się tzw szereg Mcluri: L L 6

7 Przykłd Rozwiąć w szereg Mcluri ukcję: Rozwiązie Obliczmy koleje pochode ukcji :,,,,,, 7, czyli Zdi Wyzczyć obszr zbieżości szeregów:, b, c, d si, Wyzczyć obszr zbieżości szeregu orz zleźć jego sumę S:, b, c, d, Wskzówk: w podpuktch c, d i e wykorzystć cłkowie szeregu geometryczego Rozwiąć w szereg Tylor Mcluri ukcję: l w otoczeiu, b e, c si,