Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY Wykład 6 RUCH DRGAJĄCY Opowiem ci o wiedzy. Uznać to, co znane, za znane, a to co nieznane, za nieznane, to jest wiedza. Konfucjusz (właściwie K ung Ch iu, 551 479 p.n.e.) Dialogi, II/17 6.1. Drgania harmoniczne 6.. Drgania tłumione 6.3. Drgania wymuszone 6.4. Drgania złożone 1
6.1. DRGANIA HARMONICZNE Pojęcia ogólne RUCH DRGAJĄCY Ruchem drgającym (drganiem lub oscylacją) ruch ciała zachodzący wokół stałego położenia równowagi. Rozróżniamy ruchy drgające okresowe i nieokresowe. Drganie okresowe (periodyczne) powtarzanie zachodzi zawsze po tym samym czasie, zwanym okresem. Oznaczmy położenie punktu materialnego na osi x w chwili t przez x(t). Ruch jest okresowy, jeżeli: dla dowolnego t: xt x( t T) T (6.1)
6.1. DRGANIA HARMONICZNE RUCH DRGAJĄCY x Ruch drgający nazywamy ruchem harmonicznym (drgania harmoniczne), gdy wychylenie ciała z położenia równowagi opisane jest funkcją harmoniczną (sinus lub cosinus). x t A t cos 0 (6.) gdzie: - A - to faza drgań (mierzona w radianach bądź stopniach); - to częstość kołowa (pulsacja) (rad/s). jest amplitudą drgań (maksymalną zmianą względem położenia równowagi); t 0 T 0 to faza początkowa; 3
Drganie opisane równaniem (6.) nazywamy drganiem harmonicznym. W ruchu harmonicznym: Położenie: RUCH DRGAJĄCY x t A t cos 0 dx dt Prędkość: vt A sint 0 (6.3) Przyspieszenie: a dv dt t A cos t x( t) 0 (6.4) x T Wykres zależności x(t), v(t), a(t) dla prostego ruchu harmonicznego Wielkością charakteryzującą ruch jest też częstotliwość drgań: f 1 T f T częstość kołowa (1Hz okres drgań 1 ) s (6.5) 4
SIŁA W RUCHU HARMONICZNYM 6.1.1. RÓWNANIE RUCHU DLA OSCYLATORA HARMONICZNEGO k F lub Rozważmy drgania prostego oscylatora harmonicznego ( masa m przyczepiony do sprężyny o stałej sprężystości k ), pod działaniem siły sprężystości. Fs kx Z II zasady dynamiki Newtona: otrzymujemy d x dt t t 0 Równanie różniczkowe drgań harmonicznych x d x dt m d k m Fs dt x x ma kx 0 gdzie (6.6) (6.7) k m (6.8) (6.9) Rozwiązaniem równania (6.8): x t A t cos 0 (6.10) 5
RUCH HARMONICZNY Przykład 1. Drgania wahadła matematycznego Wahadło matematyczne (punkt materialny, zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici). Wyznacz okres drgań wahadła matematycznego o długości l odchylonego od pionu o kąt α 4. T l g (6.1) N siła napięcia nici składowa siły ciężkości Powodująca ruch wahadła 1 (wyprowadzenie zależności na tablicy!) P siła ciężkości 6
RUCH HARMONICZNY Przykład. Drgania wahadła fizycznego Wahadło fizyczne: bryła sztywna, która pod działaniem własnego ciężaru waha się dookoła osi poziomej, nie przechodzącej przez środek ciężkości ciała. Wyznacz okres drgań dla wahadła fizycznego odchylonego od pionu o kąt α 4. Odległość środka masy wahadła od punktu zawieszenia wynosi L (6.13) T I mgl (wyprowadzenie zależności na tablicy!) C N L N 1 O Kąt wychylenia z położenia równowagi 7
WAHADŁO FIZYCZNE Przykład 3. Ograniczenie efektu kołysania wieżowca W warunkach silnych podmuchów wiatru lub fali sejsmicznej konstrukcja drapacza chmur może oscylować z amplitudą około metrów i z częstotliwością około 0 Hz. Istnieją zawansowane rozwiązania inżynierskie polegające na zastosowaniu wahadła fizycznego zainstalowanego na szczycie wieżowca. Wówczas w sytuacji, kiedy wieżowiec przechyla się na prawo, wahadło to wykonuje wahnięcie w przeciwną stronę, co wygasza efekt kołysania konstrukcji. Jeśli przyjmiemy, że oscylacje mają częstotliwość f = 0,50 Hz, będziemy mogli zaprojektować wahadło w postaci długiego pręta o masie 100 ton, zbudowane z materiałów o stałej gęstości z punktem obrotu znajdującym się na końcu pręta (rys.). Jaka powinna być długość ramienia wahadła? (źródło: Fizyka dla szkół wyższych Tom I, Samuel J. Ling, Jeff Sanny, William Moebs) 8
P.3. Rozwiązanie Jaka powinna być długość ramienia wahadła? L=? Okres drgań wahadła fizycznego wynosi: T fiz I MgL (1) I I Md Z twierdzenia Steinera : 0 () Ponieważ 1, 0 1 a stąd Podstawiając I do wyrażenia (1): I ML 1 d L 1 I ML 3 T fiz (3) (4) (5) 1 L (6) 3 g 9
P.3. Rozwiązanie Jaka powinna być długość ramienia wahadła? Z wyrażenia (6) wyznaczymy L : L 3g T 3g 4 f (m) Otrzymujemy długość równą: L, 9849 m Znaczenie Jest wiele sposobów na redukcję oscylacji wieżowca, m.in. dobór odpowiedniego kształtu budynku, zastosowanie kilku wahadeł fizycznych lub masowego tłumika drgań. 10
ENERGIA W RUCHU HARMONICZNYM 6.1.. Energia ruchu harmonicznego prostego Energia oscylatora zmienia się z energii potencjalnej w kinetyczną i z powrotem. Rys. Liniowy oscylator harmoniczny. Klocek porusza się bez tarcia po powierzchni. źródło: -Halliday,Resnick,Walker Fundamentals of Physics =A W przypadku jednowymiarowym: x t A t cos 0 Obliczymy energię potencjalną sprężyny korzystając z zależności (6.6) i z ogólnego wzoru na pracę wykonywaną przez siłę zmienną (siłę sprężystości). W Fdx 0 x x 1 ( kx) dx k xdx kx (6.15) 0 11
ENERGIA W RUCHU HARMONICZNYM ENERGIA POTENCJALNA DRGAŃ HARMONICZNYCH współczynnik proporcjonalności między siłą a wychyleniem masa drgającego ciała częstość (kołowa) drgań amplituda drgań E p kx m x ka cos ( t ) (6.16) energia potencjalna drgań dla siły F =-kx wychylenie z położenia równowagi 1
ENERGIA W RUCHU HARMONICZNYM ENERGIA KINETYCZNA DRGAŃ HARMONICZNYCH =A Rys. Liniowy oscylator harmoniczny. Klocek porusza się bez tarcia po powierzchni. 1 mv Ek (6.17) E- energia całkowita E p kx 1 Ek mv Ponieważ siła harmoniczna jest siłą potencjalną, dlatego też spełniona jest zasada zachowania energii mechanicznej dla ciała wykonującego drgania harmoniczne. Rys. źródło: -Halliday, Resnick,Walker Fundamentals of Physics. 13
ENERGIA W RUCHU HARMONICZNYM Korzystając z wyrażeń na x(t) i v(t), uwzględniając że nie ma tarcia ani innych sił oporu: E E K E p mv m x m A k m, przy założeniu, m sin ( t 0) cos ( t 0) (6.17) A Energia całkowita drgającego ciała: E 1 ka (6.18) E c = const. Wnioski: Całkowita energia mechaniczna oscylatora jest stała. Ze sprężystością związana jest energia potencjalna układu, a z bezwładnością jego energia kinetyczna. Rys. źródło: -Halliday, Resnick,Walker Fundamentals of Physics. 14
OCYLATOR TŁUMIONY 6.. DRGANIA TŁUMIONE Jeżeli ruch oscylatora (rys.) słabnie na skutek działania sił zewnętrznych, to taki oscylator nazywamy oscylatorem tłumionym, a jego drgania tłumionymi. Siła tłumiąca (oporu) ma zwrot przeciwny do prędkości i jest do niej wprost proporcjonalna : F op ~ v. współczynnik oporu b F t b dx dt (6.19) Rys. Prosty oscylator tłumiony. źródło: -Halliday,Resnick,Walker Fundamentals of Physics. gdzie: b- współczynnik oporu ośrodka. 15
DRGANIA TŁUMIONE Uwzględniając siłę tłumiącą ośrodka i działającą na klocek siłę sprężystości sprężyny. Zakładając, że siła ciężkości klocka jest znikomo mała w porównaniu z siłami F s i F o. współczynnik oporu b Wówczas II zasadę dynamiki Newtona dla składowej wzdłuż osi x (F x =ma x ), zapisujemy: Równanie różniczkowe drgań tłumionych d Po przekształceniach: x 0 dt x b m β dx dt Rozwiązaniem równania jest funkcja: k m o x. lub dx ma kxb dt d dt x dx dt t A 0 e cos( 1 t ) o x (6.) (6.0) 0 (6.1) 16
DRGANIA TŁUMIONE gdzie: - wielkość tłumienia określa współczynnik tłumienia β =b/m, (6.3) - częstość (lub pulsacja) drgań tłumionych 1 (6.4) - częstość drgań nietłumionych czyli częstość własna (6.5) Wnioski: 0 1) opór zmniejsza zarówno amplitudę z upływem czasu: 0 1 A( t) 0 A e t ) oraz częstość drgań, (6.7) 0 1 0 0 3) zwiększa okres Logarytmiczny dekrement tłumienia: Zależność przemieszczenia od czasu w ruchu harmonicznym tłumionym. Linie przerywane ilustrują wykładnicze tłumienie amplitudy tego ruchu. A( t) ln T A ( t T ) (6.8) 17
DRGANIA TŁUMIONE Oznaczmy przez odstęp czasu, w ciągu którego amplituda drgań zmniejszy się e - krotnie. Wtedy: 1 lub 1 (6.9) czyli: współczynnik tłumienia w ciągu którego amplituda zmniejsza się jest wielkością fizyczną równą odwrotności odstępu czasu e -razy. Czas nazywamy czasem relaksacji. Energia oscylatora tłumionego nie jest stała i maleje z czasem: 1 E(t ) kx e bt / m (6.30) Energia-podobnie jak amplituda- maleje wykładniczo z czasem. 18
DRGANIA WYMUSZONE 6.3. DRGANIA WYMUSZONE (oscylatora harmonicznego) W ruchu harmonicznym tłumionym amplituda, a co za tym idzie i energia drgań maleje z czasem do zera. Jeżeli chcemy podtrzymać drgania to musimy działać odpowiednią siłą zewnętrzną F(t) przyłożoną do oscylatora. Siłę taką nazywamy siłą wymuszającą. W przypadku drgań harmonicznych zewnętrzna siła wymuszająca jest siłą okresowo zmienną postaci: (6.31) Równanie ruchu uwzględniające zarówno siłę wymuszającą, jak i tłumiącą drgania zapisujemy w postaci: (6.31) (6.3) Fot. J. H. Fragonard: "Huśtawka" ( Les hasards heureux de l escarpolette, 1767) 19
DRGANIA WYMUSZONE Rozwiązanie równania dla drgań wymuszonych: (6.33) WNIOSKI: Układ drga z częstością siły wymuszającej, a nie z częstością własną i jest ruchem nietłumionym (amplituda nie maleje z upływem czasu). Amplituda drgań zależy zarówno od współczynnika tłumienia, jak i od różnicy pomiędzy częstością drgań własnych układu i częstością siły wymuszającej. 0
REZONANS KONSEKWENCJE DRGAŃ WYMUSZONYCH Można dobrać taką częstość siły wymuszającej, aby amplituda drgań tego ciała była maksymalna., zjawisko to nazywamy rezonansem. Aby amplituda drgań ciała była maksymalna. (6.34) (6.35) Kiedy brak jest tłumienia, a częstość rezonansowa równa jest częstości drgań własnych Układu, amplituda dąży do nieskończoności! WARUNEK REZONANSU: 0 w (6.36) Krzywe zależności amplitudy drgań od częstości siły wymuszającej dla kilku wartości współczynników tłumienia β (β0<β1<β<β3<β4). 1
KONSEKWENCJE DRGAŃ WYMUSZONYCH Most Tacoma Narrows- 7 listopada 1940 r., wiatr wiejący z prędkością dochodzącą do 67 km/h wprawił konstrukcję w jej ostatni taniec. Konstrukcja pomostu wpadła w ruch skręcający z wychyleniem 8.5 m, przy skręcaniu dochodzącym do 45 stopni! Pół godziny później zaczęły się odrywać pierwsze elementy pomostu, a po godzinie zawalił się cały pokład. Fot. Most Tacoma Narrows USA http://www.atlasobscura.com/places Ta katastrofa dała wiele do myślenia architektom. Od tamtej pory pomosty usztywnia się kratownicami i nie projektuje się tak wąskich konstrukcji.
PODSUMOWANIE DRGAŃ Oscylator harmoniczny: małe drgania (mała amplituda drgań) oraz małe tłumienia Energia jest zachowana jeśli nie ma tłumienia Tłumienie powoduje spadek amplitudy w funkcji czasu i straty energii Oscylator wymuszony charakteryzuje się amplitudą zależną od częstości wymuszenia i może wykazywać rezonansowy wzrost amplitudy Zadanie domowe (dla chętnych) Wahadło fizyczne, którym jest krążek o promieniu R =1,5 cm Zawieszony w punkcie odległym o h od środka ciężkości C (patrz rys. ), ma okres drgań T=0,871s, gdy h=r/. Oblicz przyspieszenie ziemskie w miejscu, w którym porusza się wahadło. 6 R g,g 9, 76 m s T Odp.: 3
7. Ruch falowy RUCH FALOWY 7.1. Cząstka i fala 7.. Rodzaje fal 7.3. Rozchodzenie się fal w przestrzeni 7.4. Prędkość rozchodzenia się fal. Równanie falowe 7.5. Przenoszenie energii przez fale 7.6. Interferencja fal, fale stojące 4
RUCH FALOWY 7.1. Cząstka i fala Często zdarza się, że fala ucieka z miejsca powstania, podczas gdy woda pozostaje, podobnie jest z falami, jakie wiatr wywołuje na polu zboża-widzimy fale biegnące przez pole, podczas gdy zboże pozostaje w miejscu. Leonardo da Vinci Mamy dwa sposoby kontaktowania się z przyjacielem w innym mieście: możemy napisać list (sposób polega na wykorzystaniu jakichś cząstek- obiektów materialnych); skorzystać z telefonu (drugi sposób polega na wykorzystaniu fal). Cząstka oznacza malutkie skupienie materii zdolne do przenoszenia energii. Fala oznacza coś wręcz przeciwnego, tj. rozchodzące się w ośrodku zaburzenie. 5
RUCH FALOWY 7.. Rodzaje fal ( trzy główne rodzaje) 1. Fale mechaniczne, typowe przykłady to fale na wodzie, fale dźwiękowe lub sejsmiczne). Wszystkie te fale podlegają zasadom Newtona i mogą istnieć wyłącznie w ośrodku materialnym sprężystym ( gazy, ciała stałe, ciecze).. Fale elektromagnetyczne. Zaliczamy do nich światło widzialne i nadfioletowe, fale radiowe i telewizyjne, mikrofale, promieniowanie X. Fale te nie potrzebują żadnego ośrodka materialnego. Np. fale świetlne emitowane przez gwiazdy docierają do nas przez próżnię kosmiczną. Wszystkie fale poruszają się w próżni z tą sama prędkością światła c równą c = 99 79 458 m/s. 3. Fale materii. Są wykorzystywane we współczesnej technice, są to fale związane z elektronami, protonami i innymi cząstkami elementarnymi, a nawet z atomami i cząstkami. Ponieważ te obiekty uważamy za składniki materii, nazywamy je falami materii. 6
RUCH FALOWY 7..1. Ruch falowy Foto. Źródło: https://www.slideshare.net Fale powstające w ośrodkach materialnych (sprężystych) nazywane są falami mechanicznymi (np. dźwiękowe, czy na wodzie). Ruch falowy polega na przenoszeniu zaburzeń w ośrodku sprężystym, w czasie i przestrzeni. W przypadku fal mechanicznych drgają cząsteczki ośrodka, natomiast w przypadku fal elektromagnetycznych, w danym punkcie drgają wektory natężenia pola elektrycznego i indukcji magnetycznej. 7
Ruch falowy jest związany z transportem energii przez ośrodek Podczas rozchodzenia się fali, cząsteczki ośrodka nie przesuwają się wraz z falą, a jedynie drgają wokół swoich położeń równowagi. Energia fal, to energia kinetyczna i potencjalna cząstek ośrodka. Podstawową własnością wszystkich fal, niezależnie od ich natury, jest transport energii bez przenoszenia materii. Rys. Falowanie pojedynczych cząstek wody w głębokim zbiorniku. Falowanie- oscylacyjny ruch cząsteczek wody w pionie po orbitach kołowych lub eliptycznych. źródło: http://geographicforall.pl/ & https://pl.wikipedia.org 8
7... Rodzaje fal mechanicznych Falą mechaniczną nazywamy zaburzenie w postaci ruchu drgającego cząsteczek ośrodka rozchodzące się ze skończoną prędkością v. kierunek fali kierunek drgań Podział fal ze względu na kierunek drgań A. Fala podłużna Fala jest podłużna gdy kierunek drgań cząstek ośrodka jest równoległy do kierunku rozchodzenia się fali i zarazem kierunku transportu energii. Przykład. Fale dźwiękowe w powietrzu, drgania naprzemiennie ściskanej i rozciąganej sprężyny. B. Fala poprzeczna Kierunek drgań cząstek ośrodka jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali i zarazem kierunku transportu energii. Przykład. Drgania naprężonego sznura, którego końcem poruszamy cyklicznie w górę i w dół. kierunek fali kierunek drgań 9
RUCH FALOWY Podział fal ze względu na rodzaj zaburzenia: Impuls falowy powstaje gdy źródłem jest jednorazowe zaburzenie w ośrodku (rys.1). Rys.1. Impuls falowy ma stałą amplitudę i rozchodzi się ze stałą prędkością. 30
RUCH FALOWY Podział ze względu na kształt powierzchni falowej możemy wyróżnić fale płaskie i fale kuliste Rys.1. a) Powierzchnie falowe (płaszczyzny) i promienie fali płaskiej Rys.. Fala kulista rozchodząca się ze źródła Z; wycinki powłok sferycznych przedstawiają powierzchnie falowe 31
FALE W OŚRODKACH SPRĘŻYSTYCH W ośrodkach, które mają sprężystość postaci (np. stal), mogą rozchodzić się fale poprzeczne i fale podłużne. W ośrodkach, które mają tylko sprężystość objętości (np. gaz), mogą rozchodzić się tylko fale podłużne. Zdjęcie, źródło: :http://www.wrtos.org/whatis Powierzchnia cieczy zachowuje sprężystość postaci i fale powierzchniowe są falami poprzecznymi. W głębi cieczy występuje tylko sprężystość objętości i tam mogą rozchodzić się wyłącznie fale podłużne. 3
Fala dźwiękowa i ultradźwięki Rys. Fala dźwiękowa i kształt fali Fala dźwiękowa jest podłużną falą mechaniczną o częstotliwości z zakresu słyszalnego dla człowieka tj. od około 0 Hz do około 0 khz. Fale o częstotliwości wyższej od górnej granicy nazywamy ultradźwiękami, a o częstotliwości niższej od dolnej granicy infradźwiękami. 33
PRĘDKOŚĆ ROZCHODZENIA SIĘ FAL W zależności od rodzaju ośrodka i jego własności W ciele stałym mogą się rozchodzić fale podłużne i poprzeczne. Prędkość fal podłużnych w ciele stałym : gdzie E- moduł Younga materiału, w którym porusza się fala, a jego gęstość. Prędkość fali poprzecznej w ciele stałym wynosi: G- moduł sztywności (moduł sprężystości poprzecznej/moduł ścinania). Ponieważ E > G, to fale podłużne rozchodzą się w ciele stałym szybciej niż poprzeczne. W cieczach: głębi cieczy są możliwe tylko fale podłużne, których prędkość rozchodzenia jest określona: K v 0 K 0 - moduł ściśliwości cieczy 34
PRĘDKOŚĆ ROZCHODZENIA SIĘ FAL Prędkość fali mechanicznej w gazie wyrażą się zależnością: gdzie: μ jest masą molową gazu, χ=c p /c v -wykładnik adiabaty, cp- ciepło właściwego w przemianie izobarycznej, c v -ciepło właściwe w p. izochorycznej, R- stałą gazową, T- temperaturą. 35
PRZYKŁADY PRĘDKOŚCI FALI PODŁUŻNEJ I POPRZECZNEJ W GRUNCIE Tab.1. Wartości prędkości fali poprzecznej oraz podłużnej przechodzącej przez różne rodzaje gruntów i skał [*]. [*]Źródło: Das B. M., Ramana G. V. (011). Principles of Soil Dynamics, Second Edition. International SI Edition, United States of America. 36
7.3. Matematyczny opis fali FALE Aby opisać falę przy użyciu funkcji okresowej, rozważmy stosunek kąta do położenia (rys.). Współrzędne y cząstek ośrodka, a zarazem funkcji falowej, przybierają wartości pomiędzy +A, a A (7.) Postać funkcji opisującej położenie y struny w zależności od położenia x : 37
FALE Fala przemieszcza się wzdłuż struny w kierunku osi x ze stałą prędkością v i pokonuje odcinek vt w czasie t. Funkcję falową definiuje się jako: lub w bardziej zwartej postaci: k Wielkość definiuje się jako liczbę falową, jednostka (m -1 ) 38
FALE Pamiętając, że częstość kołowa definiuje się jako T Drugi wyraz w definicji funkcji falowej przyjmie zatem postać: Funkcja falowa dla prostej fali harmonicznej na strunie uprości się do: yx,t Asinkx t 39
FUNKCJA FALOWA-JEDNOWYMIAROWA Równanie poprzecznej fali harmonicznej (funkcją czasu oraz położenia) : amplituda fali faza y x,t A sin kx t (7.1) wychylenie z położenia równowagi drgającego punktu ośrodka liczba falowa faza początkowa drgań źródła Znak minus ( )oznacza falę biegnącą w kierunku zgodnym ze zwrotem osi x, a znak plus (+) falę biegnącą przeciwnie do zwrotu osi x 40
Wielkości opisujące falę FALE v- prędkość rozchodzenia się fal prędkość fazowa fali okres drgań punktów ośrodka v f T częstotliwość drgań punktów ośrodka k k częstość kołowa (7.) liczba falowa T Prędkość v nazywa się prędkością fazową, gdyż jest to prędkość z jaką porusza się stała faza fali. λ -długość fali, to najmniejsza odległość między dwoma punktami drgającymi (w tej samej chwili) z fazami różniącymi się o. [m] 41
RUCH FALOWY Zasada superpozycji fal M 1 M w punkcie P mamy nakładanie się fal ze źródeł M 1 i M Odległych o r 1 i r. 4
FALE 7.5. INTERFERENCJA FAL INTERFERENCJĄ FAL nazywamy zjawisko fizyczne polegające na nakładaniu się dwóch lub więcej fal, prowadzące do zwiększenia lub zmniejszenia amplitudy fali wypadkowej. Rys. Animation Dr. Dan Russell, Kettering University; http://sdsu-physics.org/ Warunkiem interferencji fal jest ich spójność (koherencja), czyli korelacja faz, amplitudy i częstotliwości. 43
INTERFERENCJA FAL -wzmocnienie Rys. Wzmacnianie interferencyjne dwóch fal prowadzi do powstania fali o dwukrotnie większej amplitudzie, lecz o tej samej długości. 44
INTERFERENCJA FAL- wygaszenie Wygaszanie dwóch fal, których fazy różnią się o 180 (π rad), prowadzi do powstania fali o zerowej amplitudzie. 45
Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY 7.5.1. Interferencja fal o jednakowej amplitudzie i długości sin sin sin cos Rozważmy w przestrzeni przemieszczające się dwie fale o równych częstotliwościach i amplitudach, ale o fazach różniących się o φ. Jeżeli te fale rozchodzą się w kierunku x, z jednakowymi prędkościami, to możemy je opisać równaniami: (a) Interferencja konstruktywna (7.3) (b) Interferencja destrukcyjna W wyniku nałożenia się fal (zasada superpozycji) powstaje fala wypadkowa: y y 1 y w efekcie, po przekształceniach.(tab.), otrzymujemy: Animation Dr. Dan Russell, Kettering University; http://sdsu-physics.org/ (7.4) 46
INTERFERENCJA FAL Interferencja (7.4) Interferencja konstruktywna Interferencja destrukcyjna 47
INTERFERENCJA FAL Równanie powstałej fali : y A'sin( kxt ) (7.5) czynnik jest amplitudą fali wypadkowej. Amplituda ta zależy tylko od przesunięcia fazowego φ. WNIOSKI: Wynik nakładania się fal (interferencji) zależy wyłącznie od przesunięcia fazoweg φ (różnicy faz ). Jeżeli nie ma przesunięcia fazowego φ = 0, to A =A. Następuje maksymalne wzmocnienie (amplituda A osiąga maksimum)- interferencja konstruktywna. Jeżeli przesunięcie fazowe wynosi φ = 180 (fale są przeciwne w fazie), to amplituda A = 0 i następuje wygaszenie fali interferencja destruktywna. Dla pozostałych wartości φ otrzymujemy pośrednie wyniki nakładania się fal. 48
7.5.. FALE STOJĄCE Powstaną gdy interferują ze sobą dwie fale spójne przemieszczające się w jednym kierunku, ale w przeciwne strony. ozn.: w- tzw. węzły fali stojącej; s- tzw. strzałki fali stojącej. Fale nazywamy spójnymi, jeżeli mają taką samą długość (i częstotliwość) oraz stałą w czasie różnicę faz. 49
RÓWNANIE FALI STOJĄCEJ Zapiszemy równania dwóch fal rozchodzących się wzdłuż osi OX w przeciwnych kierunkach (niech różnica faz φ=0): y ( x,t ) Asin( t kx ) 1 y ( x,t ) Asin( t kx ) W wyniku dodawania się tych fal i po zastąpieniu liczby falowej : Otrzymujemy wzór na falę wypadkową (stojącą) : x x y( x,t ) y1 y Asint Asint k Uwzględniając zależność sin sin sin cos otrzymujemy: y( x,t ) Acos x sint (7.6) 50
y( x,t ) Acos x sint WN.: Amplituda wypadkowej fali stojącej nie zależy od czasu, ale od położenia. Cechy charakterystyczne: strzałki A : (7.7) węzły : (7.8) położenia węzłów i strzałek fali stojącej nie ulegają zmianie 51
FALE STOJĄCE Przykład częstości rezonansowe struny. Pierwsza harmoniczna n= 1 Druga harmoniczna n= Przykładem fal stojących są fale wytwarzane w strunowych instrumentach muzycznych. Zjawisko rezonansu na strunie o długości L (rys.), możemy zaobserwować przy pewnych częstościach. Ogólnie, wyrażenie na długość fali: gdzie n=1,.3, n L (7.9) n Wyrażenie na częstotliwość: Trzecia harmoniczna n=3 v fn n nf L gdzie n=1,.3, Rys. Struna zamocowana między dwoma końcami i wprawiona w drgania. 1 (7.10) 5
FALE STOJĄCE Wnioski: Z wyrażenia (7.5) wynika, że częstości rezonansowe są całkowitymi wielokrotnościami najniższej częstości rezonansowej : v f1 L Drganie własne o najniższej częstości rezonansowej nazywamy drganiem (modem) podstawowym lub pierwszą harmoniczną. Zbiór wszystkich możliwych drgań własnych nazywamy szeregiem harmonicznym, a liczbę n liczbą harmoniczną dla n-tej harmonicznej. 53
7.6. SKŁADANIE DRGAŃ 7.6.1. Składanie drgań równoległych zachodzących w tym samym kierunku Załóżmy : drgania równoległe, o tej samej amplitudzie A, zachodzące w jednym kierunku z tą samą częstością, ale są przesunięte w fazie o φ. x (t ) Acos t 1 (7.53) (7.11) x (t ) Acos t xw x1 x Acos cos t W wyniku złożenia otrzymujemy drgania o amplitudzie zależnej od φ. Złożenie dwu drgań harmonicznych równoległych o jednakowych częstościach 54
SKŁADANIE DRGAŃ HARMONICZNYCH Jeśli faza (lub różnica faz) dwóch drgań nie zależy od nazywamy spójnymi ( lub koherentnymi). czasu, to takie drgania Przypadki szczególne: 1) dla φ =, X w =0 całkowite wygaszenie drgań ) dla φ =, x x x Acos t w 1 Dwukrotny wzrost amplitudy drgań - wzmocnienie 55
SKŁADANIE DRGAŃ HARMONICZNYCH 7.6.. DUDNIENIA, nakładanie się drgań o bardzo zbliżonych częstościach x x 1 Acos t Acos t x w Acos t Acos t Acos t cos t (7.1) Otrzymujemy drgania o modulowanej amplitudzie. 56
SKŁADANIE DRGAŃ HARMONICZNYCH 7.6.3. SKŁADANIE DRGAŃ HARMONICZNYCH W KIERUNKACH WZAJEMNIE PROSTOPADŁYCH Krzywe Lissajous- Jules Antoine Lissajous (18-1880) po raz pierwszy zademonstrował krzywe w roku 1857. Znaleźć wynik złożenia drgań z jednakowymi częstościami względem siebie opisanych równaniami:, prostopadłych xt A sint x y t A sin t y (7.13) (7.14) gdy: φ=0, φ=90 o, φ=180 o 57
Elipsa jest wynikiem złożenia drgań: Rozwiązanie: SKŁADANIE DRGAŃ HARMONICZNYCH z ) x t A sin t sin t 1 x x A x sin t x A x z ) yt Ay sint Aycos t cos t y A y cos t y A y otrzymujemy x A y (7.15) 1 x Ay Po uporządkowaniu znajdujemy równanie elipsy. 58
PRZYPADKI SZCZEGÓLNE ELIPSY 1) Początkowe fazy obu drgań są jednakowe: Można tak ustawić odczyt czasu, żeby różnica faz była równa zeru: 0 A y Dzieląc stronami: yx x A x - linia prosta (7.16) Będą to również drgania harmoniczne, : a ruch wypadkowy będzie odbywał się wzdłuż prostej. ) Początkowa różnica faz obu drgań jest równa y Wtedy: yx x x y A A x - linia prosta (7.17) 59
PRZYPADEK OGÓLNY -FIGURY LISSAJOUS Kiedy częstości drgań w obu kierunkach różnią się, to tor punktu tworzy skomplikowane figury Lissajous. Figury te mieszczą się w prostokącie o wymiarach i. Przykłady figur Lissajous: Rys. a. Złożenie drgań prostopadłych o jednakowych częstościach Rys. 1b. Złożenie drgań prostopadłych o różnych częstościach i jednakowych amplitudach. 60
Dodatek : PRĘDKOŚĆ GRUPOWA (PRĘDKOŚĆ PACZKI FAL ) W przypadku gdy zaburzenie falowe jest złożeniem fal o różnych częstotliwościach to prędkość przenoszenia energii (prędkość fali modulowanej) może być inna niż prędkości fal składowych. Taką prędkość nazywa się prędkością grupową. t k x cos t k ] [cos 1 1 x Nakładamy na siebie dwie fale harmoniczne o jednakowej amplitudzie i zbliżonych częstotliwościach i : 1 y x, t Acos 1t k1x Acos t k x 61
Dodatek: PRĘDKOŚĆ GRUPOWA Superpozycja dwu fal harmonicznych rozchodzących się w przestrzeni o jednakowej 1 k1 yx, t Acos t k x A t k x 1 1 cos (7.18) amplitudzie i zbliżonych częstotliwościach i oraz zbliżonych liczbach falowych, : Fala wypadkowa : y x t Acos( t k x) cos t kx, mod mod k (7.19) gdzie: mod 1 1 Funkcja modulująca jest równa: mod Z jaką prędkością porusza się grzbiet modulowanej fali? ( mod t kmod x) const Różniczkując (7.0) ( moddt kmoddx) 0 względem t i x: mod 1 1 vmod k mod k1 k k k k Acos( modt kmod x) 1 (7.3) k (7.1), otrzymujemy: k 1 k wyrażenie na prędkość grupową v mod d dk (7.0) (7.) vg 6
FALE 7.4 Przenoszenie energii przez fale Fale przenoszą dostarczoną ze źródła energię poprzez ośrodek dzięki przesuwaniu się zaburzenia w ośrodku. Na przykład wprawiając koniec struny w drgania poprzeczne (rysunek) źródło wykonuje pracę, która objawia się w postaci energii kinetycznej i potencjalnej punktów struny (ośrodka). Siła F jaka działa na koniec struny porusza struną w górę i w dół wprawiając jej koniec w drgania w kierunku y. Do wyznaczenia szybkości przenoszenia energii przez falę posłużymy się wyrażeniem na moc: (7.4) Z rysunku prędkość poprzeczna jest równa: (7.5) a składowa siły F w kierunku y wynosi (7.33) Podstawiając otrzymujemy: (7.34) 63
FALE Dla małych kątów θ możemy przyjąć sinθ = y / x (znak minus wynika z ujemnego nachylenia struny). Stąd: (7.35) Obliczamy teraz pochodne równania fali harmonicznej: dy dt A cos( kxt) oraz i podstawiamy do wyrażenia na moc: dy dx y x, t Asinkxt Ak cos( kxt) (7.36) (7.37) (7.38) Korzystając z zależności (,48) oraz z zalezności na prędkość fali harmonicznej rozchodzącej się wzdłuż naprężonego sznura (struny): ; μ- masa przypadającej na jednostkę długości sznura. otrzymujemy ostatecznie: Podsumowanie: Moc czyli szybkość przepływu energii oscyluje w czasie. Ponadto, szybkość przepływu energii jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy i kwadratu częstotliwości. Ta zależność jest prawdziwa dla wszystkich typów fal. (7.39) 64
Dziękuję za uwagę! 65