Proramowanie wpukłe i kwaratowe Taeusz Trzaskalik
6.. Wprowazenie Słowa kluczowe Zaanie proramowania nielinioweo Ekstrema lobalne i lokalne Zbior wpukłe Funkcje wklęsłe i wpukłe Zaanie proramowania wpukłeo Funkcja Larane a Warunki Kuhna - Tuckera Zaanie proramowania kwaratoweo Zaanie zastępcze Zmienne sztuczne tpu w i u Alortm Wolfe a Optmaln portfel akcji Zaanie Markowitza T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem
6.. Zaanie proramowania wpukłeo 6... Zbior wpukłe i funkcje wpukle (/5) Ekstrema lobalne i lokalne T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 3
6.. Zaanie proramowania wpukłeo 6... Zbior wpukłe i funkcje wpukle (/5) Przkła zbiorów wpukłch i niewpukłch, C λ [,] Zbior wpukłe λ + ( λ) Zbiór niewpukł C T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 4
6.. Zaanie proramowania wpukłeo 6... Zbior wpukłe i funkcje wpukle (3/5) Funkcje wpukłe a kształt wpukle funkcja wpukła kształt wklęsł funkcja wklęsła kształt wpukł T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 5
6.. Zaanie proramowania wpukłeo 6... Zbior wpukłe i funkcje wpukle (4/5) Definicje Funkcja wpukła:, W, λ [,] f ( λ + ( λ) ) λf ( ) + ( λ) f ( ) Funkcja wklęsła: Funkcja liniowa: Forma kwaratowa: Funkcja kwaratowa: f wklęsła f wpukła T α( ) p + q T β ( ) C H ( ) p T n n j n T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 6 p i j T C j c ij j i + q j
6.. Zaanie proramowania wpukłeo 6... Zbior wpukłe i funkcje wpukle (5/5) Twierzenia Twierzenie 6.: Funkcja liniowa jest jenocześnie funkcją wpukłą i wklęsłą. Twierzenie 6.: Forma kwaratowa jest funkcja wpukłą (wklęsłą) wte i tlko wte, macierz form C jest nieujemnie (nieoatnio) określona. T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 7
6.. Zaanie proramowania wpukłeo 6... Sformułowanie zaania proramowania wpukłeo (/3) Sformułowanie zaania f () ma ( )... m () f ( ) ma ( ) ( ) ( )... ( ) m Powższe zaanie jest zaaniem proramowania wpukłeo jeżeli f i wszstkie i są funkcjami wklęsłmi. T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 8
6.. Zaanie proramowania wpukłeo 6... Sformułowanie zaania proramowania wpukłeo (/3) Przkła 6. ( ) f ( ) + 3 8 ( ) ( ) A (, ) O P (, ) B (, ) T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 9
6.. Zaanie proramowania wpukłeo 6... Sformułowanie zaania proramowania wpukłeo (3/3) Zaanie proramowania kwaratoweo p T C macierz T C ma A b b nieujemnie określona T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem
6.. Zaanie proramowania wpukłeo 6..3. Warunki Kuhna-Tuckera (/) Funkcja Larane a L ( f ( ) ma ( ) L (, ) f ( ) + ( ) [,..., m ] m +,..., n,,..., m) f (,..., n) ii (,..., n ) i T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem
6.. Zaanie proramowania wpukłeo 6..3. Warunki Kuhna-Tuckera (/) Sformułowanie warunków Warunek L(, ) Warunek ( ) Warunek 3 ( ) Warunek 4 Warunek Slatera Twierzenie 6.3: L(, ) L(, ) L(,,..., Problem proramowania wpukłeo i problem Kuhna-Tuckera opisane warunkami - 4 są sobie równoważne. n ) T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem
kłe i kwaratowe 3 3 ) (8 ),,,, ( L + + + + ) ( ) ( 8 ) ( ) ( 3 + f 6.. Zaanie proramowania wpukłeo 6..4. Wkorzstanie warunków K-T o rozwiązwania zaań proramowania wpukłeo (/5) Przkła 6. (c..) 6. Proramowanie wpuk T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 3 3 3 Warunek : Warunek : 3 + + L L ) 8 ( 3 + + Warunek 3: ) ( ) ( 8 ) ( 3 Warunek 4:,, 3
6.. Zaanie proramowania wpukłeo 6..4. Wkorzstanie warunków K-T o rozwiązwania zaań proramowania wpukłeo (/5) Poział zbioru rozwiązań opuszczalnch na pozbior Pozbiór > > 3 > Pozbiór 3 3 > > A O A O B B Pozbiór > 3 > Pozbiór 4 3 > > A O A O B B T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 4
6.. Zaanie proramowania wpukłeo 6..4. Wkorzstanie warunków K-T o rozwiązwania zaań proramowania wpukłeo (3/5) Poział zbioru rozwiązań opuszczalnch na pozbior (c..) Pozbiór 5 A > 3 O B Pozbiór 7 3 > A O B Pozbiór 6 3 > Pozbiór 8 A 3 O B Zbiór pust T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 5
6.. Zaanie proramowania wpukłeo 6..4. Wkorzstanie warunków K-T o rozwiązwania zaań proramowania wpukłeo (4/5) Pozbiór Warunek L Pozbiór L Warunek + ( 8 ) + + 3 Warunek 3 3 + ( ) 4 ( ) ( ) Warunek 4,, 3 3 >, >, 3 > z warunku wnika, żee,, 3 Wstawiam te wartości o warunku + + czli: - sprzeczność T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 6
6.. Zaanie proramowania wpukłeo 6..4. Wkorzstanie warunków K-T o rozwiązwania zaań proramowania wpukłeo (5/5) Pozbiór Warunek L L Warunek + ( 8 ) + + 3 Warunek 3 3 ( ) 4 ( ) ( ) Warunek 4 +,, 3 3 Pozbiór, >, 3 > z warunku wnika, że, 3 Wstawiam te wartości o warunku +,,,5,, 3 +, 8 ( ) ( ) T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 7
kłe i kwaratowe, 9 ma 4 5 ), ( + + + f 6.3. Metoa Wolfe a 6.3.. Warunki Kuhna-Tuckera la zaania proramowania kwaratoweo (/3) Przkła 6. 6. Proramowanie wpuk T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 8, 5 p, C, 9 b określona nieujemnie macierz C ma b A C p T T
6.3. Metoa Wolfe a 6.3.. Warunki Kuhna-Tuckera la zaania proramowania kwaratoweo (/3) Przekształcenia warunków oraniczającch f ( ) + 5 4 ma + (, ) + 9 (, ) 9 3 (, ) 4 (, ) [,, ], (,,,,, L ) + 5 4 + + ) + 9 ) ( ( + + T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 9
6.3. Metoa Wolfe a 6.3.. Warunki Kuhna-Tuckera la zaania proramowania kwaratoweo (3/3) Sformułowanie warunków K-T Warunek (, ) L 4 L 5 4 Przenosim wraz wolne na prawą stronę 4 4 Mnożm obie stron równań przez (-) 4 + 4 + + + + + + + + + 5 5 T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem
6.3. Metoa Wolfe a 6.3.. Warunki Kuhna-Tuckera la zaania proramowania kwaratoweo (3/3) Sformułowanie warunków K-T Warunek ( ) ( _ ) + (9 ) + + Bilansowanie oraniczeń + + + + 9 + + 9 9 Po postawieniu i Warunek ma postać + + + T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem
6.3. Metoa Wolfe a 6.3.. Warunki Kuhna-Tuckera la zaania proramowania kwaratoweo (3/3) Sformułowanie warunków K-T Warunek 3 ( ) Warunek ten stanowi powtórzenie oraniczeń rozpatrwaneo zaania (, ) (, ) 9 3 (, ) 4 (, ) Uwzlęniając zmienne bilansujące i, mam: - 9 Przenosim wraz wolne na prawa stronę i mnożm przez (-): + + + + 9 T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem
6.3. Metoa Wolfe a 6.3.. Warunki Kuhna-Tuckera la zaania proramowania kwaratoweo (3/3) Sformułowanie warunków K-T Warunek 4,,, Zestawienie warunków w wkorzstwanej alej kolejności: + + + + 4 + + 9 4 + + + 5,,,,,,, + + + T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 3
6.3. Metoa Wolfe a 6.3.. Sformułowanie zaania zastępczeo (/) Zaanie zastępcze w + w min + + + + 9 + 4 + + +w 4 + + + + w 5,,,,,,,, w, w Pominięt warunek: + + + Par zmiennch komplementarnch: i i i i T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 4
6.3. Metoa Wolfe a 6.3.3. Rozwiązanie zaania zastępczeo (/5) Przebie obliczeń c min Baza c B w w 4 c j -z j -4 4-6 -3 - - - w w b 9 5 T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 5
6.3. Metoa Wolfe a 6.3.3. Rozwiązanie zaania zastępczeo (/5) Przebie obliczeń (c..) c min Baza c B w w b,8 -,5 -,5,5 -,5 9,5,8 -,5 -,5,5 -,5 8,5,,5,5 -,5,5,5 w,,8,8, - -, 3 c j -z j -, -,8 -,8 -,, T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 6
6.3. Metoa Wolfe a 6.3.3. Rozwiązanie zaania zastępczeo (3/5) Przebie obliczeń (c..) c min Baza c B w c j -z j -9-4 5-6 6 -,5 -,5,5 -,5 -,5,5,5,5 -,5,5,5,5 -,5 -,5 -,5 - w -,5 -,5,5 -,5,5 w b 5 6,5,5 T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 7
6.3. Metoa Wolfe a 6.3.3. Rozwiązanie zaania zastępczeo (4/5) Przebie obliczeń (c..) c min Baza c B w c j -z j -8 -,5 -,5,5 3 - -3 - - - - w - w b 4 5 5 T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 8
6.3. Metoa Wolfe a 6.3.3. Rozwiązanie zaania zastępczeo (5/5) Przebie obliczeń (c..) c min Baza c B c j -z j -6,5,5,5,5,5 -,5,5 -,5 -,5,5 -,5 -,5 Z twierzenia Kuhna-Tuckera:, 5 - rozwiązanie optmalne wjścioweo zaania proramowania kwaratoweo w - w,5,5 b 7,5 4 5 7,5 T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 9
6.3. Metoa Wolfe a 6.3.4. Przpaek oóln (/5) Przkła 6.3 Zaanie zastępcze f(, ) + 5 4 ma + 9 v + w + w min + + + + v 9 + 4 + + w 4 + + + w 5,,,,,,,, v, w, w T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 3
6.3. Metoa Wolfe a 6.3.4. Przpaek oóln (/5) Iteracja 5 c min Baza c B w,5,5,5 -,5 -,5 -,5,5-6,5,5,5 -,5 -,5 v,5 -,5 - c j -z j -,5,5 v w b 5 7,5 7,5 4 T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 3
6.3. Metoa Wolfe a 6.3.4. Przpaek oóln (3/5) Iteracja 6 c min Baza c B w,5,5-5 - -33 3 - v,5 -,5 - c j -z j -,5,5 v w - - b 5 5 35 4 T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 3
6.3. Metoa Wolfe a 6.3.4. Przpaek oóln (4/5) Iteracja 7 c min Baza c B w - c j -z j -4-3 - -3-66 - Z twierzenia Kuhna-Tuckera: 8, - rozwiązanie optmalne wjścioweo zaania proramowania kwaratoweo - - v 3 66 w - - b 45 99 8 T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 33
6.3. Metoa Wolfe a 6.3.4. Przpaek oóln (5/5) Przkła 6.4 Zaanie zastępcze f(, ) 5 4 ma + 9 v + w min + + + + v 9 + 4 + + w 4 + + 5,,,,,,,, v, w T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 34
6.3. Metoa Wolfe a 6.3.5. Reuł postępowania w metozie Wolfe a (/) Alortm. Zapisanie warunków Kuhna-Tuckera.. Zapisanie zaania zastępczeo: a) zmienne sztuczne tpu w, b) zmienne sztuczne tpu v. 3. Rozwiązanie zaania zastępczeo: a) wbór zmiennej kanującej o baz, b) sprawzenie, cz wbór zmiennej kanującej bł właściw, c) wbór zmiennej usuwanej z baz, ) baanie niesprzeczności zaania. 4. Ocztanie rozwiązania zaania wjścioweo. T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 35
6.4. Optmaln portfel akcji 6.4.. Oczekiwana stopa zsku i rzko portfela (/) Postawowe pojęcia Określić taki skła portfela, złożoneo z akcji n spółek, b zminimalizować rzko portfela, prz założonm z ór poziomie oczekiwaneo zsku. Stopa zsku z i-tej akcji w okresie t (t,..., T) z i-tej akcji w okresie t R ( t ) Oczekiwana stopa zsku z i-tej akcji R i i T P i T t ( t) P i ( t ) ( t ) Uział akcji w portfelu, Oczekiwana stopa zsku portfela akcji n i R p i n i R i P i R i i ( t) i T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 36
6.4. Optmaln portfel akcji 6.4.. Oczekiwana stopa zsku i rzko portfela (/) Postawowe pojęcia (c..) Rzko (wariancja) portfela Ochlenie stanarowe stop zsku Współcznnik korelacji Zmofikowan wzór na wariancję portfela v S r v p i ij p n n T T t i j n T T i j S i S j r ij ( ( R i ( t ) R i ) t i j ( R ( t) R ) R ( t) i j ( j R j ) cov( R, R ) i i n i j S S cov( R, R i j ) S i i S j j T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 37
6.4. Optmaln portfel akcji 6.4.. Optmalizacja portfela akcji jako zaanie proramowania kwaratoweo (/7) Sformułowanie zaania n n i j n i n i i j R i i v i ij min O T T V ma R R R O T i la i,..., n V macierz wariancji i kowariancji (V [cov(r i, R j )]), R [ R,..., Rn ], : O :,, n : T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 38
6.4. Optmaln portfel akcji 6.4.. Optmalizacja portfela akcji jako zaanie proramowania kwaratoweo (/7) Przkła 6.4 Spółka 53.6 5. 5. 5.3 54.6 58.3 6. 6.9 6.9 59.4 64. 66.6 65.7 64.3 64.3 66. 67.6 67. 65. 65. 64. Spółka 5. 5.75 5.5 5.5 5.5 5. 5.5 5.5 6. 6. 6.5 6.9 7.7 7. 7.3 7. 8.6 8.5 7.95 8.5 9.5 Notowania Spółka 3 73. 83. 75.5 7. 74.5 9. 83.5 8. 86. 86. 85. 7. 7.5 65. 67. 63.5 65. 68. 7. 69.5 7.5 Spółka 4 6.9 7. 7.8 9.3 3.4 9.8 8.7 9. 8.9 9.8 33. 3.7 34.3 34.5 34. 33.3 3.9 3.8 3.3 9. 3. Spółka 5 67.5 66. 66.5 65.7 68. 69. 7. 69. 68.3 68. 68.8 7.5 75.3 73.9 74. 7.3 7.4 7. 7.4 7. 73.5 Oczekiwane stop zsku z akcji w okresie t w % Spółka Spółka Spółka 3 Spółka 4 Spółka 5 -.99 3.6 3.66. -. -.9 -.59 -.65..76.55. -. 5.4 -. 4.4 -.6.67 7.7 3.5 6.78 -.33 5.65-5..47 4.63.97 -.4-3.69.45.48. -.88.5 -.43. 3.3.78 -.34 -. -4.4.. 3. -.9 8.8 3.3 -.35.74.3 3.74.4-4.56 -.9 3.9 -.35 4.73 -.55 4.89 5.3 -.3 -.8 -.3.58 -.86..58.75 -.45.4.95 -.58 -.3 -.6 -.3. 8.4.57 -..4 -.74 -.54.3 -.3 -.8 -.98 -.97.75-4.57 -. -.5 3.6 -.9-7.3.98 -.54 3.5.37 6.53.94 T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 39
6.4. Optmaln portfel akcji 6.4.. Optmalizacja portfela akcji jako zaanie proramowania kwaratoweo (3/7) Obliczenia pomocnicze Oczekiwane stop zsku z akcji w % Spółka Spółka Spółka 3 Spółka 4 Spółka 5 R i.94. -..8.45 Spółka Spółka Spółka 3 Spółka 4 Spółka 5 Macierz wariancji-kowariancji stóp zsku Spółka.43.7.3.669.54 Spółka.7 7.773.4983.374.756 Spółka 3.3.4983 5.598 -.394 -.637 Spółka 4.669.374 -.394.858.84 Spółka 5.54.756 -.637.84 4.389 T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 4
6.4. Optmaln portfel akcji 6.4.. Optmalizacja portfela akcji jako zaanie proramowania kwaratoweo (4/7) Moel matematczn Cel Znalezienie portfela akcji minimalizująceo rzko o zaanej oczekiwanej stopie zsku. Zmienne eczjne uział w portfelu akcji spółki, uział w portfelu akcji spółki, 3 uział w portfelu akcji spółki 3, 4 uział w portfelu akcji spółki 4, 5 uział w portfelu akcji spółki 5, T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 4
6.4. Optmaln portfel akcji 6.4.. Optmalizacja portfela akcji jako zaanie proramowania kwaratoweo (5/7) Moel matematczn (c..) Funkcja celu f(,, 3, 4, 5 ) [,, 3, 4, 5 ] V [,, 3, 4, 5 ] T min V Oraniczenia.43.7.3.669.54.7 7.773.4983.374.756.3.4983 5.598 -.394 -.637.669.374 -.394.858.84.54.756 -.637.84 4.389 oczekiwan zsk z portfela ma bć większ o %, czli:,94 +,, 3 +,8 4 +,45 5 uział akcji w portfelu sumują się o jeności: + + 3 + 4 + 5 warunki nieujemności:,, 3, 4, 5 T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 4
6.4. Optmaln portfel akcji 6.4.. Optmalizacja portfela akcji jako zaanie proramowania kwaratoweo (6/7) Rozwinięta postać zaania f ( [,,,, 3 3,, 4 4,, 5 5 ),43,7,3,669,54,7 7,773,4983,374,756 ],3,4983 5,598,394,637 3,669,374,394,858,84 4,54,756,637,84 4,389 5 prz warunkach oraniczającch:,94, +, 3,8 4,45 5 + + 3 + 4 + 5 3 4 5,, 3, 4, 5 ma T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 43
6.4. Optmaln portfel akcji 6.4.. Optmalizacja portfela akcji jako zaanie proramowania kwaratoweo (7/7) Rozwiązanie i interpretacja Rozwiązanie optmalne,468,539 3,85 4,6 5,797 Interpretacja rozwiązania Optmaln portfel, la któreo stopa oczekiwaneo zsku jest nie mniejsza niż % bęzie się skłaał (w ujęciu wartościowm) w 4,68% z akcji spółki, w 53,9% z akcji spółki, w,85% z akcji spółki 3, w,6% z akcji spółki 4 i w 7,97% akcji spółki 5. Rzko takieo portfela wnosi, 4 T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 44
6.4. Optmaln portfel akcji 6.4.3. Dwukrterialne zaanie poszukiwania optmalneo portfela akcji (/5) Przkła 6.4 Cel Szukam takieo portfela akcji, la któreo rzko jest minimalne, a oczekiwan zsk portfela maksmaln. Zmienne eczjne uział w portfelu akcji spółki, uział w portfelu akcji spółki, 3 uział w portfelu akcji spółki 3, 4 uział w portfelu akcji spółki 4, 5 uział w portfelu akcji spółki 5, T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 45
6.4. Optmaln portfel akcji 6.4.3. Dwukrterialne zaanie poszukiwania optmalneo portfela akcji (/5) Moel matematczn Funkcje celu Minimalizacja rzka portfela,43,7,3,669,54,7 7,773,4983,374,756 T [,, 3, 4, 5 ],3,4983 5,598,394,637 [,, 3, 4, 5 ] min,669,374,394,858,84,54,756,637,84 4,389 Maksmalizacja oczekiwanej stop zsku portfela: Oraniczenia,94 +,, 3 +,8 4 +,45 5 ma + + 3 + 4 + 5,, 3, 4, 5 T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 46
6.4. Optmaln portfel akcji 6.4.3. Dwukrterialne zaanie poszukiwania optmalneo portfela akcji (3/5) Metoa satsfakcjonująceo poziomu krteriów Funkcja celu,43,7,3,669,54,7 7,773,4983,374,756 T,, 3, 4, 5],3,4983 5,598,394,637 [,, 3, 4, ] min,669,374,394,858,84,54,756,637,84 4,389 [ 5 Oraniczenia,94, +, 3,8 4,45 5 R + + 3 + 4 + 5 3 4 5,, 3, 4, 5 T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 47
6.4. Optmaln portfel akcji 6.4.3. Dwukrterialne zaanie poszukiwania optmalneo portfela akcji (4/5) Wniki obliczeń Parametr portfeli wznaczonch la założonch wartości R Lp R V p 3 4 5 P..79 P.5.4.84.84.54 P 3...57.6594.879 P 4...468.539.85.6.797 P 5.9.83.7.467.897.986.75 P 6.8.67.874.395.5.9.754 P 7.7.53.577.33..837.33 P 8.6.43.8.5.734.763.7 P 9.5.36.984.79.3347.689.39 P.4.34.687.7.3959.65.3668 T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 48
6.4. Optmaln portfel akcji 6.4.3. Dwukrterialne zaanie poszukiwania optmalneo portfela akcji (5/5) Granica efektwna oczekiwana stopa zsku z portfela w %,4,,8,6,4,,5,5 3 rzko portfela oczekiwana stopa zsku z portfela w %,4,,8,6,4,,5,5 3 rzko portfela 3,5,5 rzko portfela,4,,8,6,4 oczekiwana stopa zsku z portfela w % T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 49
Pora na relaks T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 5