Optymalne portfele inwestycyjne

Transkrypt

1 Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ 10 maj 2012

2 Problem Rozwiązanie problemu Aktywa wolne od ryzyka Estymacja parametrów Pomiar ryzyka

3 Oznaczenia (Ω, F, P) - przestrzeń probablistyczna, r i := S1 i S0 i Si 0 losowa), - stopa zwrotu z i - tej akcji w danym okresie (zmienna r := (r 1, r 2,..., r n ), µ i := Er i - oczekiwana stopa zwrotu z i-tej akcji, σ i,j := Cov(r i, r j ) 1 i n, 1 j n, σ - sciśle dodatnio określona macierz kowariancji.

4 Portfel inwestycyjny w i - procent kapitału zainwestowany w i - tą akcję, w := (w 1, w 2,..., w n ) - portfel inwestycyjny, r w = w 1 r 1 + w 2 r w n r n - stopa zwrotu z portfela, µ w := Er w = w 1 µ 1 + w 2 µ w n µ n = µw T - oczekiwana stopa zwrotu z portfela, σ w,w := Var(r w ) = n i,j=1 w iw j σ i,j = wσw T - wariancja portfela.

5 Dlaczego wariancja? Jedna z możliwych definicji ryzyka brzmi: Ryzyko to możliwość uzyskania efektu różnego od oczekiwanego. Jako miarę tak rozumianego ryzyka przyjmuje się często wariancję: Var(X ) = E(X EX ) 2, względnie odchylenie standardowe Var(X ).

6 Dywersyfikacja r 1 - stopa zwrotu pierwszej akcji, r 2 - stopa zwrotu drugiej akcji, σ 2,2 = σ 1,1, σ 1,2 = 0, w (0, 1) - procent kapitału zainwestowany w pierwszą akcję, r w - stopa zwrotu z portfela, Var(r w ) = w 2 σ 1,1 +(1 w) 2 σ 2,2 +2w(1 w)σ 1,2 = (w 2 +(1 w) 2 )σ 1,1.

7 Problem Markowitza θ > 0 - parametr awersji do ryzyka. Zmaksymalizować: Er w 1 2θ Var(r w ) przy warunku ograniczającym w 1 + w w n = 1. Autor problemu: Harry Markowitz: ( publikacja w roku 1952), Nagroda Nobla

8 Rozwiązanie problemu θ > 0 - ustalony parametr awersji do ryzyka. Rozwiązanie wykorzystuje mnożniki Lagrange a: Dla każdego λ znaleźć w (λ), które maksymalizuje funkcję G(w, λ) = µw T 1 2θ wσw T λ(w 1 + w w n ),

9 Rozwiązanie problemu θ > 0 - ustalony parametr awersji do ryzyka. Rozwiązanie wykorzystuje mnożniki Lagrange a: Dla każdego λ znaleźć w (λ), które maksymalizuje funkcję G(w, λ) = µw T 1 2θ wσw T λ(w 1 + w w n ), Wyznaczyć taki parametr λ, dla którego w 1 (λ) + w 2 (λ) w n (λ) = 1.

10 Rozwiązanie problemu c. d. Należy zatem rozwiązać układ równań w 1 σ 1,1 + w 2 σ 1, w n σ 1,n = θ(µ 1 λ), w 1 σ 2,1 + w 2 σ 2, w n σ 2,n = θ(µ 2 λ),. w 1 σ n,1 + w 2 σ n, w n σ n,n = θ(µ n λ), w 1 + w w n = 1.

11 Rozwiązanie problemu c. d. Należy zatem rozwiązać układ równań w 1 σ 1,1 + w 2 σ 1, w n σ 1,n = θ(µ 1 λ), w 1 σ 2,1 + w 2 σ 2, w n σ 2,n = θ(µ 2 λ),. w 1 σ n,1 + w 2 σ n, w n σ n,n = θ(µ n λ), w 1 + w w n = 1. Z pierwszych n równań otrzymujemy rozwiązanie w postaci macierzowej w T = θσ 1( µ λ1 ) T, 1 := (1, 1,..., 1). Ostatnie równanie oznacza, że θ1σ 1( µ λ1 ) T = 1, czyli λ = 1σ 1 µ T 1 θ 1σ 1 1 T.

12 Granica efektywna Rozwiązujemy problem Markowitza, dla każdego parametru awersji do ryzyka θ. Dla każdego rozwiązania obliczamy E θ - wartość oczekiwaną portfela optymalnego i Var θ - odchylenie standardowe. Granica efektywna (ang. efficient frontier) to krzywa o parametryzacji θ ( Varθ, E θ ).

13

14 Twierdzenie o dwóch portfelach w - portfel optymalny dla parametru awersji do ryzyka θ, ŵ - portfel optymalny dla parametru awersji do ryzyka ˆθ.

15 Twierdzenie o dwóch portfelach w - portfel optymalny dla parametru awersji do ryzyka θ, ŵ - portfel optymalny dla parametru awersji do ryzyka ˆθ. Tworzymy nowy portfel: w α := αw + (1 α)ŵ, α < 1.

16 Twierdzenie o dwóch portfelach w - portfel optymalny dla parametru awersji do ryzyka θ, ŵ - portfel optymalny dla parametru awersji do ryzyka ˆθ. Tworzymy nowy portfel: w α := αw + (1 α)ŵ, α < 1. Tak stworzony portfel jest rozwiązaniem układu w 1 σ 1,1 + w 2 σ 1, w n σ 1,n = (αθ + (1 α)ˆθ)(µ 1 λ(α)), w 1 σ 2,1 + w 2 σ 2, w n σ 2,n = (αθ + (1 α)ˆθ)(µ 2 λ(α)),. w 1 σ n,1 + w 2 σ n, w n σ n,n = (αθ + (1 α)ˆθ)(µ n λ(α)), w 1 + w w n = 1.

17 Twierdzenie o dwóch portfelach c. d. Wniosek I: w α jest rozwiązaniem optymalnym dla parametru awersji do ryzyka równego αθ + (1 α)ˆθ. Wniosek II: Dla dowolnego parametru θ istnieje takie α, że θ = αθ + (1 α)ˆθ. Twierdzenie Istnieją dwa portele efektywne takie, że wykorzystując różne ich kombinacje można znaleźć dowolny inny portfel efektywny.

18 Problem równoważny I L(w, θ) = Er w 1 2θ Var(r w ) jest funkcją Lagrange a dla problemu: zmaksymalizować przy warunku ograniczającym Er w Var(r w ) h.

19 Problem równoważny II L(w, θ) = Er w 1 2θ Var(r w ) = 1 [ ] Var(rw ) 2θEr w 2θ jest funkcją Lagrange a dla problemu: zminimalizować Var(r w ) przy warunku ograniczającym Er w = R.

20 Gdy krótka sprzedaż jest zabroniona Możliwy do rozwiazania jest nastepujący problem: Zmaksymalizować: Er w 1 2θ Var(r w ) przy warunku ograniczającym w 1 + w w n = 1, w i 0, 1 i n.

21 Optymalizacja z aktywami wolnymi od ryzyka r 0 - stopa wolna od ryzyka ( Var(r 0 ) = 0), w = (w 0, w) = (w 0, w 1,..., w n ) - portfel inwestycyjny. Problem: zmaksymalizować H(w, θ) := r 0 w 0 + µ w T 1 T wσ w 2θ przy warunkach ograniczających w 0 + w 1 + w w n = 1.

22 Aktywa wolne od ryzyka - rozwiązanie Wyliczając w 0 z ostatniego równania i podstawiając do funkcji H ( eliminacja warunku ograniczającego) H( w, θ) := r 0 (1 w 1 w 2... w n ) + µ w T 1 2θ wσ w T. Różniczkując otrzymujemy układ równań w 1 σ 1,1 + w 2 σ 1, w n σ 1,n = θ(µ 1 r 0 ), w 1 σ 2,1 + w 2 σ 2, w n σ 2,n = θ(µ 2 r 0 ),. w 1 σ n,1 + w 2 σ n, w n σ n,n = θ(µ n r 0 ).

23 Aktywa wolne od ryzyka - rozwiązanie c. d. Rozwiązanie problemu: w T = θσ 1( µ T r 0 1 T ), w 0 = 1 θ1σ 1( µ T r 0 1 T ). Oczekiwana stopa zwrotu i wariancja portfela efektywnego: (w zależności od parametru awersji do ryzyka θ) µ w (θ) = r 0 w 0 + µ w T = r 0 + θ(µ r 0 1)σ 1( µ T r 0 1 T ), σww (θ) = (µ wσ w T = θ r0 1 ) σ 1( µ T r 0 1 ) T.

24 Aktywa wolne od ryzyka - granica efektywna Wniosek: Po wprowadzeniu aktywów wolnych od ryzyka granica efektywna ma kształt lini prostej.

25 Twierdzenie o jednym portfelu ŵ - portfel optymalny dla parametru awersji do ryzyka ˆθ.

26 Twierdzenie o jednym portfelu ŵ - portfel optymalny dla parametru awersji do ryzyka ˆθ. Tworzymy nowy portfel w α := α(1, 0, 0,..., 0) + (1 α)ŵ, α < 1.

27 Twierdzenie o jednym portfelu ŵ - portfel optymalny dla parametru awersji do ryzyka ˆθ. Tworzymy nowy portfel w α := α(1, 0, 0,..., 0) + (1 α)ŵ, α < 1. Tak stworzony portfel jest rozwiązaniem układu w 1 σ 1,1 + w 2 σ 1, w n σ 1,n = (1 α)ˆθ(µ 1 r 0 ), w 1 σ 2,1 + w 2 σ 2, w n σ 2,n = (1 α)ˆθ(µ 2 r 0 ),. w 1 σ n,1 + w 2 σ n, w n σ n,n = (1 α)ˆθ(µ n r 0 ).

28 Twierdzenie o jednym portfelu c. d. Wniosek: w α jest rozwiązaniem optymalnym dla parametru awersji do ryzyka równego (1 α)ˆθ.

29 Twierdzenie o jednym portfelu c. d. Wniosek: w α jest rozwiązaniem optymalnym dla parametru awersji do ryzyka równego (1 α)ˆθ. Twierdzenie Istnieje portfel efektywny taki, że wykorzystując różne kombinacje jego i aktywa wolnego od ryzyka można znaleźć dowolny inny portfel efektywny.

30 Estymacja parametrów w modelu Markowitza W praktyce zmuszeni jesteśmy korzystać przy wyznaczaniu parametrów µ i σ z danych historycznych. ri 1, r i 2,... r i k - zrealizowane historyczne stopy zwrotu i-tej akcji (próbka prosta) Estymatory średniej i macierzy kowariancji: ˆµ = 1 k k l=1 ˆσ i,j = 1 k 1 r l i, k l=1 ( r l i r i )( r l j r j ).

31 Problemy z estymacją parametrów Problemy: dane historyczne nie są dobrym predyktorem przyszłych stóp zwrotu, klasyczne estymatory średniej i wariancji są bardzo wrażliwe na ekstremalne stopy zwrotu.

32 Optymalizacja odporna P R n - zbiór niepewności oczekiwanej stopy zwrotu µ. Problem odporny I : Zmaksymalizować min (µw T 12θ ) wσw T. µ P

33 Optymalizacja odporna P R n - zbiór niepewności oczekiwanej stopy zwrotu µ. Problem odporny I : Zmaksymalizować min (µw T 12θ ) wσw T. µ P Problem odporny II : M := {σ σ σ σ} - przedział niepewności macierzy kowariancji. Zmaksymalizować min (µw min T 12θ ) wσw T. µ P σ M

34 Co to jest ryzyko? Dwie definicje def1 Ryzyko to możliwość uzyskania efektu innego niż oczekiwany. def2 Ryzyko to możliwość uzyskania efektu gorszego niż oczekiwany. Definicja def1 prowadzi do mierzenia ryzyka za pomocą wariancji i łączy się z przekonaniem iż rozkład stóp zwrotu jest symetryczny.

35 Inne miary ryzyka X - zmienna losowa (domyślnie stopa zwrotu). Semiwariancja, ρ(x ) = E [ (X EX ) ] 2 Value at Risk (wartość zagrożona), koherentne miary ryzyka.

36 Koherentne miary ryzyka: Monotoniczność Jeśli X Y, to ρ(x ) ρ(y ).

37 Koherentne miary ryzyka: Monotoniczność Jeśli X Y, to ρ(x ) ρ(y ). Dodatnia jednorodność ρ(λx ) = λρ(x ), dla λ > 0..

38 Koherentne miary ryzyka: Monotoniczność Jeśli X Y, to ρ(x ) ρ(y ). Dodatnia jednorodność ρ(λx ) = λρ(x ), dla λ > 0.. Niezmienniczość względem przesunięcia ρ(x + c) = ρ(x ) c, dla c R.

39 Koherentne miary ryzyka: Monotoniczność Jeśli X Y, to ρ(x ) ρ(y ). Dodatnia jednorodność ρ(λx ) = λρ(x ), dla λ > 0.. Niezmienniczość względem przesunięcia ρ(x + c) = ρ(x ) c, dla c R. Subaddytywność ρ(x + Y ) ρ(x ) + ρ(y ).

40 Modyfikacja metody Markowitza Maksymalizację Er w 1 2θ Var(r w ) zastępujemy maksymalizacją Er w 1 2θ ρ(r w ), gdzie ρ jest jedną sposród podanych w przykładach miar ryzyka.

41 Modyfikacja metody Markowitza Maksymalizację Er w 1 2θ Var(r w ) zastępujemy maksymalizacją Er w 1 2θ ρ(r w ), gdzie ρ jest jedną sposród podanych w przykładach miar ryzyka. Uwaga: Portfel optymalny będzie zależał od założonego rozkładu dla stóp zwrotu (r 1, r 2,... r n ).

42 Literatura I Black, F., Litterman, R. Global portfolio optimization, Financial Analysts J., 48 (1992), Brandt, Michael W. (2004). Portfolio choice problems. In: Handbook of Finan- cial Econometrics (Y. A ýt-sahalia and L.P. Hansen, Ed.). Elsevier. Goldfarb, D.; Iyengar, G. Robust portfolio selection problems. Math. Oper. Res. 28 (2003), no. 1, Jobson, J.D., Korkie, B. Estimation of Markowitz efficient portfolios, J. Amer. Stat. Assoc., 75 (1980),

43 Literatura II Luenberger, D. G Investment Science. Oxford Unversity Press, New York. Markowitz H. (1952) Portfolio selection. J Finance 7: Tütüncü, R. H.; Koenig, M. Robust asset allocation. Ann. Oper. Res. 132 (2004), Palczewski A. Optimal Asset Allocation Practitioner s Perspective dostępny na

44 Dziękuję za uwagę.