Sprawdzian 3 gr1 (22/01/04) Imie i nazwisko:...............................grupa: 1. Dane sa dwa wektory β 1 = (1, 2, 3) i β 2 = ( 2, 4, 6) w R 3. Niech W = lin(β 1, β 2 ) oraz V = {(x 1, x 2, x 3 ) 2x 1 x 2 = 0} beda dwoma podprzestrzeniami liniowymi w R 3 (b) Jak nazywamy taka przestrzen odp:plaszczyzna Zbiór opisany jednym równaniem liniowym w R 3 jest plaszczyzna czyli ma wymiar 2 (c) Jakiego wymiaru jest przestrzen W odp: 1 (d) Jak nazywamy taka przestrzen odp: prosta Zbiór rozbpiety przez dwa wektory moze byc plaszczyzna (wymiar 2) lub prosta (wymiar 1), gdy wektory sa proporcjonalne. Tutaj sa proporcjonalne wiec mamy prosta w przeciwnym wypadku mielibysmy plaszczyzne. (e) Ilu równan liniowych potrzebujemy do opisania przestrzeni W odp:2 { x1 2x (f) (2) Znajdz taki minimalny opis równaniami odp: np: 2 x 3 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 (metoda rowniania patrz przeglad metod rownaniowych) Opis za pomoca rownan nie jest jendnoznaczny, jesli zbior W jest dwuwymiarowy wowczas mamy plaszczyzne wiec potrzeba jednego równania Ax 1 +Bx 2 + Cx 3 = 0 (mozemy znalezc metoda wyznacznikowa) ale gdy W jest prosta to potrzebujemy dwuch równan (czesc wspolna dwuch plaszczyz jest prosta) np: x 1 2x 2 x 3 = 0 (g) (2) Znajdz uklad rownan opisujacy czesc wspolna W V odp: x 1 + x 2 + x 3 = 0 2x 1 x 2 = 0 Do rownan opisujcych W nalezy dodac rownania opisujace V. (h) Jakiego wymiaru jest przestrzen W V odp: 1 I sposob: rownania sa linowo zalezne. II sposob: β 1 wektor kierunkowy prostej W spelnia rownanie V wiec nalezy do tej plaszczyzny. W kazdej grupie jest inna sytuacja, tutaj mamy czesc wspolna plaszczyzny i prostej wobec tego mozemy dostac prosta (wymiar = 1) jesli prosta W jest podzbiorem plaszczyzny V. lub punkt (0, 0, 0) w przeciwnym wypadku. (wymiar = 0). (gr2) Mozna to sprawdzic sprawdzajac czy rownania sa liniowo niezalezne. Lub czy wektor kierunkowy β 1 naleza do plaszczyzn V 1
Gdy W jest plaszczyzna jak w niektórych grupach wówczas mozemy miec dwie sytuacje: plaszczyzny sie pokrywaja (rownania sa proporcjonalne) wowczas wymiar czesci wspolnej jest 2 (gr 3) lub przecinaja sie wlasciwie (rownania sa liniowo niezalezne) wowczas wymiar czesci wspolnej jest 1 - prosta (gr 4) 2. Dane sa cztery wektory α 1 = ( 1, 1, 3, 2), α 2 = (1, 2, 4, 4), α 3 = ( 2, 1, 5, 2), α 4 = (2, s, 4, s) w R 4, niech W = lin(α 1, α 2, α 3 ) (a) (2) Pokazac dla jakich wartosci s dane wektory sa liniowo zalezne. odp: dla każdej Zeby sie przekonac czy wektory sa liniowo niezalezne najlepiej sprowadzic macierz zlozona z wektorów (wierszami) do postaci schodkowej i zobaczyc czy nie znika dolny wiersz. W przypadku gdy mamy sprawdzic n wektorów w przestrzeni n wymiarowej (tutaj n = 4) mozna policzyc wyznacznik macierzy. Jesli wyznacznik wyjdzie 0 to wektory sa liniowo zalezne. Tutaj w zaleznosci od grupy wychodzi inne wyrazenie od s, ktore przyruwnujemy do 0. W przypadku gr 1. ten wyznacznik jest rowny stale rowny 0. Zeby sie nie zmeczyc przy liczeniu wyznacznika mozemy doprowadzic pierwsze trzy wiersze do postaci schodkowej (czwarty pomijamy) wowczas bedzie latwiej liczyc wyznacznik wzgledem trzeciego wiersza, a potem i tak to sie przyda przy sprawdzaniu punku (b). Tutaj po doprowadzeniu do postaci schodkowej mamy: (sprowadzanie do postaci schodkowej jest niejednoznaczne) Wobec tego poniewaz trzeci wiersz jest zerowy to bez wzgledu na wartosc s wyznacznik bedzie 0 wiec wektory beda liniowo zalezne. (b) Czy wektory α 1, α 2 i α 3 sa liniowo niezalezne odp: nie Wektory sa liniowo zalezne co sprawdzilismy sprowadzajac do postaci schodkowej pierwsze trzy wektory. (c) (2) Podaj baze przestrzeni W odp: Odpowiedz jest nie jednoznaczna: mozemy podac niezerowe wektory z postaci schodkowej trzech pierwszych wierszy macierz z (a).: (d) Podaj wymiar przestrzeni W odp: 2 Mamy tylko dwa wektry niezalezne w grupach gdzie sa niezalezne trzy wektory to odp: 3. (e) Ile równan liniowych potrzebujemy do opisu przestrzeni W w R 4 odp: 2 tak np α 1 + α 2 = (0, 1, 1, 2) Oczywiscie, przestrzen liniowa jest zbiorem nieskonczonym i naleza do niej wszystkie kombinacje wektorow generujacych. 2
3. Dane sa trzy punkty A 1 = (0, 0, 0) i A 2 = (1, 1, 1) i A 3 = (2, 4, 3) w przestrzeni R 3 oraz palaszczyzna W : 2x 1 2x 2 +2x 3 +6 = 0. Niech l bedzie prosta przechodzaca (a) Znajdz wektor kierunkowy prostej l odp: (1, 1, 1) Normalnie trzeba wziac wektory A 1 A 2 ale tutaj poniewaz A 1 = 0 to sprawa jest prostrza i wystarczy wziac A 2 (b) (2) Czy punkt A 3 jest punktem lezacym na prostej l.odp: nie To zalezy od tego czy jest postaci A 3 = A 0 + sα = s(1, 1, 1) ale tutaj nie jest. (c) Czy plaszczyzna W jest prostopadla do prostej l odp: tak Wektor prostopadly do prostej W jest β = (2, 2, 2) a wiec proporcjonalny z α a wiec prosta l jest prostopadla z W. ten punkt: odp: tak (3, 3, 3) Nalezy do rownania plaszczyzny podstawic punkt ogólny nalezacy do prostej l (s, s, s) i rozwiazac rownanie 2s 2s + 2s + 6 = 0. (e) Czy prosta l jest rownolegla do plaszczyzny W. Nie poniewaz ma jeden punkt wspólny. Gdyby lezala na plaszczyznie W lub nie miala punktu wspólnego wowczas byla by rownolegla. 3
Sprawdzian 3 gr2 (22/01/04) Imie i nazwisko:...............................grupa: 1. Dane sa dwa wektory β 1 = (1, 1, 2) i β 2 = (2, 2, 4) w R 3. Niech W = lin(β 1, β 2 ) oraz V = {(x 1, x 2, x 3 ) x 1 x 2 = 0} beda dwoma podprzestrzeniami liniowymi w R 3 (b) Jak nazywamy taka przestrzen odp: plaszczyzna (c) Jakiego wymiaru jest przestrzen W odp:1 (d) Jak nazywamy taka przestrzen odp: prosta (e) Ilu równan liniowych potrzebujemy do opisania przestrzeni W odp 2 { x (f) (2) Znajdz taki minimalny opis równaniami odp: np: 1 + x 2 = 0 x 1 x 2 x 3 = 0 x 1 + x 2 = 0 (g) (2) Znajdz uklad rownan opisujacy czesc wspolna W V odp: np: x 1 x 2 x 3 = 0 x 1 x 2 = 0 (h) Jakiego wymiaru jest przestrzen W V odp: 0 (punkt) 2. Dane sa cztery wektory α 1 = ( 1, 2, 5, 2), α 2 = ( 2, 5, 9, 1), α 3 = (2, 7, 8, 9), α 4 = ( 2, s, 2, s) w R 4, niech W = lin(α 1, α 2, α 3 ) (a) Pokazac dla jakich wartosci s dane wektory sa liniowo zalezne. odp: s = 0 (b) (2) Czy wektory α 1, α 2 i α 3 sa liniowo niezalezne odp: tak (c) (2) Podaj baze przestrzeni W odp:... (d) Podaj wymiar przestrzeni W odp: 3 (e) Ile równan liniowych potrzebujemy do opisu przestrzeni W w R 4 odp: 1 tak np α 1 + α 2 = ( 3, 7, 14, 1) 3. Dane sa trzy punkty A 1 = (0, 0, 0) i A 2 = (1, 1, 1) i A 3 = (0, 1, 1) w przestrzeni R 3 oraz palaszczyzna W : x 1 x 2 + x 3 = 0. Niech l bedzie prosta przechodzaca przez punkty A 1 i A 2 (a) Znajdz wektor kierunkowy prostej l odp:(1, 1, 1) (b) (2) Czy punkt A 3 jest punktem lezacym na prostej l.odp: nie (c) Czy plaszczyzna W jest prostopadla do prostej l odp: tak ten punkt: odp: tak (0, 0, 0) (e) Czy prosta l jest rownolegla do plaszczyzny W.odp: nie 4
Sprawdzian 3 gr3 (22/01/04) Imie i nazwisko:...............................grupa: 1. Dane sa dwa wektory β 1 = (1, 1, 2) i β 2 = (2, 1, 1) w R 3. Niech W = lin(β 1, β 2 ) oraz V = {(x 1, x 2, x 3 ) 2x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 0} beda dwoma podprzestrzeniami liniowymi w R 3 (b) Jak nazywamy taka przestrzen odp: odp: plaszczyzna (c) Jakiego wymiaru jest przestrzen W odp: 2 (d) Jak nazywamy taka przestrzen odp:plaszczyzna (e) Ilu równan liniowych potrzebujemy do opisania przestrzeni W odp: 1 (f) (2) Znajdz taki minimalny opis równaniami odp: x 1 + x 2 + x 3 = 0 (g) (2) Znajdz uklad rownan opisujacy czesc wspolna W V odp: (h) Jakiego wymiaru jest przestrzen W V odp: 2 2. Dane sa cztery wektory α 1 = ( 1, 1, 1, 1), α 2 = (1, 2, 1, 2), α 3 = ( 2, 3, 0, 3), α 4 = (1, s, 3, s) w R 4, niech W = lin(α 1, α 2, α 3 ) (a) Pokazac dla jakich wartosci s dane wektory sa liniowo zalezne. odp:kazdej (b) (2) Czy wektory α 1, α 2 i α 3 sa liniowo niezalezne odp: nie (c) (2) Podaj baze przestrzeni W odp:... (d) Podaj wymiar przestrzeni W odp: 2 (e) Ile równan liniowych potrzebujemy do opisu przestrzeni W w R 4 odp: 2 3. Dane sa trzy punkty A 1 = (0, 0, 0) i A 2 = (1, 3, 2) i A 3 = ( 2, 6, 4) w przestrzeni R 3 oraz palaszczyzna W : 6x 1 2x 2 = 0. Niech l bedzie prosta przechodzaca (a) Znajdz wektor kierunkowy prostej l odp: (1, 3, 2) (b) (2) Czy punkt A 3 jest punktem lezacym na prostej l. odp: nie (c) Czy plaszczyzna W jest prostopadla do prostej l odp: nie ten punkt: odp: (0,0,0) 5
(e) Czy prosta l jest rownolegla do plaszczyzny W.odp: nie 3bis W zadaniu byla literowka wiec wyniki byly inne od zamierzonych powinno byc: Dane sa trzy punkty A 1 = (0, 0, 0) i A 2 = ( 1, 3, 2) i A 3 = ( 2, 6, 4) w przestrzeni R 3 oraz palaszczyzna W : 6x 1 2x 2 = 0. Niech l bedzie prosta przechodzaca (a) Znajdz wektor kierunkowy prostej l odp: ( 1, 3, 2) (b) (2) Czy punkt A 3 jest punktem lezacym na prostej l. odp: tak (c) Czy plaszczyzna W jest prostopadla do prostej l odp: nie ten punkt: odp: (-1,-3,2) (e) Czy prosta l jest rownolegla do plaszczyzny W.odp: tak 6
Sprawdzian 3 (22/01/04) Imie i nazwisko:................................... Grupa: 1. Dane sa dwa wektory β 1 = (1, 2, 3) i β 2 = ( 2, 4, 4) w R 3. Niech W = lin(β 1, β 2 ) oraz V = {(x 1, x 2, x 3 ) x 1 + x 2 + x 3 = 0} beda dwoma podprzestrzeniami liniowymi w R 3 (b) Jak nazywamy taka przestrzen odp: plaszczyzna (c) Jakiego wymiaru jest przestrzen W odp: 2 (d) Jak nazywamy taka przestrzen odp:plaszczyzna (e) Ilu równan liniowych potrzebujemy do opisania przestrzeni W odp:1 (f) (2) Znajdz taki minimalny opis równaniami odp:2x 1 x 2 = 0 (g) (2) Znajdz uklad rownan opisujacy czesc wspolna W V odp:... (h) Jakiego wymiaru jest przestrzen W V odp:1 2. Dane sa cztery wektory α 1 = ( 1, 1, 2, 3), α 2 = (1, 2, 6, 0), α 3 = ( 2, 1, 1, 7), α 4 = ( 2, s, 0, 1) w R 4, niech W = lin(α 1, α 2, α 3 ) (a) Pokazac dla jakich wartosci s dane wektory sa liniowo zalezne. odp:s = 1 (b) (2) Czy wektory α 1, α 2 i α 3 sa liniowo niezalezne odp:tak (c) (2) Podaj baze przestrzeni W odp:... (d) Podaj wymiar przestrzeni W odp: 3 (e) Ile równan liniowych potrzebujemy do opisu przestrzeni W w R 4 odp: 1 odp:... 3. Dane sa trzy punkty A 1 = (0, 0, 0) i A 2 = (1, 2, 1) i A 3 = ( 2, 4, 2) w przestrzeni R 3 oraz palaszczyzna W : 2x 1 x 2 + 1 = 0. Niech l bedzie prosta przechodzaca (a) Znajdz wektor kierunkowy prostej l odp: (1, 2, 1) (b) (2) Czy punkt A 3 jest punktem lezacym na prostej l. odp: tak (c) Czy plaszczyzna W jest prostopadla do prostej l odp:nie ten punkt: odp:nie (e) Czy prosta l jest rownolegla do plaszczyzny W. odp: tak 7