KOLOKWIUM Z EKONOMETRII

Transkrypt

1 KOLOKWIUM Z EKONOMETRII Semestr zimowy: 20 grudnia 2004r. Imie:... Nazwisko:... Kolokwium sklada sie z dwoch czesci i trwa osiemdziesiat minut. W pierwszej znajdziecie Panstwo osiem pytan zwiazanych z wykladem, a w drugiej cztery zadania. W obrebie kazdej czesci kazde zadanie warte jest tyle samo punktow. Kazda z czesci daje 50% punktow. Aby zaliczyc kolokwium trzeba uzyskac przynajmniej 60% punktow. Zarowno udzielajac odpowiedzi na krotkie pytania jak i rozwiazujac zadania prosze o podanie pelnej interpretacji pozwalajacej utwierdzic sie w przekonaniu, ze rozumiecie Panstwo to co piszecie. Do rozwiazania kolokwium potrzebny jest jedynie dlugopis. Obecnosc jakichkolwiek innych przedmiotow pomocniczych uznana bedzie za probe sciagania, co pociagnie za soba konsekwencje wynikajace z regulaminu studiow. Bardzo prosze nie dolaczac zadnych dodatkowych kartek - jesli odpowiedz nie miesci sie w miejscu na nie przeznaczonym, prosze czytelnie odeslac mnie do miejsca, gdzie moge znalezc jej zakonczenie (strony sa numerowane). POWODZENIA! Zadanie: A B C D Razem: Punkty:

2 Czesc 1 Zadanie 1 Pokaz, ze w modelu ze stala srednia wartosc zmiennej zaleznej rowna jest sredniej z wartosci dopasowanych. Zadanie 2 Wyjasnij co to znaczy, ze miedzy zmiennymi w modelu wystepuja interakcje. Podaj jakis przyklad na to zjawisko i wyjasnij, jakie konsekwencje dla estymowanych parametrow to niesie i jak mozna sie z tym problemem uporac. Zadanie 3 Co to znaczy, ze estymator jest nieobciazony i dlaczego jest to wazne? KMRL estymator b jest nieobciazony. Udowodnij, ze w Zadanie 4 Podaj (slowami) tresc twierdzenia Gaussa-Markowa i wyjasnij dlaczego jest ono wazne. 1

3 Zadanie 5 Podaj dwa zrodla bledu prognozy i wzor na wariancje bledu prognozy. Zadanie 6 Majac oszacowanie b s oraz oszacowanie odchylenia standardowego tego oszacowania se(b s ) wyjasnij w jaki sposob stworzyc przedzial ufnosci dla parametru b s. Ilosc obserwacji wynosi N, ilosc oszacowanych parametrw k a poziom ufnosci 1 α. Zadanie 7 Dlaczego z modelu powinno sie usuwac zmienne nieistotne? Parametry przy zmiennych x 1 i x 2 sa dodatnie. Zmienne sa ujemnie skorelowane. Jaki bedzie wplyw pominiecia zmiennej x 1 parametr przy zmiennej x 2? Zadanie 8 2

4 Czesc 2 Zadanie A Mamy wektor losowy x = x 1, przy czym E(x) = 1 ; V ar(x) = 1 1 oraz x dwie macierze nielosowe A = 2 oraz B = 1 2. Znajdz wartosc oczekiwana i wariancje wektora y = A + Bx. 3

5 Zadanie B Majac obserwacje x 1 = [1, 2, 1, 4, 1] i y = [7, 2, 1, 10, 3], policzyc estymator MNK parametru b w modelu y i = β 0 + β 1 x 1i + ε i. Znalezc: ŷ oraz e. Wyznaczyc prognoze ŷ dla x 1 = 5. Policzyc R2 i estymator σ 2. 4

6 Zadanie C Chcemy oszacowac funkcje produkcji Cobba-Douglasa postaci Q = AL α K β. Mamy jednak tylko dane dotyczace wielkosci produkcji (Q), zatrudnienia (L) i wysokosci realnej stopy procentowej (r) a nie mamy danych na temat wielkosci kapitalu (K). 1. Wykorzystujac warunek, ze w gospodarce doskonale konkurencyjnej wynagrodzenie kapitalu rowne jest ich krancowej produktywnosci kapitalu, przeksztalc model tak, by wielkosc produkcji zalezala jedynie od zatrudnienia i stopy procentowej 2. Wyjasnij w jaki sposob mozna oszacowac za pomoca MNK parametry α i β w tym modelu. 3. Jakie warunki powinny spelniac parametry tego modelu, by funkcja produkcji charakteryzowala sie stalymi przychodami skali? 4. Przyjmijmy, ze masz przed soba output STATY, ze wszystkimi standardowymi raportami. W jaki sposob mozesz wstepnie oszacowac, czy wyestymowane parametry spelniaja te warunki. Z ktorych elementow outputu skorzystasz? (Uwaga: pytanie troche podchwytliwe.) 5. Czy jest jakas inna metoda prostego zweryfikowania tej hipotezy? (Wskazowka: pomysl o modelach z ograniczeniem...) 5

7 cd Zadania C 6

8 Zadanie D Dla modelu y = Xβ + ε stworzylismy macierz X = XA, gdzie A jest pewna macierza nieosobliwa. Jesli oszacujemy regresja y na X to: 1. Udowodnij, ze: b = A 1 b, gdzie b jest pochodzi z regresji y na X a b z regresji y na X 2. Policz V ar (b ) 3. Czy w obu regresjach otrzymamy identyczne R 2, czy rozne? Dlaczego? 4. Skomentuj uzyskane wyniki. 7