Určitý (Riemnnův) integrál plikce. Nevlstní integrál Seminář 9. prosince 28
Určitý integrál Existence: Necht funkce f (x) je definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht je splněn n tomto intervlu kterákoliv z následujících podmínek: () f (x) je monotónní, (2) f (x) je spojitá, (3) f (x) je omezená má nejvýše konečný počet bodů nespojitosti. Potom existuje určitý integrál f (x)dx. Výpočet určitého integrálu: Newtonov - Leibnitzov formule Necht funkce f (x) je integrovtelná n intervlu, b necht F (x) je její primitivní funkce. Potom pltí: f (x) dx = F (b) F ()
Zákldní vlstnosti určitého integrálu Necht funkce f (x) g(x) jsou integrovtelné n intervlu, b. Pk tké funkce f (x) ± g(x) cf (x), kde c je libovolná konstnt, jsou n tomto intervlu integrovtelné pltí: b (f (x) ± g(x)) dx = cf (x) dx = c f (x) dx f (x) dx ± g(x) dx Necht funkce f (x) je integrovtelná n intervlu, b. Pk je integrovtelná i n libovolném podintervlu c, d, kde c < d b. Necht funkce f (x) je definovná n intervlu, b < c < b. Pk funkce f (x) je integrovtelná n intervlu, b právě tehdy, když je integrovtelná n obou intervlech, c c, b. Přitom pltí f (x) dx = f (x) dx =, c f (x) dx + f (x) dx = c b f (x) dx f (x) dx
Metod per prtes pro určitý integrál Necht funkce u(x) v(x) mjí n intervlu, b, < b, derivce u (x) v (x), které jsou n tomto intervlu integrovtelné. Pk pltí u(x)v (x) dx = u(x)v(x) b u (x)v(x) dx
Substituční metod pro určitý integrál Necht funkce f (t) je spojitá n intervlu, b, < b. Necht funkce ϕ(x) má derivci ϕ (x) n intervlu α, β, α < β, která je n tomto intervlu integrovtelná. Dále necht pltí ϕ(x) b pro x α, β (tedy ϕ(x) zobrzuje intervl α, β do intervlu, b ). Pk pltí, že β α f (ϕ(x)) ϕ (x) dx = ϕ(β) ϕ(α) f (t) dt
Aplikce určitého integrálu Geometrické plikce Obsh rovinné množiny Délk křivky Objem rotčního těles Obsh pláště rotčního těles Fyzikální plikce hmotnost, sttický moment, souřdnice těžiště, moment setrvčnosti...
Výpočet obshu (plochy) rovinných útvrů Necht je funkce f (x) integrovtelná n intervlu, b, je n něm nezáporná. Pk pro obsh křivočrého lichoběžník ohrničeného shor grfem funkce f (x), přímkmi x =, x = b osou x pltí P = f (x) dx. Je-li funkce f (x) n intervlu, b nekldná, pro obsh křivočrého lichoběžník ohrničeného zdol grfem funkce f (x), přímkmi x =, x = b osou x pltí P = f (x) dx. Necht jsou funkce f (x) g(x) integrovtelné pltí g(x) f (x) pro kždé x, b. Pk pro obsh křivočrého lichoběžník ohrničeného zdol grfem funkce g(x), shor grfem funkce f (x) přímkmi x =, x = b pltí P = (f (x) g(x)) dx.
Příkldy Vypočtěte obsh rovinného obrzce ohrničeného y = 4 x 2 ; y = 2 xy = 4; x + y = 5 3 y 2 = 2x +, x y = 4 y 4, x 2 y, x 2 4y
Objem rotčního těles Necht je funkce f (x) spojitá nezáporná n intervlu <, b >. Pk rotční těleso, které vznikne rotcí křivočrého lichoběžník ohrničeného shor funkcí f (x), osou x přímkmi x =, x = b kolem osy x, má objem V = π f 2 (x) dx Pro výpočet objemu rotčního těles, které vznikne rotcí oblsti ohrničené křivkmi g(x) f (x) kolem osy x pro x <, b > použijeme vzth V = π f 2 (x) dx π g 2 (x) dx = π [ f 2 (x) g 2 (x) ] dx Zcel nlogicky můžeme určit objem rotčního těles, jehož plášt vznikl rotcí spojité křivky x = h(y), y < c, d > kolem osy y: d V = π h 2 (y) dy c
Objem: příkldy y = x 2, x = y 2 kolem osy x; kolem osy y xy = 4, x =, x = 4, y = y 2 = 5x, x = 8
Délk oblouku křivky Necht je funkce f (x) definovná n intervlu <, b > má zde spojitou derivci. Pk délk této křivky Příkld s = y = ln x, 3 x 8 + [f (x)] 2 dx. Necht funkce f je dán prmetrickými rovnicemi x = ϕ(t) y = ψ(t), přičemž funkce ϕ(t) ψ(t)jsou spojité pro t α, β, přičemž funkce ϕ(t) ψ(t) mjí spojité derivci n intervlu α, β Pk délk této křivky Příkld β s = α x = 2 cos t, y = 2 sin t, t π [ϕ (t)] 2 + [ψ (t)] 2 dt.
Nevlstní integrál Nevlstní integrál n neohrničeném intervlu Uvžujme funkci f definovnou n intervlu, + ), R, tkovou, že pro kždé c > existuje určitý integrál c f (x)dx. Pk můžeme definovt funkci F vzthem F (c) = Necht existuje lim c F (c) = I, I R. c f (x)dx, c. Pk řekneme, že nevlstní integrál f (x)dx konverguje jeho hodnot je I. Nevlstní integrál z neohrničené funkce Uvžujme funkci f definovnou n intervlu, b),, b R, < b, která není n intervlu, b) ohrničená, tkovou, že pro kždé c (, b) existuje určitý integrál definovt funkci F vzthem F (c) = c c f (x)dx.pk můžeme f (x)dx, c < b. Necht existuje lim F (c) = I, I R. c b Pk řekneme, že nevlstní integrál f (x)dx konverguje jeho hodnot je I.
Příkldy 2 2 27 8 rctg 2 x π3 dx [ + x 2 2 ] x x 2 4 dx [ π 4 ] xe x2 dx [ 2 ] 5 x 3 dx [ 5 2 ] 2 x dx [2 2] ln x dx [ ] 3 x dx [ 5 2 ] 4 π 4 2 dx [D] (x ) 3 x 2 dx x x 2 sin x cos x dx [π] dx [] x 2 4x + 3 dx [D] [D] x ln x dx [ 4 ] 2 rcsin x dx [ln 3] x2