MATEMATICKÁ ANALÝZA II. Martin Klazar

Transkrypt

1 MATEMATICKÁ ANALÝZA II (učebnice předběžná verze, červen 2019) Mrtin Klzr

2 Obsh Předmluv Obsh přednášek zkoušk iv v Úvod 1 1 Primitivní funkce Zákldní vlstnosti primitivních funkcí Integrce rcionálních funkcí Více o primitivních funkcích Liouvilleov vět Poznámky dlší úlohy Integrály Riemnnův integrál Riemnnův integrál pro obecný intervl Vícerozměrný Riemnnův integrál Fubiniov vět Riemnnův Stieltjesův integrál Newtonův integrál (N) Aplikce integrálů Henstockův Kurzweilův integrál Lebesgueův integrál Poznámky dlší úlohy Diferenciální počet funkcí více proměnných Diferenciál prciální derivce Extrémy funkcí více proměnných Poznámky dlší úlohy Metrické prostory Zákldní definice kompktní množiny Zákldní vět lgebry Poznámky dlší úlohy Návody k řešení skoro všech úloh 114 ii

3 Litertur 116 Rejstřík 119 iii

4 Předmluv Tto učebnice bohtě pokrývá předmět Mtemtická nlýz II NMAI055, který učím v Informtické sekci Mtemticko-fyzikální fkulty Univerzity Krlovy od školního roku 2004/05. Text je proložen více než 70 úlohmi, někdy zábvnými, návody k řešení skoro všech nleznete n konci od strny 114. Předstvu o obshu stylu učebnice podávjí Obsh, Úvod závěrečný Rejstřík (od strny 119). Učebnice vychází z přednášky v letním semestru školního roku 2018/19, viz Obsh přednášek zkoušk. Tk jko u předchozí učebnice Mtemtická nlýz I [5] pro předmět NMAI054 jsem skript k přednášce rozšířil do obsáhlejšího textu o mtemtické nlýze, v němž něco zjímvého nlezne doufejme kždý. červen 2019 Mrtin Klzr iv

5 Obsh přednášek zkoušk Učebnice obshuje množství doplňujícího mteriálu, o kterém se nepředpokládá, že by ž n jednotlivé zmínky byl podrobně přednášen. Pro orientci zjímvost proto uvádím skutečný obsh přednášky v r. 2019, převztý z Zápisy z přednášek jsou odkzy n texty, které byly studentům k dispozici tvoří zákld pro tuto učebnici. 1. přednášk Primitivní funkce. Motivce pomocí ploch. Definice primitivní funkce zákldní vlstnosti: nejednoznčnost, spojitost, linerit. Drbouxov vlstnost, důkz. Spojitá funkce má primitivní f., ztím bez důkzu. Integrce per prtes, důkz. Znčení, příkld: integrál z log(x). Zápis z 1. přednášky (jen mlé změny proti přednášce před čtyřmi lety). 2. přednášk Tbulk prim. funcí. Vět o integrci substitucí, důkz příkldy. Poznámky o prim. funkcích k rcionálním funkcím (hlvně vět: pro kždou rc. funkci se její prim. funkce dá vyjádřit rc. funkcemi, logritmy rkustngentmi, n přednášce bez důkzu), podrobněji v zápisu z přednášky v učebnici. Riemnnův integrál. Dvě definice: původní Riemnnov Drbouxov. Tvrzení: neomezená funkce nemá R. integrál (ni podle jedné definice), důkz ponechán jko cvičení. Zápis z 2. přednášky (jen mlé změny proti přednášce před čtyřmi lety). 3. přednášk Zjímvost: Liouvilleov vět o nevyjádřitelnosti vzorcem primitivní funkce k funkci f.e g, kde f g jsou rcionální. Odvozeno, že prim. funkce k exp(x 2 ) se nedá vyjádřit vzorcem. Zjemnění dělení důkz nerovností pro s(f, D) S(f, D) po náhrdě dělení jeho zjemněním. Tvrzení: dolní integrál je nejvýše horní integrál, důkz. Důsledek: kritérium integrovtelnosti, důkz. Příkldy: omezená funkce bez integrálu (viz zápis, n přednášce nebylo) výpočet 1 0 x2 dx podle definice. Množiny míry nul jejich vlstnosti. Lebesgueov vět: funkce má R. integrál, právě když je omezená množin bodů, kde je nespojitá, má míru nul. Aplikce: složenin funkcí f(g), kde g má R. integrál f je spojitá, má R. integrál. Zmínk o nespočetné množině s mírou nul, podrobněji příště. Zápis ze 3. přednášky (před 4 lety, letos skoro stejné). v

6 4. přednášk Nespočetná množiny s mírou nul - Cntorovo diskontinuum. Tvrzení: monotonie integrovtelnost, důkz. Stejnoměrná spojitost. Tvrzení: spojitost n kompktním intervlu stejnoměrná spojitost, důkz. Tvrzení : spojitost integrovtelnost, důkz. Tvrzení o lineritě integrálu, důkz pomocí 1. definice R. integrálu. Složení spojité funkce integrovtelné dává integrovtelnou. Tvrzení o lineritě integrálu jko funkci integrčních mezí, důkz. Integrál pres cyklus je 0. Zápis ze 4. přednášky (bylo to zhrub jko před 4 lety). 5. přednášk První druhá zákldní vět nlýzy (vzth mezi integrálem primitivní funkcí), důkzy. Newtonův integrál porovnání s Riemnnovým integrálem, důkz. Počítání integrálů per prtes (cvičení), substituce příště. Aplikce integrálu: odhdy log(n + 1) < H n = 1 + 1/2 + 1/ /n < 1 + logn odhd fktoriálu n! odhdem sumy log(n!) = log 1 + log log n. Zápis z 5. přednášky (ž n tu substituci, která bude příště, jko před 4 lety). 6. přednášk Substituční formule. Zmínk o Stirlingově formuli n! (2π.n) 1/2 (n/e) n. Tvrzení: integrální kritérium konvergence nekonečné řdy, důkz příkldy. Tvrzení (diskrétní součet jko integrál): Když jsou < b celá čísl f : [, b] R je monotónní funkce, pk sum <n b f(n) = f + c(f(b) f()), kde c je číslo v [0, 1], důkz ditivní metodou. Vyjádření fktoriálu integrálem: n! = + x n e x dx, důkz (per 0 prtesem indukcí). Počítání plochy rovinného útvru, délky oblouku křivky objemu rotčního těles pomocí integrálu, bez důkzu (definice délky oblouku křivky jen nčrtnut, definice objemu v R 3 příště). Zápis z 6. přednášky (nestihli jsme zčít funkce více proměnných, zčneme je příště). 7. přednášk Ještě poznámk k počítáním objemu rotčního těles integrálem - definice objemu těles v R 3. Diferenciální počet funkcí několik proměnných. R n jko vektorový prostor, euklidovský sklární součin, euklidovská norm vzdálenost jejich vlstnosti. Koule B(s, r), definice otevřené množiny. Tvrzení: vlstnosti ot. množin, důkz v rychlosti. Směrová derivce, prciální derivce funkce diferenciál funkce i zobrzení v dném bodě. Příkldy n prciální derivce (smy o sobě nezručují spojitost v dném bodě). Tvrzení: (i) diferenciál zobrzení f = (f 1, f 2,..., f n ), kde f i = f i (x 1, x 2,..., x m ) jsou souřdnicové funkce, je určený jednoznčně, (ii) f má diferenciál v, právě když ho má kždá f i (iii) diferenciál v implikuje spojitost v, důkz jko cvičení. Tvrzení: diferenciál implikuje prc. derivce, důkz pokrčování příště. Zápis ze 7. přednášky (před 4 lety jsem toho stihl více, letos její závěr probereme příště). 8. přednášk Důkz slíbený minule. Tvrzení: má-li zobrzení f v diferenciál, jsou prvky mtice (tzv. Jcobiho mtice f v ), jež ho určuje, rovny hodnotám prciálních derivcí souřdnicových funkcí v, důkz je jsný. Vět: má-li funkce f v okolí všechny prciální derivce vi

7 ty jsou spojité v, pk má f v diferenciál, důkz pouze pro 2 proměnné. Zobecnění Lgrngeovy věty o střední hodnotě pro více proměnných, bez důkzu. Souvislé otevřené množiny. Tvrzení: nulové prc. derivce n souvislé otevřené množině implikují konstntnost funkce, důkz. Počítání s prc. derivcemi diferenciály. Vět o diferenciálu složeného zobrzení, uvedeno lemm o symptotickém znčení, vlstní důkz příště. Zápis z 8. přednášky. 9. přednášk Slíbený důkz. Jcobiho mtice složeného zobrzení je součin J. mtic těchto zobrzení, řetízkové prvidlo pro prciální derivování složené funkce. Tečná rovin. Prciální derivce vyšších řádů. Vět o jejich záměnnosti, důkz. (Tylorův polynom funkcí několik proměnných, bez důkzu, bude ž příště). Zápis z 9. přednášky. 10. přednášk Tylorův polynom funkcí několik proměnných, bez důkzu. Rekpitulce kritéri lokálního extrému pomocí druhé derivce pro funkce jedné proměnné. Vět o nbývání extrému n kompktu, (ztím?) bez důkzu. Hessov mtice. Vět o lokálních extrémech pro funkce několik proměnných, důkz. Zápis z 10. přednášky (zhrub jko před 4 lety, implicitní funkce budou příště). 11. přednášk Vět o implicitních funkcích, bez důkzu. Příkld n implicitní funkce.vázné extrémy Lgrngeovy multiplikátory. Příkld. Metrické prostory. Definice metr. prostoru. Zápis z 11. přednášky (před 4 lety, letos jsme stihli méně). 12. přednášk Definice metr. prostoru, příkldy. Zákldní pojmy: koule, dále otevřené, uzvřené, omezené, obojetné kompktní množiny. Konvergence v MP. Vlstnosti otevřených uzvřených množin, důkz jko úloh. Uzvřenost množiny znmená uzvřenost n limity, důkz. Spojitá zobrzení mezi MP, ekvivlentní topologická definice pomocí otevřených množin, důkz. Kompktní množiny, i topologická definice (Heineho Borelov vět), bez důkzu. Tvrzení: kompktní množin se spojitým zobrzením posílá n kompktní množinu, důkz. Tvrzení: kompktní množiny jsou omezené uzvřené, důkz. Příkld, že nopk to obecně nepltí, podrobně příště. Tvrzení: nopk to pltí v eukleidovských prostorech, důkz příště. Tvrzení: spojité zobrzení nbývá n kompktní množině mimimum i mximum, důkz příště. Zápis z 12. přednášky. vii

8 Úvod Několik obecností o mtemtické nlýze, jejím vzthu k teorii množin, fyzice informtice jsem uvedl v Úvodu v MA I [5] odkzuji čtenáře tm. Zujl mne všk definice [11, strn 103] mtemtické nlýzy od R. Penrose, totiž jejích dvou polovin, diferenciálního integrálního počtu, kterou zde zopkuji. Clculus or, ccording to its more sophisticted nme, mthemticl nlysis is built from two bsic ingredients: differentition nd integrtion. Differentition is concerned with velocities, ccelertion, the slopes nd curvture of curves nd surfces, nd the like. These re rtes t which things chnge, nd they re quntities defined loclly, in terms of structure or behviour in the tiniest neighbourhoods of single points. Integrtion, on the other hnd, is concerned with res nd volumes, with centres of grvity, nd with mny other things of tht generl nture. These re things which involve mesures of totlity in one form or nother, nd they re not defined merely by wht is going on in the locl or infinitesiml neighbourhoods of individul points. The remrkble fct, referred to s the fundmentl theorem of clculus, is tht ech one of these ingredients is essentilly just the inverse of the other. It is lrgely this fct tht enbles these two importnt domins of mthemticl study to combine together nd to provide powerful body of understnding nd of clcultionl technique. 1 D. Hilbert npsl v [3, str. 166] o nlýze následující. Wir kommen nun zur Anlysis, diesem kunstvollsten und m feinstem verzweigten Gebilde der mthemtischen Wissenschft. Sie wissen, welch mßgebende Rolle ds Unendliche dort spielt, wie die 1 Klkulus odborněji mtemtická nlýz je složen ze dvou zákldních částí: derivování integrce. Derivování se zbývá rychlostmi, zrychlením, sklony křivostí křivek ploch podobně. Jsou to míry změn věcí jsou to veličiny definovné lokálně, pomocí struktury či chování v nejužších okolích jednotlivých bodů. Integrce se n druhé strně zbývá plochmi objemy, těžišti mnoh jinými věcmi této obecné povhy. Zhrnují stupně gregovnosti, úplnosti v té či oné podobě nejsou definovné pouze tím, co se odehrává v lokálních či nekonečně mlých okolích jednotlivých bodů. Pozoruhodnou skutečností, tk zvnou Zákldní větou nlýzy, je, že kždá z těchto částí je vpodsttě opkem druhé. Především díky této skutečnosti se mohou obě důležité oblsti mtemtiky propojit vytvořit mocný soubor porozumění výpočetních postupů. 1

9 mthemtische Anlysis gewissermßen eine einzige Symphonie des Unendlichen ist. 2 Tmtéž o kousek dál ncházíme n [3, str. 170] i jeden z nejznámějších Hilbertových citátů: Aus dem Prdies, ds Cntor uns geschffen, soll uns niemnd vertreiben können. Z ráje, který nám stvořil Cntor, nás nikdo nesmí vyhnt. Úloh Nechybí v citátu něco? Vyhledejte porovnejte jeho dlší verze, jkož i jeho dlší překldy do češtiny. Zhrub první polovin učebnice se zbývá integrálním počtem souvislostmi integrálů derivcí. Druhá je věnován diferenciálnímu počtu funkcí více proměnných. V závěru se zmíníme o metrických prostorech. Zrekpitulujeme ted stručně obsh pk se k jednotlivým kpitolám důležitým výsledkům v nich vrátíme podrobněji. Kpitol 1 se zbývá primitivními funkcemi, které obrcejí derivce: pro dnou funkci f hledáme funkci F splňující vzth F = f. Ukážeme, že i když je f zdán vzorcem, pro F už vzorec nemusí existovt. Kpitol 2 studuje integrály funkcí, hlvně Riemnnův, le i řdu dlších, npříkld pro funkce více proměnných či klsický Lebesgueův integrál, uvádí jejich různé plikce. Kpitol 3 je věnován diferenciálnímu počtu, to jest derivování, funkcí více proměnných podíváme se v ní n hledání extrémů tkových funkcí. V poslední kpitole 4 vybudujeme teorii metrických prostorů ntolik, bychom mohli v úplnosti dokázt Zákldní větu lgebry. Podle ní se kždý nekonstntní komplexní polynom jko funkce v některém bodu komplexní roviny C nuluje. Je n ní zložen integrce rcionálních funkcí, podrobně popsná v kpitole 1. Důležité výsledky koncepty v kpitole 1: pojem primitivní funkce její nejednoznčnost; konstruce primitivních funkcí limitními přechody, zejmén pro spojité funkce; Drbouxov vět o mezihodnotách; integrce per prtes; integrce substitucí; rozkld rcionální funkce n prciální zlomky integrce rcionálních funkcí; Kpitol 2: dvě definice Riemnov integrálu (prcujeme hlvně s druhou, Drbouxovou); Kpitol 3: Kpitol 4: 2 Dostáváme se ted k nlýze, tomuto nnejvýš uměleckému jemně proprcovnému odvětví mtemtické vědy. Dobře víte, jk rozhodující roli v ní hrje nekonečno, jk mtemtická nlýz je tkřk jedinečnou symfonií nekonečn. 2

10 Kpitol 1 Primitivní funkce Antiderivce ploch: spojují je dvě zákldní věty nlýzy. Než primitivní funkce definujeme zčneme zkoumt, uvedeme motivci zloženou n plochách rovinných útvrů. Funkce F = f je primitivní k funkci f, mjí-li společný definiční obor n něm pltí vzth F = f. Pro nezápornou spojitou funkci f : [, b] R, kde < b jsou dvě reálná čísl, vezmeme rovinný útvr U(, b, f) = {(x, y) R 2 x b & 0 y f(x)}. Jeho plochu, t to přesně znmená cokoli, oznčíme jko f := ploch(u(, b, f)). Je to ploch části roviny vymezené osou x, grfem funkce f svislými přímkmi y = y = b. První zákldní vět nlýzy říká, že pro kždé c [, b] (pro znčení F (±) viz definice 1.1.1) pltí ( x ) f (c) = f(c) (±) derivce plochy útvru U(, x, f) jko funkce x se rovná výchozí funkci f(x). Ploch F (x) = x f je tedy jko funkce primitivní funkcí k f. Podle druhé zákldní věty nlýzy pro kždou funkci g, která je n [, b] primitivní k f, pltí rovnost f = g(b) g(). Známe-li nějkou funkci primitivní k f, mnoho se jich dá odvodit pouhým obrácením prvidel pro derivování elementárních funkcí, můžeme ihned spočítt plochu útvru U(, b, f). Obě věty přesně zformulujeme dokážeme v oddílu 2.1 o Riemnnově integrálu. Nejprve se le musíme v následujícím oddílu 1.1 zbývt zákldními vlstnostmi primitivních funkcí. 3

11 V oddílu 1.3 primitivní funkce spočítáme dokážeme, že funkce s primitivní funkcí lze poznt z jejich vzorů. Dále popíšeme zobecněné primitivní funkce zvedeme rigorózní počítání s primitivními funkcemi. V oddílu 1.4 objsníme, co přesně znmená vyjádření primitivní funkce f vzorcem, dokážeme větu podávjící kritérium existence tkového vyjádření pro funkce tvru f = e b, kde b jsou rcionální funkce. 1.1 Zákldní vlstnosti primitivních funkcí Primitivní fukce. Nejednoznčnost, spojitost lepení. Konstrukce primitivní funkce ke spojité funkci. Drbouxov vět. Integrce per prtes. Tbulk primitvních funkcí. Integrce substitucí. Primitivní funkce e x2 se nedá vyjádřit vzorcem. V učebnici Mtemtická nlýz I [5] jsme derivci funkce f : M R v bodě M definovli pro obecnou množinu M R poždovli jsme jen, by byl jejím bilimitním bodem. U primitivních funkcí se omezíme n jednodušší situci, kdy M je intervl. Hlvním důvodem je používání Lgrngeovy věty o střední hodnotě, která vyžduje intervl. Definice (primitivní funkce). Necht I R je intervl s kldnou délkou funkce F, f : I R splňují pro kždé u I vzth F (±) (u) = f(u). Znčení vlevo znmená F (u) pro vnitřní bod u I, F +(u) pro eventuální levý krjní bod u intervlu I F (u) pro eventuální prvý krjní bod u intervlu I. Funkci F pk nzýváme primitivní funkcí k funkci f (n intervlu I) nebo též ntiderivcí funkce f. Intervly s kldnou délkou jsou intervly R, (, b], (, b), [, b], [, b), (, b], (, b), [, + ) (, + ), kde < b jsou reálná čísl, budeme je dále oznčovt symboly I J. Otevřený (tkový) intervl je (, b) = {x R < x < b},, b R s < b, kompktní (tkový) intervl je [, b] = {x R x b},, b R s < b. Nrozdíl od jiných opercí s funkcemi není primitivní funkce, když existuje, zdlek jednoznčně určená. Jk uvidíme, primitivní funkce bud neexistuje nebo jich je nekonečně (dokonce nespočetně) mnoho. Důkz linerity ntiderivování přenecháme čtenáři jko úlohu. Úloh Je-li F n I primitivní k f, G ke g α, β R, potom je funkce αf + βg primitivní n I k funkci αf + βg. (Dokžte.) 4

12 Tvrzení (o nejednoznčnosti primitivní funkce). Nejednoznčnost primitivní funkce je chrkterizovná následovně. 1. Je-li funkce F n intervlu I primitivní k funkci f, potom pro kždé číslo c R je i funkce F + c primitivní k f. 2. Jsou-li funkce F G primitivní n intervlu I k f, potom existuje číslo c R, že n I pltí F = G + c všechny primitivní funkce k dné funkci se mezi sebou liší jen posunem o konstntu. 3. Množin všech funkcí primitivních n intervlu I k dné funkci f je tedy bud prázdná nebo tvru {F + c c R}, kde F je libovolná pevná primitivní funkce k f. Důkz. 1. Derivce konstntní funkce je nulová, tk (F + c) = F + 0 = f pro kždé c R kždou funkci F primitivní n I k f. 2. Necht F G jsou n I primitivní k f, I je libovolné pevné číslo c = F () G(). Pro libovolné číslo x I, x, pk díky Lgrngeově větě o střední hodnotě (viz MA I [5]) máme pro nějké číslo ξ ležící mezi x rovnosti (úloh 1.1.4) Tkže (F (x) G(x)) (F () G()) = (F G)(x) (F G)() = (x )(F G) (ξ) = (x )(F (ξ) G (ξ)) = (x )(f(ξ) f(ξ)) = 0. F (x) G(x) = F () G() = c F (x) = G(x) + c. Podle definice c tto rovnice pltí i pro x =. 3. Popis množiny všech funkcí primitivních k dné funkci plyne z výsledků částí 1 2. Úloh Zdůvodněte kždý ze čtyř kroků výpočtu důkzu části 2. Úloh Ukžte, že předchozí chrkterizce nejednoznčnosti primitivní funkce nepltí pro nevlstní derivce: popište tkové funkce f, g : ( 1, 1) R, že f = g : ( 1, 1) R (výjimečně povolujeme funkční hodnoty ± ), le g není f posunutá o konstntu. Tvrzení (spojitost primitivní funkce). Je-li funkce F primitivní k funkci f n intervlu I, potom je F n I spojitá. 5

13 Důkz. Ze ZS MA I [5] víme, že existence vlstní ( přípdně jednostrnné, jde-li o krjní bod) derivce funkce v bodě implikuje její spojitost v dném bodě. Protože F (±) (α) existuje rovná se f(α) pro kždé α I, je F spojitá v kždém bodě α I. Čsto se plete spojitost funkce f se spojitostí její primitivní funkce F. Funkce F je nutně spojitá, protože F = f, le f spojitá být nemusí: uvedeme příkld. Uvedli jsme ho už v MA I [5], le je dobré si ho připomenout. Příkld Spočítáme derivci funkce F : R R definovné jko F (0) = 0 pro x 0 jko F (x) = x 2 sin(x 1 ). Ptrně f(x) := F (x) = 2x sin(x 1 ) cos(x 1 ), x 0, f(0) := F F (x) F (0) (0) = lim = lim x sin(x 1 ) = 0. x 0 x 0 x 0 Spojitá funkce F tk má nespojitou (v 0) derivci f = F (úloh 1.1.8). Úloh Vysvětlete, proč f není spojitá v nule proč F (x)/x 0 pro x 0. Pro sestvení primitivní funkce z několik částí v následujícím tvrzení si připomeneme důležitý vzth z MA I [5] mezi derivcí jednostrnnými derivcemi: je-li F : I R funkce c I je vnitřní bod intervlu I, pk F (c) = d R F (c) = d & F +(c) = d. Úloh Dokžte tento vzth. Tvrzení (slepování PF). Necht je dělení kompktního intervlu [, b] = 0 < 1 < < n = b, n N, f : [, b] R je funkce, která (přesně řečeno, její zúžení) má n kždém podintervlu I i = [ i, i+1 ], i = 0, 1,..., n 1, primitivní funkci. Potom má f primitivní funkci n celém intervlu [, b]. 6

14 Důkz. Necht n 2, jink není co dokzovt, F i je primitivní k f n I i. Vezmeme d R, že F 0 ( 1 ) = F 1 ( 1 ) + d. Funkci F : [ 0, 2 ] R definujeme jko F 0 n I 0 jko F 1 + d n I 1 (úloh ). Vzhledem k definici funkcí F 0 F 1 pro kždé c [ 0, 2 ], c 1, je F (±) (c) = f(c). V bodě c = 1 pk máme F (c) = (F 0 ) (c) = f(c) = (F 1 ) +(c) = (F 1 + d) +(c) = F +(c), tkže podle připomenutí F (c) = f(c) i pro c = 1. Funkce F je tedy primitivní k f n celém intervlu [ 0, 2 ]. Podobně ji rozšíříme n ntiderivci k f n celém intervlu [, b]. Tento výsledek tké ukzuje užitečnost definice primitivní funkce v krjních bodech intervlu jednostrnnými derivcemi. Úloh Proč jsme v definici funkce F posunuli F 1 o d? Dáme do souvislosti primitivní funkce s uspořádáním. Tento výsledek použijeme v oddílu 2.5 o Newtonově integrálu. Tvrzení (primitivní funkce uspořádání). Necht F, f, G, g : I R jsou funkce definovné n intervlu I R s kldnou délkou n I je F primitivní k f G ke g. Necht dále pro kždé x I je f(x) g(x). Pk pro kždé x, y I, x y, je Pk F (y) F (x) G(y) G(x)). Důkz. Stejně jko v důkzu druhé části tvrzení rgumentujeme, že pro kždá dvě čísl x < y z I existuje číslo ξ = ξ(x, y) ležící mezi nimi, že (F (y) F (x)) (G(y) G(x)) = (y x)(f(ξ) g(ξ)) 0. Tto nerovnost pltí ovšem i pro x = y = ξ. Úloh Dokžte opčnou implikci (F (y) F (x) G(y) G(x)) pro x y f(x) g(y) pro x y) pro spojité funkce f g. Dále prozkoumáme chování primitivních funkcí při limitních přechodech. Řekneme, že posloupnost funkcí f n : M R, n N, definovných n množině M R konverguje n M lokálně stejnoměrně k funkci f : M R, stručně psáno lokálně f n f n M, když pro kždé M existuje otevřený intervl I, že pro kždé ε > 0 existuje n 0 N, že n n 0, x I M f n (x) f(x) < ε. Pokud lze vždy položit I = R, pk řekneme, že f n konvergují n M stejnoměrně k f píšeme stručně f n f n M. 7

15 Vět (limit primitivních funkcí). Necht I R je intervl s kldnou délkou, I je libovolný pevný bod f, f n : I R, n N, jsou funkce splňující následující dvě podmínky. 1. Lokálně f n f n I. 2. Kždá f n má n I primitivní funkci. Pk posloupnost těch primitivních funkcí F n k f n, které splňují F n () = 0 pro kždé n v N, konverguje n I lokálně stejnoměrně k funkci F, jež je n I primitivní k f. Důkz. Nejprve ukážeme, že posloupnost F n (x), n = 1, 2,..., je stejnoměrně Cuchyov vzhledem k x J pro kždý kompktní intervl J I obshující. Skutečně, pokud m n x J, pk podle Lgrngeovy věty o střední hodnotě máme nerovnost F m (x) F n (x) (F m F n )(x) (F m F n )() + F m () F n () = (x )(f m f n )(b), pro nějké b ležící mezi x tedy v J. Podle předpokldu 1 kompktnosti J máme f n f n J poslední bsolutní hodnot je proto pro velké n stejnoměrně mlá. Tedy pro kždé ε > 0 existuje n 0 N, že když m n n 0, pk F m (x) F n (x) < ε pro kždé x J. Proto máme funkci F : I R, že F n F n J tedy lokálně F n F n I. Nyní ukážeme, že F je n I primitivní k f. Bud dáno x 0 I J I bud kompktní intervl obshující x 0 ve svém reltivním vnitřku. Bud dáno ε > 0. Protože f n f n J, můžeme vzít n 0 N, že když m n n 0, pk f m (x) f n (x) < ε pro kždé x J. Vezmeme pevné n n 0, že f n (x 0 ) f(x 0 ) < ε. Nebot F n = f n n I, můžeme vzít tkový intervl K J reltivně otevřený v J (úloh ) obshující x 0, že pro kždé x K, x x 0, máme Fn(x) Fn(x0) x x 0 f n (x 0 ) < ε. Bud dáno x K, x x 0. Vezmeme pevné F (x) F (x0) m n, že x x 0 Fm(x) Fm(x0) x x 0 < ε. Pk pro dné x K máme, díky předchozím volbám, Lgrngeově větě o střední hodnotě díky trojúhelníkové nerovnosti, že F (x) F (x 0 ) f(x 0 ) x x 0 F (x) F (x 0 ) F m(x) F m (x 0 ) x x 0 x x (F m F n )(x) (F m F n )(x 0 ) x x 0 + F n (x) F n (x 0 ) f n (x 0 ) x x f n (x 0 ) f(x 0 ) < ε + (f m f n )(y) + ε + ε < 4ε, pro nějké y ležící mezi x 0 x tedy v J. Proto F (x 0 ) = f(x 0 ). Úloh Co se myslí reltivní otevřeností K v J? 8

16 Větu použijeme k důkzu, že spojitá funkce má primitivní funkci. V MA I [5] jsme dokázli, že pro kždou omezenou funkci f : [, b] R,, b R s < b, existuje funkce F : [, b] R, že F (±) (c) = f(c) pltí v kždém bodu spojitosti c [, b] funkce f. Slbší verzi tohoto výsledku s f riemnnovsky integrovtelnou dokážeme ve větě 2.1. Vět (spojitá funkce má ntiderivci). Když f : I R je spojitá funkce, pk má f n I primitivní funkci. Důkz. Předpokládejme nejprve, že I = [, b] je kompktní. Pk je f dokonce stejnoměrně spojitá (viz MA I [5]) pro kždé n N existuje dělení = 0 < 1 < < k = b intervlu [, b] (pro jednoduchost neznčíme závislost n n), že i x i+1 f(x) f( i ) < 1 n f(x) f( i+1) < 1 n pro kždé i = 0, 1,..., k 1. Necht f n : [, b] R je po částech lineární spojitá funkce, jejíž grf je tvořen lomenou črou se zlomy přesně v bodech ( i, f( i )), i = 0, 1,..., k. Ověříme, že f n f splňují předpokldy 1 2 věty Podle definice f n pro x [ i, i+1 ] číslo f n (x) leží neostře mezi f( i ) f( i+1 ), tudíž f(x) f n (x) < 2 n. Vidíme, že dokonce f n f n [, b] 1 pltí. Protože pro kždé u, v, w R je funkce (u/2)x 2 + vx + w primitivní n kždém intervlu k lineární funkci ux + v, má podle tvrzení funkce f n ntiderivci n celém intervlu [, b] 2 pltí. Podle věty má f n [, b] primitivní funkci. Necht I je nekompktní intervl. Je jsné, že existuje tková posloupnost (I n ) kompktních intervlů, že I 1 I 2... I I n = I. Použijeme už dokázný výsledek jko F n oznčíme funkci primitivní k f n I n. Podle částí 1 2 tvrzení lze posuny funkcí F n o konstnty dosáhnout toho, že pro kždé dv indexy m < n se zúžení F n n I m rovná F m. Sjednocení F := n=1 pk je funkce F : I R. Ukážeme, že F je n I primitivní k f. Je-li c I vnitřní bod I, existuje n, že c je vnitřní bod intervlu I n F (c) = F n(c) = f(c). Je-li c I třeb levý krjní bod I, existuje n, že c je levý krjní bod intervlu I n zse F +(c) = (F n ) +(c) = f(c). Podobně, je-li c I prvý krjní bod I. V MA I [5] jsme dokázli větu, že funkce spojitá n intervlu n něm nbývá všechny mezihodnoty ( zobrzuje ho tk zse n intervl). Frncouzský mtemtik Jen-Gston Drboux ( ) (nrodil se v Nîmes, zbývl se diferenciální geometrií nlytickými funkcemi, byl členem více než 100 vědeckých společností) dokázl, že kždá funkce s primitivní funkcí má tuto vlstnost též. Vzhledem k předchozímu tvrzení větě jde o ostře širší třídu funkcí, než jsou spojité funkce. F n n=1 9

17 Vět (J.-G. Drboux,?). Má-li funkce f n intervlu I primitivní funkci, potom f nbývá n I všechny mezihodnoty. Důkz. Vezměme nějkou mezihodnotu c: f(x 1 ) < c < f(x 2 ) pro nějká dvě čísl x 1 < x 2 z I. Nlezneme x (x 1, x 2 ), že f(x ) = c. (Pokud f(x 1 ) > c > f(x 2 ), následující rgument se lehce uprví náhrdou minim mximem.) Funkce H(x) = F (x) cx, kde F je n I primitivní k f, je n I spojitá, dokonce tm má vlstní derivci H (x) = (F (x) cx) = f(x) c. Podle věty z MA I [5] H nbývá n kompktním intervlu [x 1, x 2 ] minimum v bodě x [x 1, x 2 ]. Protože H (+) (x 1) = f(x 1 ) c < 0, je H klesjící v bodě x 1 pro nějké δ > 0 máme x (x 1, x 1 + δ) H(x) < H(x 1 ). Tudíž x x 1. Obdobně z H ( ) (x 2) > 0 plyne, že x x 2. Tedy x (x 1, x 2 ) podle kritéri extrému z MA I [5] musí být H (x ) = f(x ) c = 0. Tedy f(x ) = c. Důsledek (funkce bez primitivní funkce). Funkce sgn: R R, definovná jko sgn(x) = 1 pro x < 0, sgn(0) = 0 sgn(x) = 1 pro x > 0, nemá n R ni n žádném jiném intervlu s kldnou délkou obshujícím 0 primitivní funkci. Důkz. Funkce sgn nbývá hodnotu 0 tké hodnotu 1 nebo 1, le nikoli hodnotu 1 2 nebo 1 2. Podle Drbouxovy věty tedy n dném intervlu nemá primitivní funkci. Úloh Dokžte přímo, bez použití Drbouxovy věty, že sgn(x) nemá n ( 1, 1) primitivní funkci. Vzth, že funkce F je n intervlu I primitivní k funkci f se budeme zpisovt jko F = f + c (n I), F = f + c nebo i jen jko F = f, pro připomenutí, že kždé posunutí F o konstntu c je tké primitivní funkcí k f. Symbolu f lze rozumět i tk, že oznčuje množinu všech funkcí primitivních n dném intervlu k f. V konkrétních výrzech pk f předstvuje libovolnou z těchto funkcí, přičemž pro různé primitivní funkce máme obecně různé konstnty c. K problému symbolu f jeho význmu způsobům operování s ním se vrátíme v oddílu 1.3. Leibnizův vzorec (fg) = f g + fg pro derivci součinu vede pro primitivní funkce k následujícímu. 10

18 Vět (integrce per prtes). Necht I je intervl s kldnou délkou F, G, f, g : I R jsou funkce, kde F je n I primitivní k f G ke g. Potom primitivní funkce k fg existuje, právě když exisuje k F g. Existují-li tyto primitivní funkce, pltí rovnost fg = F G F g + c. Důkz. Když existuje fg, pk ( F G fg) = fg + F g fg = F g. Tedy F G fg = F g + c, což je ekvivlentní obměn hořejší rovnice. Když existuje F g, pk ( F G F g) = fg + F g F g = fg. Tedy F G F g = fg + c, což je ekvivlentní obměn hořejší rovnice. Důsledek (per prtes pro spojité funkce). I bud intervl s kldnou délkou f, g : I R bud te spojité funkce. Potom existují primitivní funkce F = f, G = g, F g fg fg = F G F g + c. Důkz. Uvedené čtyři primitivní funkce existují díky větě spojitosti součinu dvou spojitých funkcí. Vzorec pk pltí podle předchozí věty či se hned ověří přímým zderivováním. Vzorec pro integrci per prtes píšeme symetricky F G = F G F G, ne symetricky jko F G + F G = F G, z výpočetních důvodů: primitivní funkci vlevo neznáme počítáme ji pomocí té vprvo. Příkld Nlezneme log x. 11

19 log x = (x) log x p. p. = x log x x(log x) = x log x 1 = x log x x. Pro kontrolu, (x log x x) = (x log x) 1 = log x + x/x 1 = log x. Primitivní funkce k log x hrje důležitou roli v kombintorice, lze pomocí ní odvodit Stirlingovu formuli n! ( n ) n 2πn, n e podrobně ji dokážeme dvěm způsoby v oddílu 2.6, tké v nlytické teorii čísel. Příkld Nlezneme cos 2 x. cos 2 x = (sin x) p. p. cos x = sin x cos x = sin x cos x + sin 2 x. sin x(cos x) Zdá se, že jsme si moc nepomohli, le zchrání nás identit sin 2 x = 1 cos 2 x. Nhrdíme sin 2 x máme rovnici cos 2 x = sin x cos x + (1 cos 2 x) = sin x cos x + x cos 2 x, kterou sndno vyřešíme pro cos 2 x: cos 2 sin x cos x + x x =. 2 Úloh Derivováním tento výsledek zkontrolujte. Úloh Spočtěte, n R, x 2 e x. Obrácením vzorců pro derivce elementárních funkcí dostneme tbulku zákldních primitivních funkcí. Tvrzení (tbulk primitivních funkcí). Pltí následující vzorce. 1. Pro α R\{ 1} x (0, + ) je x α = xα+1 α Pro α Z s α < 1 x (0, + ) nebo x (, 0) je x α = xα+1 α Pro α Z s α > 1 x R je x α = xα+1 α Pro x (0, + ) nebo x (, 0) je x 1 = log x. 5. Pro x R je e x = e x. 12

20 6. Pro x R je sin x = cos x. 7. Pro x R je cos x = sin x. 8. Pro kždé k Z x ((k 1 2 )π, (k )π) je 1/ cos 2 x = tn x = sin x cos x. 9. Pro kždé k Z x (kπ, (k + 1)π) je 1/ sin 2 x = cot x = cos x sin x. 10. Pro x R je 1/(1 + x 2 ) = rctn x. 11. Pro x ( 1, 1) je 1/ 1 x 2 = rcsin x. Důkz. Plyne obrácením vzorců pro derivování. exp x exp( x) Nezhrnuli jsme hyperbolické funkce, jko je sinh x = 2, ni dlší goniometrické funkce, npříkld sekns sec x = 1 cos x, oblíbený v USA. Všimněte si, že formální derivování dává (log x) = 1 x = 1 x = (log( x)). Funkce log x log( x) se le neliší jen posunem o konstntu, tkže 1/x má dvě podsttně odlišné primitivní funkce?? Úloh Jk je to možné? Úloh Ověřte, že n uvedených intervlech i 1/(1 + x 2 ) = rccot x 1/ 1 x 2 = rccos x. Obrácením prvidl pro derivci součinu jsme dostli vzorec pro integrci per prtes. Obrácením prvidl pro derivci složené funkce dostneme vzorec pro integrci substitucí. Jeho dv tvry odpovidjí dvěm směrům čtení, od známého k neznámému, rovnosti tedy rovnosti (f ϕ) = (f ϕ)ϕ. f(ϕ) = f (ϕ)ϕ, Vět (integrce substitucí). Necht α < β < b jsou reálná čísl ϕ: (α, β) (, b) f : (, b) R jsou funkce, přičemž n (α, β) existuje vlstní ϕ. 1. Když F = f n (, b), potom f(ϕ)ϕ = F (ϕ) + c n (α, β). 2. Když nvíc ϕ((α, β)) = (, b) ϕ 0 n (α, β) když G = f(ϕ)ϕ n (α, β), potom f = G(ϕ 1 ) + c n (, b). 13

21 Důkz. 1. Plyne to derivováním: n (α, β) je F (ϕ) = F (ϕ)ϕ = f(ϕ)ϕ, podle předpokldu o F podle derivce složené funkce. 2. Předpokldy o funkci ϕ zručují, že to je rostoucí nebo klesjící bijekce z (α, β) n (, b). Skutečně, n (α, β) musí být ϕ > 0 nebo ϕ < 0, jink by podle věty musel funkce ϕ nbýt mezihodnotu 0. Podle výsledků ze ZS (MA I [5]) tedy ϕ n (α, β) roste nebo klesá. Je to tedy prostá funkce má inverzní funkci ϕ 1 : (, b) (α, β), kterou derivujeme podle vzorce pro derivci inverzní funkce (MA I [5]). Podle předpokldu o G, podle derivce složené funce derivce inverzní funkce dostáváme, že G(ϕ 1 ) je n (, b) primitivní k f: G(ϕ 1 ) = G (ϕ 1 ) (ϕ 1 ) = f(ϕ(ϕ 1 ))ϕ (ϕ 1 1 ) ϕ (ϕ 1 ) = f. Ve větě dokážeme obecnější obtížnější substituční větu pro Riemnnův Stieltjesův integrál. Příkld Necht F (x) = f(x) n otevřeném intervlu I, b R s 0. Potom f(x + b) =? n jkém intervlu? Použijeme první substituční prvidlo pro funkci ϕ(x) = x+b intervl (α, β) = ϕ 1 (I) = 1 (I b). Podle něj n (α, β) máme f(x + b) = f(ϕ) = 1 f(ϕ)ϕ = 1 F (x + b) + c. Úloh Co by se stlo pro = 0? Příkld Chceme spočítt primitivní funkci k 1 t 2 n ( 1, 1). Připomíná nám poslední položku v tvrzení zkusíme proto substituci t = sin x, tedy funkci ( t = ϕ(x) = sin x: π 2, π ) ( 1, 1), 2 druhé substituční prvidlo. Jeho předpokldy jsou splněné 1 t 2 njdeme, když n intervlu ( π 2, π 2 ) dokážeme spočítt cos2 G(x) = 1 sin 2 x (sin x) = x cos x = cos 2 x. 14

22 Podle příkldu se tto primitivní funkce rovná G(x) = sin x cos x + x 2 = sin x 1 sin 2 x + x 2. Po doszení x = ϕ 1 (t) = rcsin t do G(x) máme, n ( 1, 1), 1 t 2 = sin(rcsin t) 1 sin 2 (rcsin t) + rcsin t = t 1 t 2 + rcsin t c. + c Úloh Zkontrolujte výsledek derivováním. Nrozdíl od derivování, kdy kždou vzorcem dnou funkci lze sndno zderivovt výsledek je opět dán vzorcem, pro integrování, tedy počítání primitivních funkcí, to nepltí. Je spoust příkldů spojitých funkcí dných vzorcem, které tk podle důsledku mjí primitivní funkce, ty se le vzorcem vyjádřit nedjí. S frncouzským mtemtikem Josephem Liouvillem ( ) (protože jeho otec byl kpitánem v Npoleonově rmádě, prvních pár let mlého Joseph vychovávli v rodině strýce, v r zložil důležitý mtemtický čsopis Journl de Mthémtiques Pures et Appliquées, velmi známé jsou jeho výsledky v teorii čísel: existence trnscendentních reálných čísel, induktivní důkzy identit pro počty vyjádření čísel součty čtverců), který jko první nlezl kritéri pro tkové primitivní funkce, jsme se už setkli v MA I [5] v souvislosti s jeho konstrukcí trnscendentních čísel. Vět (J. Liouville, 1835). Necht f, g R(x) jsou rcionální funkce (tedy podíly polynomů, viz definice 1.2.1). Primitivní funkci fe g (n I), kde I je intervl neobshující žádný kořen jmenovtelů rcionálních funkcí f g, lze vyjádřit vzorcem, právě když existuje rcionální funkce R(x), že f = + g. Větu dokážeme v oddílu 1.4, kde tké přesně definujeme, co znmená vyjádření vzorcem. Hlvní výsledek předstvuje implikce, opčná implikce je triviální vzhledem k (e g ) = ( + g )e g. Vět tedy říká, že kromě zřejmého vzorce f = + g fe g = e g už nějké dlší vzorce, méně zřejmé, neexistují. 15

23 Příkld Liouvilleovou větou ukážeme, že primitivní funkce e x2 (n R) se nedá vyjádřit vzorcem. Zde máme f = 1 g = x 2. Podle věty stčí dokázt, že rovnice 1 = + 2x nemá řešení tvru = (x) = p(x) q(x), kde p, q R[x] s q 0 jsou nesoudělné polynomy (nemjí společný kořen). Zřejmě p 0. Když je q konstntní, je = p polynom. Pk vlevo deg 1 = 0, le vprvo deg( + 2x) = 1 + deg 1, spor. Když q není konstntní, vezmeme (podle věty 1.2.5!) nějký jeho kořen α C s násobností m N. Tedy q(x) = (x α) m r(x), kde r(α) 0, víme, že i p(α) 0. S = p q rovnici přepíšeme jko 0 = q 2 + p q pq + 2xpq. V polynomech q 2, p q, pq 2xpq má α jko kořen násobnosti, po řdě, 2m, m, m 1 m (pro α = 0 je poslední násobnost rovná m + 1). Minimum z těchto násobností je tk m 1 nbývá se jednoznčně, pro jediný ze čtyř polynomů, které se tk nemohou součtem zrušit sečíst n nulový polynom (úloh ). Rovnice i ted nemá řešení. Úloh Jk se definuje násobnost kořene v nulovém polynomu? Dokžte, že když polynomy 1, 2,..., k C[x] číslo α C splňují, že násobnosti kořene α v i (x) nbývjí minimum pro jediný index i, pk k Integrce rcionálních funkcí Integrce rcionálních funkcí se opírá o Zákldní větu lgebry (již úplně dokážeme v kpitole 4), komplexní i reálnou fktorizci polynomu rozkld rcionální funkce n prciální zlomky. 1 x Nopk rcionální funkce, podíly reálných polynomů, předstvují širokou čsto používnou třídu funkcí, jejichž primitivní funkce se vždy vzorcem vyjádřit djí. Tento oddíl podrobně popisuje jejich integrci. Zčíná definicí, úlohou příkldem. Definice (rcionální funkce R(x)). Funkce f : R \ X R, 16

24 kde X je konečná množin, se nzývá rcionální, když existují reálná čísl 0, 1,..., k, b 0, b 1,..., b l s k, l N 0, že pro kždé x R \ X je f(x) = x + + k x k k i=0 b 0 + b 1 x + + b l x l = ix i l i=0 b ix. i Mnohočlen l i=0 b ix i je jmenovtel f(x) mnohočlen k i=0 ix i je čittel f(x). Úloh Dokžte, že tříd rcionálních funkcí se shoduje s třídou funkcí, které vzniknou z konstntních funkcí f(x) = c, c R, z identické funkce f(x) = x opkovným použitím ritmetických opercí sčítání, násobení dělení, Odtud tyto funkce mjí jméno. n libo- x Příkld Spočtěme primitivní funkci k rcionální funkci 2 volném intervlu I 1, 1. x 2 1 Máme (s pomocí linerity položky 4 v tvrzení ) x 2 ( x 2 = ) ( 1 x 2 = 1 + 1/2 1 x 1 1/2 ) x + 1 = x x + 1 log x 1 log x + 1 = x + + c 2 = x + log( (x 1)/(x + 1) ) + c. Dlší příkldy primitivních funkcí k rcionálním funkcím jsou položky v tvrzení Ukzuje se, že tkto podobně lze spočítt primitivní funkci k libovolné rcionální funkci. Pro důkz následující věty je klíčový rozkld rcionální funkce n součet jednodušších rcionálních funkcí, tkzvný rozkld n prciální zlomky, jko je n prvním řádku předchozího výpočtu. Vět (integrce rcionální funkce). Necht P (x) Q(x) jsou polynomy s reálnými koeficienty, kde Q(x) není nulový, I R je intervl neobshující žádný kořen polynomu Q(x). Primitivní funkci F (x) = P (x) Q(x) (n I) lze vždy vyjádřit pomocí rcionálních funkcí, logritmů rkustngent. Podrobněji, n I P (x) u Q(x) = (x) + u i log κ i (x) + i=1 v w v i log(λ i (x)) + w i rctn(µ i (x)) i=1 17 i=1

25 pro nějkou rcionální funkci (x), nějká čísl u, v, w N 0 u i, v i, w i R, nějké monické lineární, resp. kvdrtické, mnohočleny κ i (x), resp. λ i (x), nějké lineární mnohočleny µ i (x) (všechny smozřejmě s reálnými koeficienty). Ve zbytku oddílu větu skoro úplně dokážeme popíšeme součsně postup, jk P (x) Q(x) spočítt. Skoro proto, že se opřeme o následující Zákldní větu lgebry, kterou v úplnosti dokážeme ž v kpitole 4 ve větě Vět (ZVAlg, bez důkzu). Pro kždý nekonstntní polynom P (x) s komplexními koeficienty, to jest pro P C[x] s deg P 1, existuje komplexní číslo α C, že P (α) = 0. Zčneme odvozením rozkldu n prciální zlomky pro obecnou rcionální funkci. Ten souvisí s následující úlohou. Příkld Dokážeme, že kždou částku n 4 korun lze rozměnit n dvoukoruny pětikoruny. Máme totiž rovnosti 1 = ( 2) n = n/2 2 + z, z {0, 1}, kde z je zbytek při dělení čísl n dvěm. Hledná rozměnění jsou tedy, po doszení prvé strny první rovnosti z 1 v přípdu z = 1, n = n/ pro sudé n n = ( n/2 2) pro liché n. Díky n 4 je n/2 2 0 máme skutečné, relizovtelné rozměnění ( ne něco jko 3 = ( 1) se záporným počtem dvoukorun). První rovnost dělením číslem 2 5 převedeme n = Je to příkld rozkldu n prciální zlomky, le v okruhu celých čísel Z. Pro důkz věty budeme prcovt v okruhu R[x] = (R[x], +,, 0, 1) polynomů s reálnými koeficienty. Řekneme, že dv polynomy v něm jsou nesoudělné, pokud jejich společné dělitele v okruhu R[x] jsou pouze konstntní polynomy. Odvodíme obdobu první hořejší rovnosti, budeme k tomu le potřebovt dlší (vedle věty 1.2.5) zákldní vlstnost polynomů. Úloh (dělení polynomů se zbytkem). Necht F je komuttivní těleso, jko třeb F = R nebo F = C, p, q F [x] s q 0 jsou dv polynomy s koeficienty v F. Pk existují jednoznčně určené polynomy r, s F [x], že dokžte. p(x) = q(x)r(x) + s(x) s 0 deg s < deg q 18

26 Tvrzení (Bezoutov identit). Pro kždé dv nesoudělné polynomy P, Q R[x] existují polynomy, b R[x], že Důkz. Uvážíme ideál (x)p (x) + b(x)q(x) = 1. A = {P + bq, b R[x]} v něm nenulový polynom p A s nejmenším stupněm. Podle úlohy je kždý polynom v A dělitelný polynomem p beze zbytku, jink by nenulový zbytek byl ve sporu s minimlitou deg p. Tedy p dělí P i Q, ob polynomy totiž ptří do A. Podle předpokldu to le znmená, že p je konstntní. Protože A je uzvřený n konstntní násobky, můžeme vzít p = 1 A, což dokzuje uvedenou identitu. Polynom je monický, má-li vedoucí koeficient rovný 1. Monický polynom je utomticky nenulový. Tvrzení (komplexní fktorizce). Pro kždý monický komplexní polynom Q v C[x] pltí formální identit Q(x) = k (x α i ) mi i=1 pro nějká čísl k N 0, m i N α i C, přičemž čísl α i jsou vzájemně různá. Toto vyjádření Q(x) je jednoznčné, kromě pořdí činitelů v součinu, nzývá se komplexní fktorizcí (polynomu Q). Důkz. Existenci fktorizce dokážeme indukcí podle stupně deg Q. Pro deg Q = 0 ji máme s k = 0, Q(x) = 1. Necht deg Q > 0. Podle věty vezmeme α C, že Q(α) = 0. Pomocí úlohy vydělíme Q(x) polynomem x α se zbytkem, což je konstnt. Protože Q(α) = 0, je tto konstnt nulová tedy Q(x) = R(x)(x α), kde R C[x] je monický má stupeň deg Q 1. Polynom R(x) má komplexní fktorizci podle indukčního předpokldu, tkže celý součin včetně (x α) dává komplexní fktorizci pro Q(x). Její jednoznčnost si čtenářk dokáže v úloze Úloh Dokžte jednoznčnost komplexní fktorizce. Tvrzení (reálná fktorizce). Pro kždý monický reálný polynom Q v R[x] pltí formální identit Q(x) = k l (x α i ) mi (x 2 + β i x + γ i ) ni i=1 pro nějká čísl k, l N 0, m i, n i N α i, β i, γ i R, přičemž čísl α i jsou vzájemně různá, stejně tk dvojice (β i, γ i ), vždy β 2 i 4γ i < 0. Toto vyjádření Q(x) je jednoznčné, kromě pořdí činitelů v obou součinech, nzývá se reálnou fktorizcí (polynomu Q). i=1 19

27 Důkz. Necht Q(x) = (x α i) m i k i=1 je komplexní fktorizce polynomu Q(x) podle předchozího tvrzení. Aplikce komplexního sdružení x x, což je utomorfismus těles C, n tuto identitu reálnost koeficientů polynomu Q(x) dávjí sdruženou identitu Q(x) = Q(x) = (x α i )m i. Vzhledem k jednoznčnosti komplexní fktorizce Q(x) to znmená, že pro kždý index i [k ] s α i C\R existuje (jednoznčně určený) index j [k ], že j i, α i = α j m i = m j. Čísl α i můžeme tedy uspořádt tk, že prvních k z nich je reálných, jsou to α 1 = α 1,..., α k = α k s násobnostmi m 1 = m 1,..., m k = m k, zbývjících k k nereálných čísel α i se rozpdá n l = k k 2 komplexně sdružených dvojic α k+1 = α k+2, α k+3 = α k+4 td. se shodnými násobnostmi n 1 = m k+1 = m k+2, n 2 = m k+3 = m k+4 td. Komplexní fktorizce polynomu Q(x) tk přechází v k i=1 Q(x) = = k l (x α i ) mi ((x α k+2i 1)(x α k+2i 1 ))ni i=1 i=1 k l (x α i ) mi (x 2 + β i x + γ i ) ni, i=1 i=1 kde β i = α k+2i 1 α k+2i 1 R γ i = α k+2i 1 α k+2i 1 R. Kvdrtické polynomy x 2 +β i x+γ i jsou vzájemně různé (jink by dvě různé komplexně sdružené dvojice čísel α i splývly) mjí záporné diskriminnty β2 i 4γ i (protože tyto kvdrtické polynomy nemjí reálné kořeny). Dostli jsme reálnou fktorizci polynomu Q(x). Její jednoznčnost plyne z jednoznčnosti výchozí komplexní fktorizce. Úloh Jk se fktorizují obecné, ne nutně monické, nenulové komplexní či reálné polynomy? Vět (rozkld n prciální zlomky). Pro kždé dv reálné polynomy P, Q R[x], kde Q(x) je monický, pltí formální identit P (x) k Q(x) = p(x) + m i i=1 j=1 δ i,j l (x α i ) j + n i i=1 j=1 ɛ i,j x + θ i,j (x 2 + β i x + γ i ) j, kde p R[x], k, l, m i, n i, α i, β i, γ i jsou konstnty z reálné fktorizce polynomu Q(x) δ i,j, ɛ i,j, θ i,j R jsou dlší konstnty. 20

28 Důkz. Jsou-li R, S R[x] nesoudělné polynomy, podle tvrzení existují 1 polynomy, b R[x], že RS = R + b S. Podle úlohy z nesoudělnosti reálných polynomů R S 1, R S 2, plyne nesoudělnost polynomů R S 1 S 2. Opkovným užitím předchozí identity tk dostáváme její zobecnění: R 1, R 2,..., R k R[x] po dvou nesoudělné existují i R[x], že 1 k R 1 (x)r 2 (x)... R k (x) = i (x) R i (x). Vezmeme reálnou fktorizci Q(x) = i=1 k l (x α i ) mi (x 2 + β i x + γ i ) ni. i=1 Ptrně (úloh ) je všech jejích k + l činitelů po dvou nesoudělných. Podle zobecněné identity tk pro nějkých k + l polynomů i, b i v R[x] máme identitu P (x) Q(x) = k i=1 i=1 i (x) l (x α i ) + b i (x) mi (x 2 + β i x + γ i ). ni Pomocí m i užití úlohy rozvineme i (x) pro kždé i [k] do mocnin dvojčlenu x α i : i (x) = (x α i ) mi q 0 (x) + r 0 (x) i=1 i (x) = (x α i ) mi q 0 (x) + (x α i ) mi 1 q 1 (x) + r 1 (x)... i (x) = (x α i ) mi q 0 (x) + (x α i ) mi 1 q 1 (x) + + (x α i ) 0 q mi (x), kde polynomy q j r j jsou bud nulové nebo splňují deg r j < m i j (tedy), pro j 1, deg q j = 0. Obdobně rozvineme n i b i (x) = (x 2 + β i x + γ i ) ni j q j (x), j=0 kde nyní pro j 1 je polynom q j bud nulový nebo má deg q j 1. Nhrdímeli výše v P (x) Q(x) = k i=1... polynomy i(x) b i (x) těmito rozvoji, dostáváme vyjádření rcionální funkce P (x) Q(x) uvedené ve znění věty. Úloh Dokžte, že když je R R[x] nesoudělný jk s S R[x] tk s T R[x], pk je R nesoudělný i se součinem ST. Úloh Dokžte, že dv reálné polynomy jsou nesoudělné, právě když nemjí společný (komplexní) kořen. 21

29 Třetí část hořejšího rozkldu n prciální zlomky posléze zredukujeme n následující primitivní funkci. Tvrzení (zse per prtes). Pro n N necht 1 F n (x) = (x 2 (n R). + 1) n Pk F 1 (x) = rctn x dále F n+1 (x) = (1 1/2n)F n (x) + x 2n(x 2 + 1) n. Tkže obecně F n (x) = n rctn x + b n (x), kde n Q b n (x) je rcionální funkce s celočíselnými koeficienty. Důkz. Počáteční podmínk rekurence je položk 10 v tvrzení Dále integrujeme per prtes: F n (x) = = = x p. p. (x 2 + 1) n = x x (x 2 + 1) n + x (x 2 2n + 1) n+1 (x 2 + 1) n + 2n x (x 2 + 1) n + 2nF n(x) 2nF n+1 (x). 2nx 2 (x 2 + 1) n+1 1 (x 2 + 1) n+1 Po sndné úprvě dostáváme uvedenou rekurenci. Úloh Vypočítejte explicitně čísl n rcionální funkce b n (x). Důkz. (Věty ) Po rozšíření zlomku P (x) Q(x) vhodnou konstntou můžeme předpokládt, že Q(x) je monický. Rcionální funkci P (x) Q(x) rozložíme n prciální zlomky podle věty dostneme P (x) Q(x) = p(x) + = q(x) + + k m i i=1 j=1 k m i i=1 j=2 l n i G i,j (x), i=1 j=1 δ i,j l n i (x α i ) j + i=1 j=1 δ i,j k (1 j)(x α i ) j 1 + i=1 ɛ i,j x + θ i,j (x 2 + β i x + γ i ) j δ i,1 log x α i + 22

30 kde q R[x]. Zbývá spočítt primitivní funkce G i,j (x). Máme ɛx + θ (x 2 + βx + γ) j = ɛ 2x + β 1 2 (x 2 + (θ ɛβ/2) + βx + γ) j (x 2 + βx + γ) j = ɛ(x2 + βx + γ) 1 j ɛ log(x 2 + βx + γ) (j 2), 2(1 j) 2 1 (j = 1) + (θ ɛβ/2) (x 2 + βx + γ) j, kde jsme první primitivní funkci spočítli pomocí prvního substitučního prvidl ve větě položek 2 4 v tvrzení Zbývá tk už jen spočítt primitivní funkci 1 (x 2 +βx+γ) j. Oznčíme η = γ β 2 /4 (nezpomeňme, že γ β 2 /4 > 0) použijeme subsituci y = y(x) = x/η + β/2η. Doplníme n čtverec dostneme 1 (x 2 + βx + γ) j = = = 1 η 2j 1 1 η 2j 1 1 η 2j 1 1/η ((x/η + β/2η) 2 + 1) j y(x) ((x/η + β/2η) 2 + 1) j 1 (y 2 + 1) j = F j(y(x)) η 2j 1 (opět první substituční prvidlo), s funkcemi F j (y) v tvrzení Celkem je kždá G i,j (x) rovn rcionální funkci plus lineární kombinci (s reálnými koeficienty) logritmu z monického kvdrtického trojčlenu (který nemá reálné kořeny) rkustngenty z lineárního dvojčlenu. To spolu s předešlými členy hořejšího vyjádření primitivní funkce P (x) Q(x) dává výrz ve znění věty. Příkld Spočítáme Protože 1 x (n R). x = (x 2 + 1) 2 2x 2 = (x 2 + 2x + 1)(x 2 2x + 1) ( 2) 2 4 < 0, je to reálná fktorizce polynomu x Njdeme, b, c, d v R, že 1 x = x + b x 2 + 2x cx + d x 2 2x + 1. Tto rovnice, v níž, b, c, d bereme jko proměnné, je ekvivlentní s 1 = (x + b)(x 2 2x + 1) + (cx + d)(x 2 + 2x + 1), tedy s 1 = x 3 ( + c) + x 2 ( 2 + b + c 2 + d) + + x 1 ( b 2 + c + d 2) + x 0 (b + d). 23

31 Odtud = c, b = 1 d ( c) 2 + (1 d) + c 2 + d = 0 = ( c) (1 d) 2 + c + d 2, tj. Tkže d = 1 2 = b, c = 2 4, = 2 4 ( 1 x = c = 1, 2 = 2 2d. rozkld n prciální zlomky je x + 2 x 2 + 2x + 1 x 2 x 2 2x + 1 Oznčíme si = ± 2, L = log(x 2 + x + 1) b = 1 2 /4 = 1/ 2. Pk x + x 2 + x + 1 = 1 2 = L = L 2 + 2b 2x + x 2 + x (x + /2) 2 + b 2 ). /2 x 2 + x + 1 1/b (x/b + /2b) = L 2 + rctn(x/b + /2b). 2b Celkem 1 x = 1 ( 1 2 log ( x 2 + 2x x 2 2x + 1 rctn( ) 2x 1). ) + rctn( 2x + 1) Úloh Spočítejte 1 x Více o primitivních funkcích Přesně c funkcí n intervlu má primitivní funkci je to i počet diferencovtelných funkcí. Vět D. Preisse M. Trtgliové o vzorové definovtelnosti derivcí. Jednu z prvních otázek o primitivních funkcích, jež měl být probrán si už v předchozím oddílu která se ptá n jejich počet, zodpovíme ted. Připomeňme si, že c = R je symbol pro mohutnost kontinu, krdinlitu množiny reálných čísel. 24

32 Vět (počet derivcí ntiderivcí). Necht I R je intervl s kldnou délkou (I) = {f : I R g : I R : g = f} je množin těch funkcí definovných n I, které mjí n I primitivní funkci. Kždá konstntní funkce z I do R leží v (I) kždá funkce v (I) je limitou posloupnosti spojitých funkcí. Proto (I) = c. Tedy i #{f : I R f má n I vlstní derivci} = c. Důkz. Kždá konstntní funkce má primitivní funkci jejich množin jednoznčně odpovídá R, tkže (I) c. Když přijememe druhé tvrzení věty, máme pro kždou f (I) tkovou posloupnost spojitých funkcí (f n ), f n : I R, že pro kždé x I je lim f n (x) = f(x). Spočetná množin M f = {(n, y, u, v) n N, y Q I, u, v Q, u < f n (y) < v} N Q 3 pk jednoznčně určuje f (úloh 1.3.2). Tedy (I) P(N Q 3 ) = c celkem (I) = c (úloh 1.3.3). Podle tvrzení má kždá f (I) přesně c primitivních funkcí, tkže poslední množin ve znění věty má mohutnost tké c (I) = c c = c (úloh 1.3.4). Zbývá ještě dokázt, že kždá derivce f (I) je bodovou limitou spojitých funkcí. To plyne z definice derivce v bodě spojitosti diferencovtelné funkce. Rozlišíme tři přípdy podle prvého konce intervlu I: ) sup(i) = +, b) b = sup(i) I c) R b = sup(i) I. Necht n N x I. V ) kldeme f n (x) = f(x+1/n) f(x) 1/n, v b) stejně tk, le nejprve funkci f(y) spojitě rozšíříme pro y b lineárně se směrnicí f (b) v c) kldeme f n (x) = f(x + (b x)/(n + 1)) f(x) (b x)/(n + 1) Tyto funkce jsou definovné n I spojité není těžké vidět, že pro kždé x I je lim f n (x) = f (±) (x).. Úloh Proč M f jednoznčně určuje f? Úloh Co přesně znmenjí nerovnosti (I) c (I) c jk z nich plyne rovnost (I) = c? Úloh Ukžte, že pro kždou nekonečnou množinu M pltí M M = M. 25