3.1 Derivace funkce Definice derivace Vlastnosti derivace Derivace elementárních funkcí... 49

Transkrypt

1 Obsh Číselné množiny reálné funkce 5. Množin reálných čísel Množin kompleních čísel Reálné funkce jedné reálné proměnné Definice zákldní vlstnosti reálné funkce Elementární funkce Mocninné funkce Eponenciální logritmická funkce Goniometrické cyklometrické funkce Hyperbolické hyperbolometrické funkce Spojitost limit funkce 9. Spojitost funkce Definice spojitosti Operce se spojitými funkcemi Vlstnosti funkcí spojitých n intervlu Metod bisekce Posloupnosti reálných čísel Zákldní terminologie symbolik Limit posloupnosti Vlstnosti limity posloupnosti Limit funkce Limit funkce v bodě Vlstnosti limity funkce Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Derivce funkce Definice derivce Vlstnosti derivce Derivce elementárních funkcí Derivce vyššího řádu; diferenciál funkce Věty o střední hodnotě L Hospitlovo prvidlo Tylorův polynom Derivce funkcí zdných prmetricky Vyšetřování průběhu funkce Monotónnost funkce derivce Lokální globální etrémy funkce Konvenost konkávnost funkce, inflení body Asymptoty grfu funkce Vyšetřování průběhu funkce

2 4 OBSAH 4 Neurčitý integrál Primitivní funkce Zákldní vzorce pro integrci Metod integrce per prtes Substituční metod integrování Integrce rcionálních funkcí Převedení integrndu n rcionální funkci Riemnnův určitý integrál 9 5. Zvedení Riemnnov integrálu Newtonov-Leibnizov formule Integrování metodou per prtes Integrování substituční metodou Integrál sudé, liché nebo periodické funkce Použití Riemnnov integrálu v geometrii ve fyzice Nevlstní Riemnnův integrál 7 6. Integrál nevlstní vlivem integrndu Integrály nevlstní vlivem mezí Řdy Číselná řd její vlstnosti Řdy s nezápornými členy Řdy s libovolnými členy

3 Kpitol Číselné množiny reálné funkce. Množin reálných čísel Klíčová slov: Rcionální, ircionální, přirozené, celé, reálné číslo; bsolutní hodnot čísl; supremum, infimum, mimum, minimum množiny; intervl; plus mínus nekonečno; rozšířená reálná os; neomezený intervl; okolí bodu; levé prvé okolí bodu; prstencové okolí bodu; levé prvé prstencové okolí bodu; vnitřní, vnější, hrniční, hromdný, izolovný bod množiny; otevřená, uzvřená, omezená, kompktní množin; vnitřek hrnice množiny Rcionální ircionální čísl Připomeňme několik pojmů oznčení, týkjících se reálných čísel, jk jsme se s nimi seznámili n střední škole. Množinu reálných čísel tvoří čísl rcionální ircionální. Rcionálním číslem nzýváme kždé reálné číslo, které lze npst ve tvru zlomku p q, kde p q jsou čísl celá nesoudělná q. Mezi rcionální čísl počítáme celá čísl, nebot se djí npst jko zlomek se jmenovtelem. Mezi čísl celá ptří přirozená čísl, tj. čísl,, 3, 4,.... Ircionálním číslem nzýváme kždé reálné číslo, které není rcionální. Ircionální číslo je určeno, je-li dán nějký postup, podle něhož je můžeme umístit mezi dvě rcionální čísl libovolně málo od sebe odlišná. Pro oznčení uvedených číselných množin používáme následující oznčení: R znčí množinu reálných čísel, Z znčí množinu celých čísel, N znčí množinu přirozených čísel. Absolutní hodnot reálného čísl je definován předpisem = { pro ; pro <. (.) Pro kždá dvě čísl, b R nzýváme nezáporné číslo b (euklidovskou ) vzdáleností čísel, b. Příkldy. Máme njít všechn celá čísl vyhovující nerovnosti 3 < + 5 < 7. Řešení: Odečteme-li od všech členů nerovnosti číslo 5 vydělíme číslem, dostneme ekvivlentní podmínku 4 < <. Jí vyhovují celá čísl 3,,,.. Máme vyjádřit rcionální číslo, 3 ve tvru zlomku. Řešení: Číslo, 3 můžeme zpst jko nekonečný součet, 3 = n +. Součet n prvé strně je ž n první sčítnec geometrická řd s kvocientem q =, tkže n + = 3 /( ) = (3/) (/9) = /3. Je tedy, 3 = +/3 = 4/3. 3. Máme dokázt, že pro kždé prvočíslo r > je r ircionální číslo. Řešení: Předpokládejme, že číslo r je rcionální, tj., že eistují celá čísl p, q tková, že r = p/q že čísl p, q nemjí žádného společného dělitele. Odtud speciálně plyne, že nemohou být obě čísl p, q Euklides z Alendrie (365?-3? př. Kr.), jeden z nejvlivnějších mtemtiků všech dob, utor třinácti knih Zákldů (Stoichei), prvděpodobně hned po bibli nejčstěji tištěné studovné knihy v dějinách zápdního svět; položil v nich zákldy geometrie, jk se učí i dnes n zákldních středních školách 5

4 6 KAPITOLA. ČÍSELNÉ MNOŽINY A REÁLNÉ FUNKCE dělitelná číslem r. Umocníme obě strny rovnosti r = p/q dostneme rovnost r = p /q, nebo po úprvě rq = p. Z této rovnosti plyne, že číslo p, tedy i číslo p musí být dělitelné číslem r. Pk ovšem p je dělitelné číslem r, tedy i číslo q musí být dělitelné číslem r. To všk znmená, že jk číslo p, tk i číslo q je dělitelné číslem r, což je spor s předpokldem nesoudělnosti čísel p, q. Tedy předpokld, že číslo r je rcionální nepltí, tkže číslo r musí být ircionální. Úlohy. Která z čísel 7, 3/4, 5., log 8, 3 /, 5,, π, 4 jsou ) přirozená; b) celá; c) rcionální; d) ircionální. [ ) log 8, 5, 4 ; b) 7, log 8, 5,, 4 ; c) 7, 3/4, 5., log 8, 5,, 4 ; d) 3 /, π.]. Určete všechn celá čísl vyhovující nerovnosti < + < 6. [ 3,,,,,, 3.] 3. Vyjádřete rcionální číslo, 76 ve tvru zlomku. [3/3.] 4. Pro která čísl, y R pltí nerovnost y < + y? [ R, y >.] 5. Pro která čísl b R pltí nerovnost b > b? [b > /3.] 6. Pro která čísl, y R pltí nerovnost y < /y? [Je-li y >, pk pro y <, je-li y <, pk pro y >.] 7. Necht, b jsou ircionální čísl. Je možné, by číslo + b nebo b bylo rcionální? Jestli no, udejte příkld. [Ano, npř. pro = π, b = π je + b =, pro = π, b = π je b =.] 8. Ukžte, že číslo 3 není rcionální. 9. Máme njít chybu v následující úvze. Necht, y jsou nenulová reálná čísl tková, že = y. Pk = y, tedy tké y = y y, neboli ( y)( + y) = y( y). Obě strny rovnosti vydělíme číslem y dostneme rovnost + y = y. Jelikož je = y, dostáváme y = y odtud po zkrácení =. [Dělili jsme y, tedy nulou.] Supremum infimum množiny Necht M je libovolná neprázdná podmnožin množiny R. Horní mezí množiny M nzýváme kždé číslo h tkové, že pro kždé M pltí h. Má-li množin M horní mez, říkáme, že množin M je shor omezená. Dolní mezí množiny M nzýváme kždé číslo d tkové, že pro kždé M pltí d. Má-li množin M dolní mez, říkáme, že množin M je zdol omezená. Říkáme, že množin M je omezená právě tehdy, když je zdol i shor omezená. Nejmenší horní mez množiny M nzýváme supremem množiny M znčíme ji sup M. Ptří-li sup M do množiny M, nzývá se mimum množiny M znčí se m M. Největší dolní mez množiny M nzýváme infimem množiny M znčíme ji inf M. Ptří-li infimum do množiny M, nzývá se minimum množiny M znčí se min M. Vět o supremu infimu Pro kždou shor omezenou neprázdnou množinu M R eistuje právě jednou číslo S = sup M R. Pro kždou zdol omezenou neprázdnou množinu M R eistuje právě jednou číslo s = inf M R. Poznámk. Uvědomte si, že supremum shor omezené neprázdné množiny nemusí eistovt v množině rcionálních čísel. Npříkld množin M všech rcionálních čísel q, pro která je q <, nemá v množině rcionálních čísel supremum, protože podle příkldu..3 není rcionální. Právě eistence suprem shor omezené neprázdné množiny je z hledisk mtemtické nejdůležitější rozdíl mezi množinmi rcionálních reálných čísel. Příkldy. Máme njít supremum, infimum, mimum minimum množiny M = { R = /n, n N}. Řešení: Množin M je omezená zdol číslem shor číslem. Zřejmě kždý prvek množiny M je větší než nul, tedy nul je dolní mezí množiny M. Ukážeme, že je největší dolní mezí. Zvolme jkékoli číslo ε >. Pk určitě eistuje přirozené číslo n tkové, že /n < ε. Skutečně, stčí volit n > /ε. Je tedy číslo infimem množiny M. Jelikož toto číslo neptří do množiny M, není jejím minimem. Množin M minimum nemá. Jednodušší problém je hledání suprem množiny M. Jelikož žádný prvek množiny M není větší než jedn číslo je prvkem množiny M, je toto číslo mimem množiny M, tedy i jejím supremem.. Máme njít supremum, infimum, mimum minimum množiny M = { R < 3}.

5 .. MNOŽINA REÁLNÝCH ČÍSEL 7 Řešení: Množin M je zdol omezená číslem shor číslem 3. Odtud plyne, že číslo je jedn z jeho dolních mezí číslo 3 je jedn z jeho horních mezí. Jelikož číslo 3 ptří do množiny M, je sup M = m M = 3. Anlogicky, žádné číslo > nemůže být dolní mezí množiny M, tkže inf M =. Minimum množiny M neeistuje. Intervly v R Necht, b R, b. Pk definujeme omezené intervly v R tkto. Uzvřeným intervlem, b nzýváme množinu všech reálných čísel, pro která pltí b. Otevřeným intervlem (, b) nzýváme množinu všech reálných čísel, pro která pltí < < b. Polootevřeným či polouzvřeným intervlem, b), resp. (, b nzýváme množinu všech reálných čísel, pro která pltí < b, resp. < b. N obr.. jsou nznčeny tři omezené intervly, to otevřený intervl (, b), uzvřený intervl c, d zlev polootevřený intervl (e, f. b c d e f Obrázek.: Omezené intervly n reálné ose R R Příkldy. Máme zpst intervl 3, 5 pomocí nerovností bsolutní hodnoty. Řešení: Intervl má délku 8, jeho středem je bod. Ptří tedy do intervlu 3, 5 všechn reálná čísl, jejichž vzdálenost od jedničky je menší nebo rovn 4. Je tedy 3, 5 = { R 4}.. Máme zpst doplněk intervlu 3, 5 pomocí nerovností bsolutní hodnoty. Řešení: Podle předchozího příkldu ptří do této množiny všechn reálná čísl, jejichž vzdálenost od jedničky je větší než 4. Je tedy R \ 3, 5 = { R > 4}. Úlohy Zpište intervl 3, 9 jeho doplněk v R pomocí nerovností bsolutní hodnoty. [ 3, 9 = { R 6 3}, R \ 3, 9 = { R 6 > 3}.] Rozšířená reálná os V celé řdě úvh nevystčíme s reálnými čísly z množiny R. Ukzuje se jko užitečné uvžovt kromě čísel z R ještě dvě dlší čísl, +,, která budeme nzývt plus nekonečno mínus nekonečno. Množinu R = R {, + } budeme nzývt rozšířenou reálnou osou. V této množině zvedeme uspořádání Pro jejich bsolutní hodnoty pltí < < + pro všechn R, < +. (.) = + = +. (.3) Dále rozšíříme definice ritmetických opercí v R n operce v R tkto: ± = ± pro všechn R. + + = + = { + pro všechn R (+ ) =, >, pro všechn R, <. { pro všechn R ( ) =, >, + pro všechn R, <. = pro všechn R, ± { pro všechn R =, <, + pro všechn R, >.

6 8 KAPITOLA. ČÍSELNÉ MNOŽINY A REÁLNÉ FUNKCE Nedefinováno je,, ± ±, ±. Nedefinovány jsou i mocniny, ±, ±, (± ). Je užitečné si uvědomit, že operce dělení nulou nekonečnem v množině R se poněkud liší od opercí dělení dvou konečných nenulových čísel. Víme, že když vynásobíme rovnost = c pro, b, c R, b, b číslem b, dostneme prvdivou rovnost = bc. Vynásobíme-li všk rovnost = nekonečnem nebo ± rovnost = ± nulou, dostneme n obou strnách nedefinovné výrzy. Intervly v R se definují nlogicky jko jsme je definovli v R. Anlogicky se definují rovněž pojmy supremum infimum množiny v R. Můžeme definovt i neomezené intervly v R (, b = { R b}, (, b) = { R < b},, + ) = { R }, (, + ) = { R < } (.4) v R, b = { R b},, b) = { R < b},, + = { R }, (, + = { R < }. (.5) Okolí bodu prstencová okolí bodu Je dán bod R číslo ε >. Okolím bodu s poloměrem ε, nebo tké ε okolím bodu nzýváme množinu Množinu U(, ε) = { R < ε} = ( ε, + ε). (.6) U + (, ε) = { R < + ε} =, + ε) (.7) nzýváme prvým okolím bodu. Množinu U (, ε) = { R ε < = ( ε, (.8) nzýváme levým okolím bodu. N obr.. jsou znázorněn okolí U(, ε), U (y, ε), U + (z, ε). ε + ε y ε y z z + ε Obrázek.: Okolí bodu n reálné ose R R Prstencovým okolím bodu s poloměrem ε, nebo tké prstencovým ε okolím bodu nzýváme množinu Množinu P(, ε) = { R < < ε} = ( ε, ) (, + ε). (.9) P + (, ε) = { R < < + ε} = (, + ε) (.) nzýváme prvým prstencovým okolím bodu. Množinu P (, ε) = { R ε < < } = ( ε, ) (.) nzýváme levým prstencovým okolím bodu. Prstencová okolí bodu jsou znázorněn n obr..3. ε + ε y ε y z z + ε Obrázek.3: Prstencová okolí bodu n reálné ose R R

7 .. MNOŽINA REÁLNÝCH ČÍSEL 9 y y = ε 3 ε 3 Obrázek.4: K ilustrci význmu prstencových okolí bodu Okolí prstencová okolí bodu +, definujeme jko množiny U(, ε) P(, ε) = P (, ε) = (/ε, ), (.) U(, ε) P(, ε) = P + (, ε) = (, /ε). (.3) Význm prstencových okolí uvidíme npř. při vyšetřování funkce f() =, jejíž grf je n obr..4. Tto funkce není definovná v bodě =, le je definovná v kždém prstencovém okolí tohoto bodu. Je zřejmé, že prvé prstencové okolí P + (, ε) = (, ε) se zobrzuje n levé prstencové okolí P (, ε) = (/ε, ). Tyto úvhy budou hrát důležitou roli později při vyšetřování limity této funkce v bodě. Příkldy. Máme zpst pomocí bsolutní hodnoty nerovnosti okolí U( 3, 5) bodu 3 s poloměrem 5. Řešení: Hledné okolí je otevřený intervl ( 8, ), tkže U( 3, 5) = { R + 3 < 5}.. Máme zpst pomocí bsolutní hodnoty nerovností prstencové okolí P(3, 7) bodu 3 s poloměrem 7. Řešení: Hledné okolí je otevřený intervl ( 4, ) bez bodu 3, tkže P(3, 7) = { R < 3 < 7}. 3. Máme zpst jko intervl prvé levé prstencové okolí P + (, 6) P (, 6) bodu s poloměrem 6. Řešení: Prvé, resp. levé prstencové okolí P + (, 6), resp. P (, 6) je otevřený intervl (, 6), resp. ( 6, ). Úlohy. Zpište pomocí bsolutní hodnoty ) U(, 5) ; b) U(, 3) ; c) U(, 4). [) < 5 ; b) + < 3 ; c) < 4.]. Zpište pomocí bsolutní hodnoty ) P(3, ) ; b) P(, 3) ; c) P(5, 4). [) < 3 < ; b) < + < 3 ; c) < 5 < 4.] 3. Zpište pomocí nerovností ) U(3, 7), b) U + (3, 7), c) U (3, 7). [) 7 < 3 < 7 ; b) 3 < 7 ; c) 7 < 3.] 4. Zpište pomocí nerovností ) P(3, 7), b) P + (3, 7), c) P (3, 7). [) < 3 < 7 ; b) < 3 < 7 ; c) 7 < 3 <.] Klsifikce bodů vzhledem k dné množině Předpokládejme, že je dán množin M R bod R. Říkáme, že bod je vnitřním bodem množiny M právě tehdy, když eistuje tkové okolí U(, ε) bodu, které celé leží v množině M; vnějším bodem množiny M právě tehdy, když eistuje tkové okolí U(, ε) bodu, které celé leží v doplňku R \ M; hrničním bodem množiny M právě tehdy, když kždé okolí U(, ε) bodu má neprázdný průnik jk s množinou M, tk i s jejím doplňkem R \ M; hromdným bodem množiny M právě tehdy, když kždé prstencové okolí P (, ε) bodu má s množinou M neprázdný průnik; izolovným bodem množiny M právě tehdy, když M eistuje tkové prstencové okolí P (, ε) bodu, které neobshuje žádný bod množiny M.

8 KAPITOLA. ČÍSELNÉ MNOŽINY A REÁLNÉ FUNKCE R d b c e Obrázek.5: Ilustrce ke klsifikci bodů N obr..5 je množin M sjednocením intervlu (, b) jednoprvkové množiny {c}, tj. M = (, b) {c}. Příkldem vnitřního bodu této množiny je npř. bod d, le tké kždý jiný bod otevřeného intervlu (, b). Příkldem vnějšího bodu je npř. bod e. Hrničními body jsou body, b, c, z nichž body, b jsou i hromdnými body této množiny, ztímco bod c je jejím izolovným bodem. Klsifikce množin v R Předpokládejme, že je dán množin M R. Říkáme, že množin M je otevřená právě tehdy, když kždý její bod je jejím vnitřním bodem; uzvřená právě tehdy, když obshuje všechny své hromdné body; omezená právě tehdy, když je obsžen v nějkém okolí počátku; kompktní právě tehdy, když je omezená uzvřená. Vnitřkem množiny M nzýváme množinu všech jejích vnitřních bodů. Hrnicí množiny M nzýváme množinu všech jejích hrničních bodů. Pro oznčení vnitřku množiny M se používá obvykle symbol M.. Množin kompleních čísel Klíčová slov: Imginární jednotk; komplení číslo; reálná imginární část kompleního čísl; kompleně sdružené číslo; Gussov rovin kompleních čísel; reálná imginární os; modul rgument kompleního čísl; hlvní hodnot rgumentu; komplení jednotk; krtézský, goniometrický eponenciální tvr kompleního čísl; Eulerův vzth: Moivreov vět; součet, rozdíl, součin podíl kompleních čísel Komplení čísl Nyní rozšíříme obor reálných čísel R n obor kompleních čísel, který budeme znčit symbolem C. K tomuto rozšíření vedl původně snh vytvořit tkový obor čísel, v němž by kždá lgebrická rovnice měl řešení. Již ze střední školy víme, že npř. velice jednoduchá lgebrická rovnice + = nemá v množině R řešení. Množinu reálných čísel R rozšíříme n množinu kompleních čísel C tkto. Nejdříve přidáme k R dlší číslo, které budeme znčit i, tkové, že i =. Číslo i budeme nzývt imginární jednotkou. Pk přidáme všechn čísl tvru + i y, kde, y jsou reálná čísl i je imginární jednotk. Tkto utvořená čísl budeme nzývt kompleními čísly. Číslo nzýváme reálnou částí kompleního čísl z = + i y znčíme je Rz; číslo y nzýváme imginární částí kompleního čísl z = + i y znčíme je Iz. Komplení číslo, jehož reálná část je rovn nule, nzýváme ryze imginární číslo. Číslem kompleně sdruženým ke komplenímu číslu z = + i y nzýváme číslo z = i y. (Reálné části obou čísel jsou si rovny, imginární se liší ve znménku.) Dvě komplení čísl jsou si rovn, rovnjí-li se jejich reálné i jejich imginární části. Pro imginární jednotku pltí rovnosti i 4k =, i 4k+ = i, i 4k+ =, i 4k+3 = i, k Z. (.4) Kždé komplení číslo z = + i y je jednoznčně určeno uspořádnou dvojicí reálných čísel (, y). Tto dvojice určuje v rovině s krtézskou soustvou souřdnic právě jeden bod, který má souřdnice (, y). Můžeme tedy kždé komplení číslo chápt jko bod v rovině. Tuto rovinu pk nzýváme Gussovou rovinou kompleních čísel. Os se nzývá reálná os, os y imginární os. Číslo z = mod z = + y = z z (.5) je tzv. bsolutní hodnot (modul) kompleního čísl z = +i y, z, ). Kždé komplení číslo, jehož modul je roven, se nzývá komplení jednotk. Guss, Crl F. ( ), německý mtemtik fyzik, ředitel stronomické observtoře v Göttingen, vyprcovl mtemtický prát pro potřeby stronomie

9 .. MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL y y = Iz z ϕ z = + i y = Rz Obrázek.6: Zobrzení kompleního čísl v komplení rovině Úhel ϕ, který svírá polopřímk vycházející z počátku procházející bodem z s kldnou reálnou poloosou je tzv. hlvní hodnot rgumentu (mplitudy) kompleního čísl z, přičemž obvykle volíme ϕ ( π, π nebo ϕ, π). Kždé číslo ϕ + kπ, k Z, se nzývá rgument (mplitud) čísl z obvykle se znčí rg z. Pro hlvní hodnotu ϕ rgumentu kompleního čísl z se pk používá oznčení Arg z. Zápis kompleních čísel Kždé komplení číslo z lze zpst právě jedním způsobem v kždém z následujících tří tvrů: je tzv. krtézský 3 (lgebrický) tvr kompleního čísl; je tzv. goniometrický (polární) tvr kompleního čísl; z = + i y (.6) z = z (cos ϕ + i sin ϕ) (.7) je tzv. eponenciální tvr kompleního čísl. Z definice kompleního čísl jeho goniometrického tvru plynou rovnosti cos ϕ = z = + y, z = z e i ϕ (.8) S goniometrickým tvrem kompleního čísl souvisí i známý Eulerův 4 vzth Z něj plyne cos ϕ = ei ϕ + e i ϕ sin ϕ = y z = y + y. (.9) cos ϕ + i sin ϕ = e i ϕ. (.) ; sin ϕ = ei ϕ e i ϕ i Umocníme-li obě strny rovnosti (.) n číslo n, dostneme rovnost (cos ϕ + i sin ϕ) n = (e i ϕ ) n.. (.) Nyní využijeme rovnost (e i ϕ ) n = e i nϕ, která se dokzuje v nlýze kompleních funkcí použijeme opět Eulerův vzth. Dostneme tk rovnost známou pod názvem Moivreov 5 vět. (cos ϕ + i sin ϕ) n = cos nϕ + i sin nϕ, (.) 3 Descrtes (Crtesius), René (596-65), frncouzský renesnční filosof mtemtik, v práci Discours de l methode (Rozprvy o metodě) popsl metodu, která pk umožnil npř. využít lgebru k vytvoření nlytické geometrie 4 Euler, Leonhrd (77-783), nejvýkonnější mtemtik 8. století, působil v berlínské petrohrdské kdemii, od r. 766 úplně slepý, význmnými objevy přispěl ke všem odvětvím mtemtiky té doby 5 de Moivre, Abrhm ( ), nglický mtemtik

10 KAPITOLA. ČÍSELNÉ MNOŽINY A REÁLNÉ FUNKCE Příkld Vyjádřeme komplení číslo z = + i v goniometrickém eponenciálním tvru. Řešení: Podle (.5) je z = + =. Pro hodnotu ϕ podle (.9) musí pltit cos ϕ = /, sin ϕ = /, π < ϕ π. Odtud dostáváme ϕ = π/4. Podle (.7) je z = (cos π/4 + i sin π/4) goniometrický tvr kompleního čísl z podle (.8) je z = e i π/4 eponenciální tvr kompleního čísl z. Úlohy Zpište v goniometrickém eponenciálním tvru následující komplení čísl. = ; b = ; c = i ; d = 3 i ; e = + i 3 ; f = i 3. = (cos + i sin ) = e i ; b = (cos π + i sin π) = e i π ; c = (cos(π/) + i sin(π/)) = e i π/ ; d = (cos(π/6) i sin(π/6)) = e i π/6 ; e = (cos(π/3) + i sin(π/3)) = e i π/3 ; f = (cos(π/3) i sin(π/3)) = e i π/3. Početní operce s kompleními čísly Necht z = + i y w = u + i v jsou dvě komplení čísl. Pk jejich součet, resp. rozdíl, resp. součin, resp. podíl definujeme vzthy resp. resp. resp. z + w = ( + i y) + (u + i v) = ( + u) + i (y + v), (.3) z w = ( + i y) (u + i v) = ( u) + i (y v), (.4) zw = ( + i y)(u + i v) = (u yv) + i (v + yu), (.5) z w = + i y ( + i y)(u i v) = u + i v (u + i v)(u i v) u + yv yu v = u + i + v u + v. (.6) Při násobení kompleních čísel v goniometrickém eponenciálním tvru se vynásobí moduly sčítjí rgumenty. Skutečně, je-li z = z (cos ϕ + i sin ϕ) = z e i ϕ, w = w (cos ψ + i sin ψ) = w e i ψ, pk zw = z w (cos ϕ + i sin ϕ)(cos ψ + i sin ψ) = = z w [ (cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ) + i (cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ) ] = = z w [ cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ) ] = z w e i (ϕ+ψ). (.7) Při dělení kompleních čísel v goniometrickém eponenciálním tvru se vydělí moduly rgumenty se odečítjí. Skutečně, je-li z = z (cos ϕ + i sin ϕ) = z e i ϕ, w = w (cos ψ + i sin ψ) = w e i ψ, pk z w z (cos ϕ + i sin ϕ) z (cos ϕ + i sin ϕ)(cos ψ i sin ψ) = = w (cos ψ + i sin ψ) w (cos ψ + i sin ψ)(cos ψ i sin ψ) = = z z (cos(ϕ ψ) + i sin(ϕ ψ)) = w w ei (ϕ ψ). (.8) Umocňování kompleního čísl v krtézském tvru provádíme pomocí binomické věty. V goniometrickém eponenciálním tvru se umocní modul rgument se vynásobí mocnitelem. Odmocňování kompleních čísel je poněkud komplikovnější. V krtézském tvru lze počítt pouze druhou odmocninu z kompleního čísl. K výpočtu obecně n-té odmocniny z kompleního čísl používáme goniometrického nebo eponenciálního tvru. Z Moivreovy věty dostáváme n ( z = n z cos ϕ + kπ + i sin ϕ + kπ ), k =,,,..., n, (.9) n n (pro přehlednější vyčíslení volíme ϕ = Arg z, π)). Příkldy. Necht z = + 3i, z = 3 + 4i. Vypočtěme z + z, z z, z z, z /z, z, z.

11 .. MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL 3 Řešení: Podle (.3) je z + z = ( + 3i ) + (3 + 4i ) = ( + 3) + (3 + 4)i = 5 + 7i. Podle (.4) je z z = ( + 3i ) (3 + 4i ) = ( 3) + (3 4)i = i. Podle (.5) je z z = ( + 3i )(3 + 4i ) = ( 3 3 4) + ( )i = 6 + 7i. Podle (.6) je z = + 3i ( + 3i )(3 4i ) = z 3 + 4i (3 + 4i )(3 4i ) = 8 + i = i 5. Podle (.5) je z = (3 + 4i )(3 4i ) = 5 = 5. Podle definice kompleně sdruženého čísl je z = + 3i = 3i.. Vypočtěme z = i i 3 + (3 5i )( i ) + 4i. i Řešení: Nejdříve provedeme pomocné výpočty. Podle (.4) je i 3 = i. Podle (.5) je (3 5i )( i ) = 7 i. Konečně, podle (.6) je 4i = 6 i + i = 3 i. Po doszení dostáváme z = i + i + ( 7 i ) + (3 i ) = 4 + i. 3. Máme njít všechn řešení lgebrické rovnice z 6 =. Řešení: Úloh, njít všechn řešení lgebrické rovnice z 6 =, je ekvivlentní s úlohou njít všechny šesté odmocniny z jedničky. Tyto odmocniny budeme počítt podle vzorce (.9). 6 = 6 (cos + i sin ) = 6 (cos(kπ/6) + i sin(kπ/6)), k =,,, 3, 4, 5. Odtud dostáváme hledné odmocniny cos + i sin = pro k =, cos(π/3) + i sin(π/3) = / + i 3/ pro k =, cos(π/3) + i sin(π/3) = / + i 3/ pro k =, cos π + i sin π = pro k = 3, cos(4π/3) + i sin(4π/3) = / i 3/ pro k = 4, cos(5π/3) + i sin(5π/3) = / i 3/ pro k = 5. Řešeními dné rovnice jsou tedy komplení čísl z, = ±, z 3,4 = / ± i 3/, z 5,6 = / ± i 3/. Úlohy. Njděte čísl kompleně sdružená k číslům = 3 + i ; b = i ; c = 3 ; d = 3 i. [ = 3 i, b = i, c = 3, d = 3 + i.]. Njděte reálná čísl r, s tk, by komplení číslo z = r( 3i ) + s( + 4i ) bylo ) reálné [r = 4s/3, s libovolné reálné,] b) ryze imginární [r = s/, s libovolné reálné.] 3. Njděte reálná čísl, y tk, by pltil rovnost ( i ) + y(4 + i ) = + 3i [ = 5/3, y = /3.] 4. Vypočtěte = ( + 4i ) + ( + i ) ; b = ( 3i ) + ( + 3i ) ; c = ( i ) ( 3 7i ). [ = 3 + 6i ; b = ; c = + 6i.] 5. Vypočtěte = (3 + i )i ; b = ( + 3i )(4 + 5i ) ; c = ( i )( + i ). [ = + 3i ; b = 7 + i ; c = 5.] 6. Vypočtěte ( i )( + i )(3 4i ) [4 7i.] 7. Vypočtěte = + i 3 i ; b = + i i i. + i [ = / + i / ; b = i.] 8. Zjistěte, pro která reálná čísl, y pltí + i y = 3 + i i [ = 5, y =.] 9. Vypočtěte následující odmocniny kompleních čísel. ) [ cos π + kπ + i sin π + kπ ], k =,. b) 3 [ ] π/ + kπ π/ + kπ i cos + i sin, k =,,. 3 3 c) 4 i [cos π/ + kπ 4 + i sin π/ + kπ 4 ], k =,,, 3.

12 4 KAPITOLA. ČÍSELNÉ MNOŽINY A REÁLNÉ FUNKCE d) 4 6 e) [ ( cos π + kπ 4 [ ( 5 3 cos kπ 5 f) 3 + i g) 5 + i h) 6 79 i) 8 + i 3 + i [ 6 [ [ 6 (cos π/4 + kπ 3 ( π/4 + kπ 8 cos 5 + i sin π + kπ ) 4 ) kπ + i sin 5 ) π/4 + kπ + i sin 3 ) π/4 + kπ + i sin 5 ) [ ( 3 cos π + kπ + i sin π + kπ 6 6 ) ( π/ + kπ cos + i sin 8.3 Reálné funkce jedné reálné proměnné π/ + kπ 8 ], k =,,, 3. ], k =,,, 3, 4. ], k =,,. ], k =,,, 3, 4. ], k =,,, 3, 4, 5. ], k =,,, 3, 4, 5, 6, 7. Klíčová slov: Reálná funkce jedné reálné proměnné; funkční hodnot, definiční obor, obor hodnot, grf funkce; obrz množiny; prostá inverzní funkce; kompozice funkcí; rostoucí, klesjící, neklesjící, nerostoucí, monotónní, ryze monotónní, shor omezená, zdol omezená, omezená, neomezená, sudá, lichá, periodická funkce; period primitivní period funkce, vektorová funkce, složená vektorová funkce.3. Definice zákldní vlstnosti reálné funkce Budeme se zbývt reálnými funkcemi jedné reálné proměnné. Tková funkce je zdná nějkým předpisem f(), kterým je kždému R přiřzeno nejvýše jedno y = f() R. Číslo y = f() nzýváme funkční hodnotou funkce f v bodě. Množinu těch R, kterým je předpisem f() přiřzeno nějké číslo y = f() R, nzýváme definičním oborem funkce f znčíme jej D f. Množinu všech funkčních hodnot funkce f nzýváme oborem hodnot funkce f znčíme jej H f. Je-li M D f, pk množinu všech funkčních hodnot f() pro M nzýváme obrzem množiny M znčíme ji f(m). Skutečnost, že f je funkce, zpisujeme npř. f : D f R, nebo prostě f(). Grfem funkce f nzýváme množinu grf f = {(, y) R D f, y = f()}. (.3) Říkáme, že funkce f : D f R je prostá právě tehdy, když pro kždé dv body, D f,, je f( ) f( ). Grfy prostých funkcí jsou nčrtnuty n obr..7 ), d), f). N obr..7 b), e), g) jsou grfy funkcí, které nejsou prosté. Funkce g se nzývá inverzní funkcí k funkci f právě tehdy, když rovnost y = f() je ekvivlentní s rovností = g(y). Z této poměrně volné chrkterizce inverzní funkce je vidět, že k tomu, by k dné funkci eistovl inverzní funkce je nutné, by tto dná funkce byl prostá. N obr..7 c) je grf kvdrtické funkce, která zřejmě prostá není. Když všk její definiční obor zúžíme n intervl, ), tj. uvžujeme pouze její prvou větev, pk tto funkce je již prostá můžeme k ní sestrojit funkci inverzní. Tou je druhá odmocnin, nčrtnut n obr..7 c). Doporučujeme čtenáři, by si rozmyslel, proč grfy funkcí nvzájem inverzních jsou symetrické podle osy prvního kvdrntu. Pro oznčení funkce inverzní k funkci f se obvykle používá symbol f. Pltí D f = H f D f = H f. Necht g(y) f() jsou dvě funkce tkové, že H f D g. Říkáme, že funkce h je kompozicí funkcí f g (v tomto pořdí) píšeme h = g f právě tehdy, když h() = g(f()) pro všechn D f. Funkce f se pk nzývá vnitřní funkce, funkce g vnější funkce složené funkce h = g f. Zde si musíme uvědomit, že při vytváření kompozice dvou funkcí musíme nejdříve určit definiční obor vnitřní funkce f() tk, by byl splněn podmínk H f D g. Npř. pro g(y) = ln y f() = 3 nesmíme brát D f = R, le D f = (, ). Pk je skutečně H f D g složená funkce h() = ln 3 je definovná pro všechn D f = (, ). Necht je funkce f definovná n nějkém intervlu I D f. Jestliže pro všechn, I, <, pltí f( ) < f( ), resp. f( ) f( ), resp. f( ) > f( ), resp. f( ) f( ), (.3) pk říkáme, že funkce f je rostoucí v intervlu I, resp. neklesjící v intervlu I, resp. klesjící v intervlu I, resp. nerostoucí v intervlu I (viz obr..7 d) g)). Má-li funkce f některou z uvedených vlstností,

13 .3. REÁLNÉ FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ 5 y f( ) y = 3 y y = f( ) = f( ) y f() = y = f () = f( ) ) funkce je prostá b) funkce není prostá c) funkce inverzní f( ) y f y f( ) = f( 3 ) f f( ) f( ) 3 d) funkce rostoucí e) funkce neklesjící y y f( ) f( ) f f f( ) f( ) = f( 3) 3 f) funkce klesjící g) funkce nerostoucí Obrázek.7: Ilustrce vlstností funkcí pk říkáme, že funkce f je monotónní v intervlu I. Je-li funkce f rostoucí nebo klesjící v intervlu I, pk říkáme, že je ryze monotónní v intervlu I. Říkáme, že funkce f je shor, resp. zdol omezená n množině A R právě tehdy, když eistuje reálné číslo K, resp. k tk, že f() < K, resp. f() > k pro všechn A. Říkáme, že funkce je omezená n množině A právě tehdy, když je omezená zdol i shor, tj. právě tehdy, když eistuje číslo k tk, že pltí f() < k pro všechn A. Funkce, které nejsou omezené, nzýváme neomezené. Říkáme, že funkci f je sudá, resp. lichá právě tehdy, když má tyto dvě vlstnosti: (i) f() má definiční obor symetrický podle počátku, tj. je-li D f, pk je tké D f. (ii) Pro všechn D f je f( ) = f(), resp. f( ) = f(). Z vlstností (i) (ii) plyne: Grf funkce sudé je symetrický podle osy y (npř. grf funkce y =, viz.7 b) ), grf funkce liché je symetrický vzhledem k počátku soustvy souřdnic (npř. grf funkce f() = 3, viz.7 ) ). Říkáme, že funkce f je periodická s periodou p (p > ) právě tehdy, když má následující vlstnost: je-li definován v bodě, je též definován v bodech + p, p pltí f() = f( + p) = f( p). Funkce periodická s periodou p je též periodická s periodou kp, k N. Pokud eistuje nejmenší z těchto period T >, nzývá se tto period primitivní periodou funkce f.

14 6 KAPITOLA. ČÍSELNÉ MNOŽINY A REÁLNÉ FUNKCE Vektorové funkce Vektorovou funkcí jedné reálné proměnné budeme nzývt kždé zobrzení f z množiny R do prostoru R n všech uspořádných n tic reálných čísel. Obvykle je tkové zobrzení zdáno jko uspořádná n tice reálných funkcí reálné proměnné f() = (f (), f (),..., f n ()), D f = D f D f D fn. Reálné funkce f, f,..., f n nzýváme složkmi vektorové funkce f píšeme obvykle f = (f, f,..., f n ). Npříkld předpisem f() = (cos, 3, ln ), D f = (, ), (.3) je definován vektorová funkce f : (, ) R 3. Pro vektorové funkce f = (f, f,..., f n ) g = (g, g,..., g n ) se stejným definičním oborem D definujeme jejich součet f + g, rozdíl f g, sklární součin f g sklární násobek αf funkce f reálným číslem α definujeme po složkách f ± g = (f ± g, f ± g,..., f n ± g n ), f g = (f g + f g f n g n ), αf = (αf, αf,..., αf n ). Je-li ϕ : R R reálná funkce jedné reálné proměnné je-li f = (f, f,..., f n ), vektorová funkce tková, že ϕ(t) D f pro všechn t D ϕ, pk definujeme složenou vektorovou funkci (f ϕ)(t) = f(ϕ(t)) = (f (ϕ(t)), f (ϕ(t)),..., f n (ϕ(t))), t D ϕ. (.33) Npříkld, je-li f vektorová funkce dán předpisem (.3) funkce = ϕ(t) = 3t + 4, pk (f ϕ)(t) = f(ϕ(t)) = (cos(3t + 4), (3t + 4) 3, ln(3t + 4)), t ( 4/3, )..4 Elementární funkce Klíčová slov: Konstntní funkce, lineární funkce, kvdrtická funkce, mocninná funkce, eponenciální funkce, logritmická funkce, goniometrické funkce, cyklometrické funkce, hyperbolické funkce, hyperbolometrické funkce.4. Mocninné funkce Řdu elementárních funkcí známe již ze střední školy. Je to npř. konstntní funkce f() = c, D f = R, kde c je nějká konstnt (viz obr..8 ) ), nebo lineární funkce f() = k + q, D f = R, jejíž grf je nčrtnut n obr..8 b). Čsto budeme prcovt s bsolutní hodnotou f() =, D f = R, jejíž grf je nčrtnut n obr..8 c). N obr..8 d) e) jsou nčrtnuty grfy kvdrtických funkcí f() = + b + c ( r)( s), D f = R. (.34) Čísl r s se nzývjí jejich nulovými body. Přípdy, kdy kvdrtický polynom má dv různé reálné nulové body r s, resp. jeden dvojnásobný nulový bod, resp. nemá reálné nulové body, jsou ilustrovány n obr..8 d) (i) (iii) e) (iv) (vi). Doporučujeme čtenáři, by se pokusil n zákldě příslušných grfů nlézt nlytické vyjádření odpovídjících kvdrtických funkcí, zjistit, jk souvisí diskriminnt příslušné kvdrtické rovnice s polohou grfu vzhledem k ose jk souvisí průběh funkce se znménkem koeficientu u kvdrtického členu. Je rovněž velice užitečné si promyslet, n jkých množinách nbývjí tyto funkce kldné, resp. záporné hodnoty jk se dvě různá typická chování z obr..8 d) e) poznjí podle znménk u kvdrtického členu? Jistým zobecněním předchozí funkce je n-tá mocnin f() = n, n N, D f = R. (.35) Grfy tkových mocninných funkcí pro n = n = 3 jsou nčrtnuty n obr..8 f). Můžeme srovnt jejich průběhy rozmyslet si, jk se liší průběh mocninných funkcí se sudým s lichým eponentem. Poněkud obecnější funkce než n-tá mocnin je mocninná funkce s rcionálním eponentem f() = n m, m N, n Z, n, m nesoudělná, n, D f, (.36)

15 .4. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE 7 y c y = c y y = k + q q y y = ) konstntní funkce b) lineární funkce c) bsolutní hodnot y 3 (i) (ii) (iii) y (iv) (v) (vi) y = y = 3 y y = 3 y = y = d) kvdrtické funkce e) kvdrtické funkce f) mocninné funkce y... y = / y = / y f() = b c c y = /3 g) odmocniny h) lineární lomená funkce Obrázek.8: Grfy elementárních funkcí kde D f = R pro n > m liché, D f = R \ {} pro n < m liché, D f =, ) pro n > m sudé, D f = (, ) pro n < m sudé. Mezi funkce s rcionálním eponentem ptří tké m-tá odmocnin (.37) f() = m = m, D f = R pro lichá m, D f =, ) pro sudá m. (.38) Grf této funkce pro m =, 3, tj. druhé, třetí desáté odmocniny je nčrtnut n obr..8 g). Druhá odmocnin, jko funkce inverzní k prvé větvi druhé mocniny, je rovněž nčrtnut n obr..8 f). Mocninnou funkcí s rcionálním eponentem je i funkce f() = / n = n, n N, D f = R \ {}. (.39) Grfem tkové funkce je hyperbol, nčrtnut pro n = n obr..4. Funkce f() = b c = c + (c b) c = + c b c, D f = R \ {c},, b, c R, (.4)

16 8 KAPITOLA. ČÍSELNÉ MNOŽINY A REÁLNÉ FUNKCE je zobecněním funkce /. Nzývá se lineární lomená funkce její grf je n obr..8 h). Příkldy. Máme njít definiční obor funkce f() = + 6. Řešení: Druhá odmocnin je definovná pro nezáporná reálná čísl, tkže musí být + 6. Kvdrtická rovnice + 6 = má kořeny = 3, = z průběhu funkce vidíme, že nezáporné hodnoty nbývá n intervlech (, 3, ). Je tedy D f = (, 3, ).. Máme njít definiční obor funkce f() = + 6. Řešení: Postup je podobný jko v předchozím příkldě. Opět musí pltit + 6. Kvdrtická rovnice + 6 = má opět kořeny = 3, =, le koeficient u kvdrtického členu je záporný, tkže prbol je otevřená do funkce nbývá nezáporné hodnoty n intervlu 3,. Je tedy D f = 3,. 3. Máme njít funkci f () inverzní k funkci f() =,. Řešení: Funkce f() je rostoucí v intervlu (, ) i v intervlu (, ). Inverzní funkci budeme hledt n intervlu (, ). Funkce /( ) je n intervlu (, ) prostá nbývá tm všech záporných hodnot. Eistuje tedy inverzní funkce f (), definovná pro všechn <. Podle definice inverzní funkce je y = f() právě tehdy, když je = f (y). Musíme proto z předpisu pro funkci y = f() vyjádřit proměnnou pomocí funkční hodnoty y. Z rovnosti y = /( ) dostneme tk rovnost = (y )/y. Tto rovnost udává předpis pro hlednou inverzní funkci, všk v soustvě souřdnic s vyměněnými souřdnicovými osmi. (Uvědomte si, že ob předpisy popisují v rovině y tutéž množinu, tj. grf funkce f() = /( ),.) Proto ještě vyměníme oznčení proměnných dostneme hlednou inverzní funkci pro <. Stejným postupem n intervlu (, ) bychom dostli stejný předpis pro >. Je tedy f () =, D f = (, ) (, ). 4. Máme njít funkci f () inverzní k funkci f() = 3 +,. Řešení: Funkce f() je rostoucí v celém svém definičním oboru nbývá tm všech reálných hodnot z intervlu, ). Eistuje tedy inverzní funkce, definovná pro všechn. Stejně jko v předchozím příkldě z předpisu pro funkci y = f() vyjádříme proměnnou pomocí funkční hodnoty y. Z rovnosti y = 3 + dostneme tk rovnost = y 3, která udává předpis pro hlednou inverzní funkci, všk opět v souřdnicovém systému s vyměněnými souřdnicovými osmi. Proto ještě vyměníme oznčení proměnných dostneme hlednou inverzní funkci f () = 3, D f =, ). Úlohy. Nlezněte definiční obor funkce f(), kde ) f() = 4 ; b) f() = ; c) f() = ; d) f() = 3 6 ; e) f() = 3 3 ; f) f() = +. [ ) Df = (, ) (, ) ; b) D f = /, ) ; c) D f = (/, ) ; d) D f = (, ) (, ) ; e) D f = (, 3, 3 ; f) D f =,.. Nlezněte funkci inverzní k funkci: ) y = 5 ; b) y = ( )/(+), ; c) y =,. [) y = ( + )/5, R ; b) y = ( )/( + ), ; c) y = +,, ).].4. Eponenciální logritmická funkce Již n střední škole jsme se seznámili tké s eponenciální funkcí f() = e, R, D f = R. (.4) ]

17 .4. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE 9 Její grf je nčrtnut n obr..9 ). Zde číslo e je tzv. Eulerovo číslo. Je to ircionální číslo, přibližně e. =, 78. Funkce inverzní k eponenciální funkci f() = e je logritmická funkce Je tedy definovná vzthem f () = ln, D f = (, + ). (.4) y = ln právě tehdy, když = e y. Tto funkce se nzývá tké přirozený logritmus. Její grf je nčrtnut n obr..9 b). y y y = e y = ln ) grf eponenciální funkce b) grf logritmické funkce Obrázek.9: Grfy eponenciální logritmické funkce Nhrdíme-li v eponenciální funkci f() = e její zákld e libovolným kldným číslem (, ) (, ), dostneme funkci f() =, (, ) (, ), D f = R, (.43) kterou nzýváme obecná mocnin se zákldem. Funkce k ní inverzní je tzv. logritmická funkce se zákldem Je definovná vzthem f () = log, D f = (, + ), (, ) (, ). (.44) Pro = mluvíme o tzv. dekdickém logritmu. y = log právě tehdy, když = y. (.45) Příkldy 5. Máme njít definiční obor funkce f() = ln + 4. Řešení: Přirozený logritmus je definován pro kldná reálná čísl, tkže musí pltit >, + 4. (.46) Kvdrtická rovnice + 4 = má dv kořeny = 4, = 6. Můžeme tedy podmínku (.46) 5 přepst n tvr >, 4, 6 vyjádřit pomocí dvou podmínek ( 5 > ( 4)( 6) ) (( 4)( 6) > ) nebo ( 5 < ) (( 4)( 6) < ). Sndno se ověří, že první podmínk je splněn pro (6, ) druhá podmínk pro (4, 5). Je tedy D f = (4, 5) (6, ).. Máme njít definiční obor funkce f() = ln(ln( 5)). Řešení: Přirozený logritmus je definován pro kldná reálná čísl, tkže musí být ln( 5) >. To všk pltí pouze tehdy, když je 5 >. Protože kvdrtická rovnice 6 = má dv kořeny

18 KAPITOLA. ČÍSELNÉ MNOŽINY A REÁLNÉ FUNKCE =, = 3, můžeme tuto nerovnost přepst n tvr ( + )( 3) >. Sndno se ověří, že tto nerovnost je splněn pro (, ) (3, ), tedy D f = (, ) (3, ). 3. Máme njít funkci f () inverzní k funkci f() = ln(3 + ), > /3. Řešení: Funkce f() je kompozice rostoucích funkcí, je tedy rostoucí v celém svém definičním oboru. Nbývá tm všech reálných hodnot. Eistuje tedy inverzní funkce, která bude definovná pro všechn R. Z předpisu pro funkci y = f() musíme vyjádřit proměnnou pomocí funkční hodnoty y. Z rovnosti y = ln(3 + ) dostneme tk rovnost = (e +y )/3, která udává předpis pro hlednou inverzní funkci, všk v soustvě souřdnic s vyměněnými souřdnicovými osmi. Proto ještě vyměníme oznčení proměnných dostneme hlednou inverzní funkci f () = (e + )/3, D f = (, ). Úlohy. Určete definiční obor funkce f(), kde ) f() = ln( 3 + ) ; b) f() = ln( + + ) ; c) f() = ln(ln ln( 5 + 8)) ; d) f() = ln( 9) ; e) f() = ln(3 ) f) f() = ln ( 5 4 ) + ln( 3 ). [ ) (, ) (, ) ; b) (, ) ; c) (, 3) ; d) (, 3) (3, ) ; e) (, ) (, 3) (3, ) ; f) (, 4.. Nlezněte funkci inverzní k funkci ) y = e + ; b) y = +. [) y = + ln( ), (, ) ; b) y = log (/), (, ).].4.3 Goniometrické cyklometrické funkce Goniometrické funkce Funkce f() = sin, D f = R, (.47) je goniometrická funkce sinus. Je to periodická funkce s periodou π. Její grf je n obr.. ). Funkce sin má nulové body k = kπ, k Z, pltí ( sin (k + ) π ) = ( ) k, k Z. (.48) Funkce f() = cos, D f = R, (.49) je goniometrická funkce kosinus. Je to periodická funkce s periodou π. Její grf je n obr.. b). Funkce f() = cos má nulové body k = (k + ) π, k Z, pltí cos(kπ) = ( ) k, k Z. (.5) Zkuste si smi nkreslit grfy funkcí sin, cos, sin(/), cos(/), sin, cos njít jejich nulové body. Následující rovnosti pltí pro všechn y, není-li řečeno bezprostředně něco jiného. Pltí rovnost sin + cos =, (.5) která se čsto nzývá goniometrická jedničk. Pltí součtové vzorce sin( ± y) = sin cos y ± cos sin y, (.5) ]

19 .4. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE y y π/ π/ π 3π/ π π/ π/ π 3π/ π y ) grf funkce sinus b) grf funkce kosinus y π π π 3π π π π π c) grf funkce tngens d) grf funkce kotngens Obrázek.: Grfy goniometrických funkcí cos( ± y) = cos cos y sin sin y, (.53) odtud pro = y dostáváme vzorce pro dvojnásobné úhly sin = sin cos, (.54) cos = cos sin. (.55) Poslední rovnost můžeme vyjádřit pomocí jediné funkce cos = cos sin = sin = cos. (.56) Pltí Eulerův vzth Odtud dostáváme Funkce e i = cos + i sin, e i = cos i sin. (.57) cos = ei + e i f() = tg = sin cos, D f = k Z, sin = ei e i i. (.58) ( (k ) π ), (k + )π, (.59) je goniometrická funkce tngens. Je to periodická funkce s periodou π. Její grf je n obr.. c). Funkce tg nbývá nulové hodnoty v bodech k = kπ, k Z. Funkce f() = cotg = cos sin, D f = (kπ, (k + )π), (.6) k Z je goniometrická funkce kotngens. Je to periodická funkce s periodou π. Její grf je n obr.. d). Funkce cotg má nulové body k = (k + ) π, k Z. Nyní uvedeme řdu rovností udávjících vzthy mezi jednotlivými goniometrickými funkcemi. tg cotg =, + tg = / cos, + cotg = / sin, (.6)

20 KAPITOLA. ČÍSELNÉ MNOŽINY A REÁLNÉ FUNKCE sin = sin(/) cos(/) sin (/) + cos (/) = tg(/) + tg (/), cos = cos (/) sin (/) cos (/) + sin (/) = tg (/) + tg (/). Z rovnosti cos = /( + tg ) plyne cos = (.6) + tg, sin = tg ( + tg, π, π ). (.63) Pltí součtové vzorce tg( ± y) = Z nich pro = y plynou vzorce pro dvojnásobný úhel Z rovností.57,.59.6 plyne Příkldy tg = tg ± tg y cotg cotg y, cotg( ± y) = tg tg y cotg y ± cotg. (.64) tg tg, cotg = cotg cotg. (.65) tg = i ei e i e i + e i, cotg = i ei + e i e i. (.66) e i. Máme njít definiční obor funkce f() = ln sin. Řešení: Funkce ln y je definovná pro y >, tkže musí být y = sin >. Protože funkce sin má nulové body ve všech celočíselných násobcích čísl π sin > pro k Z (kπ, (k + )π), je definiční obor dné funkce D f = k Z (kπ, (k + )π).. Máme njít definiční obor funkce f() = + cos. Řešení: Nejdříve hledáme nulové body jmenovtele. Rovnost cos = pltí pro = (k + )π. Pro hledný definiční obor funkce f() tedy pltí D f = k Z ((k )π, (k + )π). 3. Máme njít definiční obor funkce f() = cos (/3). 3/ Řešení: Nejdříve njdeme nulové body jmenovtele. Rovnost cos (/3) 3/ = pltí pro /3 = ±π/6 + kπ, tedy = ±π/ + 6kπ. Dále musí pltit cos(/3) 3/ >. Tto nerovnost pltí n intervlech (6kπ π/, 6kπ + π/), k Z. Je tedy D f = k Z (6kπ π/, 6kπ + π/). 4. Máme njít primitivní periodu T funkce f() = sin + 3 sin + sin 3. Řešení: Funkce sin má primitivní periodu T = π, funkce sin má primitivní periodu T = π funkce sin 3 má primitivní periodu T 3 = π/3. Primitivní periodou součtu funkcí je nejmenší společný násobek period T, T, T 3, tedy číslo T = π. Úlohy. Nlezněte definiční obor funkce f(), kde ) f() = sin ; b) f() = sin ; c) f() = ln sin ; d) f() = cos + 5 ln.. Nlezněte primitivní periodu T funkce f(). [) k Z kπ, (k + )π ; b) R ; c) k Z (kπ, (k + )π) ; d) (, e 5 ) (e 5, ).] ) f() = cos 3 ; b) f() = sin ; c) f() = 5 cos π ; d) f() = 7 sin(3 + 5) ; e) f() = cos (( )/) ; f) f() = tg ; g) f() = tg ; h) f() = cos 3 sin. [ ) T = π/3; b) T = π; c) T = ; d) T = π/3; e) T = 4π; f)t = π; g) není periodická; h) T = π. ]

21 .4. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE 3 3. Nlezněte primitivní periodu T funkce f(). ) f() = tg(/)+tg(/3) ; b) f() = sin(π/3)+cos(π/4) ; c) f() = sin(π+π/3)+cos(3π+ π/4) + sin 5π. [) T = 6π, b) T = 4; c) T =.] Cyklometrické funkce Nyní se budeme věnovt funkcím inverzním ke goniometrickým funkcím. Víme všk, že inverzní funkce eistuje pouze k prosté funkci že goniometrické funkce nejsou prosté. Je proto při konstrukci těchto inverzních funkcí nutné omezit se vždy n intervl, n němž je příslušná goniometrická funkce prostá. y π y π π π ) grf funkce rkussinus y π b) grf funkce rkuskosinus y π π π c) grf funkce rkustngens d) grf funkce rkuskotngens Obrázek.: Grfy cyklometrických funkcí Funkce f() = rcsin, D f =,, (.67) se nzývá rkussinus je to funkce inverzní k funkci sin n intervlu π/, π/. Je tedy definovná vzthem y = rcsin právě tehdy, když = sin y, y π/, π/. Její grf je n obr.. ). Funkce f() = rccos, D f =,, (.68) se nzývá rkuskosinus je to funkce inverzní k funkci cos n intervlu, π, tkže je definovná vzthem y = rccos právě tehdy, když = cos y, y, π. Její grf je n obr.. b). Funkce f() = rctg, D f = R, (.69) se nzývá rkustngens. Je to funkce inverzní k funkci tg n intervlu ( π/, π/), je tedy definovná vzthem y = rctg právě tehdy, když = tg y, y ( π/, π/). Její grf je n obr.. c). Funkce f() = rccotg, D f = R, (.7) se nzývá rkuskotngens. Je to funkce inverzní k funkci cotg n intervlu (, π), je tedy definovná vzthem y = rccotg právě tehdy, když = cotg y, y (, π). Její grf je n obr.. d).

22 4 KAPITOLA. ČÍSELNÉ MNOŽINY A REÁLNÉ FUNKCE Příkldy. Máme njít definiční obor funkce f() = rccos. 5 Řešení: Definičním oborem funkce rccos je intervl,. Musí tedy být splněny nerovnosti ( )/5. Sndno ověříme, že tto nerovnost je splněn pro, 3, tedy D f =, 3.. Máme njít definiční obor funkce f() = ln rcsin +. Řešení: Logritmus je definován pro kldná reálná čísl, tkže musí pltit rcsin(( + )/( )) >. Definičním oborem funkce rcsin je intervl, kldné hodnoty nbývá n intervlu (,. Musí tedy být splněny nerovnosti < (+)/( ). Sndno ověříme, že pro > jsou obě nerovnosti splněny součsně pro (,, ztímco pro < nejsou splněny součsně pro žádné. Je tedy D f = (,. 3. Máme njít funkci f () inverzní k funkci f() = 5 rccos,,. Řešení: Funkce f() je prostá v celém intervlu, zobrzuje jej n intervl, 5π/. Eistuje tedy inverzní funkce, která bude definovná n intervlu, 5π/. Z předpisu y = f() musíme vyjádřit pomocí y. Z rovnosti y = 5 rccos dostneme tk rovnost = cos (y/5) = sin(y/5). Vzhledem k předpokldu, y, 5π/ můžeme vynecht bsolutní hodnoty, tkže máme rovnost = sin(y/5). Vyměníme oznčení proměnných dostneme f () = sin 5, D f =, 5π/. 4. Máme vypočítt následující hodnoty cyklometrických funkcí. ) rcsin( /). Řešení: Podle definice je rcsin( /) = y právě tehdy, když sin y = /, to pltí pro y = π/4. b) rctg 3. Řešení: Podle definice je rctg 3 = y právě tehdy, když tg y = 3, to pltí pro y = π/3. c) rccos( /). Řešení: Podle definice je rccos( /) = y právě tehdy, když cos y = /, to pltí pro y = π/3. d) rccotg. Řešení: Podle definice je rccotg = y právě tehdy, když cotg y =, to pltí pro y = π/4. Úlohy. Nlezněte definiční obor funkce f(), kde + ) f() = rcsin ; b) f() = rcsin ; c) f() = rccos +. [) /, / ; b), ; c), 4.]. Vypočtěte funkční hodnoty ) rcsin(/) ; b) rccos( 3/) ; c) rctg( 3/3) ; d) rccotg 3. [) π/6 ; b) π/6 ; c) π/6 ; d) π/6.].4.4 Hyperbolické hyperbolometrické funkce Hyperbolické funkce Funkce se nzývá sinus hyperbolický je definovná vzthem f() = sinh, D f = R, (.7) Její grf je n obr... Funkce sinh = e e. (.7) f() = cosh, D f = R, (.73)

23 .4. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE 5 y y y = cosh y = cotgh y = tgh y = sinh y = cotgh Obrázek.: Grfy hyperbolických funkcí se nzývá kosinus hyperbolický je definovná vzthem Její grf je n obr... Pro hyperbolické funkce sinh cosh pltí následující vzthy: cosh = e + e. (.74) cosh sinh =, (.75) sinh( ± y) = sinh cosh y ± cosh sinh y, cosh( ± y) = cosh cosh y ± sinh sinh y, (.76) Funkce sinh = sinh cosh, cosh = cosh + sinh. (.77) se nzývá tngens hyperbolický je definovná vzthem Její grf je n obr... Funkce se nzývá kotngens hyperbolický je definovná vzthem Její grf je n obr... Hyperbolometrické funkce Funkce f() = tgh, D f = R, (.78) tgh = e e sinh e = + e cosh. (.79) f() = cotgh, D f = R \ {}, (.8) cotgh = e + e cosh e = e sinh. (.8) f() = rgsinh, D f = R, (.8) se nzývá rgument sinus hyperbolický. Je to funkce inverzní k funkci f() = sinh, je tedy definovná vzthem y = rgsinh právě tehdy, když = sinh y. Její grf je n obr..3. Funkce f() = rgcosh, D f =, ), (.83)

24 6 KAPITOLA. ČÍSELNÉ MNOŽINY A REÁLNÉ FUNKCE y y y = rgcotgh y = rgcosh y = rgsinh y = rgtgh y = rgcotgh Obrázek.3: Grfy hyperbolometrických funkcí se nzývá rgument kosinus hyperbolický. Je to funkce inverzní k funkci f() = cosh n intervlu, + ), je tedy definovná vzthem y = rgcosh právě tehdy, když = cosh y, y. Její grf je n obr..3. Funkce f() = rgtgh, D f = (, ), (.84) se nzývá rgument tngens hyperbolický. Je to funkce inverzní k funkci f() = tgh, je tedy definovná vzthem y = rgtgh právě tehdy, když = tgh y. Její grf je n obr..3. Funkce f() = rgcotgh, D f = (, ) (, + ), (.85) se nzývá rgument kotngens hyperbolický. Je to funkce inverzní k funkci f() = cotgh, je tedy definovná vzthem y = rgcotgh právě tehdy, když = cotgh y. Její grf je n obr..3. Úlohy n opkování. Nlezněte definiční obor D f funkce f(). ) f() = ln(3 ); b) f() = + ; c) f() = 3 + ; d) f() = sin + sin 3; e) f() = + ; f) f() = ln( 4); g) f() = ; h) f() = ln ; i) f() = sin ; j) f() = ln( ); k) f() = log log 3 log 4 ; l) f() = 3 3. ) (, ) (, ) (, ) ; b) (, ) (, ) c) (, ) (, ) ; d) k Z ( kπ, kπ + π/3 kπ + 4π/3, kπ + 3π/ ) ; e), ; f) (, ) (, ) ; g) ; h), 4 ; i) k Z (k )π/6, (k + 7)π/6 ; j) 4, 6 ; k) (4, ) ; l) (, 3, 3.. Nčrtněte grf funkce f(). ) f() = + + ; b) f() = ; c) f() = ; d) f() = + + ; e) f() = + 4; f) f() = + 4 6; g) f() = 3 + ; h) f() = ; i) f() = ;

25 .4. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE 7 j) f() = + ; k) f() = ; l) f() = 4 ; m) f() = ln ; n) f() = ln( ); o) f() = + e ; p) f() = e ; q) f() = cos ; r) f() = cotg. 3. Zjistěte, zd funkce f() je sudá nebo lichá. ) f() = 3 ( ) + 3 ( + ) ; b) f() = ; c) f() = + ; d) f() = ln( + + ); e) f() = 3 3 ; f) f() = sin cos ; g) f() = + ; > ; h) f() = +, > ; 4. Ukžte, že pltí rovnosti sin i) f() =. [ ) sudá; b) sudá; c) ni sudá, ni lichá; d) lichá; e) lichá; f) ni sudá, ni lichá; g) lichá; h) sudá; i) sudá. ) rgsinh = ln ( + + ), R ; b) rgcosh = ln ( + ), > ; c) rgtgh = ln +, < ; d) rgcotgh = ln +, >. ]