Obsah. 1.5 Věty o střední hodnotě integrálu... 23

Transkrypt

1 Obsh Riemův itegrál. Určitý itegrál: Cuchyov-Riemov defiice Určitý itegrál jko limit poslouposti Vlstosti určitého itegrálu Výpočet určitého itegrálu Věty o středí hodotě itegrálu

2 Kpitol Riemův itegrál. Určitý itegrál: Cuchyov-Riemov defiice Defiice... Je dá itervl, b. Koečou možiu σ = {x 0, x,..., x } tkovou, že = x 0 < x <... < x = b zýváme rozděleím itervlu, b. Bodům x k pro k =, 2,..., říkáme dělicí body itervlu, b ; itervlu x k, x k říkáme částečý itervl itervlu, b při rozděleí σ. Defiice..2. Necht σ = {x 0, x,..., x } s body = x 0 < x <... < x = b je rozděleím itervlu, b. Ozčme k = x k x k pro k ˆ. Číslo νσ) = mx k ˆ k zýváme ormou rozděleí σ. Příkld..3. Rozděleí itervlu, b σ = {, +, + 2,..., + ), + = b}, kde = b )/,, má všechy vzdáleosti mezi dělicími body stejé. Proto se mu říká ekvidisttí. Jeho ormou je = b. Defiice..4. Necht σ σ jsou rozděleí itervlu, b, přičemž σ σ. Pk σ zýváme zjeměím rozděleí σ. Pozámk. ) Když σ je zjeměím σ, pk pro ormy pltí erovost νσ) νσ ). 2) Když σ σ 2 jsou dvě rozděleí itervlu, b, pk σ σ 2 je společým zjeměím rozděleí σ i σ 2. Defiice..5. Necht fukce f je omezeá, b echt σ = {x 0, x,..., x } s body = x 0 < x <... < x = b je rozděleím itervlu, b. Ozčme M i = sup fx) m i = if fx) x x i,x i x x i,x i

3 pro kždé i =, 2,...,. Pk Sσ) = M i i sσ) = i= m i i i= zýváme horím, resp. dolím, součtem fukce f při rozděleí σ. Vět..6. Necht fukce f je omezeá itervlu, b. Ozčme M = sup x,b fx) m = if x,b fx). Pk pro kždé rozděleí σ itervlu, b pltí mb ) sσ) Sσ) Mb ). Důkz. Z defiice čísel M, m, M i, m i plye m m i M i M pro kždé i =, 2,...,. Vyásobeím těchto erovostí kldým i sčítáím přes i =, 2,..., dosteme m i= i m i i i= M i i i= M i. i= Protože i= i = b, důkz je hotov. Důsledek..7. Moži dolích i horích součtů je omezeá. Lemm..8. Necht f je fukce omezeá kosttou K itervlu, b, tj. pro kždé x, b pltí fx) K. Necht dále σ je rozděleí itervlu x, b σ jeho zjeměí. Pk Sσ) 2Kpνσ) Sσ ) Sσ) sσ) sσ ) sσ) + 2Kpνσ), kde p je počet bodů možiy σ σ. Důkz. Nejdříve uvžujme zjeměí σ = σ {c} pro c / σ = {x 0, x,..., x }, tedy původí rozděleí zjemíme přidáím jediého bodu. Necht c leží v i-tém částečém itervlu x i, x i. Pltí Sσ ) = Sσ) x i x i ) = Sσ) x i c) sup x i,x i sup x i,x i fx) + x i c) sup fx) + c x i ) sup fx) = c,x i x i,c ) fx) sup fx) c,x i }{{} c x i ) sup x i,x i fx) sup x i,c ) fx). }{{} Výrzy ve svorkách jsou zřejmě ezáporé epřeshují hodotu 2K. Můžeme odhdout Sσ) Sσ ) Sσ) 2Kx i c) 2Kc x i ) = Sσ) 2K i Sσ) 2Kνσ). 2

4 Zjeměí σ, které vzike ze σ přidáím p ových bodů, můžeme postupě vytvářet přidáváím jedoho bodu, které provedeme p krát. Při žádém kroku se orm ového zjeměí ezvětšuje. Použijeme-li odhd získý pro přidáí jedoho bodu p krát, dosteme Sσ) Sσ ) Sσ) 2Kpνσ). Důkz erovosti pro dolí součty je logický. Vět..9. Necht f je fukce omezeá, b echt σ σ 2 jsou dvě rozděleí itervlu, b. Pk sσ ) Sσ 2 ). Důkz. Jelikož σ σ 2 je společým zjeměím obou rozděleí, plye z lemmtu..8 sσ ) sσ σ 2 ) Sσ σ 2 ) Sσ 2 ). Budou ás zjímt možiy všech horích všech dolích součtů, tedy možiy {Sσ) σ je rozděleí, b } {sσ) σ je rozděleí, b }. Už jsme ukázli, že obě tyto možiy jsou omezeé zdol závorou mb ) shor závorou Mb ). Těchto závor se při volbě ejhrubšího rozděleí σ = {, b} bývá, mx Sσ) = Mb ) σ mi σ sσ) = mb ) Dleko zjímvější je zkoumáí if Sσ) sup sσ). Defiice..0. Necht f je omezeá, b. Ifimum možiy horích součtu supremum možiy dolích součtů zýváme horím, resp. dolím itegrálím součtem fukce f zčíme f = if σ Sσ), resp. Vět... Pro fukci omezeou, b pltí f = sup sσ). σ f f. Důkz. Zvolíme libovolě pevé rozděleí σ. Pro kždé rozděleí σ 2 pltí sσ ) Sσ 2 ), tedy sσ ) je dolí závorou možiy horích součtů. Z defiice ifim jko ejvětší dolí závory plye sσ ) if σ 2 Sσ 2 ) 3

5 Protože tto erovost pltí pro kždé σ, je číslo if σ2 Sσ 2 ) horí závorou pro možiu dolích součtů. Nyí z defiice suprem jko ejmeší horí závory možiy dosteme sup σ sσ ) if σ2 Sσ 2 ), což jsme chtěli ukázt. Ted už můžeme uvést defiici určitého itegrálu spojovou se jméy Cuchyho Riem. Defiice..2. Necht f je fukce omezeá, b. Je-li f = f, říkáme, že f má v itervlu, b Riemův itegrál. Společou hodotu dolího horího itegrálího součtu zčíme f ebo fx)dx. O fukci f říkáme, že je itegrovtelá v, b. Příkld..3. Fukce kosttí itervlu, b má pro kždé rozděleí σ stejý horí i dolí součet sσ) = Sσ) = c b ). Proto se horí i dolí itegrálí součet shoduje pltí c = c b ). Příkld..4. Fukce Dirichletov má sup J f = if J f = 0 kždém itervlu J =, b. Proto sσ) = 0 b ) Sσ) = b ). Z toho plye f = 0, f = b, proto f eexistuje. Rozhodovt o existeci itegrálu ám umoží dlší vět. Vět..5. utá postčující podmík existece itegrálu) fukce omezeá itervlu, b. Pk Necht f je f existuje ε > 0 ) rozděleí σ itervlu, b ) ) Sσ) sσ) < ε. Důkz. ) Protože f = if σ Sσ), jdeme z druhé vlstosti ifim k libovolému ε > 0 rozděleí σ tk, že Sσ ) < f + ε 2. Podobě protože f = sup σ sσ), jdeme rozděleí σ 2 tk, že sσ 2 ) > f ε 2. Difereciálí itegrálí počet vybudovli ezávisle Isc Newto Gottfried Wilhelm Leibiz. Do uceleé teorie zhruli všechy roztříštěé, izolové objevy svých předchůdců. Ob prcovli s pojmem ekoečě mlé veličiy. I když měli jisté pochybosti o ktuálí existeci ekoečě mlých veliči, prktické výpočty, které bylo možé jejich zákldě provádět, pochybosti rozptýlily. V deší době s tkovými výpočty zcházíme optrěji, prcujeme s pojmy upřesěými pomocí limity ikoliv s ifiitezimálími veličimi. Pozmeejme, že součsá mtemtik se k postupům práce s ifiitezimálími veličimi vrátil v rámci formálě vybudové estdrdí lýzy. 4

6 Položme σ := σ σ 2. Toto rozděleí je společým zjeměím σ i σ 2. Použijeme-li Lemm..8, dv předešlé odhdy předpokld existece f, tj. e f = f, máme Sσ) sσ) Sσ ) sσ 2 ) < f + ε 2 f + ε 2 = ε. ) Protože horí dolí itegrálí součet je ifimem resp. supremem jisté možiy, plye přímo z defiice 0 f f Sσ) sσ) pro kždé rozděleí σ. Prvou stru umíme z předpokldu udělt meší ež sebemeší kldé ε. A to je možé jeom tk, že f f = 0. Důsledek..6. Necht < c < d b < +. pk f je itegrovtelá i v c, d. Je-li f itegrovtelá v, b, Důkz. že Z existece f plye pro kždé ε > 0 existece rozděleí σ itervlu, b tk, S,b σ) s,b σ) < ε. Defiujme rozděleí σ = σ {c, d} itervlu, b rozděleí σ = σ c, d itervlu c, d. Protože σ je zjeměím rozděleí σ všechy částečé itervly rozděleí σ jsou obsžey v rozděleí σ, pltí S c,d σ ) s c,d σ ) S,b σ ) s,b σ ) S,b σ) s,b σ) < ε. Pro libovolé kldé ε se ám podřilo tedy jít tkové rozděleí σ itervlu c, d, že S c,d σ ) s c,d σ ) < ε, což zmeá splěí uté i postčující podmíky pro existeci d c f. Důsledek..7. Necht < < c < b < +. c, b, pk f je itegrovtelá i v, b. Je-li f itegrovtelá v, c v Důkz. Pro důkz existece f využijeme větu..5. Pro libovolé kldé ε existují rozděleí σ ) itervlu, c σ 2) itervlu c, b tková, že S,c σ ) ) s,c σ ) ) < ε 2 S c,b σ 2) ) s c,b σ 2) ) < ε 2..) Položme σ = σ ) σ 2). Pro toto rozděleí itervlu, b pltí S,b σ) = S,c σ ) ) + S c,b σ 2) ) s,b σ) = s,c σ ) ) + s c,b σ 2) ). 5

7 Kombicí těchto vzthů erovostí. dosteme S,b σ) s,b σ) < ε. Tím je splě postčující podmík pro existeci itegrálu f. I když máme utou postčující podmíku existece itegrálu, její tvr eí šikový pro ověřováí. Je všk velice užitečý pro důkz existece f u fukcí spojitých ebo mootoích. Vět..8. Fukce f spojitá, b má v tomto itervlu itegrál f. Důkz. Podle Ctorovy věty je fukce spojitá uzvřeém itervlu spojitá stejoměrě, tj. ε > 0) δ > 0) x, x, b ) x x < δ fx) fx ) < ε). Uvžujme libovolé kldé ε položme ε = ε/b ). Ke kldému δ, které získáme k ε v defiici stejoměré spojitosti, sestrojíme rozděleí σ = {x 0, x,..., x } itervlu, b tk, by jeho orm byl meší ež δ. Protože fukce spojitá uzvřeém itervlu bývá tomto itervlu svého suprem i ifim, existují pro kždé i =, 2,..., čísl ξ i, η i x i, x i tková, že m i = fξ i ) M i = fη i ). Tedy zřejmě η i ξ i i < δ. Proto 0 Sσ) sσ) = ) Mi m i i = i= fηi ) fξ i ) ) i < ε i = εb ) = ε. i= i= To už podle věty..5 zmeá existeci f. Vět..9. Fukce f mootoí v itervlu, b má v tomto itervlu itegrál f. Důkz. Opět ověříme, že je splě utá postčující podmík existece itegrálu. Existeci itegrálu pro kosttí fukce jsme již ukázli v příkldě..3. Proto předpokládejme bez újmy obecosti, že f je klesjící fukce že f) > fb). Ke kldému ε zkostruujme rozděleí σ = {x 0, x,..., x } itervlu, b tk, by jeho orm byl ε meší ež δ :=. V ásledujícím odhdu využijeme toho, že fukce klesjící v uzvřeém itervlu bývá suprem M i v levém ifim m i v prvém krji f) fb) itervlu, 0 Sσ) sσ) = ) fx i ) fx i ) i < δ i= ) fx i ) fx i ) = δ f) fb) ) = ε. i= Splěí této podmíky už implikuje existeci f. 6

8 Ukážeme příkldě, že i spojitost i mootoie ejsou utou podmíkou pro existeci itegrálu. Příkld..20. Připomeňme defiici Riemovy fukce fx) = { 0 pro ircioálí x, pro x = p, p, q esoudělá celá, q. q q Tto fukce je omeze shor číslem, zdol ulou. Je espojitá v kždém rcioálím bodě x 0 spojitá v kždém ircioálím bodě. Ukážeme, že itegrál této hodě espojité fukce existuje. 2 Počítáme f. Protože if f = 0 kždém itervlu, je sσ) = 0 pro 0 kždé rozděleí σ, tedy f = 0. 0 Pro lezeí horího itegrálího součtu zvolme přirozeé popišme body z itervlu 0,, ve kterých je fukčí hodot ) větší ebo rov. Jsou to zkráceé zlomky x = p, kde 0 < p < q, protože f p =. Tkových zlomků eí více ež q q q párů přirozeých čísel splňujících 0 < p < q. Těch je 2). Uvžujme ekvidisttí rozděleí itervlu 0, 3 částečých iterválků stejé délky =. Pk 3 3 Sσ) = M k = k= 3 k, kde M k < 3 + Z defiice horího itegrálího součtu plye, že f if { M k + ) 2 k, kde M k M k = } N = 0. Dolí i horí itegrálí součet má stejou hodotu 0. Proto 0 f = 0. N druhé strě fukce f, která je itegrovtelá, b, emůže být všude espojitá, jk dokládá ásledující vět. Vět..2. Necht fukce f je itegrovtelá v itervlu, b. Pk fukce f má v, b ekoečě moho bodů spojitosti. 2 Riemův původí příkld hodě espojité fukce, která přesto má itegrál, je fx) = + = x 2, kde x je fukce periodická R s periodou, přičemž kldeme x := x pro x 2, 2 ) 2 := 0. Tímto příkldem se Riem dostl dleko z Cuchyovy předstvy o tom, že je rozumé itegrovt jeom fukce po částech spojité. 7

9 Důkz. Ukážeme, že pro kždý itervl, b pro kždou fukci f itegrovtelou, b pltí, že v, b existuje lespoň jede bod spojitosti f. Tím bude vět dokázá, protože z existece f plye existece d f pro sebemeší itervl c, d, b, c v itervlu c, d tedy tky jdeme bod spojitosti fukce f. Necht existuje f. Zvolme libovolě ε > 0. Z uté postčující podmíky pro existeci itegrálu plye, že existuje tkové rozděleí σ itervlu, b, že S,b σ) s,b σ) = M i m i ) i < ε b ). i= A tedy lespoň jedom částečém itervlu x i, x i je rozdíl M i m i suprem ifim meší ež ε. Ozčme prostředí třetiu tohoto itervlu jko, b. Protože existuje i f, úvhu opkujeme pro kldé ε 2 itervl, b. Zse jdeme rozděleí σ itervlu, b, kde S,b σ) s,b σ) = ) Mi m i i < ε 2 b ). i= A tedy lespoň jedom částečém itervlu je rozdíl M i m i suprem ifim meší ež ε 2. Prostředí třetiu tohoto částečého itervlu ozčíme 2, b 2. Tkto můžeme pokrčovt dál. Volíme-li kldá čísl ε tk, by lim ε = 0, dostávme posloupost do sebe vořeých itervlů, b, b 2, b 2..., přičemž rozdíl suprem ifim fukce f je itervlu, b meší ež ε. Posloupost levých krjů ) těchto itervlů tvoří ostře rostoucí posloupost posloupost prvých krjů b ) ostře klesjící posloupost, přičemž < b pro kždé. Proto c := lim, b ) pro kždé N. + Ted ukážeme, že bod c je bodem spojitosti fukce f. Necht je dáo kldé ε. Njdeme tk, by ε < ε položíme δ := mi{c, b c}. Pk δ-okolí c δ, c+δ), b ), proto pro kždé x z tohoto okolí je rozdíl fx) fc) omeze rozdílem suprem ifim fukce f itervlu, b ). Te je meší ež ε < ε. To dokzuje spojitost f v bodě c. Pozámk. Dokoce lze dokázt, že moži bodů spojitosti fukce f itegrovtelé v, b má mohutost kotiu, tj. mohutost možiy R. 8

10 .2 Určitý itegrál jko limit poslouposti Defiice.2.. Posloupost σ ) N rozděleí itervlu, b zveme ormálí, když pro ormy pltí lim νσ ) = 0. Příkld.2.2. V poslouposti σ ) ekvidisttích rozděleí defiových σ = {, +, + 2,..., + ), + = b}, kde = b )/, je orm kždého rozděleí νσ ) = b. Proto je to ormálí posloupost rozděleí. Příkld.2.3. Pro kždé N uvžujme rozděleí σ itervlu, b pomocí geometrické poslouposti σ = {, q, q 2,..., q = b}, kde q = b/. Pro ormu kždého rozděleí σ pltí νσ ) = mx k ) b/) k k b/) = mx k b/) k ) ) b/) = b/) 0 jedá se proto o ormálí posloupost rozděleí. Lemm.2.4. Necht f je omezeá itervlu, b. Pk ke kždému kldému ε existuje kldé δ tk, že pro libovolé rozděleí σ itervlu, b s ormou νσ) < δ pltí f Sσ) f + ε f ε sσ) f. Důkz. Horí itegrálí součet je ifimem možiy horích součtů, tedy z druhé vlstosti ifim plye ) ) ε > 0 σ f + ε 2 > Sσ ) Ozčme p počet dílčích iterválků rozděleí σ. Vezměme libovolé rozděleí itervlu, b s ormou νσ) < δ. Toto δ bude specifikováo později. Defiujme společé zjeměí σ = σ σ. Z lemmtu..8 víme, že Sσ ) Sσ ) Sσ ) Sσ) 2Kpνσ), kde K je kostt omezující bsolutí hodotu fukce f. Proto 0 Sσ) ). f = Sσ) Sσ ) + Sσ ) Sσ ) + Sσ ) f. }{{}}{{} 2Kpνσ) 0 }{{} Když položíme δ = ε, je prvá str předchozí erovosti < ε, což jsme měli dokázt. 4Kp Důkz pro dolí součty je obdobý. 9 <ε/2

11 Vět.2.5. Necht f je fukce omezeá itervlu, b echt σ ) N je libovolá ormálí posloupost rozděleí. Pk f = lim Sσ ) + f = lim sσ ). + Důkz. To, že posloupost σ ) je ormálí, zmeá δ > 0) 0 ) > 0 ) νσ ) < δ ). Z předchozího lemmtu o horím dolím itegrálím součtu plye ) ) ) ε > 0 δ > 0 σ, νσ) < δ) f Sσ) Kombicí obou výroků již dosteme ) f + ε. ) ε > 0 0 ) > 0 ) f Sσ ) ) f + ε = f = lim Sσ ). + Druhá část věty o dolím itegrálím součtu se dokzuje obdobě. Příkld.2.6. Vypočítejme ex dx pomocí předchozí věty. Zvolíme ormálí ekvidisttí posloupost rozděleí σ = { + i b i = 0,,..., }. Protože fukce e x je rostoucí, bývá ifim m i suprem M i krjích částečých itervlů. Proto sσ ) = i= b +i ) e b = b e i= e b ) i = b eb e e b Jelikož lim x 0 x e x =, je lim sσ ) = e b e. + Horí součty lze vyjádřit pomocí dolích součtů, Sσ ) = i= b +i e b = e b sσ ). Souhrě dosteme e x dx = lim Sσ ) = lim sσ ) = e b e = + + e x dx = e x dx. Příkld.2.7. Určíme xp dx pro 0 < < b prmetr p R, p > 0. Opět se jedá o fukci mootoí, b. Suprem i ifim bude fukce částečých itervlech rozděleí bývt v krjích bodech. Kdybychom použili ekvidisttí rozdě- 0

12 leí z předchozího příkldu, museli bychom umět sečíst sumu Sσ ) = i= + i b ) p b Tkovou sumu sečíst eumíme. Můžeme všk použít jiou ormálí posloupost rozděleí. Použijeme geometrickou posloupost z příkldu.2.3. Ted horí součet má Sσ ) tvr i= b ) ) i p b ) i b ) ) b = p+ ) ) i= b ) p+ ) i = b = p+ Využijeme toho, že ) ) b ) p+ b p+ ) ) p+ b = b p+ p+) b ) p b b ) ) p+ dosteme lim b/) p x = lim + x x p+ = p + x p dx = Pro dolí horí součty pltí vzth lim Sσ ) = bp+ p+ + p + sσ ) = b ) p Sσ ). Proto horí dolí itegrálí součty jsou stejé itegrál xp dx existuje, x p dx = bp+ p+ p + Pozámk. Změ hodoty fukce v koečém počtu bodů ezměí hodotu horího i dolího itegrálího součtu. Stčí dokázt přípd, kdy změíme fukci v jedom bodě. Když f g jsou fukce omezeé itervlu, b, přičemž gx) = fx) pro kždé x, b {c}, pk pro libovolou ormálí posloupost rozděleí σ ) je Proto je lim S f σ ) = lim S g σ ). S f σ ) S g σ ) νσ ). sup,b ) f if g 0.,b f jko limitu. Zve- Doposud jsme vyjádřili f f jko limitu. Ted vyjádříme deme ejdříve zákldí pojem - itegrálí součet.

13 Defiice.2.8. Necht f je fukce omezeá, b echt σ = {x 0, x,..., x }, kde = x 0 < x <... < x = b, je rozděleí itervlu, b. Sumu J σ) = fξ i ) i, kde ξ i x i, x i pro kždé i {, 2,..., }, i= zýváme itegrálím součtem fukce f při rozděleí σ. Pozámk. ) I když to formálě evyzčujeme, itegrálí součet J σ) závisí ejeom σ, le tké volbě jedotlivých bodů ξ i. 2) Pro kždé rozděleí σ pltí sσ) J σ) Sσ). Vět.2.9. zákldí vět itegrálího počtu) 3 Necht f je fukce omezeá itervlu, b. Itegrál f existuje právě tehdy, když pro kždou ormálí posloupost rozděleí σ ) N je posloupost J σ ) ) kovergetí. N Důkz. ) Předpokládejme, že f existuje. V tomto přípdě pro ormálí posloupost rozděleí z věty.2.5 je lim Sσ ) = lim sσ ) = f. Protože sσ ) J σ ) Sσ ) pro kždý itegrálí součet σ, plye tvrzeí z věty o limitě sevřeé poslouposti. ) Nejdříve ukážeme, že když kždá posloupost J σ ) ) je kovergetí, tk všechy poslouposti J σ ) ) mjí stejou limitu. Ukážeme to sporem. Předpokládejme, že existují dvě ormálí poslouposti rozděleí σ ) ) 2)) σ tkové, že lim J σ ) ) 2)) lim J σ. Pk posloupost rozděleí σ defiová předpisem σ 2 = σ ) σ 2 = σ 2) je opět ormálí, přitom lim J σ ) eexistuje, ebot vybré podposlouposti sudých lichých čleů mjí růzé limity - spor. Uvžujme ormálí posloupost rozděleí σ ) N ozčme body -tého rozděleí σ = {x ) 0, x ),..., x ) k }. Ifimum, respektive supremum, fukce f částečém itervlu x ) i, x) i zčíme m ) i, respektive M ) i. Z vlstosti suprem ifim plye, že pro kždé N pro kždé i =, 2,..., k existují body ξ ) i, η ) i x ) i, x) i tkové, že m ) i fξ ) i ) < m ) i + M ) i < fη) i ) M ) i. Vyásobeím erovostí kldým číslem ) i pro i =, 2,..., k dosteme sσ ) J ) σ ) := k i= := x ) i x ) i sečteím těchto erovostí fξ ) i ) ) i < sσ ) + b, 3 Původí Cuchyov-Riemov defiice itegrálu je zlože itegrálích součtech. Defiice určitého itegrálu pomocí horích dolích itegrálích součtů, jk jsme ji uvedli my, pochází od Gsto Drbouxe ). Tto vět tedy ukzuje ekvivleci obou defiic. 2

14 respektive Sσ ) b < J 2) σ ) := k i= fη ) i ) ) i Sσ ). Z věty o limitě sevřeé poslouposti z toho, že lim Sσ ) lim sσ ) existují rovjí se horímu, respektive dolímu, itegrálímu součtu, dosteme f = lim J ) σ ) + f = lim J 2) σ ). + Jk jsme už dokázli lim J ) σ ) = lim J 2) σ ), což zmeá rovost horího dolího itegrálího součtu, tedy existeci f. Pozámk. Z důkzu věty plye, že v přípdě existece f je toto číslo limitou itegrálích součtů J σ ) pro libovolou ormálí posloupost rozděleí..3 Vlstosti určitého itegrálu Zčeme tuto kpitolu doplňkem k defiici určitého itegrálu. Z techických důvodů je výhodé, když emusíme hlídt, zd horí mez v určitém itegrálu je skutečě větší ež dolí. Defiice.3.. ) Necht fukce f je itegrovtelá v itervlu, b. Pk defiujeme f := f říkáme, že f má itegrál od b do. b 2) Necht D f. Pk defiujeme f := 0 říkáme, že f má itegrál od do. Ukážeme, že přiřzeí určitého itegrálu k fukci, tj. f f, je lieárím fukcioálem prostoru fukcí itegrovtelých v, b. Vět.3.2. lierit určitého itegrálu) Necht α,, b R echt fukce f g mjí itegrál od do b. Pk fukce αf f + g mjí itegrál od do b pltí αf) = α f f + g) = f + g. Důkz. Nejdříve uvžujme situci, kdy < b. Je-li σ ) ormálí posloupost rozděleí itervlu, b, tk pro itegrálí součet fukcí αf f + g pltí J αf σ ) = αf)ξ k ) k = α fξ k ) k = αj f σ ),.2) k= k= J f+g σ ) = f + g)ξ k ) k = k= fξ k ) k + gξ k ) k = J f σ ) + J g σ )..3) k= k= 3

15 Předpokládli jsme existeci f g. Proto ze zákldí věty itegrálího počtu plye, že poslouposti J f σ ) ) J g σ ) ) jsou kovergetí pro kždou volbu ormálí poslouposti rozděleí. Jelikož součet dvou kovergetích posloupostí reálý ásobek kovergetí poslouposti jsou opět kovergetími posloupostmi, jsou tky J αf σ ) J f+g σ ) kovergetí pro kždou volbu σ ). Tedy zse podle zákldí věty itegrálího počtu existují αf) f + g). Limitím přechodem v.2).3) pro + pk už dosteme poždové rovosti mezi itegrály. Necht b <. Pk f = f g = g. Z dokázého pltí, že existují αf) b b b f + g). Proto existují i αf) f + g) pltí b f + g) = αf) = b b αf) = α f + g) = b b f V přípdě = b vět pouze tvrdí 0 = α.0 0 = f = α b g = g. Stčí uvžovt Dirichle- Pozámk. Z existece f +g) eplye existece f tovu fukci f položit g = f. f, f + g. Vlstost určitého itegrálu popsou dlší větou lze výstižě zvt ditivit itegrálu v mezích. Vět.3.3. Necht, b, c R echt existují lespoň dv z itegrálů f, c f f. c Pk existuje i třetí itegrál pltí f = c f + f. c Důkz. Nejdříve předpokládejme, že, b c jsou tři růzé body. Existeci třetího itegrálu, když existují dv z itegrálů f, c f f, zručují důsledky c Stčí tedy dokázt rovost. ) Nejdříve diskutujme přípd < c < b. Necht σ ) je ormálí posloupost rozděleí itervlu, b tková, že pro kždé N je c σ. Položme σ ) = σ, c σ 2) = σ c, b. Tkto defiové σ ) ) σ 2) ) jsou ormálími posloupostmi rozděleí itervlů, c, resp. c, b. Pro itegrálí součty pltí zřejmý vzth J,b σ ) = J,c σ ) ) + J c,b σ 2) )..4) Z existece itegrálů c f f podle zákldí věty itegrálího počtu plye c J,b σ ) f, J,c σ ) ) c f J,c σ 2) ) c f. To spolu s.4) dokzuje větu. 4

16 2) Diskutujme přípd < b < c. Podle bodu ) pltí rovost c f = f + c f. Proto f = c f c f = c f + f, b b c jk jsme měli ukázt. Osttí přípdy ostrých erovostí mezi čísly, b, c mjí logický důkz. Když mezi čísly, b, c ste lespoň jed rovost, je vět přímým důsledkem toho, že itegrál se stejou horí dolí mezí kldeme rove 0. Pozámk. Necht f má itervlu, b koečý počet skoků, řekěme c, c 2,..., c k, kde c < c 2 <... < c k b. Itegrál c i c i f existuje, protože změou fukčí hodoty f ejvýš v bodech c i c i lze získt fukci spojitou, tedy itegrovtelou c i, c i. Změ fukčí hodoty fukce ve dvou bodech eovliví i existeci i hodotu itegrálu. Stejá úvh pltí i pro itegrály c f c k f. Využijeme opkově ditivity itegrálu v mezích dosteme, že existuje itegrál f pltí f = c f + ci c i f c k f. Vět.3.4. o erovostech v itegrálu) v itervlu, b. Je-li fx) gx) pro kždé x, b, pk f g. Je-li fx) < gx) pro kždé x, b, pk f < g. Necht fukce f g jsou itegrovtelé Důkz. ) Uvžujme fukci h itegrovtelou ezáporou itervlu, b. Pro její ifimum m tomto itervlu pltí m 0. Protože pro kždé rozděleí σ itervlu, b je dolí součet sσ) mb ) 0, je utě i h = sup σsσ) 0. Z předpokldů věty z lierity itegrálu plye, že fukce h := f g je itegrovtelá ezáporá. Proto 0 f g) = f g. 2) Stejě jko v předchozí části bude tvrzeí věty zřejmé, pokud ukážeme, že fukce h, kldá itegrovtelá, b, má kldý itegrál. Zvolme x 0, b), který je bodem spojitosti fukce h. To lze, protože itegrovtelá fukce má dokoce ekoečě moho bodů spojitosti, viz..2. Kldost hx 0 ) spojitost implikují existeci okolí x 0 δ, x 0 + δ), kterém je hx) hx 0) 2. Z bodu ) plye 0 +δ x 0 δ h 0 +δ x 0 δ hx 0 ) 2 = hx 0 )δ > 0. 5

17 Z ditivity itegrálu v mezích bodu ) dosteme 0 δ h = h }{{} δ h x 0 δ }{{} >0 + h x 0 +δ }{{} 0 > 0. Vět.3.5. Necht f je itegrovtelá v, b. Pk f je itegrovtelá v, b pltí f f. Důkz. Stčí si uvědomit, že pro kždou fukci omezeou c, d pltí sup f if f sup f if f..5) c,d c,d c,d c,d Důkz této erovosti je jedoduchý pro fukci ezáporou celém c, d. Tm je totiž sup f = sup f if f = if f, proto jde v.5) o rovost. Pro fukci ekldou celém c, d, je sup f = if f if f = sup f, tké v.5) pltí rovost. Zbývá diskutovt fukci f, která c, d bývá jk kldých tk záporých hodot. Pro ásledující odhd využijeme toho, že if f > 0, if f > 0 toho, že mximum ze dvou kldých čísel je meší ež jejich součet: sup f if c,d c,d f sup c,d f = mx{sup f, if c,d c,d f} sup f if f. c,d c,d Právě dokázá erovost.5) implikuje pro kždé rozděleí σ itervlu, b Existeci f lze ekvivletě přepst S f σ) s f σ) S f σ) s f σ)..6) ε > 0 ) σ ) S f σ) s f σ) < ε). To spolu s.6) zmeá, že fukce f splňuje, b utou postčující podmíku pro existeci itegrálu. Proto f existuje. Nerovosti f f f f implikují podle věty o erovostech v itegrálech, že f f f f. To dává b f b. f Vět.3.6. itegrál jko fukce horí meze) Necht f je itegrovtelá itervlu, b. Fukce F :, b R defiová předpisem F x) = f je spojitá, b. Jeli fukce f spojitá v bodě x 0, b, je fukce F diferecovtelá v x 0 pltí F x 0 ) = 6

18 fx 0 ). Důkz. Fukce f je omezeá, b, existuje tedy K tk, že fx) K pro kždé x. Pro odhd rozdílu F x) F x 0 ) využijeme ditivity v mezích itegrálu F x) F x 0 ) = f 0 x f = x 0 f x x f x 0 x 0 K Když pro dé kldé ε položíme δ = ε, bude pro kždé x, b pltit K x x 0 < δ F x) F x 0 ) < ε. To zmeá, že F je spojitá v bodě x 0, jk jsme měli ukázt. K x x 0. Pro důkz dlší části tvrzeí předpokládáme, že bod x 0, b je bodem spojitosti fukce f. To lze ekvivletě přepst ε > 0) δ > 0) t, b ) t x 0 < δ fx 0 ) ε < ft) < fx 0 ) + ε ). Uvžujme x tkové, že x 0 < x < x 0 + δ. Z věty o erovostech v itegrálech získáme horí odhd F x) F x 0 ) = x 0 f < x 0 fx0 ) + ε ) = fx 0 ) + ε ) x x 0 ) odhd z druhé stry F x) F x 0 ) = Po úprvě dosteme x 0 f > ε < F x) F x 0) x x 0 x 0 fx0 ) ε ) = fx 0 ) ε ) x x 0 ). fx 0 ) < ε Pro x z levého δ-okolí bodu x 0 dosteme stejý odhd. Celkově to je defiice fktu jk jsme chtěli ukázt. ε > 0) δ > 0) x, b ) ) F x) F x 0 ) fx 0 ) x x 0 < ε, F x) F x 0 ) lim = fx 0 ), x x 0 x x 0 Protože f = f f, obdobé tvrzeí lze smožřejmě dokázt i pro fukci x s pohyblivou dolí mezí v itegrálu. Symbolicky lze psát f) = fx) f) = fx)..7) x 7

19 Nyí můžeme dokázt, jk jsme to slíbili v kpitole Primitiví fukce, větu o existeci primitiví fukci k fukci spojité. Důsledek.3.7. Fukce spojitá otevřeém itervlu, b) má v tomto itervlu primitiví fukci. Důkz. Zvolme libovolě le pevě c, b). Spojitost fukce f implikuje existeci určitého itegrálu od c do x pro kždé x, b). Proto lze položit F x) := f. Podle c předchozí věty je F x 0 ) = fx 0 ) pro kždé x 0, b). Příkld.3.8. Pro fukci g spojitou jistém okolí H dokžme pltost vzthu x t) gt) d t) = x t) gt) d t.8) pro libovolé přirozeé x H. Nejdříve uprvíme fukci, kterou chceme derivovt, pomocí biomické věty Ax) := x t) gt) d t = ) t gt) d t + k= x ) ) k x k t k gt) d t. k N derivováí ted použijeme prvidlo.7) pro derivci čleů sumy víc použijeme vzorec pro derivci součiu. A x) = ) x gx) + k= ) = x gx) ) k + k k=0 }{{} =0 Protože ) k k = k ), máme B = k= x ) ) k kx k t k gt) d t + k gt) k= ) ) k kx k t k k k= }{{} =:B ) ) k x gx) k ) ) ) k kx k t k = ) j x j t j = x t). k j Tím je rovost.8) dokázá. j=0 d t..4 Výpočet určitého itegrálu Nyí už máme k dispozici dosttečý prát, bychom dli do souvislosti určitý eurčitý itegrál. Newtoov formule využívá zlosti primitiví fukce pro výpočet určitého itegrálu. Dlší metody pro výpočet určitého itegrálu - per prtes substitučí - jsou 8

20 jeom důsledkem této formule metody per prtes substitučí metody pro primitiví fukce. Vět.4.. Newtoov formule) existuje fukce F tková, že ) F je spojitá, b ; 2) F x) = fx) pro kždé x, b). Pk pltí f = F b) F ) Necht existuje f, kde, b R, < b echt oz. = [F x)] b Důkz. Uvžujme ormálí posloupost rozděleí σ ) s čley σ = {x ) 0, x ),..., x ) k }, kde = x ) 0 < x ) <... < x ) k = b. Použijeme-li Lgrgeovu větu o přírůstku fukce F itervlech x ) postupě pro i =, 2,..., k, dosteme i, x) i F b) F ) = k i= F x ) i ) F x ) i )) = k i= F ξ ) i )x ) i x ) i ) = = k i= fξ ) i ) ) i = J σ ). Po limitím přechodu při + dosteme lim J σ ) = F b) F ). Zákldí vět itegrálího počtu říká, že z předpokldu existece itegrálu plye f = lim J σ ). Proto f = F b) F ). Pozámk. Předpokld existece f v Newtoově formuli je důležitý. V roce 88 V. Volterr 4 sestrojil příkld fukce F spojité, b, která má omezeou derivci F, le F eí fukce itegrovtelá, b. Neuvedeme žádý příkld tkovéto fukce, protože pro všechy zámé fukce s touto vlstostí je důkz eexistece itegrálu zdlouhvý. Pozámk. ) Fukce F, jejíž existece se předpokládá ve větě, je primitiví fukcí k fukci f, b), le víc musí být F spojitá, b. 2) Předpokldy kldeé F lze zeslbit. Poždvek spojitosti fukce F, b musí zůstt zchová, le stčí, když F x) = fx) pro všech x, b) ž koečý počet výjimek. Aditivit itegrálu v mezích původí Newtoov formule totiž umožňuje přepst f = c f + c2 c f c k f = = F c ) F ) + F c 2 ) F c ) F b) F c k ) = F b) F ), kde {c, c 2,..., c k } jsou body, ve kterých epltí F x) = fx). 4 Vitto Volterr ), itlský mtemtik, proslvil se výsledky v oblsti itegrálích rovic 9

21 Příkld.4.2. Vypočítejme π/2 0 Nejdříve lezeme primitiví fukci + cos 2 x dx = +cos 2 x si 2 x + 2 cos 2 x dx = po substituci tg x = t pokrčujeme = 2 + t dt = 2 2 dx pomocí Newtoovy formule. cos 2 x 2 + tg 2 x dx = ) 2 dt = rctg t = rctg tg x =: F x) t Fukce F je primitiví fukcí itervlu 0, π/2), le by F byl spojitá 0, π/2, musíme dodefiovt Z Newtoovy formule dosteme π/2 0 F π/2) = + cos 2 x lim F x) = x π/2 π 2 2 dx = F π/2) F 0) = π 2 2 Počítejme určitý itegrál ze stejé fukce le v itervlu 0, π. Primitiví fukci počítáme stejě. Zpomeeme-li poždvek spojitosti jeom formálě dosdíme horí dolí mez, dosteme F π) F 0) = 0, což je emožé pro itegrál z kldé fukce. Vět.4.3. metod per prtes pro určitý itegrál) Necht fukce f g jsou spojité, b diferecovtelé v, b). Když existují itegrály f g fg, pk f x)gx) dx = [fx)gx)] b fx)g x) dx Důkz. Předpokldy věty zručují, že fukce fg je primitiví fukcí k fukci f g + fg v itervlu, b) fg je spojitá, b. Proto z Newtoovy formule f g +fg ) = [fg] b. Lierit itegrálu už dokzuje větu. Příkld x rctg x dx = [ x ] rctg x dx = π 4 2 Pozámk. Větu lze vyslovit i v jedodušším tvru, kdy se požduje spojitost všech fukcí, t už implikuje existeci obou itegrálů: Když fukce f, g, f g jsou spojité, b, pk f g = [fg] b fg. 20

22 Tto vět má všk omezeé použití. Npř. výpočet itegrálu 3 0 x rcsi x + dx při volbě fx) = x gx) = rcsi x x+ jí elze použít, jelikož fukce g x) = 2 xx+) je eomezeá 0, 3), tedy fukci g elze udělt spojitou 0, 3. Vět.4.5. substituce v určitém itegrálu) Pk ) φ je spojitá α, β diferecovtelá v α, β); 2) f je spojitá φ α, β. β pokud itegrál levo existuje. α f φt) ).φ t) dt = φβ) φα) Necht pro fukce f φ pltí fx)dx, Důkz. Fukce φ je spojitá, proto φ α, β je uzvřeý itervl. Zvolme libovolě bod c φ α, β položme F x) = f pro x φ α, β. Tto fukce F je spojitá diferecovtelá φ α, β. Proto složeá fukce F φt) ) je spojitá α, β má c derivci f φt) ).φ t) v itervlu α, β). Z Newtoovy formule plye β α f φt) ).φ t) dt = [ F φt)) ] β α = F φβ) ) F φα) ) = Při úprvách jsme použili ditivity itegrálu v mezích. φβ) c f φα) c f = φβ) Příkld.4.6. Pro výpočet ásledujícího itegrálu použijeme ejdříve substituci x = cos t pro t 0, π/2 posléze substituci t = π/2 y pro y 0, π/2. φα) f 0 x2 dx = π/2 0 0 si 2 t dt = si 2 π/2 y) dy = π/2 π/2 0 cos 2 y dy = = 2 π/2 0 si 2 y + cos 2 y ) dy = 2 π/2 0 dy = π 4. Tuto kpitolu uzvřeme využitím Newtoovy formule pro odvozeí dlšího tvru zbytku při proximci fukce polyomem. Vět.4.7. itegrálí tvr zbytku) Necht pro ezáporé celé číslo, fukci f bod pltí, že existuje okolí H, kterém má fukce f spojitou + )-í derivci. Pk -tý zbytek R x) v Tylorově vzorci je pro kždé x H rove R x) =! x t) f +) t) dt. 2

23 Důkz. Tvrzeí dokážeme idukcí. Nejdříve uvžujme = 0. Když má fukce f jistém okolí bodu spojitou prví derivci, Newtoov formule říká, že fx) f) = f t) dt. Jelikož je 0-tý Tylorův polyom T 0 x) = f), dává předchozí vzth rovost pro zbytek R 0 x) = jk jsme měli ukázt. f t) dt, Pro idukčí krok využijeme tvru Tylorov vzorce pro fukci f její -tý Tylorův polyom fukci f její )-í Tylorův polyom. Pltí fx) = T,f x) + R,f x).9) f x) = T,f x) + R,f x)..0) Zderivováím.9) dosteme dlší vyjádřeí derivce fukce f x) = T,fx) + R,fx)..) V kpitole Tylorův vzorec jsme ukázli pro Tylorův polyom fukce f Tylorův polyom její derivce f vzth T,fx) = T,f x). Porováím.0).) získáme R,fx) = R,f x). Z idukčího předpokldu plikového fukci f plye R,fx) = R,f x) = )! x t) f +) t) dt. Využitím rovosti.8) dosteme R,fx) =! x t) f +) t) dt). Fukce, jejichž derivce se rovjí, se liší ejvýš o kosttu. V šem přípdě je všk 22

24 kostt rov ule, protože fukce R,f x) i itegrál prvo jsou pro x = rovy 0. Tím je vět dokázá..5 Věty o středí hodotě itegrálu V přípdě, že eumíme jít primitiví fukci k fukci f, musíme se při výpočtu itegrálu f obrátit k ějké umerické metodě. Čsto všk v plikcích eí uté zát přesou hodotu itegrálu postčuje rozumý odhd. Příkld.5.. K fukci e x2 eumíme jít primitiví fukci v elemetárím tvru. Pomocí věty o erovostech v itegrálu dosteme pro hodotu 0 e x2 dx odhd: 0 e x2 = 0 0 e x2 dx e = mi{e x2 x 0, } e x2 = e 0 e x2 dx e x e x2 pro x 0, = 0 e x dx = [ e x] = 0 e 0 e x2 dx Příkld.5.2. Uvžujme > 0 odhděme itegrál 2 si x dx. x x si x x x 2 = x dx 2 si x x dx 2 x dx. A tedy 2 si x x dx l 2. Obecější ávod odhdováí hodot itegrálů ám djí věty o středí hodotě itegrálu. Vět.5.3. o středí hodotě I) Necht fukce f je itegrovtelá ezáporá itervlu, b echt fukce fg je itegrovtelá, b. Pk existuje µ if g, sup g tkové, že,b,b fg = µ f. Důkz. Ozčme m ifimum M supremum fukce g itervlu, b. Pk z pltosti erovosti m fx) M pro kždé x, b z toho, že fx) 0 dosteme mfx) gx)fx) Mfx) m f fg M f..2) Z pltosti posledí erovosti plye, že je-li f = 0, pk fg = 0, v tomto přípdě lze zvolit µ libovolě. Stčí proto uvžovt přípd f 0, což spolu s ezáporostí f 23

25 dává f > 0. Položme µ = fg/ f. Pk.2) po vyděleí kldým číslem µ m, M, jk tvrdí vět. f dává erovost Pozámk. ) Přidáme-li k předpokldům věty ještě spojitost g, pk tvrzeí lze vyslovit ve tvru: Existuje c, b tkové, že fg = gc) 2) Pro volbu fukce f = vět říká: g = µb ). Číslo µ se zývá střeí hodot fukce g. Číslo µ vystihuje jkou výšku by měl mít obdélík d itervlem, b, by jeho ploch byl stejá, jko ploch mezi osou x grfem kldé fukce g. Vět.5.4. o středí hodotě II) Necht fukce f fg jsou itegrovtelé v itervlu, b echt g je mootoí v, b. Pk f. existuje ξ, b tk, že ξ fg = g) f + gb) ξ f. Důkz. ) Nejdříve dokážeme speciálí přípd, kdy fukce g je klesjící gb) = 0. Z těchto dodtečých podmíek máme jít ξ, b tk, že fg = g) ξ f. Když g) = 0, pk gx) 0 tvrzeí pltí utomticky. Proto předpokládejme g) > 0. Defiujme F x) = Fukce F je spojitá, b, proto bývá mxim miim. Ozčme f. m = mi,b F M = mx,b F. Uvžujme dále rozděleí σ itervlu, b, σ = {x 0, x,..., x }, pro jehož body σ = {x 0, x,..., x } pltí = x 0 < x <... < x = b. Připomeňme Abelovu sumci, kterou použijeme sumu Gσ) := i= i gx i ) f. x i Abelov sumce Necht k ) k N b k ) k N jsou libovolé poslouposti. Položme B k = k i= b i pro k = 0,,..., tedy speciálě B 0 = 0. Pk i b i = i= ) i Bi B i = i= ) i B i i+ B i = B i+ i Bi. i= i= i= 24

26 Pro úprvu Gσ) uvžujeme i = gx i ) b i = i x i f, tedy B i = i f. Dosteme Proto Gσ) = gx ).F b) + gxi ) + gx }{{} i ) ) F x i ). }{{} 0 i= 0 Gσ) Mgx ) + M gxi ) + gx i ) ) = Mg). Podobě odhdeme Gσ) zdol celkově dosteme i= mg) Gσ) Mg)..3) Rozdíl Gσ) fg lze odhdout pomocí rozdílů horích dolích součtu fukce g, která je podle předpokldu mootoí, tedy itegrovtelá. Využijeme tké omezeosti fukce f tj. existece K tkového, že fx) K pro kždé x, b ) k odhdu Gσ) i= i fg = i= i gx i ) f x i i= i= i fg = x i i= i ) fx) gx i ) gx) dx x i ) fx) dx ) ) gx i ) gx) K gx i ) gx i ) x i x i ) = K S g σ) s g σ). x i Necht σ ) je ormálí posloupost rozděleí. Dosdíme-li do posledího odhdu z σ postupě σ, máme pro kždé N Gσ ) ) fg K S g σ ) s g σ ) 0. Tedy lim Gσ ) = + Jelikož podle.3) je mg) Gσ ) Mg), musí i limit poslouposti pdout do stejých mezí, fg g) mg) fg. fg Mg). Číslo pde mezi mximum miimum spojité fukce F x), tedy existuje ξ, b tkové, že F ξ) = fg, což přepsáo je g) ξ g) f = 2) Dokžme ted větu pro libovolou klesjící fukci g. Defiujeme gx) = gx) gb). fg. 25

27 Fukce g splňuje předpokldy, z kterých jsme větu dokázli v bodě ). Proto Po doszeí ) b f g f gb) = f g gb) po úprvě ξ f g = g) f + gb) ξ f g = g) f. f = g) gb) ) ξ ξ f gb) f = g) f + gb) ξ ξ if = g) f gb) f 3) V přípdě, že je g rostoucí, využijeme pltost věty pro klesjící fukci g. Pozámk. U věty o středí hodotě II jsme předpokládli existeci fg. Je třeb říct, že itegrovtelost f g itervlu, b už implikuje itegrovtelost součiu f g. Protože jsme tuto implikci echtěli dokzovt, přidli jsme kromě potřebých předpokldů itegrovtelosti f mootoie g mootoie už vyucuje itegrovtelost) i fkticky zbytečý předpokld itegrovtelosti f g. Pozámk. Když o fukcích f g předpokládme, že f je fukce spojitá itervlu, b g fukce mootoí se spojitou derivci g, b, pk je důkz 2. věty o středí hodotě jedodušší. Diferecovtelost fukce g její mootoie zručují, že g je spojitá, b g eměí tomto itervlu zméko. Nvíc g = gb) g). Položme F x) = f pro kždé x, b itegrujme per prtes, fg = [F g] b ξ f. F g..4) Z věty o středí hodotě I plikové fukci F ezáporou, resp. ekldou, fukci g dosteme F g = F ξ) Doszeím.5) do.4) dosteme g = F ξ) gb) g) )..5) To už je ekvivletí s tvrzeím věty. fg = g) F ξ) F ) ) + gb) F b) F ξ) ). Příkld.5.5. Odhděme stejě jko v příkldě.5.2 itegrál 2 si x x dx, pro > 0. 26

28 Použijeme větu o středí hodotě II, kde z f bereme spojitou, tedy itegrovtelou fukci fx) = si x z g vezmeme klesjící, tedy tky itegrovtelou fukci Dosteme odhd 2 gx) = si x x dx ξ = pro x, 2), x 0 pro x = 2. si x dx = cos cos ξ) 2, který ukzuje, že hodot itegrálu s rostoucím klesá k 0. To z odhdu 2 l 2 získého v příkldu.5.2) elze vyčíst. si x x dx Pozámk. Pro fukci se spojitou +)-í derivcí jistém okolí H lze zbytek po -tém Tylorově polyomu v Tylorově vzorci vyjádřit v itegrálím tvru R x) =! x t) f +) t) dt pro x H. Použijeme-li prví větu o středí hodotě itegrálu fukci x t), která pro pevé x H itervlu s kocovými body x eměí zméko, využijeme-li toho, že itervlu spojitá fukce f +) bývá v ějkém bodě, řekěme ξ, libovolou hodotu mezi suprémem ifimem fukce, dosteme R x) =! f +) ξ) x t) dt = ] x! f +) x t)+ ξ) [ = f +) ξ) + + )! x )+. Z itegrálího tvru zbytku jsme odvodili Lgrgeův tvr, prvd z trochu silějších předpokldů + )-í derivci fukce f, ež tomu bylo při odvozeí v kpitole Tylorův vzorec. 27