MATEMATIKA 2. Úlohy, otázky, aplikace

Transkrypt

1 MATEMATIKA Úlohy, otázky, plikce elektronický učební text Václv NÝDL, Rent KLUFOVÁ, Rdk ŠTĚPÁNKOVÁ Ktedr plikovné mtemtiky informtiky Ekonomická fkult, Jihočeská univerzit v Českých Budějovicích

2 Tto publikce vznikl v rámci projektu IP5 // - Inovce výuky mtemtiky n EF JU se změřením n prlelní výuku v nglickém jzyce Zvláštní ocenění utorů si zslouží studentk oboru Ekonomická informtik EF JU Ann Stepur, která se význmným způsobem podílel n kontrole výsledků většiny úloh v této publikci. c Václv Nýdl, 5

3 TÉMA 8.A Derivce x... y... y = dy dx = f (x) = df dx... y () = f () = df dx ()... nezávisle proměnná funkce proměnné x, tj. y = y(x) (závisle proměnná) první derivce funkce y=f(x) podle x hodnot derivce funkce y = f(x) v bodě def. oboru funkce f sttionární bod funkce f... bod tkový, že f () = Poznámky Derivce f () je hodnot tg α, kde α je úhel mezi tečnou grfu funkce y=f(x) v bodě [, f()] osou x (tzv. sklon tečny neboli grdient). Můžeme užívt i jiných symbolů než y x. Příkldy: f du (t),. dt Když f () existuje, pk f je spojitá v bodě, lim f(x) = f(); x když f (x) existuje pro kždé x (, b), pk f je spojitá n intervlu (, b). I bud otevř. intervl f(x)=g(x) pro kždé x I. Pk f (x)=g (x) pro kždé x I. Je-li y = f(t), kde t je čs, pk y = f (t) je funkce vyjdřující okmžitou rychlost procesu. Tedy f () je okmžitá rychlost změny y při t =. Mrginální nlýz v ekonomice. Jsou-li C(x) nákldy n produkci x jednotek je -li R(x) příjem získný z prodeje x jednotek, pk hodnot C () (mrginální nákldy) odhduje nákldy n produkci (+)-ní jednotky R () (mrginální příjem) odhduje příjem získný z prodeje (+)-ní jednotky. Dále, je-li zisk P (x) = R(x) C(x), pk hodnot P () (mrginální zisk) odhduje zisk z prodeje (+)-ní jednotky. Techniky derivování (k) = pro kždé k R, (Derivce k-násobku) [k f(x)] = k f (x) (Derivce součtu/podílu) [f(x) ± g(x)] = f (x) ± g (x) (Derivce součinů) [f(x) g(x)] = f (x) g(x) + f(x) g (x); [f(x) g(x) h(x)] = f (x) g(x) h(x) + f(x) g (x) h(x) + f(x) g(x) h (x) (Derivce podílu) [ ] f(x) f (x) g(x) f(x) g (x), pokud g(x) g(x) [g(x)] (Derivce slož. funkcí) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) či [f(g(h(x)))] = f (g(h(x))) g (h(x)) h (x) dy = du du dy dx dx, kde y=f(u), u=g(x); Zákldní vzorce (x) =, (Derivce mocniny) (x r ) = r x r (r ), (e x ) = e x, (ln x) = x, (sin x) = cos x, (cos x) = sin x, (tg x) = cos x, (cotg x) = sin x, (rcsin x) = x, (rccos x) = x, (rctg x) = +x, (rccotg x) = +x. 3

4 ÚLOHY Úloh 8A. [nespojitost] Znázorněte grf funkce spočítejte, kolik má bodů nespojitosti. () y = sign(x) (b) y = sign(x +) (c) y = sign(x ) (d) y = ch {} (x)+sign(x ) (e) y = ch {} ( x) (f) y = ch {,} (x) (g) y = ch (,) (x) (h) y = ch {} (x)+ch (,) (x) Úloh 8A. [technik derivování] (A) Derivujte zdné výrzy užitím vzorce (c x ) = c x. () 3 x (b) 3 x (c) 5x.8 (d) 5 (e) 5 3 x (f) 7x 5 3 x x.8 x (B) Derivujte užitím vzorců (f g) = f g + f g, () x 3 e x (b) 3 sin x ln x (c) x e x ( f g ) = f g fg g. (d) e x (e) x ln x x.8 + ln x x (C) Užijte vzorce (sin[f(x)]) = cos[f(x)] f (x), dále ( e f(x)) = e f(x) f (x), (cos[f(x)]) = sin[f(x)] f (x), (f(x) ) = f(x) f (x) derivujte zdné výrzy. () sin(x+) (b) cos 5 x (c) e x+ sin x cos x (d) x+ (e) cos[sin(x)] (f) e (D) Vzorec (ln[f(x)]) = f (x) pltí, kdykoliv f (x) existuje je f(x) >. Pro f(x) zdné funkce určete hodnoty y( ) y ( ) n 3 desetinná míst. () y = ln(x ) (b) y = ln[cos(x+)] (c) y = ln( x ) (d) y = ln[ln(x+3)] Úloh 8A.3 [vzorce pro derivování] Jsou dány funce f g, o nichž víme, že pltí: f() =, g() = 4, f () =, g () = 3, g (4) = 5, f (4) = 5. V kždé z následujících úloh určete hodnotu F (), jestliže víme, že F () existuje: () F (x) = f(x) g(x) (b) F (x) = g(x) + f(x) (c) F (x) = f(x) g(x)+ ln(g(x)) f(x) g(x) (d) F (x) = [f(x)] 3 + g(x) (e) F (x) = f[g(x)] g[f(x)] (f) F (x) = f[f(x)]+g[g(x)] Úloh 8A.4 [derivování funkcí definovných po částech] Derivujte: () funkce h: pro x (, ) je h(x) = x e x, dále pro x (, + ) je h(x) = x e x, (b) funkce k: pro x (, ) je k(x) = x, dále pro (, ) je k(x) = x, (c) funkce y = x + x sign (x), (d) funkce y = x + x ch (,8) (x) (e) funkce y = ln x. Úloh 8A.5 [úhel tečny] Určete velikost úhlu α mezi tečnou grfu zdné funkce v zdném bodě osou x. () y = x 3 x 4, =, (b) y = x ln x, =, (c) y = sin 3x + +x, =. Úloh 8A.6 [úlohy s prmetrem] Je zdán funkce f : y = x 3 + px + x +, kde p je prmetr. Njděte všechny hodnoty prmetru tkové, že: () y ( ) = 5, (b) y ( ) > 5, (c) = je stcionárním bodem funkce f, (d) = není stcionárním bodem funkce f, (e) y (p) = 7. 4

5 OTÁZKY Otázky 8A. [šptné derivování] V pěti ukázkách níže vidíte příkldy nesprávných postupů při derivování jk jsme je zznmenli u nšich studentů. U kždé ukázky vysvětlete, v čem byl chyb. () (x e x ) = e x = e x (b) (e x ) = xe x (c) (sin x) = cos x (d) (e) ( ) 4 = 4 (x + ) 4(x + ) = x + 4(x + ) = x 8x + x + (x + ) (x + ) (x + ) ( ) 3 = ( (t + ) 3) = ( 3)(t + ) 3 6 = t + (t + ). 4 Otázky 8A. [správné derivování] () Připomeňme si vzorec pro derivci součinu 3 funkcí (f g h) = f g h+f g h+f g h. Užijte ho n (x ln x sin x). Anlogicky derivujte součin 4 funkcí (x 3 e x ln x cos x). xe x (b) Při derivci použijeme vzorce pro derivci podílu pro derivci součinu. Tkže x+ ) x+ = (xe x ) (x+) (xe x )(x+) x =.... Dokončete. Anlogicky derivujte. (x+) e x (x+) ( xe x (c) Při derivci sin (ln e x ) použijeme vzorce pro derivci dvkrát složené funkce [f(g(h(x)))] = f (g(h(x))) g (h(x)) h (x). Anlogicky pk při derivci sin ( ln e x) použijeme vzorce pro derivci třikrát složené funkce [f(g(h(m(x))))] = f (g(h(m(x)))) g (h(m(x))) h (m(x)) m (x). Proved te. (d) Pro derivci funkce y = x vyjdeme z přepisu x = e x ln, tkže můžeme užít vzorce ( e f(x) ) = e f(x) f (x) dostáváme: ( x ) = ( e x ln ) = e x ln ln = x ln. Anlogicky bude (x x ) = ( e x ln x) =.... Dokončete výpočet. Proč vyšlo x x (ln x + )? Otázky 8A.3 [kretivní úlohy] Kvdrtická funkce má tvr y = x + bx + c, kde. Je možno vytvořit kvdrtickou funkci tkovou, že () y (5) = (b) y (5) < (c) y (5) = zároveň y(5) = (d) y (5) = 3 y (4) (e) y (5) = 3 y(4) (f) y () + y () = y (3)? Otázky 8A.4 [stcionární body] U kždé ze zdných funkcí zdůvodněte, proč nemá žádné stcionární body. () y = 4e t 4 (b) y = t 3 + 7t (c) y = ln(q 4) (d) y = q+4 q+5. Otázky 8A.5 [úhel tečny - úloh s prmetrem] Uved me si některé význčné hodnoty funkce tg α: tg 45 =, tg 6 = 3, tg 3 = 3. Njděte hodnotu prmetru p ve funkci 3 f(x) = x p tk, by byl splněn zdná podmínk pro velikost úhlu α mezi tečnou grfu x funkce f v bodě osou x. () =, α = 45 (b) =, α = 3 (c) = 3, α = 6 (d) = p, α = 45. 5

6 APLIKACE Aplikce 8A. [mrginální nlýz] [Hoffmnn & Brdley, 99] Výrobce předpokládá, že jeho nákldy n výrobu x jednotek určité komodity budou C(x) = x 6 x + 6x + USD že p(x) = USD je jednotková cen při úrovně prodeje x jednotek. 4 () Zjistěte vzorce pro mrginální nákldy mrginální příjem. (b) Při produkci jednotek odhdněte nákldy n -tou jednotku. (c) Při produkci jednotek odhdněte příjem z prodeje -té jednotky. Řešení. () Mrginální nákldy jsou C (x) = ( x + 6x + 4 ) = x + 6. Příjem z prodeje x jednotek z jednotkovou cenu p(x) = 8 x je R(x) = x p(x) = 8x x. Mrginální příjem je pk 3 R (x) = ( 8x x ) = 8 x = 4 x. (b) Odhd nákldů n -tou jednotku při úrovni produkce jednotek získáme z funkce pro mrginální nákldy sice C () = + 6 = USD. (c) Odhd příjmu z prodeje n -té jednotky při úrovni prodeje jednotek získáme z funkce pro mrginální příjmy sice R () = 4 = 3 USD. Aplikce 8A. [rychlost] [Hoffmnn & Brdley, 99] Podle odborné environmentální studie se předpokládá, že ve sledovné oblsti bude koncentrce znečist ujících látek v ovzduší podléht funkci m(p) =.4p + 8 PPM při velikosti populce p tisíc obyvtel. N nejbližší lét se předpokládá velikost populce podle funkce p(t) = 3. +.t tisíc obyvtel, přičemž t je čs v letech od nynějšk. Jkou roční rychlostí poroste znečištění ovzduší 4 roky od nynějšk? Řešení. Nším cílem je získt hodnotu dm pro t = 4. Nejdříve dm = dt dp (.4p + 8).4 (p) =.4p dp. Further, =.t. A nyní derivujeme složenou funkci:.4p +8 dt dm dt = dm dp dp dt =.4p.4p + 8.t =.8pt.4p + 8 Je-li t = 4, pk p = p(4) = = 4.8. Konečně dm ročně. Jkou roční rychlostí poroste znečištění ovzduší 5 let od nynějšk? = dt PPM Aplikce 8A.3 [rozhodování o investici] [Simon & Blume, 994] Tržní cen Vší nemovitosti se bude řídit v nejbližších letech (t je čs v letech od nynějšk) funkcí V (t) = e. t EUR. Předpokládejme, že 6 let od nynějšk budete moci investovt peníze se ziskem 5 % p.. Bude výhodné v té době prodt Vši nemovitost z tržní cenu získné peníze investovt? Řešení. Rychlost růstu tržní hodnoty dné nemovitosti je V (t) = ( e. t ) e. t. t = e. t. t EUR ročně. Šest let od nynějšk bude V (6) = e EUR dále V (6) = e EUR ročně. Pokud bychom prodli nemovitost z tržní cenu, tj. z 6 3 EUR, hned peníze investovli n 5 % p.., pk bychom dosáhli růstu hodnoty těchto peněz EUR ročně, což dává větší zisk. = 6

7 TOPIC 8.B. Aplikce derivcí y = d y dx = f (x) = d f dx y () = f () = d f dx () y (k) = dk y dx k = f (k) (x) = dk f dx k y (k) () = f (k) ()... Poznámky druhá derivce funkce y=f(x) podle x hodnot druhé derivce funkce y=f(x) v bodě definičního oboru funkce f k-tá derivce funkce y=f(x) podle x hodnot k-té derivce funkce y=f(x) v bodě definičního oboru funkce f Derivce vyšších řádů se získjí opkovným derivováním. Je možno užívt jiných symbolů než y x. Příkldy: f d (t), 3 u. dt 3 Je-li y = f(t), kde t je čs, pk y = f (t) udává okmžité zrychlení popisovného procesu. Aplikce derivcí funkce y = f(x) Tečná přímk grfu funkce f v bodě je y f() = f () (x ); v dotykovém bodě [, f()] s grfem je pk kolmice k tečně normálou grfu funkce f. Diferenciál funkce f v bodě je df = f () dx. Používá se k proximci hodnoty funkce f v bodě x = + h blízkém k ; z dx dosdíme hodnotu přírůstku h. Užíváme vzorec f(x). = f() + f () h. L Hospitlovo prvidlo (limity neurčitých výrzů) f(x) Necht lim = x g(x) nebo = f. Je-li lim (x) f(x) = L, pk lim = L. x g (x) x g(x) (Upozornění: čittel jmenovtel se derivují kždý zvlášt!) Monotonie konvexnost v bodě nebo n otevřeném intervlu I: f () > f je rostoucí v, f () < f je klesjící v, f () > f je konvexní v, f () < f je konkávní v, ( x I) f (x) > f je rostoucí n I, ( x I) f (x) < f je klesjící n I, ( x I) f (x) > f konvexní n I, ( x I) f (x) < f konkávní n I. Tylorův mnohočlen k-tého stupně v pro funkci y=f(x) : T (x) = f() + f ()! (x ) + f ()! (x ) + f () 3! (x ) f (k) () k! (x ) k Lokální extrémy inflexní body funkce y=f(x) Stcionární bod funkce f je tkový bod, že f () =. Je-li stcionární bod funkce f f () <, pk f má lokální mximum v. Je-li stcionární bod funkce f f () >, pk f má lokální minimum v. Je-li f () = f (), pk f má inflexní bod v. Absolutní extrémy spojité funkce f n uzvřeném intervlu p, q Weierstrssov vět zručuje existenci bsolutních extrémů. K jejich nlezení vyhodnotíme funkci f pouze ve: stcionárních bodech + bodech, kde derivce neexistuje + bodech p, q. 7

8 ÚLOHY Úloh 8B. [tečn normál] Je dán bod hodnoty f() f (). Njděte rovnici tečny normály grfu funkce f v bodě ve tvru y = kx + q. (i) =, f() = 3, f () = 4, (ii) =f()=f ()=, (iii) =, f() =, f () =. Úloh 8B. [diferenciál Tylorův mnohočlen] Jsou dány body, b hodnoty f(), f () f (). Njděte přibližné hodnoty f(b) jednk užitím diferenciálu funkce f v bodě jednk užitím Tylorov mnohočlenu stupně funkce f v bodě. (i) =, b =., f() = 3, f ()=f ()=6, (ii) =, b =.99, f()=f ()=f ()=. Úloh 8.B.3 [poloměr křivosti] ) 3 Necht y = f(x) je funkce, bod definičního oboru funkce f. Pokud ( + [f ()] existují f () f () přitom f (), pk poloměr křivosti R R = f funkce f v bodě je definován vzorcem nprvo. () V úlohách níže určete poloměr křivosti R funkce f v bodě, jestliže znáte vzorec Tylorov mnohočlenu T (x) nějkého stupně pro funkci f v bodě. (i) T (x) = 7+4(x )+.5(x ) +(x ) 3 48(x ) (x ) 5 56(x ) 6, (ii) T (x) = (x ) + (x ) 3(x ) 3 + 4(x ) 4 5(x ) 5 7(x ) 7 + 8(x ) 8. Úloh 8.B.4 [L Hospitlovo prvidlo] Njděte všechny hodnoty prmetru p tkové, že n výpočet dné limity je možno použít L Hospitlovo prvidlo. () lim x x + px x 4x + 3, (b) lim x ln x, (c) lim p x x + x + x e x+ p, (d) lim x + px x x +. Úloh 8.B.5 [monotonie funkce] symbolů: ND... není v def. oboru funkce f, IN... f je rostoucí v, DE... f klesjící v, S... je stcionární bod funkce f. Vyplňte políčk v tbulce užitím následujících =.5 f(x) = x 3 4x f(x) = e x f(x) = 3/x + x f(x) = ln( x) Úloh 8.B.6 [konvexnost, konkávnost] symbolů: ND... není v def. oboru funkce f, UP... f je konvexní v, DO... f je konkávní v, I... je inflexním bodem funkce f. Vyplňte políčk v tbulce užitím následujících =.5 f(x) = x 3 4x f(x) = e x f(x) = 3/x + x f(x) = ln( x) Úloh 8.B.7 [funkce s prmetrem] Ve funkci g(x) = x 3 + px + 3 njděte všechny hodnoty prmetru p tk, že (i) = je inflexní bod funkce g, (ii) g nemá stcionární bod, (iii) g má jeden stcionární bod, (iv) g je konkávní v x=. 8

9 OTÁZKY Otázky 8B. [vlstnosti funkce] () Funkce y = e x nemá body nespojitosti. Proč? (b) Funkce y = 3e x není nikde rostoucí. Proč? (c) Funkce y = e 3x je všude konvexní. Proč? (d) Funkce y = e 3x je všude konkávní. Proč? (e) Funkce y = x+ x+ (f) Funkce y = x+ x+ (g) Funkce y = x+ x+ (h) Funkce y = x+ x+ nemá stcionární bod. Proč? nemá inflexní bod. Proč? není nikde klesjící. Proč? není nikde rostoucí. Proč? Otázky 8B. [nesprávné užití L Hospitlov prvidl] Níže vidíte šest příkldů nesprávného použití L Hospitlov prvidl. V kždém přípdě vysvětlete, v čem je chyb. x () lim x x + = lim (x ) 4x = lim x (x + ) x x =. x + x (b) lim x x 3x + = lim (x + x ) 4x + = lim x (x 3x + ) x x 3 = lim (4x + ) 4 = lim x (x 3) x =. (c) e lim t +3 t + = + e 3t + + výpočet nikdy neskončí. = lim t + (e t +3) e = lim t = (e 3t +) t + 3e 3t + = (et ) = lim + (3e 3t ) t + 4e t 9e 3t =...; Otázky 8B.3 [Tylorův mnohočlen] Je-li f(x) = x 4, určíme f (x) = [ (x 4) ] = (x 4) nd f (x) = [ (x 4) ] = (x 4) 3. Je-li = 4, pk f() = f(4) =, f () = f (4) =, f () = f (4) = 8. Tylorův mnohočlen stupně pro funkci f v bodě je: T (x) = f() + f () (x ) + f () (x ) = + (x 4) + (x!! 6 4). Nyní je T (4.) = + (4. 4) + (4. 6 4) =.9975, le klkulčk ukzuje f(4.) = 4. 4 = Které číslo je tedy správné? Otázky 8B.4 [nesprávná plikce Weierstrssovy věty] Je-li g(x) = 8, pk g (x) = (8x ) = 36 x 3 = 36. Použijeme Weierstrssovu větu x x 3 njdeme bsolutní extrémy funkce g n intervlu I =, 3. Stcionární body: g = 36 =... žádné řešení. Funkce nemá x 3 x 3 stcionární body. To znmená, že do tbulky hodnot použijeme pouze g(x) 4.5 krjní body intervlu I. Výsledek: bsolutní mximum funkce g n I je 4.5 bsolutní minimum funkce g n I je. ALE: I hodnot g() = 8, což je větší než 4.5. Co bylo šptně? 9

10 APLIKACE Aplikce 8B. [optimální čs prodeje] [Simon & Blume, 994, str ] Tržní hodnot pozemku zkoupeného z účelem spekulce je dán vzorcem V (t) = e t 4 USD, kde t je čs v letech od nynějšk. Je-li dlouhodobě úroková mír z finnčních investic %, jk dlouho bychom měli čekt s prodejem, bychom dosáhli mxim součsné hodnoty? Řešení. Je-li dlouhodobě úroková mír finnčních investric konstntně n úrovni r, pk pro součsnou hodnotu pltí P (t) = V (t)e rt. Hledáme čs t, kdy P (t) nbývá mxim. Problém mximlizce řešíme položením první derivce rovné nule (V (t)e rt ) = V (t)e rt rv (t)e rt = V (t) V (t) Výsledkem je optimální čs prodeje. Výrz V (t) je nzýván optimlní rychlost růstu. N V (t) druhou strnu, r udává úrokovou míru, která v bnce vyjdřuje procentický růst peněžních investic v bnce. Pokud hodnot P (t) roste rychleji, než úrok peněžních investic v bnce, neměli bychom pozemek prodávt. Pokud le peněžní investice v bnce doshují většího úroku měli bychom pozemek prodt utržené peníze bezprostředně investovt v bnce s úrokem r. Čsový okmžik t, kdy nstne tto možnost změny, se určí z rovnice V (t) V (t) = r. Dostáváme V (t) V (t) = r et 4 t 4 4 =. 3 e t 4 4 t 4 =. t = let. Určete optimální čs t pro prodej stejného pozemku, je-li úroková mír 8 %. Aplikce 8B. [psychologie - teorie učení] [Brnett & Ziegler, 988] L. L. Thurstone, povžovný z zkldtele kvntittivní teorie učení, nvrhnul v roce 97 model f(x) = x+b k vyjádření závislosti počtu úspěšných kcí z čsovou jednotku, které cx+d je schopn sledovná osob provést, n počtu prktických sezení x. Předpokládejme, že pro student kurzů psní n stroji je f(x) = 3.5x+8, kde f(x) je počet.5x+.4 slov npsných z minutu, x je počet lekcí. Určíme limitu užitím L Hospitlov prvidl. 3.5x+8 lim x + = lim 3.5.5x+.4 x +.5 lekcí výkonnost 63 slov z minutu. = 63; tj. student bude mít po bsolvování dosttečného počtu Byl nvržen i jiný model pro stejný jev, totiž g(x) = 63 5 e.x. Provnejte f(x) g(x). Aplikce 8B.3 [bsolutní extrémy znečištění] [Brnett & Ziegler, 988] Dvě centr těžkého průmyslu, A B, jsou vzdálen od sebe mil. Koncentrce sledovné látky ve vzduchu v jednotkách PPM klesá úměrně s převrácenou hodnotou vzdálenosti od zdroje znečištění. Jestliže zdroj A emituje sedmkrát více polutntu než zdroj B, pk hodnot koncentrce v místě n spojnici A B vzdáleném x mil od A, je dán jko c(x) = 8.4 x +..5 x 9.5 Njděte extrémní hodnoty c(x) pro x.5, 9.5. (x ) Řešení. Funkce c(x) má derivci n intervlu I = (, + ) proto je n něm spojitá. Protože =.5 b = 9.5 ptří do I, můžeme užít Weierstrssovu větu n intervl.5, 9.5 : c (x) = ( ) x (x ) = ; nyní stcionární body: x 3 (x ) 3 ) 3 x = c (x) = = 7 = ( x x 3 (x ) 3 x Tbulk extremálních hodnot pro c(x) n.5, 9.5 je vprvo. Absolutní minimum je v x = x c(x)

11 TOPIC 9.A Neurčité integrály Zákldní pojmy vlstnosti Funkce F (x), pro níž F (x) = f(x) pro kždé x (, b), se nzývá primitivní funkcí k f(x) n otevřeném intervlu (, b). Kždá funkce, která je spojitá n otevřeném intervlu I, má n I primitivní funkci. Množin všech primitivních funkcí k funkci f(x) n otevřeném intervlu (, b) se nzývá neurčitý integrál funkce f(x) n tomto intervlu. Kždé dvě primitivní funkce k funkci f(x) n dném intervlu se liší o nějkou konstntu. Pro neurčitý integrál užíváme oznčení f(x)dx = F (x) + C, kde diferenciál dx specifikuje, že proměnná je x; C se nzývá integrční konstnt. Metody integrce (Nlezení vhodných otevřených intervlů je ponecháno n čtenáři; integrční konstnt je vynechán.) f(x) ± g(x)dx = f(x)dx ± g(x)dx Je-li f(x)dx = F (x), pk f(t + b)dt = (tzv. lineární substituce). x n dx = xn+, dále x dx = n+ F (t + b) k f(x)dx = k f(x)dx pro lib. lib. b R dx = ln x n (, ), (, + ). x f e x dx = e x (x) dx = ln f(x), f(x) npř. x ln x dx = x dx = ln ln x ln x Mlá tbulk neurčitých integrálů (libovolný výrz tvru f (x) změňte z ) [mt] (x + b) n (x + b)n+ dx = pro n, (n + ) [mt] ln x + b dx = x + b x x + b dx = x b ln x + b pro [mt3] x + bx + c dx = x + b D ln D x + b + = = rctg x + b D x + b D D, D = b 4c pro D > pro D = pro D < [mt4] [mt5] [mt6] [mt7] x x + bx + c dx = ln x + bx + c b x n e kx dx = xn e kx n x n e kx dx, speciálně k k ln n x dx = x ln n x n x k ln n xdx = xk+ ln n x k + ln n x dx n k +, x dx pro + bx + c ln n x x e kx dx = ekx k dx = lnn+ x n + x k ln n x dx pro k. pro k pro n

12 ÚLOHY Úloh 9A. [definice primitivní funkce] Prověřte pomocí derivování, zd n nějkém intervlu (o který se blíže nezjímáme) pltí dný vzth. () (x + ) dx = x x + +C (b) xe x dx = e x +C (c) ln x dx = x +C (d) x cos x dx = x sin x+c (e) sin x cos x dx = sin x+c (f) dx = ln x +C x Úloh 9A. [technik integrování] Ve vzorcích jsme vynechli integrční konstntu C. (A) Integrujte užitím () 3 x (b) (B) Integrujte užitím () 8 x + (x+b) n dx = (x+b)n+ (n + ), kde, n, dále 3 x + 3 (c) 5x.8 (d) (b) cos x sin x f (x) f(x) dx = ln f(x), speciálně (c) e x e x + 3 dx = ln x. x 5 x.8 (e) x 5 3 x (f) 7x 5 (d) 3 x x + b dx = ln x + b pro. 6x x + 7 (e) x ln x = x ln x (C) Zintegrujte níže zdné výrzy užitím vzorců (, int. konst. C opět vynechán): e x+b dx = ex+b, sin(x+b) dx = cos(x+b), cos(x+b) dx = sin(x+b). () e x+ + e x ( ) x (b) cos (c) sin 4x + e x 4 (e) sin(3x + ) 3 cos x (D) Užijte vzorce [mt3] [mt4] výše integrujte výrzy. 3x 7 x + () x (b) + 9x 8 x (c) 4 x (e) + 4 x + x + 8 (f) 4 x + x (E) Užijte rekurentní vzorce [mt5],[mt6] [mt7] výše integrujte výrzy. () ln x (b) x ln x (c) xe x (d) x e x (e) x ln x (f) x ln x Úloh 9A.3 [role intervlu u neurčitého integrálu] Posud te prvdivost kždého z dvojice výroků, v nichž hrje roli volb intervlu I. () N intervlu I = (, ) pltí: u du = ln( u) + C tké dt = t t + C, (b) N intervlu I = (, ) pltí: dt = (t + ) t + + C tké t dt = t + C, (c) N intervlu I = (, + ) pltí: (d) N I = (, + ) pltí: 3 x du = x 3 + C tké dt = + C, t t q dq = ln q + C tké u +u du = ln(u +)+C.

13 OTÁZKY Otázky 9A. [šptné integrování] V šesti ukázkách níže vidíte příkldy nesprávných postupů při integrování jk jsme je zznmenli u nšich studentů. U kždé ukázky vysvětlete, v čem byl chyb. () ln x dx = x + C (b) t dt = t dt = t + + = t... not defined. (c) ln x dx = ln x dx = x ln x ln x dx = x ln x x dx = x ln x x + C (d) (e) dt = (3t + ) dt = 3t + x cos x dx = x sin x + C (f) (3t + ) + 3 ( + ) = 3(3t + ) + C. e q dq = eq+ q + + C Otázky 9A. [správné integrování] () Pro integrci funkce y = x vyjdeme z přepisu x = e x ln, tkže můžeme užít vzorce [mt5] dostáváme: x dx = e x ln dx =... dokončete výpočet. x f (b) Pro výpočet x + dx máme dvě možnosti; jednk vzorec (x) dx = ln f(x), f(x) jednk dvojici formulí [mt4],[mt3]. Zjistěte, zd dostneme stejný výsledek. Co je rychlejší? (c) V této ukázce nejdříve derivujeme: (x ln x x) = ln x + x = ln x. To x znmená, že ln x dx = x ln x x+c. Druhou možností pro výpočet ln x dx je následující: ln x dx = (ln + ln x) dx = ln dx + ln x dx = x ln + x ln x x + C. Vyšlo totéž? Otázky 9A.3 [role intervlu] kterém pltí. ( ) () x + x (b) (c) (d) (e) (f) ( x + x ) ( x + + x ) ( x + + x ) ( x x ) ( x + x ) U kždého ze zápisů níže určete mximální otevřený intervl n dx = 3 (x ) 3 3 ( x) 3 + C dx = 3 (x ) 3 3 ( x) 3 + C dx = 3 (x ) ( + x) 3 + C dx = 3 (x + ) 3 3 ( x) 3 + C dx = 3 (x + ) ( + x) 3 + C? dx = 3 (x + ) ( x) 3 + C. 3

14 APLIKACE [Hoffmnn & Brdley, 99] Aplikce 9A. [ekonomická nlýz] () Ropný vrt, který dává 3 brelů z měsíc, bude vytěžen z 3 roky. Odhduje se, že vzth p(t) = t vyjdřuje cenu z jeden brel t měsíců od nynějšk vytěžená rop bude z tuto cenu vždy okmžitě prodán. Máme určit celkový příjem z prodej ropy z uvedené období 3 let. Řešení. Funkce R(t) bude vyjdřovt příjem (revenue) z prodeje ropy z prvních t měsíců od počátku těžby. Máme tedy: {přírůstek příjmu z měsíc t} = {3 ktuální cen} = 3 p(t), což zpíšeme jko R (t) = 3(8 +.3 t) R(t) = 3(8 +.3 t) dt = 54t + 6t 3 + C. Protože R() = je nutně C = konečný příjmový model je R(t) = 54t + 6t 3. Nkonec je R(36) = = 7 36 USD. Jký bude příjem z první rok těžby? (b) Ve vybrné firmě bylo zjištěno, že mrginální nákldy jsou 3(q 4) Kč z jednotku zboží při produkci n úrovni q jednotek zboží, tj. C = 3(q 4). Integrováním určíme nákldovou funkci C(q) = 3(q 4) dq = (q 4) 3 + k. Dále je znám hodnot fixních nákldů C() = 4 36 Kč, tkže můžeme určit hodnotu integrční konstnty k : 4 36 = ( 4) 3 + k Určete nákldy n jednotek produkce. k = 3 7 Kč. (c) Výrobce předpokládá, že při úrovni produkce q jednotek je mrginální příjem roven q EUR n jednotku dále mrginální nákldy jsou rovny.4q EUR n jednotku. Víme ještě, že při úrovni produkce 6 jednotek je dosžený zisk 5 EUR. Určete hodnotu zisku při úrovni produkce 5 jednotek. Řešení. Víme, že R (q) = q C (q) =.4q tedy dostáváme P (q) = [R(q) C(q)] = R (q) C (q) = q.4q P (q) = ( q.4q ) dq = q.q + k. Nyní již máme profitovou funkci P (q) = q.q + k; zbývá určit hodnotu integrční konstnty k z podmínky P (6) = 5 EUR. Dokončete úlohu, Aplikce 9A. [modely růstu poklesu] () Zůsttková hodnot průmyslového stroje y klesá postupně v desetiletém období tk, že rychlost poklesu tétohodnoty závisí n stáří stroje x v letech podle vzthu y = (x ) EUR z rok. Je tedy y = (x ) dx = x x + C. V modelu y = x x + C zbývá určit konstntu C. Jestliže víme, že pořizovcí cen stroje byl EUR, tj. y() =, dostáváme rovnici = + C C =. Jká bude zůsttková hodnot stroje po uplynutí 9 let 6 měsíců? (b) V jednom merickém supermrketu je součsná cen z kg kuřecího ms rovn 3 USD. Předpokládáme, že t týdnů od nynějšk bude cen růst rychlostí p (t) = 3 t + centů z týden. Integrováním získáme předpis pro cenovou funkci p(t): p(t) = 3 t + dt = (t + ) 3 + C. Hodnotu C určíme z fktu, že p() = 3 centů/kg: 3 = ( + ) 3 + C cenu po 8 týdnech. C = 98. Určete (c) Předpokládá se, že v jedné zemi bude x let od nynějšk její populce růst rychlostí e.x miliónů lidí ročně. Odhdněte velikost populce z let, je-li její součsná velikost 3 miliónů. Řešení. Je-li f(x) funkce vyjdřující velikost populce v miliónech lidí x let od nynějšk, máme f (x) = e.x. Po zitegrování f(x) = e.x dx = 5e.x + C. Dále víme, že f() = 3, tj. 3 = 5e + C C =. Dokončete výpočet. 4

15 TÉMA 9.B Určité integrály Zákldní pojmy vlstnosti Je-li F (x) primitivní funkce k f(x) n otevřeném intervlu I, pk pro libovolné, b I je (Newtonův) určitý integrál z f(x) od do b číslo b f(x)dx = [F (x)] b = F (b) F (), f(x)... integrnd,, b... integrční meze,... dolní mez, b... horní mez. Poznámky Hodnot b f(x)dx nezávisí n volbě primitivní funkce k f(x). Je-li f(x) spojitá n otevřeném intervlu I, b I, pk b f(x)dx existuje. Je-li ve výše uvedené definici b = +, pk [F (x)] + = lim {F (u) F ()}. u + Anlogicky jsou definovány i osttní přípdy tzv. nevlstních integrálů. Aplikce určitého integrálu (f(x), g(x) jsou funkce spojité n otevřeném intervlu I,, b I, J =, b ) Obsh A oblsti mezi grfem funkce f(x) osou x n J: je-li f(x) n J, pk A = b f(x)dx, je-li f(x) n J, pk A = b f(x)dx, jsou-li hodnoty f(x) n J jk kldné tk záporné, pk A se počítá po částech, tj. J se rozdělí n tkové části, že n kždé z nich bud to f(x) nebo f(x). Je-li f(x) g(x) n J, pk b f(x) g(x) n J. {f(x) g(x)} dx počítá obsh A oblsti mezi grfy funkcí Necht nezáporná funkce f(t) je modelem vyjdřujícím rychlost změny úrovně nějké veličiny (v intervlu I). Akumulovné množství této veličiny mezi t = t = b je vyjádřeno jko b f(t) dt. Střední hodnot y funkce y = f(x) n intervlu J: y = b b f(x) dx Objem V rotčního těles tvořeného rotcí oblsti pod křivkou y = f(x) kolem osy x n J: V = π b {f(x)} dx. Integrální kritérium konvergence: Necht funkce f(x) je nezáporná n (, ) I; njdeme L = + f(x) dx pk pro řdu f(n) pltí následující: () L R f(n) je konvergentní, n= n= () L = + f(n) je divergentní. n 5

16 ÚLOHY Úloh 9.B. Zjistěte hodnotu určitého integrálu střední hodnotu proměnné n J (výsledky zokrouhlujte). () e x ln x dx (b) x x + 7x + dx (c) 6 x + 3 dx (d) ( e.9t ) dt. Úloh 9.B. Ur4ete obsh oblsti mezi grfem nezáporné funkce osou x n J. () y = e x, J =, (b) y = x, J =, 4 (c) y =, J =, + ). x + x 4 Úloh 9.B.3 Určete obsh oblsti mezi grfem funkce y = f(x) osou x n intervlu J tk, že určíte odděleně obshy oblstí nd pod osou x (pro první úlohu, tj. (), je vprvo nčrtnut obrázek). () y = 3 x + 9x, J =, 4, (b) y = x, J =,, (c) y = 3 x 9x +, J =, 5, (d) y = 6 x, J = 5, 5. y O x y = 3 x + 9x Úloh 9.B.4 Jsou dány funkce f(x) g(x); pro x určete obsh 6 y = x+ oblsti omezené ze tří strn dvěm funkcemi osou y (pro první úlohu, tj. 5 (), je vprvo nčrtnut obrázek). 4 () f(x) = 3 x 3x + 3, g(x) = x + 3, =, f(x) = g(x) b = 3, 3 (b) f(x) = x + 4, g(x) = x + 6, =, b nutno njít, y = 3 x 3x + 3 (c) f(x) = x, g(x) = x, =, b nutno njít. O x Úloh 9.B.5 Vypočtěte objem rotčního těles tvořeného otáčením grfu funkce y = f(x) kolem osy x n intervlu J: () y = (x+) 3, J =, + ) (b) y = x +, J =, 4 (c) y = ln x, J =, e. Úloh 9.B.6 Funkce h : y = 6 x+ je spojitá nezáporná n (, + ). Njděte hodnotu prmetru p > tk, že () obsh oblsti mezi grfem funkce h osou x n, p je rovn, (b) střední hodnot funkce h(x) n, p je rovn p, (c) objem rotčního těles vytvořeného otáčením grfu funkce y = h(x) kolem osy x n, p je roven π. Úloh 9.B.7 Funkce m : y = 6 je spojitá nezáporná n (, + ). Určete hodnotu prmetru x p > tk, že () obsh oblsti mezi grfem funkce funkce m osou x n p, + ) je roven, (b) objem rotčního těles vytvořeného otáčením grfu funkce y = m(x) kolem osy x n p, + ) je roven 3 π. Úloh 9.B.8 Testujte konvergenci užitím integrálního kritéri. () me m 3 3 (b) n 3 (c) q + q m= n= q= (d) k= k k + 6k + 9 6

17 OTÁZKY Otázky 9.B. [obshy] Funkce f(x) = 6 x je nezáporná proto mezi grfem funkce f osou x n intervlu, b. Spočítáme dv obshy: A = 8 4 [ ] x dx = = 6 x = A = 8 b f(x) dx počítá obsh oblsti [ ] x dx = = 6 x = 6. Není to divné? Intervl I = 4, 8 je větší než intervl I =, 8 přitom obsh A je menší, než obsh A. Dokážete vysvětlit tento prdox? Otázky 9.B. [střední hodnot] () Jn Ann počítly střední hodnotu y funkce f : y = x 6x n intervlu, 9 dvěm různými metodmi (viz níže). Který výsledek je správný? Jn: y = f(9) f() = 7 = 3.5, Ann: y = 9 9 ( x 6x ) dx = 9 [ x 3 3 3x ] 9 =. (b) Jn se ještě stále snží přesvědčit Annu, že její metod je jednodušší. Nvrhl to vyzkoušet n jednoduchém příkldě určení střední hodnoty y funkce f : y = 6x n intervlu, 9. Posud te výsledky výpočtů níže. Jn: y = f(9) f() = 54 = 7, Ann: y = 9 9 6x dx = 9 [ 3x ] 9 = 7. Otázky 9.B.3 [obshy] N obrázku je znázorněn část prboly g : y = 3 x 9x +. N intervlu, 4 jsme zvýrznili útvr mezi grfem funkce g osou x. Nyní vypočítáme obsh tohoto obrzce (viz výpočet níže). Co si myslíte o výsledku? 4 ( [ ] 4 Are = 3 x x 9x + ) dx = 3 9x + x = Otázky 9.B.4 [kritéri konvergence] () Vivin Lur testovly konvergenci řdy limitní podílové kritérium, Lur integrální kritérium. Kdo to má správně? n+ Vivin: lim n n Lur: lim k k + = lim n 6 x dx = 6 (n+) 6 n lim k + (b) Peter Lee testovli konvergenci řdy n= y 5 y = 3 x 9x O x 6 n. Užily dvě různé metody. Vivin plikovl n + n + = lim n n = nelze rozhodnout. [ ] 6 k [ ] 6 = lim x k + k + 6 = 6 řd je konvergentní. n= 6 n. Užili dvě různé metody. Peter plikovl limitní odmocninové kritérium, Lee integrální kritérium. Kdo to má správně? Peter: lim n Lee: lim n 6 k k + n = lim n n 6 n n = = nelze rozhodnout. [ 6 dx = lim ] k x = lim ( k )] = + řd je divergentní. x k + k + 7

18 APLIKACE Aplikce 9B. [přebytek spotřebitele] [Brdley & Ptton, 999, str ] Přebytek spotřebitele (consumer surplus) CS je definován jko rozdíl mezi tím, kolik je spotřebitel ochoten vydt z postupný nákup v rozmezí Q = ž Q = Q jednotek zboží, ktuálními výdji z nákup Q jednotek zboží z tržní cenu P z jednotku, tj. CS = Q (poptávková funkce) dq P Q. Je-li npř. poptávková funkce P = 4/(Q + ) tržní cen P =, pk určíme hodnotu Q tkto: P = 4/(Q + ) P = 4/(Q + ) = 4/(Q + ) Q =. Nkonec je CS = 4 [ ] Q + dq = 4 ln(q + ) 5.4. Anlogicky určete hodnotu CS, je-li P = 6 Q P =. Aplikce 9B. [přebytek výrobce] [Brdley & Ptton, 999, str. 48-4] Přebytek výrobce (producer surplus) P S je definován jko rozdíl mezi příjmem, který obrží výrobce z prodeje Q jednotek zboží při tržní ceně P z jednotku příjmem, který je ochoten kceptovt z postupný prodej zboží v rozmezí Q = ž Q = Q jednotek, tj. P S = P Q Q (nbídková funkce) dq. Je-li npř. nbídková funkce P = e.8q Q = 5, pk získáme hodnotu P tkto: P = e.8q P = e Nkonec je P S = e.8q dq = 546 [.5e.8Q] 5 4. Anlogicky určete hodnotu P S, je=li P = Q + 6Q Q = 4. Aplikce 9B.3 [celkový prodej] [Budnick, 993, str. 94] Výrobce odhduje, že prodej jeho mikropočítrových systémů v příštích letech bude mít trend přírůstku.t + tisíc jednotek ročně (v roce t od nynějšk). Jký očekává celkový prodej v příštích letech? Řešení. Celkový prodej =.t + dt = [ 5 9 (.t + ) 3 ] 39.8 tisíc jednotek. Aplikce 9B.4 [similce léku] [Brnett & Ziegler, 988, str. 436] Když pcient přijme lék, jeho tělo nesimiluje celé množství obsžené látky. Jednou z možností jk zjistit skutečnost je sledovt jkou rychlostí je tto látk vylučován z orgnismu. V konkrétním mtemtickém modelu je rychlost vylučování látky z těl (in mililitrech n min.) dán jko R(x) = xe.x, kde x je čs v minutách od okmžiku podání léku. Určete, kolik látky bylo celkově vyloučeno z těl. Řešení. Užijeme tbulkový integrál [mt5] Celkové množství = mililitrů. lim T T + xe.x dx = x n e kx dx = xn e kx k lim T + [ 5x 5 e.x ] T n k x n e kx dx. ( ) 5T 5 = lim T + e.t + 5 = 5 8

19 TÉMA. Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejná diferenciální rovnice je rovnice obshující neznámou funkci, obvykle y, jednu nebo více jejích derivcí. Tké může obshovt symbol nezávisle proměnné, npř. x. y... neznámá funkce y proměnné x, tj. y = y(x) řád k dif. rovnice... je řád nejvyšší derivce y v rovnici řešení... libovolná funkce y(x) spolu s otevřeným intervlem J, n němž se funkce n levé rovná funkci n prvé strně rovnice obecné řešení... obshuje k volitelných konstnt prtikulární řešení... řešení splňující počáteční podmínku(y) počáteční podmínk(y)... mjí vliv n výběr konstnt v obecném řešení Poznámky V diferenciální rovnici můžeme používt jiných symbolů než y x. Někdy se dif. rovnice zpisují v tzv. diferenciálním tvru, npř. dy x dx =. Řešení některých dif. rovnic Dif. rovnice tvru y (k) = f(x) (f je lib. funkce, k ) Užijeme integrování opkovného k-krát. Výsledek má k volitelných konstnt C, C,..., C k R. K určení hodnot C i potřebujeme k počátečních podmínek. Seprovná dif. rovnice má tvr y = f(x) h(y) (f, h libovolné funkce) dy dx = f(x) h(y) h(y) dy = f(x) dx h(y) dy = f(x) dx H(y)+C = F (x)+c Položíme C = C C máme G(y) = F (x) + C, tzv. implicitně popsné řešení. Lineární dif. rovnice. řádu má tvr y + f(x) y = g(x) (f, g lib. funkce) Neprve definujeme integrční fktor I(x) = e F (x), kde F (x) je primit. funkce k f(x). Obecné řešení bude y = I(x) I(x) g(x) dx. Dv zvláštní přípdy lineárních dif. rovnic. řádu g(x) = (homogenní lineární dif. rovnice. řádu tvru y + f(x) y = ): obecné řešení je y = C e F (x). f(x) = b = konstnt g(x) = k = konstnt (tj. y + b y = k): obecné řešení je y = C e b x + k b. Homogenní lineární dif. rovnice. řádu y + by + cy = (, b, c R) Chrkteristická rovnice je z + bz + c =, kde D = b 4c. Obecné řešení má volitelné konstnty C, C jeho tvr závisí n D: y = C e zx + C e zx... je-li D >, z, = b± D ( různé reálné kořeny), y = C e zx + C xe zx... je-li D =, z = b (jeden dvojnásobný reálný kořen), y = e px (C cos qx + C sin qx)... je-li D <, z, = b±i D =p ± qi ( komplex. koř.). Nehomogenní lineární dif. rovnice. řádu y + by + cy = g(x), (g je funkce) Obecné řešení je y = y prt + y hom, kde y prt je libovolné prtikulární řešení dné rovnice y hom je obecné řešení příslušné homog. dif. rovnice (princip superpozice). Speciálně, je-li g(x) polynom, pk y prt lze njít též ve tvru polynomu. 9

20 ÚLOHY Úloh. [vytvoření diferenciální rovnice] [Hoffmnn & Brdley, 99, str. 443] Npište diferenciální rovnici, která vyjdřuje popsnou situci. Vysvětlete význm proměnných veličin. Rovnici le neřešte. Ukázk: Do nádoby s vodou bylo umístěno kg cukru. Je známo, že rychlost rozpouštění cukru ve vodě je přímo úměrná množství, které ještě není rozpuštěno. Odpověd : Oznčíme S(t) množství cukru (in kg), který je již rozpuštěn t sekund po zčátku experimentu. Pk S (t) udává rychlost, se kterou přibývá rozpuštěného cukru v okmžiku t; k bude koeficient úměrnosti. Můžeme tedy formulovt diferenciální rovnici S = k( S). () Hodnot investice P (t) v čse t roste rychlostí rovnou 7 procentům její okmžité velikosti. (b) Výrobce má mrginální nákldy C (x) rovny 6 USD n jednotku. (c) Populce v jednom městě roste rychlostí 5 lidí z rok. (d) Počet bkterií v kultuře roste rychlostí úměrnou jejich okmžitému množství. (e) V jedné komunitě mjící lidí se šíří určitá epidemie. Víme, že rychlost šíření epidemie je úměrná jk počtu lidí, kteří již jsou nemocní, tk počtu lidí, kteří ještě nejsou nemocní. Ukžte, že nvržená funkce y je obecným řešením zdné dife- Úloh. [prověřit řešení] renciální rovnice. () y = Cx, xy = y, (b) y = C x, xy = y, (c) y = e x + C, y = xe x. Úloh.3 [přímá integrce] Řešte přímou integrcí pk njděte prtikulární řešení zdné rovnice splňující uvedené podmínky. () y = x, y() = 7, (b) y = 6 sin(x), y() = 4, (c) y = 4 + ln x, y()=, y ()=6. Úloh.4 [seprovná dif. rovnice] jež může být v implicitním tvru. Řešte seprováné dif. rovnice. Uved te pouze obecné řešení, () y = +x +y (b) y = xex ln y (c) y = xy + x, (d) y = e x+y, (e) y = y y. Úloh.5 [homogenní lineární dif. rovnice. řádu] rovnice splňující uvedenou podmínku Njděte prtikulární řešení zdné () y xy =, y() = 3e, (b) y + y sin x =, y() = 3, (c) y + y x =, y() =.4. Exercise.6 [integrční fktor] Pro diferenciální rovnice tvru y + f(x) y = g(x) njděte obecné řešení ve dvou krocích. KROK : připrvit integrční fktor I(x) = e F (x), kde F (x) je primitivní funkce k f(x). KROK : y = I(x) g(x) dx. I(x) () y + 4y = x, (b) y + y x = x, (c) y y = e 3x, (d) y + y x = ex. Úloh.7 [homogenní lineární dif. rovnice. řádu] rovnice splňující uvedené podmínky. Njděte prtikulární řešení zdné () y y =, y() = 3, y() =, (b) y + y + 5y =, y() = 4, y () =. Úloh.8 [nehomogenní lineární dif. rovnice. řádu] Nejdříve njděte prtikulární řešení ve tvru y prt = k nebo y prt = x + b; pk hledejte prtikulární řešení zdné rovnice splňující uvedené podmínky. () y + y y = 6, y() =, y () =, (b) y y + y = x + 3, y() =, y() =.

21 OTÁZKY Otázky. Anlyzujte neúspěšný postup při řešení dif. rovnice. Co je šptně? y = 6 y = 6x + C y = 3x + Cx + C. Dostli jsme obecné řešení. Protože máme dif. rovnici. řádu, potřebujeme pro prtikulární řešení podmínky; npř.: y() = 7, y() = 5. Dostáváme y() = 7 7 = 3 + C + C C=; y() = 5 5 = 3 + C + C C=. To le není možné, nebot jsme dostli dvě různé hodnoty pro konstntu C. Otázky. [seprovná dif. rovnice] Anlyzujte neúspěšný postup při řešení seprovné dif. rovnice. Co je šptně? dy dx = 8x 3y 3y dy = 8x dx 3y dy = 8x dx y 3 + C = 4x + C. To je obecné řešení v implicitním tvru. Pro určení konstnt C, C potřebujeme dvě podmínky; npř.: y() = 3, y() =. Dostáváme 3 + C = 4 + C, 3 + C = 4 + C C C = 3, C C = 8. To nemá řešení. Otázky.3 [homogenní lineární dif. rovnice. řádu] Tři studenti, Dn, Ben, nd Jn, řešili 3 dif. rovnice, le jen jeden z nich má správný výsledek. Vysvětlete podrobněji: Dn: y 6y + 9y = y = C e 3x + C e 3x, Ben: y + 9y = y = C e 3x + C e 3x, Jn: y 9y = y = C e 3x + C e 3x. Otázky.3 [lineární dif. rovnice. řádu] Následující postupy jsou nesprávné. Proč? () y 5y = z 5z = z = 5, z = y = C e 5x + C e x = C e 5x. (b) y 5y + 6 = z 5z + 6 = z =, z = 3 y = C e x + C e 3x. Otázky.4 [nehomogenní lineární dif. rovnice. řádu] postupy nesprávné: Vysvětlete, proč jsou následující dv () y 5y = 5 je nehomogenní lineární dif. rovnice. řádu. Nejdříve npíšeme obecné řešení příslušné rovnice homogenní: y = C e 5x + C. Abychom získli prtikulární řešení původní rovnice nehomogenní y prt, všimneme si, že prvá strn má tvr konstnty, tj. g(x) = 5. Proto zkusíme y prt = k, kde k je neznámá konstnt. Máme pk y prt = k =, y prt = = nkonec po doszení do původní rovnice nehomogení dostneme: y 5y = 5 y prt 5y prt = 5 5 = 5 to nemá řešení. (b) y 5y + 6y = 5x je nehomogenní lineární dif. rovnice. řádu. Nejdříve npíšeme obecné řešení příslušné rovnice homogenní: y = C e x +C e 3x. Abychom získli prtikulární řešení původní rovnice nehomogenní y prt, všimneme si, že prvá strn má tvr g(x) = 5x proto zkusíme y prt = kx, kde k je neznámá konstnt. Dostneme y prt = (kx) = k, y prt = k = dosdíme do původní rovnice nehomogenní: y 5y + 6y = 5x y prt 5y prt + 6y prt = 5x 5 k + kx = 5x kx 5k = 5x + k = 5x x 5. To je le šptně, nebot výsledek má být konstnt k.

22 APLIKACE Aplikce. [Nákldy z mrginálních nákldů] [Brdley & Ptton, 6, str. 45] Mrginální nákldy (Mginl Cost) pro zvolený produkt popisuje vzth M C = /Q, kde Q je počet vyrobených jednotek. (i) Npište diferenciální rovnici pro nákldy (T C T otlcost) v proměnné Q. (ii) Npište nákldovou funkci, jestliže víte, že T C = 5 pro Q =. Řešení. (i) MC = /Q znmená, že MC = d T C d Q = Q. d T C (ii) Řešíme diferenciální rovnici: d Q = Q T C = d Q = ln Q + C. Q Obecné řešení je T C = ln Q + C, což je obecný tvr nákldové funkce [Q ]. Máme ještě podmínku T C = 5 pro Q =. Po jejím doszení do obecného řešení získáme hodnotu C: 5 = ln() + C C = Tedy T C = ln Q Aplikce. [diet] [Brnett & Ziegler, 988, str. 575] V čsopise College Mthemtics Journl (leden 987, 8:), nvrhnul Arthur Siegel následující model pro průběh diety n snížení nebo d w zvýšení tělesné hmotnosti: d t +.5w = A 35, kde w(t) je váh osoby (v librách) po uplynotí t dní konzumce přesně A klorií denně. Jestliže osob vážící 6 liber nstoupí dietu klorií denně, určete (i) Jká bude její váh po 3 dnech této diety? (ii) Jk dlouhá diet bude potřebná ke snížení váhy o liber? (iii) Njděte lim w(t) vysvětlete, co znmená výsledek. t A Řešení. Nejdříve sestvíme modelovou funkci w = w(t). Protože =.6, budeme řešit lineární diferenciální rovnici w +.5w =.6. Nejdříve npíšeme obecné řešení této lineární diferenciální rovnice. řádu s konstntní prvou strnou, tj. w(t) = Ce.5t = Ce.5t +. Dále víme, že w() = tudíž 6 = Ce.5 + C = 4. Výsledný model je w(t) = 4e.5 t = 35 (i) w(3) = 4e liber. (ii) 5 = 4e.5 t +.75 = e.5 t ln.75 t = dní. ( ) (iii) lim w(t) = lim 4e.5 t + = liber je očekávná konečná hmotnost. t t Aplikce.3 [snížení veřejného dluhu] [Brnett & Ziegler, 988, str. 584] Domrúv model oddlužení popisuje průběh snižování veřejného dluhu D(t) pomocí diferenciální rovnice D (t) βd(t) =, kde t je čs β je konstntní reltivní přírůstek příjmů [ < β < ]. (i) Njděte obecné řešení uvedené diferenciální rovnice pro libovolnou hodnotu β. (ii) Njděte prtikulární řešení splňující podmínky D() =, D () = β. (iii) FNjděte limitní hodnotu tohoto prtikulárního řešení pro t. Řešení. (i) Řešíme lineární diferenciální rovnici. řádu s konstntními koeficienty. Zprcujeme chrkteristickou rovnici: z β = z = β, z = β. Obecné řešení je pk D(t) = c e βt + c e βt. (ii) Hodnoty c, c pro prtikulární model určíme z počátečních podmínek: D() =, D () = β c +c =, c β c β = β c +c =, c c =, c =, c =. Prtikulární model je D(t) = e βt. (iii) lim t D(t) = lim t e βt = e =.