KOMBINATORYKA 1 Struktury kombiatorycze 22 styczia 2018 1 Zbiory czȩściowo uporz adkowae dzie dowolym zbiorem (iekoieczie skończoym. Relacje biara a zbiorze azywamy cze ściowym porza dkiem, gdy jest oa zwrota, przechodia i atysymetrycza, a pare (, azywamy zbiorem cze ściowo uporza dkowaym lub, używaja c agielskiego skrótu, posetem. Jeżeli x y i x y, to piszemy x y. Zamiast x y i x y, możemy pisać rówież y x i y x. Jeżeli x y lub y x, to mówimy, że elemety x i y sa porówywale. Skończoy zbiór cze ściowo uporza dkoway moża reprezetować za pomoca grafu skierowaego. Przyk lad 1: Graf porówań Niech = {a, b, c, d, e, f, g, h}. Określmy relacje cze ściowego porza dku a w aste puja cy sposób: a b, a c, a d, a e, a f, a g, a h b c, b d, b e, b f, b h c e, c f d e, d f, d h e f g f, g h Te cze ściowo uporza dkoway zbiór (, możemy przedstawić w postaci grafu skierowaego zwaego grafem porówań, przyjmuja c, że jeżeli x y, 1
to istieje luk skieroway od wierzcho lka x do wierzcho lka y. Prosze te graf arysować a ćwiczeiach. Drugim, bardziej czytelym, sposobem reprezetacji skończoego zbioru cze ściowo uporza dkowaego jest diagram Hassego. W celu jego opisaia musimy wprowadzić poje cie bezpośrediego aste pika (lub poprzedika daego elemetu. Otóż, jeżeli x y oraz dla dowolego z (x z (z y (z = x (z = y, (1 to piszemy x y i mówimy, że y jest bezpośredim aste pikiem elemetu x (lub x jest bezpośredim poprzedikiem elemetu y. Możemy teraz przejść do reprezetacji zbioru cze ściowo uporza dkowaego (, za pomoca grafu skierowaego zwaego diagramem Hassego. Wierzcho lki tego grafu odpowiadaja elemetom ależa cym do zbioru, przy czym (x, y jest lukiem grafu wtedy i tylko wtedy, gdy x jest bezpośredim poprzedikiem y. Moża jedak pomia ć skierowaie krawe dzi, przyjmuja c zasade, że jeśli x y, to wierzcho lek y zajduje sie a diagramie wyżej od wierzcho lka x. Wówczas x y wtedy i tylko wtedy, gdy w diagramie Hassego istieje śieżka,,w góre od wierzcho lka x do wierzcho lka y. Przyk lad 1 (cd. Diagram Hassego Niech (, be dzie zbiorem cze ściowo uporza dkowaym z przyk ladu 1. Prosze arysować diagram Hassego dla tego zbioru. Przyk lad 2. Podzbiory zbioru skończoego dzie skończoym zbiorem, =. Wtedy B( = (2, jest posetem, zwaym też krata boolowska. Narysować B( dla kilku ma lych wartości. Przyk lad 3. Podzia ly zbioru skończoego a podzbiory dzie skończoym zbiorem, =, a Π( rodzia wszystkich podzia lów zbioru a iepuste i parami roz la cze podzbiory (kolejość podzbiorów ieistota. Dla π 1, π 2 Π, piszemy π 1 π 2, gdy podzia l π 1 jest rozdrobieiem podzia lu π 2, tz. każdy blok podzia lu π 1 jest podzbiorem pewego bloku podzia lu π 2. Wtedy P( = (Π(, jest posetem. Narysować P( dla kilku ma lych wartości. Niech (, be dzie dowolym zbiorem cze ściowo uporza dkowaym i iech Y. Ozaczmy przez Y obcie cie porza dku do zbioru Y. Wtedy (Y, Y jest też posetem. 2
Przyk lad 4. Liczby aturale z relacja podzielości Piszemy m gdy jest podziele przez m. Para (N, jest posetem. Narysować diagram Hassego dla obcie cia (Y, Y posetu (N, do zbioru Y = {1, 2,..., 13}. Jeżeli Y jest porza dkiem liiowym (tz. każde dwa elemety ależa ce do Y sa porówywale, to zbiór Y azywamy lańcuchem. Iymi s lowy, lańcuch to zbiór, który jest liiowo uporza dkoway przez cze ściowy porza dek. W przypadku, gdy żade dwa elemety zbioru Y ie sa porówywale, to Y azywamy aty lańcuchem. Przyk ladami lańcuchów w zbiorze cze ściowo uporza dkowaym z przyk ladu 1 sa abc, abe, af, g, a aty lańcuchów: eh, g i cdg. Twierdzeie 1 (Duale Twierdzeie Dilwortha W dowolym skończoym zbiorze cze ściowo uporza dkowaym miimala liczba aty lańcuchów pokrywaja cych zbiór jest rówa maksymalej mocy lańcucha. Wiosek 1 (Lemat Dilwortha Jeśli ab+1 to ma lańcuch mocy a + 1 lub aty lańcuch mocy b + 1. Na ćwiczeiach prosze udowodić twierdzeie 1 oraz wywioskować wiosek 1 z twierdzeia 1. Wioskiem z Wiosku 1 jest zay am już wyik. Wiosek 2 (Tw. Erdősa i Szekeresa Niech a, b be da liczbami aturalymi, = ab + 1 i iech x 1, x 2,..., x be dzie dowolym cia giem liczb rzeczywistych. Wówczas cia g te zawiera rosa cy (maleja cy podcia g z lożoy z a + 1 elemetów lub maleja cy (rosa cy podcia g z lożoy z b + 1 elemetów. Dowód: Wyika z Wiosku 1 zastosowaego do cze ściowego porza dku, w którym x i x j wgdy i < j i x i x j. Teraz podamy bez dowodu ajważiejsze twierdzeie tego rozdzia lu. Jest oo duale do Dualego Tw. Dilwortha. Twierdzeie 2 (Twierdzeie Dilwortha, 1950 W dowolym skończoym zbiorze cze ściowo uporza dkowaym miimala liczba lańcuchów pokrywaja cych jest rówa maksymalej mocy aty lańcucha. 3
2 Systemy różych reprezetatów dzie zadaym zbiorem. Ozaczmy przez 2 rodzie wszystkich podzbiorów zbioru. Rodzia zbiorów albo hipergrafem azywamy uporza dkowaa pare zbiorów (, F, gdzie F 2. Systemem różych reprezetatów (SRR rodziy (, F, gdzie F = {A 1, A 2,..., A m } azywamy cia g m różych elemetów, po jedym z każdego zbioru A i. Na przyk lad, jeżeli A 1 = {2, 4}, A 2 = {1, 2, 3}, A 3 = {2, 3, 4}, A 4 = {1, 4}, to cia g (2, 1, 3, 4 jest systemem różych reprezetatów tej rodziy. Zauważmy przy okazji, że pytaie z 1. wyk ladu, czy moża dopasować kadydatów do staowisk pracy w taki sposób, by każdy otrzyma l prace zgodie ze swoimi uprawieiami, jest pytaiem, czy dla rodziy zbiorów {s, i}, {s, d}, {s, d}, {m, s, c, i}, {b, i} istieje system różych reprezetatów. Odpowiedź brzmi, że tak. Z drugiej stroy, rodzia zbiorów A 1 = {1, 2}, A 2 = {1, 3}, A 3 = {1, 4}, A 4 = {1, 2, 3}, A 5 = {5, 6}, A 6 = {2, 3}, ie ma systemu różych reprezetatów. Rzeczywiście, wystarczy zauważyć, że cztery zbiory A 1, A 2, A 4 i A 6 maja la czie tylko trzy róże elemety. Ta obserwacja pokazuje, że aby rodzia F = {A 1, A 2,..., A m } mia la system różych reprezetatów, każda podrodzia rodziy F musi zawierać co ajmiej tyle elemetów, ile zbiorów A i wchodzi w sk lad tej podrodziy. Dok ladiej, jeśli (x 1, x 2,..., x m jest systemem różych reprezetatów rodziy zbiorów {A 1, A 2,..., A m }, to dla każdego podzbioru ideksów S [m] zachodzi waruek A i {x i } = S. i S i S Te waruek koieczy jest jedocześie warukiem dostateczym, co g losi s lye twierdzeie Halla. 4
Twierdzeie 3 (Hall, 1935 Rodzia F = {A 1, A 2,..., A m } ma system różych reprezetatów wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego S [m] A i S. (2 i S 3 Systemy Sperera Systemem Sperera (SS podzbiorów zbioru = [] azywamy rodzie zbiorów, z których żade ie zawiera sie w drugim. Krótko, jest to aty lańcuch posetu (2,. Problem: Wyzaczyć α = max{ F : ([], F jest SS } Jest to klasyczy problem ekstremalej teorii zbiorów, której celem jest wyzaczaie miimalej ba dź maksymalej mocy rodzi o zadaych w lasościach. Zauważmy, że dla każdego k mamy α ( k, zatem α max k ( = k ( /2 Twierdzeie 4 (Twierdzeie Sperera, 1928 ( α = /2 Dowód: Niech = []. Pokażemy, że poset (2, moża rozbić a ( /2 lańcuchów, co a podstawie tw. Dilwortha zakończy dowód. Zauważmy, że 2 = ( r=0 r oraz, że ( ( ( ( ( ( < < < = > > >. 0 1 /2 /2 1 Stosuja c tw. Halla moża udowodić (ćw. aste puja cy lemat. Lemat 1 Dla każdego r < /2 istieje iiekcja f r : ( ( r r+1 taka, że dla każdego A ( r mamy A fr (A. Podobie, dla każdego r > /2 istieje iiekcja g r : ( ( r ( r 1 taka, że dla każdego A r mamy A gr (A. 5.
Te lemat pozwala skostruować lańcuchy L 1,... L ( /2 przez zlepiaie skojarzeń (A, f r (A i (g r (A, A. W przypadku parzystego, uzupe liamy je o ieskojarzoe elemety ze środkowego poziomu ( /2 (zrób rysuek. Uogólieiem twierdzeia Sperera, ale za to z prostszym dowodem jest ierówość LYM. Twierdzeie 5 ( Lubell 1966, Yamamoto 1954, Mieszalki 1963 Jeśli ([], F, gdzie F = {A 1,..., A m }, jest SS, a a k = F ( [] k, k = 0, 1,...,, to m 1 a ( = ( k 1 A i k i=1 Dowód b lyskawiczy: Niech Π i be dzie zbiorem tych permutacji zbioru [], których pocza tkowy segmet d lugości A i sk lada sie z elemetów zbioru A i, i = 1,..., m. Poieważ F jest SS, to zbiory Π 1,..., Π m sa parami roz la cze i, co za tym idzie, Π 1 +... Π m!. Poadto, latwo obliczyć, że Π i = A i!( A i!. Dziela c stroami przez!, otrzymujemy ierówość LYM. Poieważ m m 1 ( ( 1, /2 i=1 A i to tw. Sperera wyika z ierówości LYM. k=0 4 Rodziy przeciaja ce sie Rodzie A 2 azywamy przeciaja ca sie, gdy dla dowolych A, B A mamy A B. Latwo pokazać, że ajwie ksza rodzia przeciaja A 2 [] ma rozmiar 2 1 (ćwiczeia. Teraz ograiczymy sie tylko do zbiorów mocy r, to zaczy, do elemetów rodziy ( ( [] r. Ca la rodzia [] r jest przeciaja, gdy r > /2, a gdy r = /2, to z każdej pary zbiorów dope liaja cych sie A, A c trzeba odrzucić jede. Zatem, w tym przypadku ajwie ksza rodzia przeciaja ma moc 1 ( 2( r = 1 r 1. Najciekawszy jest przypadek r <. 2 Niech = []. Dla x, ozaczmy przez ( r x rodzie wszystkich ( 1 r 1 zbiorów rodziy ( r, które zawieraja elemet x. Oczywiście, taka rodzia jest przeciaja, a co wie cej, jest maksymala (w sesie zawieraia o tej w lasości. Poiższe, klasycze twierdzeie pokazuje, że jest to (jedya co do izomorfizmu ajwie ksza rodzia przeciaja. 6
Twierdzeie 6 (Erdős, Ko, Rado, 1961 Niech 2 r < /2. Wtedy (a każda przeciaja rodzia A ( r ma moc ie wie ksza iż ( 1 r 1, (b ograiczeie to jest osia gie te tylko przez rodziy postaci (. r x Dowód (Katoa, 1972: Udowodimy tylko cze ść (a. Niech A ( r be dzie przeciaja ca sie rodzia zbiorów. Dla dowolej permutacji cykliczej σ zbioru (jest ich ( 1!, każdy zbiór kolejych elemetów azywamy segmetem. Niech x σ be dzie liczba wszystkich zbiorów rodziy A be da cych segmetami w permutacji cykliczej σ. Poieważ A jest przeciaja, to x σ r (ćw.. Z drugiej stroy, każdy zbiór mocy r jest segmetem w dok ladie r!( r! permutacjach cykliczych. Stosuja c metode dwukrotego przeliczaia, otrzymujemy wie c rówość x σ = A r!( r!, σ z której wyika, że A r( 1! r!( r! = ( 1. r 1 Prosze pokazać a ćwiczeiach, że tw. 6 (obie cze ści wyika z aste puja cej implikacji: jeśli A jest przecia ja i A = ( ( 1 r 1, to A = dla r x pewego x. 7