4. MODELE ZALEŻNE OD ZDARZEŃ

4. MODELE ZALEŻNE OD ZDARZEŃ 4.. Wrowadzeie W sysemach zależych od zdarzeń wyzwalaie określoego zachowaia się układu jes iicjowae rzez dyskree zdarzeia. Modelowaie akich syuacji ma a celu symulacyją aalizę dyamiki układu w rzyadku wysąieia iicjujących je zdarzeń. Tyowym rzykładem akiego układu jes kolejka kóra działa a zasadzie ierwszy rzyszedł ierwszy obsłużoy (ag. firs-i-firs-ou FIFO). Sosób obsługi kolejki może być akże iy. osai rzyszedł ierwszy obsłużoy lub może działać a zasadzie określoych referecji. Czas omiędzy oszczególymi zdarzeiami może być bardzo róży. Kolejkowaie jes ermiem odoszącym się do sosobu obsługi kolejek rozumiaych jako szeregowaie zadań wymagających obsługi. Zagadieie o sało się iezmierie waże z chwilą owsaia złożoych sysemów w kórych określoe usługi (urządzeia) są wykoywae (sosowae) w różych rocesach (rzez wielu klieów). Przykłady są dobrze zae: sysemy komuikacyje sysemy komuerowe aśmy moażowe ruch uliczy i ie. Niekóre z ich są zebrae w Tabeli 4.. Tabela 4.. Przykłady sysemów zależych od zdarzeń Sysem Elemey/zdarzeia Arybu Zadaie Ruch uliczy Samochody Prędkość i odległość Jazda Bak Klieci Sa koa Właa/wyłaa Sysem elefoiczy Rozmowy Długość rozmowy Połączeie Skle Klie Zakuy Obsługa kasowa Korola jakości Wyroby Jakość Korola Sysem rodukcji Produky Zamówieia Realizacja zamówień Obsługa ruchu loiczego Samolo Przeusowość sekora Dosę do sekora Przy aalizie sysemów zależych od zdarzeń ależy w szczególości oszacować dwa odsawowe aramery: ilu zdarzeń (wyzwalających działaie sysemu) ależy się sodziewać w określoym rzedziale czasowym; jak długi może być okres czasu omiędzy dwoma kolejymi zdarzeiami.

36 Podsawy modelowaia sysemów Z samej aury ych yań wioskujemy że mamy u do czyieia z rocesami losowymi kóre ależy oisywać w kaegoriach robabilisyczych. Sysemy kolejkowaia ależą do szerokiej gruy zagadień określaych wsólym ermiem badaia oeracyje kóre ależą do zakresu iformayki. Ze względu a charaker zasosowaia akich sysemów w odiesieiu do ich używay jes eż ermi sysemy obsługi masowej. Problemy obsługi kolejek są bezośredio związae z zagadieiem koszów realizacji określoych rocesów (zadań). Gdy w sysemie wysęuje wiele akich samych rocedur; ich liczbę moża ograiczyć rzez odowiedi odział zadań kóre są do wykoaia. Mamy u do czyieia z dylemaem: kosz szybkość wykoaia (obsługi). Problem e jes ogólie zay: jazda samochodem w załoczoym mieście adawaie lisu olecoego a oczcie zgłoszeie się do lekarza i w wielu iych syuacjach. W iekórych rzyadkach sosób rozwiązaia ego roblemu może decydować o rzydaości całego sysemu dlaego oymalizacja rozwiązaia jes ważym rakyczym zagadieiem. Ze względu a jego złożoość ajczęściej ie moża u zasosować meod aaliyczych. To srawia że rośie zaieresowaie meodami symulacji komuerowej. Sysemy obsługi masowej są oisywae za omocą rzech ojęć (rys. 4.). Srumień wejściowy Algorym obsługi Urządzeia obsługi a) zdarzeia b) zdarzeia c) zdarzeia Rys. 4.. Przykłady orgaizacji sysemów kolejkowych

4. Modele zależe od zdarzeń 37 Srumień wejściowy jes worzoy rzez uorządkoway zbiór zdarzeń wejściowych. Jes o określoy rzez rozkład rawdoodobieńswa długości okresów czasu omiędzy kolejymi zdarzeiami oraz rzez liczbę jedosek kóre mogą się ojawić jedocześie. Wyjściowym założeiem jes rzyjęcie że rzedziały e są ściśle zdeermiowae lub że są losowe. Procedura obsługi kolejki oisuje sosób wyboru oczekujących zgłoszeń do obsługi. Mogą u być sosowae róże rozwiązaia jak: wsomiaa już zasada ierwszy rzyszedł ierwszy do obsługi (FIFO); zasada: osai rzyszedł ierwszy do obsługi (ag. las i firs ou LI- FO); losowy wybór do obsługi (ag. selecio i radom order - SIRO); wybór a zasadzie referecji. zadaia o krókim czasie obsługi są wybierae częściej. może być charakeryzowaa rzez rozmaie wskaźiki jak: średi czas oczekiwaia średia i rzeczywisa liczba oczekujących liczba miejsc w kolejce (ograiczoa lub ieskończoa) i ie. Urządzeie obsługi jes charakeryzowae rzez liczbę i kofigurację kaałów obsługi rzyjęy rozkład rawdoodobieńswa odoszący się do czasu obsługi jedego zgłoszeia lub liczby obsłużoych jedosek w odciku czasu (wydajość). Ozaczeia sosowae do oisu sysemów kolejkowych. N() liczba oczekujących a obsługę łączie z obsługiwaym (liczba jedosek w sysemie) określoa w chwili. N średia długość kolejki do chwili : N N( τ ) d τ (4.) N lim N - średia długość kolejki w ogóle. a() liczba zgłoszeń do momeu. średia liczba zgłoszeń do chwili : a( ) (4.) lim - średia liczba zgłoszeń w ogóle. T średi czas realizacji zadaia w sysemie: a( ) a( ) T i i T (4.3)

38 Podsawy modelowaia sysemów T i czas obsługi i-ego zgłoszeia w sysemie. T lim T - ogóly czas działaia sysemu. Dla dowolego sysemu kolejkowego zachodzi relacja: N T (4.4) W rzyadku gdy zdarzeia w srumieiu wejściowym rządzą się rozkładem Poissoa (3.): k f X ( x) P( X k) lim P( X N k) e k N k! k ozacza liczbę zdarzeń (klieów) kóre mogą wysąić w jedosce czasu aomias aramer rozkładu jes średią liczbą zdarzeń w jedosce czasu. Należy rozróżić ozaczeia sosowae w rozdz. 3 w odiesieiu do różych rozkładów rawdoodobieńswa od ich ozaczeń w rzyadku określaia aramerów kolejki lub obsługi. Na rzykład jeśli czas obsługi oiszemy rozkładem wykładiczym o (3.3) zaiszemy w osaci: f x X x ( ) e x > o ozacza iesywość obsługi (liczba obsłużoych jedosek w czasie) aomias / jes średim czasem obsługi. W akim rzyadku rawdoodobieńswo obsługi zdarzeia w czasie [ ] wyosi: P( T ) e e x d x e (4.5) 4.. Klasyfikacja sysemów kolejkowych W celu uorządkowaia oisu sysemów kolejkowych wrowadzoo ozaczeie kóre zarooował D. Kedall: //3/4/5 gdzie: Paramer symbol rozkładu srumieia zgłoszeń: M markowski (rozkład Poissoa) czas zgłoszeia; D deermiisyczy czas zgłoszeia; E l rozkład Erlaga rzędu l. Paramer symbol rozkładu czasu obsługi: M markowski (rozkład Poissoa) czas obsługi; G dowoly rozkład obsługi; D deermiisyczy czas obsługi. E l rozkład Erlaga rzędu l.

4. Modele zależe od zdarzeń 39 Paramer 3 liczba saowisk obsługi. Paramer 4 liczba miejsc w sysemie (saowiska obsługi kolejka): jeśli liczba jes ieskończoa aramer jes omijay. Paramer 5 liczba źródeł srumieia zgłoszeń. Na rzykład zais: M/M/ ozacza sysem z ojedyczym kaałem obsługi w kórym zgłoszeia i obsługa mają rozkład Poissoa (roces Markowa). Brak symbolu a kórejś ozycji ozacza że liczba zgłoszeń ie jes limiowaa lub że obowiązuje zasada FIFO obsługi kolejki. 4.3. Przykłady sysemów kolejkowych 4.4.. Sysem M/M/ Charakerysyka sysemu: zgłoszeia: roces Poissoa z iesywością (średia liczba owych zgłoszeń w jedosce czasu); czas obsługi: rozkład wykładiczy z aramerem (średia liczba obsłużoych jedosek w czasie); ojedycze saowisko obsługi; czas obsługi ie zależy od czasu odsęu między zgłoszeiami; ieskończoa kolejka sąd jes o sysem M/M//. Paramery sysemu: Wsółczyik wykorzysaia (iesywość ruchu): (4.6) Zauważmy że waruek sabilości sysemu kolejkowego wymaga aby: < co ozacza że: iesywość obsługi () > iesywość zgłoszeń (). Moża o akże zaisać względem czasu: średi czas obsługi (/) < średi czas zgłoszeń (/). Działaie rozarywaego sysemu kolejkowego jes zazwyczaj ilusrowae za omocą grafu rzeływowego (rys. 4.) w kórym węzły rerezeują say sysemu rzy czym umer sau ozacza liczbę jedosek zajdujących się w sysemie (suma jedosek w kolejce oraz obsługiwaych). Sa zerowy ozacza że w sysemie ie ma żadych jedosek. Ozaczmy rzez rawdoodobieńswo że w sysemie zajduje się jedosek: P( X ) (4.7) Zauważmy że sa może być osiągięy gdy w saie ojawi się zgłoszeie a wejściu (aramer ) lub gdy w saie obsługiwaa jedoska ouści sysem a

Podsawy modelowaia sysemów 4 wejściu (aramer ). Na odsawie schemau z rys. 4. dla kolejych saów możemy aisać asęujące rówości: ) ( : ) ( : ) ( : : 3 > M (4.8) Dla kolejych saów orzymamy: dla : dla : ogólie:. Rys. 4.. Graf fukcjoowaia sysemu kolejkowego M/M/ Prawdoodobieńswo moża wyzaczyć a odsawie ogólego waruku (ormalizacja): L L skąd: L L zaem: i osaeczie: ) ( (4.9) Rówaie (4.9) określa rawdoodobieńswo zdarzeia że w sysemie kolejkowym zajduje się jedosek (klieów). Poieważ < więc jes eksoecjalą moooiczie malejącą. Wielkość a zaem ma charaker rozkładu geomeryczego [7 5] rzy czym średia liczba jedosek w sysemie może być esymowaa asęująco:

4. Modele zależe od zdarzeń 4 d Ls ( ) ( ) d (4.) Wyika sąd waża obserwacja: gdy iesywość obsługi zmiejsza się do warości bliskiej iesywości zgłoszeń ( ) o wzrasa liczba jedosek rzebywających w sysemie: L s. Średi czas rzebywaia jedoski w sysemie: L W s s (4.) ( ) Wyika o z zw. wierdzeia Lile a 4 [7]. Średia długość kolejki (liczba jedosek): L q (4.) ( ) Średi czas oczekiwaia w kolejce: W q W s (4.3) ( ) Powyżej zdefiiowae aramery sysemu moża więc rzedsawić za omocą iesywości ruchu (). Przykład 4.. Myjia samochodowa rzecięie obsługuje jede samochód w czasie mi. Do myji rzyjeżdżają średio 4 samochody w ciągu godziy. Określić odsawowe aramery ego sysemu: iesywość zgłoszeń iesywość obsługi iesywość ruchu (soień wykorzysaia) średią długość kolejki średi czas rzezaczoy a mycie samochodu. Wyzaczyć rozkłady rawdoodobieńsw: liczby samochodów w sysemie oraz czasu całej rocedury (kolejka mycie). Zaiszmy aramery związae z rozarywaym sysemem kolejkowym: - iesywość zgłoszeń 4 [/godz]; - iesywość obsługi / mi 5 [/godz]; - soień wykorzysaia (4.6) / 4/5 8 (sysem jes sabily); - średia liczba samochodów w myji (łączie z kolejką) L s /( ) 4; - średia długość kolejki (4.) L q /( ) 3 (liczba samochodów w kolejce); - średi czas rzezaczoy a mycie (kolejka mycie) (4.) W s //( ) 5/ godz z czego w kolejce kierowcy racą W q czasu (4.3): W q W s / 8 godz. 4 Twierdzeie Lile a mówi że rzy daej iesywości zdarzeń a wejściu czas w sysemie jes roorcjoaly do czasu W s rzebywaia jedoski w sysemie: L s W s.

4 Podsawy modelowaia sysemów Rozkład rawdoodobieńswa liczby samochodów zajdujących się w sysemie jes okazay a rys. 4.3. Moża zauważyć że jes o rozkład geomeryczy. 8 6 4 8 6 4 3 4 5 6 7 8 9 Rys. 4.3. Rozkład rawdoodobieńswa liczby samochodów w sysemie Widać sąd że w ym rzyadku chcąc umyć samochód kierowcy główie racą czas w kolejce. 4.5.. Sysem M/M/s Wydajość owyższego sysemu M/M/ moża zwiększyć rzez zwiększeie liczby saowisk obsługi. W sysemie z s saowiskami obsługi (rys. 4.b) iesywość a wyjściu (aramer ) zwiększy się s kroie (rys. 4.4) co isoie wływa a iesywość ruchu rzez co może o zwiększyć liczbę zgłoszeń ozosając sabilym. zdarzeia 3 Rys. 4.4. Schema sysemu M/M/3

4. Modele zależe od zdarzeń 43 Podsawowe właściwości sysemu mogą być aalizowae zgodie z założeiami sosowaym w odiesieiu do sysemu z jedą sacją obsługi. Przyjmujemy asęujące założeia: - zdarzeia a wejściu ojawiają się zgodie z rocesem Poissoa z iesywością ; - roces wyjściowy jes określoy rzez iesywość ; - a wyjściu zajduje się s iezależych jedakowych sacji; - ojemość sysemu ie jes ograiczoa; - odbiór z kolejki odbywa się według zasady FIFO. Mówimy że w saie usaloym roces rzyjmuje sa jeśli w sysemie zajduje się jedosek. Na odsawie rys. 4.5 koleje say sysemu moża oisać asęującym schemaem: : : ( ) : 3 ( ) 33 3: 3 33 44 ( 3) 3 44 s: s ss s ss ( s) s s ss s: s ss s ss ( s) s s ss > s: s s ( s) s. Prowadzi o do asęujących ogólych zależości: ( /! ) dla < s s ( /( s! s ) dla s. gdzie jak w (4.6). Rys. 4.5. Graf fukcjoowaia sysemu kolejkowego M/M/s Prawdoodobieńswo wysąieia usego sysemu moża określić odobie jak w sysemie M/M/: L L skąd: ( ( / ) L ) s s s! L Osaeczie orzymujemy: s! ( s )( s )! s < s s

44 Podsawy modelowaia sysemów! s s! s! s! s < s s (4.4) Zając moża określić ozosałe aramery sysemu: s - średia liczba jedosek w sysemie: Ls ; ( s )!( s ) - średie wykorzysaie obsługujących sacji: L B WB W B / - średi czas wykorzysaia sacji obsługi; - średia liczba jedosek w kolejce: L q Ls LB Ls ; - średie wykorzysaie sysemu: U P( > ) U K s ; - średi czas jedoski w sysemie: W s L s / ; - średi czas jedoski w kolejce: W /. 4.6.3. Sysem M/M//b q L q W owyższych rozważaiach zakładaliśmy że długość kolejki jes ieograiczoa. Zazwyczaj jedak rejesr kolejkowy ma skończoą liczbę miejsc i dodakowe zgłoszeia ie są rzyjmowae. Załóżmy że maksymala długość kolejki wyosi b miejsc (rys. 4.6). zdarzeia b e długość b Rys. 4.6. Schema sysemu M/M//b Do aalizy ego sysemu rzyjmujemy asęujące założeia: - zdarzeia a wejściu ojawiają się zgodie z rocesem Poissoa z iesywością ; - a wyjściu zajduje się jeda sacja o iesywości obsługi ; - ojemość sysemu ie jes ograiczoa do b jedosek; - odbiór z kolejki odbywa się według zasady FIFO. Mówimy że w saie usaloym roces rzyjmuje sa jeśli w sysemie zajduje się jedosek. Na odsawie rys. 4.7 koleje say sysemu moża oisać asęującym schemaem:

4. Modele zależe od zdarzeń 45 Rys. 4.7. Graf fukcjoowaia sysemu M/M//b : : ( ) : 3 ( ) 3 3: 3 3 4 ( ) 3 4 b: b b b b. b Ogólie: b b skąd: b b. Ławo srawdzić asęujący związek: b ( ) L. b b Osaeczie: b b (4.5) (4.6) b oraz: - efekywa iesywość a wejściu: ( ) ( ) - średia liczba jedosek w sysemie: L s ; K ; e b b b - średie wykorzysaie sacji obsługi: L B b ; - średi czas wykorzysaia obsługi: W / ; - średia liczba jedosek w kolejce: Lq Ls LB ; B

46 Podsawy modelowaia sysemów - średie wykorzysaie sysemu: U P( > ) U ; - średi czas jedoski w sysemie: Ws L s / e ; - średi czas jedoski w kolejce: Wq L q / e. Zauważmy że sysem może racować akże rzy sełieiu waruku: >. Przykład 4.. Rozarzmy rzyadek z myjią samochodową z rzykładu 4. w kórej kolejka jes ograiczoa rzez liczbę miejsc arkigowych do b 5 samochodów. Czas obsługi wydłuża się o mi co jes związae z koieczością dojazdu z arkigu do myji. Pozosałe aramery ozosają iezmieioe. Powórzmy odsawowe dae: - iesywość zgłoszeń 4 [/godz]; - iesywość obsługi 6/() 6/3 mi/mi 4654 [/godz]; - soień wykorzysaia (4.6) / 4 3/6 8667 (sysem jes sabily). Na odsawie (4.6) określamy rozkład rawdoodobieńswa liczby samochodów w sysemie: b 6 Rozkład e jes okazay a rys. 4.8. Jes o ograiczoy do s 5 saów. Rys. 4.8. Rozkład rawdoodobieńswa liczby samochodów w sysemie M/M//5 5 - efekywa iesywość a wejściu: ( 5) 35475 6 e ; - średia liczba samochodów w myji (łączie z kolejką): L s 878; 5

4. Modele zależe od zdarzeń 47 - średie wykorzysaie sacji obsługi: L B 7686; 6 - średia liczba jedosek w kolejce: Lq Ls LB 39; - średi czas obsługi w sysemie: W / 5885 s L s e Wq Lq s / e - średi czas rzebywaia w kolejce: 379 4.7. Zadaia 4.. Wykoać obliczeia wskaźików sysemu M/M//b (jak w rzykładzie 4.) rzyjmując aramery 4 5 b 5. Przerowadzić aalizę zmia wskaźików ego sysemu w zależości od zmiay długości kolejki: b 5 5. Srawdzić że wskaźiki e zbliżają się do wskaźików sysemu M/M/. 4.. Przerowadzić orówawczą aalizę sysemów kolejkowych M/M/ oraz M/M//b jak w zadaiu 4. rzy asęujących daych sysemu odsawowego: a) 4 b 8 i zmiaie b w zakresie: 8 5 ; b) 85 b 8 i zmiaie b w zakresie: 8 5 ; c) 3 b 5 i zmiaie b w zakresie: 5 5; d) 4 b i zmiaie b w zakresie: 5 ; a) 5 b i zmiaie b w zakresie: 5.