Wykład VII Splot i bliskie pole

Splot funkcji f i h

x? Splot x f x g x f h x d 0 0 1 1 1 2 3 3 3

Twierdzenie o splocie

Twierdzenie o uszeregowaniu Amplitudę zespoloną obrazu dyfrakcyjnego w dalekim polu, przedmiotu złożonego z układu elementarnych elementów można przedstawić jako iloczyn amplitudy zespolonej reprezentującej obraz interferencyjny funkcji lokalizacji tych elementów oraz amplitudy zespolonej reprezentującej obraz dyfrakcyjny pojedynczego elementarnego elementu

Najważniejszy przykład

Nieograniczona siatka harmoniczna

Widmo siatki harmonicznej

Obraz siatki w mikroskopie

Ograniczona siatka harmoniczna

Całka po x Całka po y Całka po y

f xs =3; 2a=2mm f xs =3; 2a=2mm (wykres niebieski) oraz 2a=8mm (wykres różowy).

f xs =3, a=4mm, b=2mm

Ogólnie wych wych x y u x, y x, y exp 2 i xf yf dxdy f f f f U,, x y F x y wych f f F x y U, u, x y wych f, f F x, y F x y

W przybliżeniu dalekiego pola obraz dyfrakcyjny przedmiotu ograniczonego przesłoną jest splotem obrazu dyfrakcyjnego przedmiotu nieograniczonego i obrazu dyfrakcyjnego przesłony

Obrazy dyfrakcyjne trzech różnych przesłon

Kwestie rozdzielczości raz jeszcze

Obraz siatki w mikroskopie

Nieograniczona siatka binarna może zostać rozłożona na sumę harmonik (opisana przez szereg Fouriera)

Odtwarzanie siatki binarnej z sumy kolejnych harmonik

Obiektyw immersyjny

Puste powiększenie Powiększenie mikroskopu jest cechą wtórną w stosunku do jego rozdzielczości.

Szereg Fouriera Okresową funkcję f możemy przedstawić w postaci szeregu f x = A 0 2 + A ncos nkx n=1 + B n sin nkx n=1 nazywanego szeregiem Fouriera

f x = A 0 2 + A ncos nkx n=1 + B n sin nkx n=1 λ 2 x 0 +λ A 0 = 2 λ f x dx = 2 λ f x dx λ 2 x 0 λ 2 x o +λ A n = 2 λ f x cos nkx dx = 2 λ f x cos nkx dx λ 2 x 0 λ 2 x 0 +λ B n = 2 λ f x sin nkx dx = 2 λ f x sin nkx dx λ 2 x 0

Zobaczmy, na prostym przykładzie, jak działają szeregi Fouriera. f x = Π x 2a 1 2

Współczynniki B n szukanego rozkładu są równe zeru gdyż funkcja jest symetryczna. Rozkład fourierowski funkcji f(x) realizuje się poprzez parzyste funkcje cosinus, przy których stoją współczynniki A n.

W bliskim polu

dy dx y y x x z i k y x z i k y x P o o o o pad o exp 2 exp, u u 2 2 0 2 2 2 y x z k o 1 2 exp 2 2 y x z k i o

Postać splotowa Splot funkcji f i h

Twierdzenie o splocie

Przykłady

Półpłaszczyzna

Sinus Fresnela (całkowy) Cosinus Fresnela (całkowy)

t x = 2 λz o x x o dt x = 2 λz o dx t y = 2 λz o y y o dt y = 2 λz o dy t 0y = 2 λz o y = 0 y o = y o 2 λz o

Wykres natężenia wzdłuż osi y dla światła czerwonego o długości fali 633nm. Odległość półpłaszczyzny od ekranu wynosi z o =300mm.

Szczelina

y o Rozmiar otworu x=2mm, y=1mm, odległość ekran otwór z=50mm, światło o długości =633nm

Przekrój przez obraz otworu prostokątnego dla dwóch rozmiarów szczeliny w kierunku osi y: y=1mm (niebieski) y=2mm (różowy). Odległość otwór ekran wynosi w przypadku (a) z=100m a w przypadku (b) z=5000mm. Zwróć uwagę na położenie pierwszych minimów.

Rozmiar otworu x=2mm, y=1mm: (a) z=150mm (niebieski) i z=222m (różowy), a w przypadku (b) z=1500mm (niebieski) i z=3000mm (różowy).

Całki Fresnela

Nomogram

t 0y = 2 λz o y = 0 y o = y o 2 λz o

Soczewka cienka

Funkcja transmitancji soczewki

Płaszczyzna Fourierowska

Dyfraktometr

Siedem kropek

Trójkąt Sierpińskiego

Układ do filtracji układ 4f

Usuwanie rastra

Kontrast fazowy

Neuron uwidoczniony dzięki technice barwienia opracowanej przez Camillo Golgiego (1873r)

Funkcja przenoszenia przedmiotu fazowego i jej pierwszorzędowe rozwinięcie w szereg Płaska fala po przejściu przez przedmiot Obraz fourierowski

Filtr Funkcja transmitancji filtru fazowego Znak plus dodatni kontrast Znak minus ujemny kontrast Fala po przejściu przez filtr fazowy Wyrażamy ją w zmiennych x F, y F

Druga soczewka Transformacja przez drugą soczewkę Wyrażamy ją w zmiennych x F, y F W mikroskopie z kontrastem fazowym, amplituda obrazu jest proporcjonalna do modulacji fazy przez przedmiot fazowy.

A comparison of living cells in culture imaged in both brightfield and phase contrast illumination. The cells are human glial brain tissue grown in monolayer culture bathed with a nutrient medium containing amino acids, vitamins, mineral salts, and fetal calf serum. In brightfield illumination (Figure 2(a)), the cells appear semi-transparent with only highly refractive regions, such as the membrane, nucleus, and unattached cells (rounded or spherical), being visible. When observed using phase contrast optical accessories, the same field of view reveals significantly more structural detail (Figure 2(b)). Cellular attachments become discernable, as does much of the internal structure. In addition, the contrast range is dramatically improved.

Obraz Gram-dodatnich bakterii Staphylococcus aureus ATCC 25923 (fioletowe) i Gramujemnych bakterii Escherichia coli ATCC 11775 (czerwone), przy powiększeniu x1000

Wymagania Twierdzenie o splocie Twierdzenie o uszeregowaniu Siatka harmoniczna, widmo Wpływ apertury na widmo przedmiotu Apertura numeryczna i jej znaczenie Dyfraktometr Filtracja optyczna Kontrast fazowy

Przykładowe zadanie O rozdzielczości klasycznego mikroskopu optycznego decyduje a) długość fali świetlnej; b) powiększenie geometryczne; c) apertura numeryczna obiektywu; d) krok przesuwu stolika mikroskopowego