Laboratorium TECHNIKI LASEROWEJ. Ćwiczenie 6. Pomiar wymiarów małych obiektów w oparciu o zjawisko dyfrakcji w polu dalekim

Transkrypt

1 Laboratorium TECHNIKI LASEROWEJ Ćwiczenie 6. Pomiar wymiarów małych obiektów w oparciu o zjawisko dyfrakcji Katedra Metrologii i Optoelektroniki WETI Politechnika Gdańska Gdańsk 2018

2 1. Wstęp. Zjawisko dyfrakcji światła. Głównym celem ćwiczenia jest zapoznanie się studentów ze zjawiskiem dyfrakcji, w szczególności dyfrakcji w tzw. polu dalekim oraz wykorzystanie tego zjawiska do pomiarów wymiarów małych szczelin i otworów. Proces dyfrakcji, zwany inaczej ugięciem światła, na przestrzeni wieków definiowany był na wiele różnych sposobów. Podstawą każdej definicji tego zjawiska jest zasada Huygensa ( ) o falowym charakterze światła, która głosi, iż każdy punk czoła fali można rozpatrywać jako źródło fal wtórnych, rozchodzących się we wszystkich kierunkach. Teoria Huygensa poddawała w wątpliwość powszechnie panujące przekonanie o korpuskularnym charakterze światła. Teoria korpuskularna nie pozwalała jednak na wyjaśnienie niektórych zjawisk i obserwacji, np. zjawiska interferencji. Prawo prostoliniowego rozchodzenia się światła zawodziło również przy przechodzeniu przez dostatecznie wąskie szczeliny i otwory, a także przy oświetlaniu małych, nieprzezroczystych przeszkód. W takich sytuacjach na ekranie umieszczonym za szczeliną (czy też przeszkodą) zamiast ostro rozgraniczonych obszarów światła i cienia można zaobserwować (oczywiście przy spełnieniu odpowiednich warunków) układ interferencyjnych maksimów i minimów natężenia światła, nazwany później obrazem dyfrakcyjnym (Rysunek 1 ). Należy zaznaczyć, iż pojęcia interferencja i dyfrakcja często używane są zamiennie, gdyż nie ma wyraźnie określonej różnicy fizycznej między obu zjawiskami. Przyjmuje się, iż terminu interferencja używa się w przypadku nakładania się fal świetlnych z nielicznych źródeł (np. dwóch), natomiast gdy liczba źródeł jest większa, korzysta się z nazwy dyfrakcja. Laboratorium Techniki Laserowej Strona 2

3 Rysunek 1. Obraz dyfrakcyjny (wraz z rozkładem intensywności w funkcji kąta) otrzymany na pojedynczej szczelinie o szerokości 100 μm. Zadania wyjaśnienia zjawiska dyfrakcji w oparciu o falową naturę światła oraz jego ilościowego obliczenia podjął się August Jean Fresnel ( ). Ten francuski fizyk odegrał decydującą rolę w utwierdzeniu falowej teorii światła i dalszym rozwijaniu jej na początku XIX wieku. Fresnel na podstawie swoich doświadczeń oraz kilku praw uściślił treść zasady Huygensa. Dodał mianowicie, iż wszystkie punkty czoła fali są nie tylko źródłami fal wtórnych, ale że fale wtórne mogą ze sobą również interferować. Na bazie zasady Huygensa-Fresnela, G. R. Kirchhoff ( ) sformułował najogólniejszą teorię dyfrakcji, wraz z jej matematycznym opisem. Zakładając, że fala świetlna, emitowana w punkcie P0 (Rysunek 2), pada z lewej strony na szczelinę w płaskim, nieprzezroczystym i nieograniczonym ekranie, to zespolona amplituda pola falowego uk(p) w punkcie obserwacji P po prawej stronie ekranu dana jest tzw. całką Kirchhoffa: gdzie: - u(q) jest funkcją opisującą rozkład zespolonej amplitudy pola falowego w otworze, Laboratorium Techniki Laserowej Strona 3

4 - G(p,Q) jest funkcją przedstawiającą tzw. pole sondujące, - S Q jest powierzchnią otworu uginającego światło, po której odbywa się całkowanie. Rysunek 2. Graficzna interpretacja sformułowania problemu dyfrakcji według Kirchhoffa (P0 źródło promieniowania, n - wektor normalny do powierzchni otworu SQ, P- punkt obserwacji, r - odległość między punktem P a punktami otworu R promień wycinka sfery otaczającej punkt P). Sformułowanie Rayleigha-Sommerfelda procesu dyfrakcji oparte jest na likwidacji nieścisłości matematycznych z teorii Kirchhoffa poprzez odpowiedni wybór funkcji G we wzorze (1): a) funkcja G zanika na ekranie, b) pochodna normalna funkcji G przyjmuje wartości równe zeru na ekranie. Funkcja G spełniająca warunek a) lub b), nosi nazwę funkcji Greena odpowiednio zagadnienia typu Dirichleta (GD(P,Q)) i zagadnienia typu Neumanna (DN(P,Q)). Wzory dyfrakcyjne przyjmują postać: Laboratorium Techniki Laserowej Strona 4

5 i noszą nazwę wzorów całkowych Rayleigha-Sommerfelda. 2. Dyfrakcja w obszarze fresnela i fraunhofera Teorie dyfrakcji przedstawione przez Fresnela i Fraunhofera są bardzo często stosowane w praktyce, np. do pomiaru rozmiarów obiektów o małych wymiarach. Głównym powodem tego stanu rzeczy jest względna prostota wzorów dyfrakcyjnych w stosunku do innych, bardziej skomplikowanych ujęć zjawiska, np. w sformułowaniu Rayleigha -Sommerfelda. Obydwie teorie bazują na określonych założeniach odnośnie: długości fali źródła promieniowania, rozmiarów układu dyfrakcyjnego oraz odległości punktu obserwacji od układu dyfrakcyjnego. Mimo założeń i stosowania przybliżeń, obie teorie są dokładne, a wyniki otrzymane przy ich użyciu powtarzalne. Aby skorzystać z dyfrakcji Fresnela dla zagadnienia typu Dirichleta konieczne są założenia: 1. Odległości r punktów obserwacji od badanego obiektu są znacznie większe od długości fali zastosowanego źródła promieniowania, 2. Odległości punktów obserwacji od obiektu są znacznie większe od Jego liniowych rozmiarów, 3. Punkty obserwacji zlokalizowane są w bliskiej odległości od osi z, znacznie mniejszej niż odległość miedzy z obiektem, a płaszczyzną obserwacji. Układ dyfrakcyjny zaproponowany przez Fresnela przedstawiony jest na Rysunku 3: Laboratorium Techniki Laserowej Strona 5

6 Rysunek 3. Schemat układu dyfrakcyjnego dla założeń Fresnela (P - punkt obserwacji, r odległość punktu obserwacji od obiektu uginającego, (x1,y1) - płaszczyzna badanego obiektu, (x2,y2)-płaszczyzna obrazu). Po uwzględnieniu tych założeń wzór dyfrakcyjny Fresnela można przedstawić w postaci: gdzie: k jest liczbą falową. Aby móc zastosować powyższy wzór należy ustalić minimalną odległość zmin między obiektem, a płaszczyzną wyjściową, przy której można obserwować rozkład pola dyfrakcyjnego Fresnela: Fraunhofer w swojej teorii postanowił jeszcze bardziej uprościć wzór dyfrakcyjny Rayleigha- Sommerfelda. Zauważył, że gdy płaszczyzna obserwacji znajduje się w dostatecznie dużej odległości od elementu uginającego, to możliwe jest pominięcie fazowego czynnika kwadratowego exp [ ik 2z (x y 1 2 )]. Przy spełnieniu tego warunku, czyli gdy z min 1 2 k(x y 1 2 ) min (znając maksymalne liniowe wymiary obiektu x1, y1), wspomniany czynnik równy jest w przybliżeniu jedności i może zostać zaniedbany. Wzór dyfrakcyjny przyjmie wówczas postać: Laboratorium Techniki Laserowej Strona 6

7 Rysunek 4. Idea powstawania obrazu dyfrakcyjnego na aperturze kołowej obserwowanego (X1,Y1 płaszczyzna otworu uginającego, X2,Y2 płaszczyzna ekranu, D średnica otworu, d odległość otworu od ekranu wyjściowego E). Rozkład natężenia światła w obrazie dyfrakcyjnym (jak na Rysunku 4) dla apertury kołowej o średnicy D, opisuje zależność: gdzie: - J1 jest funkcją Bessela pierwszego rodzaju i pierwszego rzędu, - I0 jest maksymalnym natężeniem światła w centrum obrazu dyfrakcyjnego i wynosi: gdzie: - I A jest natężeniem fali płaskiej padającej na obiekt, - ρ jest współrzędną radialną: Laboratorium Techniki Laserowej Strona 7

8 ρ = x y 2 2, (11) - D jest średnicą otworu uginającego, - d jest odległością między aperturą a ekranem. Obraz dyfrakcyjny otworu kołowego (Rysunek 5) składa się z centralnego krążka, który nazywany jest krążkiem (dyskiem) Airy'ego, otoczonego na przemian ciemnymi i jasnymi pierścieniami. Promień dysku Airy'ego można wyznaczyć na podstawie położenia pierwszego minimum natężenia w powstałym obrazie dyfrakcyjnym. We współrzędnych kątowych wyraża się je następująca zależnością: sin θ = 1,22 λ D (12) Położenie kolejnych ciemnych prążków dane jest zależnością: sin θ = q λ D (13) gdzie: - q = 2,333; 3,238; 4,241; 5,243 dla minimum odpowiednio II-V rzędu. Na tej podstawie można wyznaczyć promień centralnego dysku, przy pomocy wzoru: Przy założeniu, że sin θ tan θ. ρ S = 1,22 λd D, (14) W centralnym dysku obrazu dyfrakcyjnego skoncentrowanych jest około 84% całkowitej energii świetlnej, a tylko 16% przypada na wszystkie pozostałe pierścienie. Obraz dyfrakcyjny Airy'ego odgrywa podstawową rolą w teorii odwzorowywania optycznego jako obraz punktu świetlnego wytworzony przez bezaberacyjny układ optyczny o kołowej źrenicy [1]. Laboratorium Techniki Laserowej Strona 8

9 Rysunek 5. Obraz dyfrakcyjny powstały na otworze o średnicy D=20 µm (z wykorzystaniem lasera He-Ne). Kolejnym rozpatrywanym przypadkiem jest ugięcie światła na aperturze prostokątnej. Idea powstawania obrazu dyfrakcyjnego apertury prostokątnej ukazana jest na Rysunku 6. Laboratorium Techniki Laserowej Strona 9

10 Rysunek 6. Idea powstawania obrazu dyfrakcyjnego apertury prostokątnej (X1,Y1 płaszczyzna apertury uginającej, X2,Y2 - płaszczyzna ekranu E, Dx,Dy wymiary szczeliny w kierunkach odpowiednio x oraz y, d odległość otworu od ekranu wyjściowego). Rozkład natężenia w płaszczyźnie obserwacji dany jest zależnością: gdzie: - I 0 = ( D xd y λd )2 I A, jest natężeniem światła w środku obrazu, - Dx i Dy są długościami boków prostokąta odpowiednio w kierunku x i y, - d jest odległością między aperturą uginającą a ekranem. Pierwsze zero powstałego w takim układzie obrazu dyfrakcyjnego przypada w punkcie o współrzędnych: Rysunek 7. Obraz dyfrakcyjny apertury prostokątnej o wymiarach 100 μm na 5 cm. Laboratorium Techniki Laserowej Strona 10

11 Dla celów laboratorium zostaną wykorzystane szczeliny prostokątne o boku znacznie dłuższym w kierunku x niż w kierunku y (Dy < Dx). W takim przypadku uzyskany obraz dyfrakcyjny będzie znacznie szerszy w kierunku y niż w kierunku x. Biorąc pod uwagę powyższy fakt, wartością szukaną podczas ćwiczenia laboratoryjnego będzie krótszy bok badanego obiektu, czyli wielkość Dy. 3. Opis stanowiska pomiarowego Układ laboratoryjny (Rysunek 8) składa się z następujących elementów: - źródło promieniowania: laser He -Ne o λ= 632,8 nm o mocy 2 mw, - filtr częstotliwości przestrzennych zbudowany z pinholi o średnicy 12,5 μm i wzmocnieniu obiektywu M=40, - soczewka kolimująca wiązkę (Sk), - element trzymający badany obiekt (H), - ekran E na którym obserwowany jest obraz dyfrakcyjny, - diafragma umożliwiająca ustawienie osi optycznej układu pomiarowego. 4. Przebieg pomiarów Rysunek 8. Schemat stanowiska pomiarowego. W celu poprawnego działania układu należy go przed przystąpieniem do pomiarów odpowiednio wyjustować oraz skalibrować. Aby tego dokonać konieczne jest: Ustawienie osi optycznej układu, które sprawi, iż wiązka światła emitowana przez źródło będzie równoległa do ławy optycznej oraz będzie przechodziła przez wszystkie elementy zamontowane na ławie. Na procedurę ustawienia osi optycznej składa się: a) ustawienie zamkniętej diafragmy tuż przed laserem, Laboratorium Techniki Laserowej Strona 11

12 b) kalibracja położenia lasera przy pomocy śrub mocujących laser tak, aby wiązka padała na środek diafragmy, c) przestawienie diafragmy w skrajne położenie na ławie optycznej, d) regulacja położenia lasera tak, aby wiązka wychodząca z lasera ponownie padała na środek diafragmy, e) po wykonaniu czynności z punktu d), należy powtórzyć kroki od a) do d). Jeżeli wiązka światła będzie przechodziła przez diafragmę umieszczoną zarówno na początku (tuż za laserem), jak i na końcu ławy, to procedura ustawiania osi optycznej została zakończona. Zamontowanie filtru przestrzennego i umieszczenie go w płaszczyźnie ogniskowej SK. Zadaniem filtru jest likwidacja szumu optycznego (Rysunek 9), który bardzo niekorzystnie wpływa na wyniki pomiarów i prowadzi do znaczących błędów. Szum ten uwidacznia się w postaci światła rozproszonego wokół nierozszerzonej wiązki lasera. Rysunek 9. Wiązka laserowa przed filtracją (po lewej) oraz po filtracji. Zestawienie kolejnych elementów stanowiska według przedstawionego wcześniej schematu (Rysunek 8). Kolejnym etapem po wyjustowaniu układu i zestawieniu wszystkich elementów stanowiska jest zamontowanie wskazanych przez prowadzącego laboratorium próbek (Rysunek 10) w uchwycie trzymającym i obserwowanie powstałych obrazów dyfrakcyjnych. Laboratorium Techniki Laserowej Strona 12

13 Rysunek 10. Badane obiekty: otwór o średnicy 20 µm (po lewej) oraz płytka ze szczelinami o szerokościach 100, 150, 200 i 250 µm. Elementem ułatwiającym obserwację i dalsze opracowanie wyników jest aparat cyfrowy, który wykorzystać należy do robienia zdjęć powstałym prążkom. Zalecanymi ustawieniami aparatu Sony Cybershot DSC-W110 podczas rejestracji obrazów dyfrakcyjnych są: rozdzielczość: 7 Mpix (3072 na 2304 pikseli) czułość ISO: 400 metering mode: spot focus: spot balans bieli (white balance): auto flash: wyłączony tryb makro: włączony. Podczas robienia zdjęcia należy wycentrować kadr w taki sposób, aby maksimum dyfrakcyjne znajdowało się w samym środku kadru. W celu ułatwienia obliczeń zaleca się ustawienie aparatu w odległości od ekranu wynoszącej 22,5 cm, pozwalającej na objęcie kadrem obszaru o wymiarach 10 cm na 7,5 cm (przy zbliżeniu optycznym 2.4 raza). Po ustawieniu aparatu według powyższych zaleceń należy, na podstawie ustawionej rozdzielczości oraz obszaru objętego w kadrze, wyznaczyć wymiary jednego piksela. Wielkość ta będzie niezbędna do wyznaczenia szerokości powstałych prążków dyfrakcyjnych. 5. Opracowanie wyników Na podstawie otrzymanych obrazów oraz bazując na objaśnieniach teoretycznych należy: Laboratorium Techniki Laserowej Strona 13

14 wyznaczyć parametry próbek wskazanych przez osobę prowadzącą zajęcia (szerokość szczeliny czy też średnicy). Zalecaną metodą jest wykorzystanie darmowego programu do obróbki zdjęć (Gimp2), który umożliwi dokładny pomiar szukanych odległości. W celu określenia parametrów obrazów dyfrakcyjnych z wykorzystaniem programu Gimp2 należy: a) wczytać zdjęcie do programu (plik => Otwórz => ścieżka dostępu do zdjęcia), b) wskazać kursorem minima dyfrakcyjne pierwszego rzędu i sczytać współrzędne im przyporządkowane ukazane w lewym dolnym rogu ekranu (Rysunek 11), Rysunek 11. Zdjęcie obrazu dyfrakcyjnego powstałego na szczelinie o szerokości 250 µm wczytane do programu GIMP2. c) wyznaczyć szerokość prążka wyrażoną w pikselach. Posiadając tą informację oraz znając wymiary jednego piksela należy wyznaczyć rozmiar prążka wyrażony w metrach. Następnie, na podstawie zależności matematycznych (rozdz. 3.), wyznaczyć szerokości badanych apertur. Porównać otrzymane wyniki z teoretycznymi. Skomentować dokładność pomiarów oraz wskazać ewentualne czynniki przyczyniające się do powstania błędów. Wyznaczyć i wykreślić wartości błędów względnych w funkcji odległości badanego obiektu od ekranu. Zastanowić się nad innymi zastosowaniami pomiarów opartych o analizę obrazów dyfrakcyjnych. 6. Literatura uzupełniająca 1. Gniadek K.: Optyczne przetwarzanie informacji. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, Jaworski B. M., Dietlaf A.: Procesy falowe: optyka: fizyka atomowa i jądrowa. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, Crawford F. C. Jr.: Fale. Państwowe Wydawnictwa Naukowe, Warszawa, Jóźwicki R.: Teoria odwzorowania optycznego. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, Laboratorium Techniki Laserowej Strona 14