Górnictwo i Geoinżynieria ok 33 Zesyt 1 9 Jan Gasyński* MIESZANY POBLEM POCZĄKOWO-BZEGOWY W EOII EMOKONSOLIDACJI. ZAGADNIENIE POCZĄKOWE 1. Wstęp Analia stanów naprężenia i odkstałcenia w gruncie poostaje ciągle jednym najcęściej podejmowanych tematów, arówno w badaniach eksperymentalnych, jak i roważaniach teoretycnych. Zakres tej tematyki jest bardo obserny. uch ciepła w gruncie powoduje miany jego temperatury, mające wpływ na stan naprężeń. eultatem tego są odkstałcenia mogące mieć wpływ na obiekty posadowione na gruncie. W pracy analiowane są stany naprężeń i deformacji półprestreni gruntowej (traktowanej jako porowaty ośrodek nasycony ciecą), wywołane obciążeniem ewnętrnym. Obciążenie to jest prekaywane pre stywny fundament kołowy posadowiony na bregu półprestreni gruntowej. Do rowiąania adania pryjęto model termokonsolidacji [1,, 7, 8], baujący na sprężeniu pól naprężeń w skielecie, ciśnienia wody w porach ora pola temperatury. W scególności ostały wynacone naprężenia w strefie kontaktu ora osiadania fundamentu w chwili pocątkowej procesu konsolidacji.. ównania termokonsolidacji oważana jest konsolidująca półprestreń gruntu. Proces konsolidacji wywołuje stywny kołowy fundament o promieniu r, wciskany w grunt naną siłą P. Wpływ na proces deformacji ma także pole temperatury, która w chwili pocątkowej ma określony rokład. Pryjmuje się, że w skielecie gruntowym i ciecy określone jest pole temperatury, mające wpływ na stany naprężeń, a tym samym na proces konsolidacji. Zakłada się, że pola naprężeń w skielecie, ciśnień w ciecy i temperatury są e sobą sprężone, a sposób tego sprężenia opisuje model termokonsolidacji [7, 8]. Półprestreń materialna opisywana jest wal- * Instytut Geotechniki, Politechnika Krakowska, Kraków 15
cowym układem współrędnych (r, φ, ), właściwym dla adań osiowo-symetrycnych. Cas jest onacany symbolem t. Stan procesu opisują następujące funkcje: w premiescenie w kierunku, prostopadłym do bregu (osiadanie); u premiescenie w kierunku radialnym {r}; σ naprężenie normalne w kierunku osi, w skielecie; σ r naprężenie stycne w skielecie; σ ciśnienie ciecy w porach; ϑ miana temperatura wywołana procesem konsolidacji ( ϑ= ); temperatura bewględna w chwili t, w chwili pocątkowej t. W osiowo symetrycnym stanie deformacji (nieależność wsystkich funkcji od kąta obrotu φ) równania tego modelu mają postać: 1 H E N u+ ( M + N) ε, + σ, b ϑ, = r r r 3 r H E N w+ M + N ε, + σ, b ϑ, = ( ) 3 1 H E σ = σ& ε & + b ϑ & k k k (1) E E E E ϑ = b + b ϑ & + b ε & + b σ& λ λ λ 3 Występują tu operatory różnickowania: 1 () = + +, = r r t Zwiąki geometrycne: u u w ε r =, ε ϕ =, ε = r r 1 u w u u w ε r = +, ε rϕ =, ε = + + r r r () 16
Zwiąki fiycne apisemy w postaci: Q E σ = Nε + Mε+ σ b3 ϑ σ = Nε r r (3) 1, Q E σ ϕ = Nε ϕ + Mε+ σ b3ϑ σ = rϕ (3) 3, 4 W równaniach (1), () występują parametry materiałowe ośrodka: A, N, Q, stałe Biota; k współcynnik prepuscalności; λ współcynnik prewodnictwa cieplnego; α s, α c, α sc współcynniki liniowej roseralności cieplnej skieletu, ciecy ora wpływu roseralności cieplnej skieletu na wydatek ciecy i odwrotnie; ρ, c ν gęstość właściwa i ciepło właściwe ośrodka. utaj i dalej pryjęto onacenia: H = Q+, M Q = A, E = N + M, K = A+ N, 3 E B = E + H, b c E E s sc =ρ v b ( ) 1 3K Q sc c = α + α b = ( Qα + α ) E Q b, 3 = b1 b E H b4 = b b3, E b5 = b, + b + b3 (4) H A = E σ, ( 1 A 3 = Hb b ), ϑ + b D = A A, σ + ϑ b b + Bq = M + + + Hb + b H E H 3 E D ( 3) b b N 17
owiąane ostanie adanie konsolidacji półprestreni porowatej wywołanej wciskaniem kołowego stywnego stempla obciążonego siłą P. Pryjmując poprednio pryjęte ałożenia o obciążeniu półprestreni ora, że na jej górnym bregu jest nane ciśnienie σ ora temperatura ϑ, apisemy warunki bregowe w postaci: w= w, r < r σ +σ =, r > r (5) σ =, r > r r o ( ) r r P() t π σ +σ d = σ=σ, r > (6) ϑ=ϑ, r > Warunki pocątkowe Uwględniając właściwości układu równań (1), apisemy warunki pocątkowe w postaci (4), (5), (7): 1 H E N u + ( M + N) ε, + σ, b ϑ, = r r r 3 r H E N w + M + N ε, + σ, b ϑ, = ( ) 3 (7) 1, E σ Hε + b ϑ = E 1 1 b + b ϑ + b ε + b σ = 3 (7) 3, 4 Warunki pocątkowe mają postać równań różnickowych cąstkowych dla posukiwanych funkcji premiesceń. 18
Odpowiednie dla nich warunki bregowe, wynikające (5) mają postać: w = w, r < r σ +σ =, r > r σ =, r > r (8) r o ( ) π σ +σ rdr = P utaj i dalej onacono wartości funkcji w chwili pocątkowej górnym indeksem. ak sformułowane agadnienie pocątkowo bregowe stanowi podstawę do konstrukcji rowiąania adania. 3. owiąanie adania dla warunku pocątkowego Pred prystąpieniem do rowiąania adania dla dowolnej chwili casu (t > ) (gdie cęsto jest wykorystywana transformacja Laplace a [3]), należy rowiąać adanie bregowe dla chwili pocątkowej (t = ). Zadanie to, jest opisane równaniami (7) warunkami bregowymi (8). Jest to miesany układ równań różnickowych i algebraicnych. Dokonujemy prekstałcenia układu równań popre wyeliminowanie równań (4) 1, funkcji: σ i ϑ a pomocą równań (4) 3, 4. Mamy więc: Hb + b ϑ = ε (9)1 3 b E b σ = H + ( Hb + b ) ε 3 b (9) i po wstawieniu do (4) 1, : 1 N u + ( M + N + D) ε, r = r (1) 1 ( ) N w + M + N + D ε, = (1) 19
O sposobie rowiąania decydują właściwości równań różnickowych. Do rowiąania adania wykorystamy transformację Hankela, definiowaną wiąkami: ( σ σ ϑ ) = ( σ σ ϑ) ( ω ) w,,, w,,, rj r d r, ( σ ) = ( σ ) ( ω ) u, u, rj r dr r r ( w ) ( w ) J ( r) ( u ) ( u ) J ( r) 1, σ, σ, ϑ =, σ, σ, ϑ ω ω d ω,, σ =, σ ω ω dω r r 1 (11) 1 (11) gdie: J o (ωr) i J 1 (ωr) są funkcjami Bessela, odpowiednio erowego i pierwsego rędu. Po wykonaniu transformacji Hankela na (1) i prekstałceniach mamy: ( ) ( ) N d ω u M + N + D ωε = (1) 1 ( ) ( ) N d ω w + M + N + D ε, = (1) Z równań (1), po wykonaniu na nich operacji dywergencji mamy: ( M N D) + + ε = (13) owiąanie równania (1) dla półprestreni pryjmuje postać: ( ) c ε = ω (14) exp Stąd dla transformat funkcji premiesceń mamy równania: ( ) ( ) exp( ) N d ω u = M + N + D c ω ω (15) 1 ( ) ( ) exp( ) N d ω w = M + N + D c ω ω (15)
i ich ogólne rowiąanie: M + N + D u = c ( ) exp ω + c1 exp( ω ) N (16) 1 M + N + D u = c ( ) exp ω + c exp( ω ) N (16) W trakcie dokonywania prekstałceń ostał podniesiony rąd równań różnickowych, stąd współcynniki w ich rowiąaniach musą spełniać warunek godności, wynikający e wiąku: ε = ω u + w, (17) Po uwględnieniu w (17) wyrażeń: (14) i (16) mamy: M + 3N + D ω( c ) 1 c = c (18) N Interesujące nas dalej transformaty naprężeń pryjmują postać: ( )( 1 ) exp( ) exp( ) σ +σ = c M + N + D ω ω c N ω ω + H E H b b 3 M + N + D + c M + + Hb b3 + + ω b b N ( ) exp( ) 1 σ r = c M + N + D ω ω N c1 c ω ω ( ) exp( ) ( ) exp( ) (19) 1 (19) Występujące w wyrażeniach współcynniki ostaną wynacone warunków bregowych. Z warunku (8) 3 ora równania (18) mamy: c 1 = c () 1 ω 1 c M + N + D 1 = c N ω () 1
Miesany warunek bregowy (8) 1, po uwględnieniu () 1, pryjmuje postać: N cj ( ωr) dω = w (1) 1 E+ D cωj( ωr) dω = (1) owiąania układu dualnych równań całkowych (1) sukamy w postaci: r o ( ) ( ) cos( ) c ω = ϕ ρ ωρ dρ () Funkcja () spełnia tożsamościowo równanie (1). Z równania (1) 1 otrymujemy: r o N ϕ ( ρ) cos( ωρ) dρ J( ωr) dω = w E+ D r o N ϕ ( ρ) cos( ωρ) J( ωr) dωdρ= w E+ D i po wyliceniu całki: ϕ ( ρ) r N dρ= w (3) E+ D r ρ owiąaniem równania (3) jest funkcja: ϕ N ( r) = w π E + D (4) Mając funkcję (4) wynacymy równań: (19) 1, () i (4) naprężenia kontaktowe: q r J r ( ) ( ) ( ) ( ) = = σ +σ = σ +σ ω ω dω = ro q q ( ) ( ) ( ) ( ) = Bc ω J ωr dω= B ϕ ρ cos ωρ dρ ω J ωr dω (5) 1
i stąd: q q ( r) NB w = E+ D π r r (5) Poostaje wiąać osiadanie fundamentu obciążeniem P. Z warunku bregowego mamy: r o ( ) π q r r dr = P i stąd osiadanie fundamentu: w E+ D P = (6) r 8NBq Naprężenia kontaktowe wywołane siłą wciskającą P opisane są ależnością: q ( r) 1 P = π r r (7) 4. Uwagi końcowe Otrymane wyniki stanowią fragment pełnego rowiąania bregowego adania kontaktowego dla półprestreni konsolidującej. Niemniej powalają podjąć dyskusję o jego właściwościach. ak więc jest widocne, że pocątkowe osiadanie bregu półprestreni dane worem (6) opisuje analogicna ależność, jak dla ośrodka nie wrażliwego na temperaturę, tutaj uwględnieniem termicnych właściwości ośrodka. W scególności pocątkowe osiadanie bregu półprestreni (w obsare kontaktu) jest różne w prypadku ośrodka wrażliwego na temperaturę i niewrażliwego. O wielkości tych różnic decydują właśnie termicne właściwości ośrodka. Zwiąek ten może być wykorystany do osacowania reakcji podłoża na budowlę, pry mianach temperatury. Naprężenia (7) kontaktowe w chwili pocątkowej procesu nie ależą tak od właściwości mechanicnych, filtracyjnych ora termicnych ośrodka gruntowego. LIEAUA [1] Biot M.A.: General theory of three-dimensional consolidation. J. Appl. Phys., 1941, No. 1, 155 [] Coussy O.: Mechanics of Porous Continua. John Willey & Sons 1995 3
[3] Doetsch G.: Praktyka prekstałcenia Laplace a. Warsawa, PWN 1964 [4] Gasyński J.: Identyfikacja modelu konsolidacji Biota na podstawie realiacji jednoosiowego adania bregowego. Archiwum Hydrotechniki PAN, XXXI, t. 1, 1984, 15 135 [5] Gasyński J.: Konsolidacja porowatej warstwy nasyconej ciecą uwględnieniem wpływu temperatury. Zesyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Budownictwo, nr 1756, 7 [6] Kowalski S.J.: hermomechanics of Drying Process of Fluid-Saturated Porous Media, Drying echnology. Vol. 1, No. 4, 1994, 453 48 [7] Strelecki., ównania termokonsolidacji gruntów i skał., Geotechnika i Budownictwo Specjalne, AGH, XXIX 6, 85 99 [8] Strelecki., Kostecki S., Żak S.: Modelowanie prepływów pre ośrodki porowate. Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne 9 4