Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wykład 6 Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl 19 września 2014 Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 1/15
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Znajomość funkcji falowej cząstki o masie m znajdującej się w polu siły F( r,t) = V( r,t)powinnanamdaćmożliwiedokładny,na tyle na ile pozwalają na to relacje nieoznaczoności, Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 2/15
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Znajomość funkcji falowej cząstki o masie m znajdującej się w polu siły F( r,t) = V( r,t)powinnanamdaćmożliwiedokładny,na tyle na ile pozwalają na to relacje nieoznaczoności, opis jej ruchu. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 2/15
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Znajomość funkcji falowej cząstki o masie m znajdującej się w polu siły F( r,t) = V( r,t)powinnanamdaćmożliwiedokładny,na tyle na ile pozwalają na to relacje nieoznaczoności, opis jej ruchu. Funkcja falowa ψ( r, t) jest rozwiązaniem równania falowego Schrödingera i ψ( r,t) t = 2 2m 2 ψ( r,t)+v( r,t)ψ( r,t). Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 2/15
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Znajomość funkcji falowej cząstki o masie m znajdującej się w polu siły F( r,t) = V( r,t)powinnanamdaćmożliwiedokładny,na tyle na ile pozwalają na to relacje nieoznaczoności, opis jej ruchu. Funkcja falowa ψ( r, t) jest rozwiązaniem równania falowego Schrödingera i ψ( r,t) t = 2 2m 2 ψ( r,t)+v( r,t)ψ( r,t). Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 2/15
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Postulat I. Zmienne dynamiczne opisujące ruch cząstki reprezentujemy przez operatory liniowe działające w przestrzeni Hilberta H wszystkich możliwych stanów kwantowych cząstki. Np.operatorpędu i,albooperatorpołożenia r. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 3/15
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Postulat I. Zmienne dynamiczne opisujące ruch cząstki reprezentujemy przez operatory liniowe działające w przestrzeni Hilberta H wszystkich możliwych stanów kwantowych cząstki. Np.operatorpędu i,albooperatorpołożenia r. Rozważmy równanie własne operatora liniowego Ω reprezentującego pewną zmienną dynamiczną Ω µ =ω µ µ, gdzie µ jest pewną(jedną lub więcej) liczbą kwantową, od której zależywartośćwłasnaω µ. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 3/15
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Postulat I. Zmienne dynamiczne opisujące ruch cząstki reprezentujemy przez operatory liniowe działające w przestrzeni Hilberta H wszystkich możliwych stanów kwantowych cząstki. Np.operatorpędu i,albooperatorpołożenia r. Rozważmy równanie własne operatora liniowego Ω reprezentującego pewną zmienną dynamiczną Ω µ =ω µ µ, gdzie µ jest pewną(jedną lub więcej) liczbą kwantową, od której zależywartośćwłasnaω µ. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 3/15
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Postulat II. W wyniku dokładnego pomiaru zmiennej dynamicznej reprezentowanej przez operator Ω możemy otrzymać tylko jedną z jegowartościwłasnychω µ. Jeżeliwartośćwłasnaω µ podlegapomiarowi,tomusibyćona liczbą rzeczywistą, co implikuje, że operator Ω reprezentujący zmienną dynamiczną musi być hermitowski. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 4/15
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Postulat II. W wyniku dokładnego pomiaru zmiennej dynamicznej reprezentowanej przez operator Ω możemy otrzymać tylko jedną z jegowartościwłasnychω µ. Jeżeliwartośćwłasnaω µ podlegapomiarowi,tomusibyćona liczbą rzeczywistą, co implikuje, że operator Ω reprezentujący zmienną dynamiczną musi być hermitowski. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 4/15
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wyobraźmy sobie dużą liczbę kopii identycznych, niezależnych, nie nakładających się obszarów przestrzeni. Każdy obszar jest dostatecznie duży, aby były w nim widoczne wszystkie fizycznie interesujące własności ruchu cząstki. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 5/15
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wyobraźmy sobie dużą liczbę kopii identycznych, niezależnych, nie nakładających się obszarów przestrzeni. Każdy obszar jest dostatecznie duży, aby były w nim widoczne wszystkie fizycznie interesujące własności ruchu cząstki. W każdym obszarze rozpatrywanego układu funkcja falowa ψ( r, t) bedąca rozwiązaniem równania Schrödingera daje pełny kwantowomechaniczny opis cząstki o masie m i energii potencjalnej V( r,t). Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 5/15
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wyobraźmy sobie dużą liczbę kopii identycznych, niezależnych, nie nakładających się obszarów przestrzeni. Każdy obszar jest dostatecznie duży, aby były w nim widoczne wszystkie fizycznie interesujące własności ruchu cząstki. W każdym obszarze rozpatrywanego układu funkcja falowa ψ( r, t) bedąca rozwiązaniem równania Schrödingera daje pełny kwantowomechaniczny opis cząstki o masie m i energii potencjalnej V( r, t). Położenie cząstki mierzymy względem umownego środka danego obszaru. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 5/15
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wyobraźmy sobie dużą liczbę kopii identycznych, niezależnych, nie nakładających się obszarów przestrzeni. Każdy obszar jest dostatecznie duży, aby były w nim widoczne wszystkie fizycznie interesujące własności ruchu cząstki. W każdym obszarze rozpatrywanego układu funkcja falowa ψ( r, t) bedąca rozwiązaniem równania Schrödingera daje pełny kwantowomechaniczny opis cząstki o masie m i energii potencjalnej V( r, t). Położenie cząstki mierzymy względem umownego środka danego obszaru. Alternatywnie możemy rozpatrywać wiele niezależnych powtórzeń tego samego ruchu w jednym obszarze przestrzeni, mierząc czas zawsze od pewnej konkretnej chwili początkowej. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 5/15
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wyobraźmy sobie dużą liczbę kopii identycznych, niezależnych, nie nakładających się obszarów przestrzeni. Każdy obszar jest dostatecznie duży, aby były w nim widoczne wszystkie fizycznie interesujące własności ruchu cząstki. W każdym obszarze rozpatrywanego układu funkcja falowa ψ( r, t) bedąca rozwiązaniem równania Schrödingera daje pełny kwantowomechaniczny opis cząstki o masie m i energii potencjalnej V( r, t). Położenie cząstki mierzymy względem umownego środka danego obszaru. Alternatywnie możemy rozpatrywać wiele niezależnych powtórzeń tego samego ruchu w jednym obszarze przestrzeni, mierząc czas zawsze od pewnej konkretnej chwili początkowej. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 5/15
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Taki ruch będzie opisywany przez funkcję falową ψ( r, t). Zakładamy, że zbiór wszystkich wektorów własnych{ µ } operatora liniowego Ω tworzy układ ortogonalny zupełny w przestrzeni Hilberta H. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 6/15
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Taki ruch będzie opisywany przez funkcję falową ψ( r, t). Zakładamy, że zbiór wszystkich wektorów własnych{ µ } operatora liniowego Ω tworzy układ ortogonalny zupełny w przestrzeni Hilberta H. Każdystan ψ HmożnarozwinąćwszeregFouriera względem{ µ }. ψ = µ c µ µ, Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 6/15
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Taki ruch będzie opisywany przez funkcję falową ψ( r, t). Zakładamy, że zbiór wszystkich wektorów własnych{ µ } operatora liniowego Ω tworzy układ ortogonalny zupełny w przestrzeni Hilberta H. Każdystan ψ HmożnarozwinąćwszeregFouriera względem{ µ }. ψ = µ c µ µ, gdzie oznacza sumowanie po dyskretnym i całkowanie po µ ciągłym zakresie widma operatora Ω. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 6/15
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Taki ruch będzie opisywany przez funkcję falową ψ( r, t). Zakładamy, że zbiór wszystkich wektorów własnych{ µ } operatora liniowego Ω tworzy układ ortogonalny zupełny w przestrzeni Hilberta H. Każdystan ψ HmożnarozwinąćwszeregFouriera względem{ µ }. ψ = µ c µ µ, gdzie oznacza sumowanie po dyskretnym i całkowanie po µ ciągłym zakresie widma operatora Ω. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 6/15
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Postulat III. Liczba pomiarów zmiennej dynamicznej reprezentowanejprzezoperatorliniowy Ω,któredadząwynikω µ jestproporcjonalnado c µ 2. Postulat ten został zaproponowany przez Maxa Borna (1882-1970). Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 7/15
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Postulat III. Liczba pomiarów zmiennej dynamicznej reprezentowanejprzezoperatorliniowy Ω,któredadząwynikω µ jestproporcjonalnado c µ 2. Postulat ten został zaproponowany przez Maxa Borna (1882-1970). Pozwala on powiązać każdą zmienną dynamiczną z pewnym rozkładem prawdopodobieństwa. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 7/15
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Postulat III. Liczba pomiarów zmiennej dynamicznej reprezentowanejprzezoperatorliniowy Ω,któredadząwynikω µ jestproporcjonalnado c µ 2. Postulat ten został zaproponowany przez Maxa Borna (1882-1970). Pozwala on powiązać każdą zmienną dynamiczną z pewnym rozkładem prawdopodobieństwa. Wynik pomiaru zmiennej dynamicznej reprezentowanej przez Ω jest pewny tylko wtedy, gdy stan kwantowy cząstki jest stanem własnym. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 7/15
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Postulat III. Liczba pomiarów zmiennej dynamicznej reprezentowanejprzezoperatorliniowy Ω,któredadząwynikω µ jestproporcjonalnado c µ 2. Postulat ten został zaproponowany przez Maxa Borna (1882-1970). Pozwala on powiązać każdą zmienną dynamiczną z pewnym rozkładem prawdopodobieństwa. Wynik pomiaru zmiennej dynamicznej reprezentowanej przez Ω jest pewny tylko wtedy, gdy stan kwantowy cząstki jest stanem własnym. W pozostałych sytuacjach możemy mówić tylko o prawdopodobieństwie, z którym możemy uzyskać jakąś określoną wartość zmiennej dynamicznej. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 7/15
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Postulat III. Liczba pomiarów zmiennej dynamicznej reprezentowanejprzezoperatorliniowy Ω,któredadząwynikω µ jestproporcjonalnado c µ 2. Postulat ten został zaproponowany przez Maxa Borna (1882-1970). Pozwala on powiązać każdą zmienną dynamiczną z pewnym rozkładem prawdopodobieństwa. Wynik pomiaru zmiennej dynamicznej reprezentowanej przez Ω jest pewny tylko wtedy, gdy stan kwantowy cząstki jest stanem własnym. W pozostałych sytuacjach możemy mówić tylko o prawdopodobieństwie, z którym możemy uzyskać jakąś określoną wartość zmiennej dynamicznej. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 7/15
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Jeśli operatory Ω i Γ reprezentujące zmienne dynamiczne komutują, to jak pokazaliśmy wcześniej, mają wspólne wektory własne, a więc reprezentowane przez nie zmienne są jednocześnie mierzalne. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 8/15
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Jeśli operatory Ω i Γ reprezentujące zmienne dynamiczne komutują, to jak pokazaliśmy wcześniej, mają wspólne wektory własne, a więc reprezentowane przez nie zmienne są jednocześnie mierzalne. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 8/15
Operator całkowitej energii Przeanalizujmy znaczenie postulatów interpretacyjnych mechaniki kwantowej na przykładzie operatora całkowitej energii cząstki. Załóżmy że energia potencjalna nie zależy jawnie od czasu, V ( r,t) V ( r), Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 9/15
Operator całkowitej energii Przeanalizujmy znaczenie postulatów interpretacyjnych mechaniki kwantowej na przykładzie operatora całkowitej energii cząstki. Załóżmy że energia potencjalna nie zależy jawnie od czasu, V ( r,t) V ( r),tzn.,żeoperatorhamiltonamapostać H = 2 2m 2 +V ( r). Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 9/15
Operator całkowitej energii Przeanalizujmy znaczenie postulatów interpretacyjnych mechaniki kwantowej na przykładzie operatora całkowitej energii cząstki. Załóżmy że energia potencjalna nie zależy jawnie od czasu, V ( r,t) V ( r),tzn.,żeoperatorhamiltonamapostać H = 2 2m 2 +V ( r). Wtedy równanie Schrödingera możemy sprowadzić do równania własnego operatora Hamiltona Hu E ( r) =Eu E ( r), Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 9/15
Operator całkowitej energii Przeanalizujmy znaczenie postulatów interpretacyjnych mechaniki kwantowej na przykładzie operatora całkowitej energii cząstki. Załóżmy że energia potencjalna nie zależy jawnie od czasu, V ( r,t) V ( r),tzn.,żeoperatorhamiltonamapostać H = 2 2m 2 +V ( r). Wtedy równanie Schrödingera możemy sprowadzić do równania własnego operatora Hamiltona Hu E ( r) =Eu E ( r), Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 9/15
Operator całkowitej energii które w notacji Diraca można zapisać w postaci H E =E E. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 10/15
Funkcje własne energii Funkcje własne energii można podzielić na dwie klasy: funkcje dobrze zlokalizowane odpowiadające dyskretnym wartościom własnym energii funkcje niezlokalizowane odpowiadające ciągłym wartościom własnym energii. Połączmy oba przypadki w jeden. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 11/15
Funkcje własne energii Funkcje własne energii można podzielić na dwie klasy: funkcje dobrze zlokalizowane odpowiadające dyskretnym wartościom własnym energii funkcje niezlokalizowane odpowiadające ciągłym wartościom własnym energii. Połączmy oba przypadki w jeden. Zamknijmy cząstkę w sześciennym pudełku o dużym, ale skończonym rozmiarze L i sztywnych ścianach. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 11/15
Funkcje własne energii Funkcje własne energii można podzielić na dwie klasy: funkcje dobrze zlokalizowane odpowiadające dyskretnym wartościom własnym energii funkcje niezlokalizowane odpowiadające ciągłym wartościom własnym energii. Połączmy oba przypadki w jeden. Zamknijmy cząstkę w sześciennym pudełku o dużym, ale skończonym rozmiarze L i sztywnych ścianach. Takie ściany odpowiadają nieskończonemu skokowi energii potencjalnej. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 11/15
Funkcje własne energii Funkcje własne energii można podzielić na dwie klasy: funkcje dobrze zlokalizowane odpowiadające dyskretnym wartościom własnym energii funkcje niezlokalizowane odpowiadające ciągłym wartościom własnym energii. Połączmy oba przypadki w jeden. Zamknijmy cząstkę w sześciennym pudełku o dużym, ale skończonym rozmiarze L i sztywnych ścianach. Takie ściany odpowiadają nieskończonemu skokowi energii potencjalnej. Wewnątrz pudełka energia może przyjmować wartości dyskretne, a na granicach funkcja falowa musi znikać. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 11/15
Funkcje własne energii Funkcje własne energii można podzielić na dwie klasy: funkcje dobrze zlokalizowane odpowiadające dyskretnym wartościom własnym energii funkcje niezlokalizowane odpowiadające ciągłym wartościom własnym energii. Połączmy oba przypadki w jeden. Zamknijmy cząstkę w sześciennym pudełku o dużym, ale skończonym rozmiarze L i sztywnych ścianach. Takie ściany odpowiadają nieskończonemu skokowi energii potencjalnej. Wewnątrz pudełka energia może przyjmować wartości dyskretne, a na granicach funkcja falowa musi znikać. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 11/15
Periodyczne warunki brzegowe Alternatywnie można założyć, że funkcja falowa i(dla wygody) składowa normalna jej gradientu przyjmują dokładnie takie same wartości na przeciwległych ścianach pudełka. Są to tzw. periodyczne warunki brzegowe, które na skutek znoszenia się wkładów do obserwabli fizycznych pochodzących od przeciwległych ścian mają taki sam skutek co założenie sztywnych ścian. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 12/15
Periodyczne warunki brzegowe Alternatywnie można założyć, że funkcja falowa i(dla wygody) składowa normalna jej gradientu przyjmują dokładnie takie same wartości na przeciwległych ścianach pudełka. Są to tzw. periodyczne warunki brzegowe, które na skutek znoszenia się wkładów do obserwabli fizycznych pochodzących od przeciwległych ścian mają taki sam skutek co założenie sztywnych ścian. Wkłady do obserwabli fizycznych pochodzące od przeciwległych ścian znoszą się, gdyż wektory powierzchni przeciwległych ścian są skierowane w przeciwnych kierunkach, co przy jednakowych wartościach funkcji falowej i jej gradientu powoduje kasowanie się odpowiednich wkładów do całki powierzchniowej. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 12/15
Periodyczne warunki brzegowe Alternatywnie można założyć, że funkcja falowa i(dla wygody) składowa normalna jej gradientu przyjmują dokładnie takie same wartości na przeciwległych ścianach pudełka. Są to tzw. periodyczne warunki brzegowe, które na skutek znoszenia się wkładów do obserwabli fizycznych pochodzących od przeciwległych ścian mają taki sam skutek co założenie sztywnych ścian. Wkłady do obserwabli fizycznych pochodzące od przeciwległych ścian znoszą się, gdyż wektory powierzchni przeciwległych ścian są skierowane w przeciwnych kierunkach, co przy jednakowych wartościach funkcji falowej i jej gradientu powoduje kasowanie się odpowiednich wkładów do całki powierzchniowej. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 12/15
Hermitowskość operatora całkowitej energii Operator Hamiltona H = p2 +V ( r) 2m jest operatorem hermitowskim, gdyż operator pędu p = i jest operatorem hermitowskim, a energia potencjalna jest rzeczywista. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 13/15
Hermitowskość operatora całkowitej energii Operator Hamiltona H = p2 +V ( r) 2m jest operatorem hermitowskim, gdyż operator pędu p = i jest operatorem hermitowskim, a energia potencjalna jest rzeczywista. Istotnie H = Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 13/15
Hermitowskość operatora całkowitej energii Operator Hamiltona H = p2 +V ( r) 2m jest operatorem hermitowskim, gdyż operator pędu p = i jest operatorem hermitowskim, a energia potencjalna jest rzeczywista. Istotnie H = ( ) p 2 +V ( r) = 2m Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 13/15
Hermitowskość operatora całkowitej energii Operator Hamiltona H = p2 +V ( r) 2m jest operatorem hermitowskim, gdyż operator pędu p = i jest operatorem hermitowskim, a energia potencjalna jest rzeczywista. Istotnie H = ( ) p 2 +V ( r) = 2m ( ) p 2 +(V ( r)) 2m Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 13/15
Hermitowskość operatora całkowitej energii Operator Hamiltona H = p2 +V ( r) 2m jest operatorem hermitowskim, gdyż operator pędu p = i jest operatorem hermitowskim, a energia potencjalna jest rzeczywista. Istotnie H = = ( ) p 2 +V ( r) = 2m ( ) p 2 +(V ( r)) 2m Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 13/15
Hermitowskość operatora całkowitej energii Operator Hamiltona H = p2 +V ( r) 2m jest operatorem hermitowskim, gdyż operator pędu p = i jest operatorem hermitowskim, a energia potencjalna jest rzeczywista. Istotnie ( ) p H 2 ( ) p 2 = +V ( r) = +(V ( r)) 2m 2m = 1 ( p ) 2 +V ( r) = 2m Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 13/15
Hermitowskość operatora całkowitej energii Operator Hamiltona H = p2 +V ( r) 2m jest operatorem hermitowskim, gdyż operator pędu p = i jest operatorem hermitowskim, a energia potencjalna jest rzeczywista. Istotnie ( ) p H 2 ( ) p 2 = +V ( r) = +(V ( r)) 2m 2m = 1 ( p ) 2 +V ( r) =H 2m Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 13/15
Hermitowskość operatora całkowitej energii Operator Hamiltona H = p2 +V ( r) 2m jest operatorem hermitowskim, gdyż operator pędu p = i jest operatorem hermitowskim, a energia potencjalna jest rzeczywista. Istotnie ( ) p H 2 ( ) p 2 = +V ( r) = +(V ( r)) 2m 2m = 1 ( p ) 2 +V ( r) =H p = p i V ( r) =V ( r). 2m Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 13/15
Hermitowskość operatora całkowitej energii Operator Hamiltona H = p2 +V ( r) 2m jest operatorem hermitowskim, gdyż operator pędu p = i jest operatorem hermitowskim, a energia potencjalna jest rzeczywista. Istotnie ( ) p H 2 ( ) p 2 = +V ( r) = +(V ( r)) 2m 2m = 1 ( p ) 2 +V ( r) =H p = p i V ( r) =V ( r). 2m Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 13/15
Hermitowskość operatora pędu Udowodnimyhermitowskośćskładowejp x operatorapędu. (ϕ p x ψ) Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 14/15
Hermitowskość operatora pędu Udowodnimyhermitowskośćskładowejp x operatorapędu. (ϕ p x ψ) = Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 14/15
Hermitowskość operatora pędu Udowodnimyhermitowskośćskładowejp x operatorapędu. (ϕ p x ψ) = ϕ (x) ( i d ) ψ(x)dx = dx Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 14/15
Hermitowskość operatora pędu Udowodnimyhermitowskośćskładowejp x operatorapędu. (ϕ p x ψ) = ϕ (x) ( i d ) dx ψ(x)dx = i ϕ (x) dψ(x) dx dx Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 14/15
Hermitowskość operatora pędu Udowodnimyhermitowskośćskładowejp x operatorapędu. (ϕ p x ψ) = ϕ (x) ( i d ) dx ψ(x)dx = i ϕ (x) dψ(x) dx dx = Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 14/15
Hermitowskość operatora pędu Udowodnimyhermitowskośćskładowejp x operatorapędu. (ϕ p x ψ) = = i ϕ (x) ( i d ) dx ψ(x)dx = i d dx (ϕ (x)ψ(x))dx +i ϕ (x) dψ(x) dx dx dϕ (x) ψ(x)dx dx Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 14/15
Hermitowskość operatora pędu Udowodnimyhermitowskośćskładowejp x operatorapędu. (ϕ p x ψ) = = i = ϕ (x) ( i d ) dx ψ(x)dx = i d dx (ϕ (x)ψ(x))dx +i ϕ (x) dψ(x) dx dx dϕ (x) ψ(x)dx dx Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 14/15
Hermitowskość operatora pędu Udowodnimyhermitowskośćskładowejp x operatorapędu. (ϕ p x ψ) = = i ϕ (x) ( i d ) dx ψ(x)dx = i d dx (ϕ (x)ψ(x))dx +i = i ϕ (x)ψ(x) + + ( i dϕ(x) dx ϕ (x) dψ(x) dx dx dϕ (x) ψ(x)dx dx ) ψ(x)dx Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 14/15
Hermitowskość operatora pędu Udowodnimyhermitowskośćskładowejp x operatorapędu. (ϕ p x ψ) = = i ϕ (x) ( i d ) dx ψ(x)dx = i d dx (ϕ (x)ψ(x))dx +i = i ϕ (x)ψ(x) + + = ( i dϕ(x) dx ϕ (x) dψ(x) dx dx dϕ (x) ψ(x)dx dx ) ψ(x)dx Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 14/15
Hermitowskość operatora pędu Udowodnimyhermitowskośćskładowejp x operatorapędu. (ϕ p x ψ) = = i ϕ (x) ( i d ) dx ψ(x)dx = i d dx (ϕ (x)ψ(x))dx +i = i ϕ (x)ψ(x) + + = 0+(p x ϕ ψ), ( i dϕ(x) dx ϕ (x) dψ(x) dx dx dϕ (x) ψ(x)dx dx ) ψ(x)dx Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 14/15
Hermitowskość operatora pędu Udowodnimyhermitowskośćskładowejp x operatorapędu. (ϕ p x ψ) = = i ϕ (x) ( i d ) dx ψ(x)dx = i d dx (ϕ (x)ψ(x))dx +i = i ϕ (x)ψ(x) + + = 0+(p x ϕ ψ), dla dowolnych funkcji ϕ(x) i ψ(x), cnd. ( i dϕ(x) dx ϕ (x) dψ(x) dx dx dϕ (x) ψ(x)dx dx ) ψ(x)dx Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 14/15
Hermitowskość operatora pędu Udowodnimyhermitowskośćskładowejp x operatorapędu. (ϕ p x ψ) = = i ϕ (x) ( i d ) dx ψ(x)dx = i d dx (ϕ (x)ψ(x))dx +i = i ϕ (x)ψ(x) + + = 0+(p x ϕ ψ), dla dowolnych funkcji ϕ(x) i ψ(x), cnd. ( i dϕ(x) dx ϕ (x) dψ(x) dx dx dϕ (x) ψ(x)dx dx ) ψ(x)dx Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 14/15
Hermitowskość operatora pędu i energii Zadanie.Udowodnićhermitowskośćoperatorapędu p = i w trzech wymiarach. Hermitowskość operatora pędu i energii oznacza, że ich wartości własne są liczbami rzeczywistymi, Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 15/15
Hermitowskość operatora pędu i energii Zadanie.Udowodnićhermitowskośćoperatorapędu p = i w trzech wymiarach. Hermitowskość operatora pędu i energii oznacza, że ich wartości własne są liczbami rzeczywistymi, a więc operatory te reprezentują mierzalne wielkości fizyczne. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 15/15
Hermitowskość operatora pędu i energii Zadanie.Udowodnićhermitowskośćoperatorapędu p = i w trzech wymiarach. Hermitowskość operatora pędu i energii oznacza, że ich wartości własne są liczbami rzeczywistymi, a więc operatory te reprezentują mierzalne wielkości fizyczne. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 15/15