Zadae Każda ze zmeych losowych,, 9 ma rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją, a każda ze zmeych losowych Y, Y,, Y9 rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją 4 Założoo, że wszystke zmee losowe są ezależe wyzaczoo, przy tych założeach, test oparty a loraze warogodośc dla testowaa hpotezy H : m m przy 0 alteratywe H : m m a pozome stotośc 0,05 W rzeczywstośc założee to e jest spełoe: co prawda pary zmeych (, Y ),(, Y ),,(, Y ) są ezależe mają rozkłady ormale, ale dla,,, 6,, Y są zależe współczyk korelacj Corr (, Y ) Moc testu przy alteratywe m m jest rówa (A) 0,390 (B) 0,93 (C) 0,35 (D) 0,60 (E) 0,0
Zadae ech,,, będą ezależym zmeym losowym o tym samym rozkładze logarytmczo-ormalym z parametram R 0 ech T ozacza estymator ajwększej warogodośc waracj V w tym modelu w oparcu o próbę,, ech 0, 5 Wtedy (A) lm PT V 0,3 0,34 (B) lm PT V 0,3 0,069 (C) lm PT V 0,3 0,0 (D) lm PT V 0,3 0,056 (E) lm PT V 0,3 0,60
Zadae 3 Załóżmy, że dyspoujemy pojedyczą obserwacją z rozkładu Laplace a o gęstośc x f, ( x) e, gdze 0 R są parametram Rozważmy zadae testowaa hpotezy H 0 : 0,5 przy alteratywe H : 0 Obszar krytyczy ajmocejszego testu a pozome stotośc jest postac K { x : x( b,)} Moc tego testu jest rówa (A) 0,63 (B) 0,649 (C) 0,66 (D) 0,65 (E) 0,55 3
Zadae 4 Zmea losowa ma rozkład geometryczy P p ( p) dla 0,,,, gdze p (0, ) jest ezaym parametrem Rozważamy losową lczbę zmeych losowych,,,, przy czym zmee losowe,,, są ezależe wzajeme ezależe od zmeej losowej Każda ze zmeych ma rozkład o gęstośc daej wzorem: x gdy x (0, ] f ( ) x, 0 gdy x (0, ] gdze 0 jest ezaym parametrem Obserwujemy tylko te spośród zmeych,,,, które są wększe od 4 e wemy le jest pozostałych zmeych a jake są ch wartośc Przypuśćmy, że zaobserwowalśmy astępujące wartośc 56 5, 6, 4,, 6 a podstawe tych daych wyzaczoo wartośc estymatorów ajwększej warogodośc ˆ pˆ parametrów p Otrzymao pˆ rówe (A) (B) (C) (D) (E) 6 9 3 4
Zadae 5 Zmea losowa (, Y) ma rozkład prawdopodobeństwa o fukcj gęstośc xy gdy 0 y x f ( x, y) 0 w przecwymprzypadku ech U Y V Y 4 Wtedy E V U jest rówa 3 (A) (B) (C) (D) (E) 3 4 5
Zadae 6 Z ury, w której są dwe kule bałe trzy czare, wylosowao jedą kule a astępe wrzucoo ją z powrotem dorzucając kulę w tym samym kolorze co wylosowaa astępe z ury wylosowao kule, wrzucoo je z powrotem dorzucając dwe kule detycze jak wylosowae astępe wylosowao 3 kule Okazało sę, że są to trzy kule bałe Oblcz prawdopodobeństwo, że w drugm losowau wylosowao kule różych kolorów (A) (B) (C) (D) (E) 6 9 44 4 3 30 6
Zadae ech,, 0,, 30 ezaym parametram ech będze próbką losową z rozkładu ormalego, 0 30 0, 30 0 30 0 S S ( ) 0 0 9 [ 0 as, 0 as tak, że Skostruowao przedzał ] Lczba a jest rówa (A) 0,6 (B) 0,5 (C) 0,506 (D) 0,6 (E) 0,54, as, as] 0, 95 P 30 [ 0 0, z
Zadae ech,, 9 będą ezależym zmeym losowym o jedakowym rozkładze prawdopodobeństwa: Pr( ) / 3 Pr( ) / 3 ech k S k dla k,,, 9 Prawdopodobeństwo jest rówe P ( S 3 S 5, S 5,, S9 9 5) (A) 0,445 (B) 0,9 (C) 0,699 (D) 0,3 (E) 0,350
Zadae 9 ech,, będą ezależym zmeym losowym z rozkładu jedostajego a przedzale [0,] ech będze zmeą losową o rozkładze ujemym dwumaowym, ezależą od zmeych,,, o fukcj prawdopodobeństwa ( )( ) 3 P ( ) p ( p), dla 0,,, ech m,, gdy 0 max Y,, gdy 0 Z 0 gdy 0 0 gdy 0 Wyzacz E Y Z ) ( (A) (B) (C) (D) (E) p p( p) p( p) p p( p ) 9
Zadae 0 ech będze zmeą losową o rozkładze wykładczym o wartośc oczekwaej rówej ech będze zmeą losową, która warukowo, przy, ma rozkład Possoa o wartośc oczekwaej ech,,, będą ezależym zmeym losowym o rozkładze gamma o gęstośc 4x 6xe gdy x 0 f ( x) 0 gdy x 0 Zmee losowe,,, są ezależe oraz zmee losowe,,, są ezależe ech S 0 3 Wtedy E( S ) ES jest rówa gdy 0 gdy 0 (A) (B) (C) (D) (E) 6 9 3 9 6 5 6 0
Egzam dla Aktuaruszy z 0 gruda 0 r Prawdopodobeństwo Statystyka Arkusz odpowedz * Imę azwsko : K L U C Z O D P O W I E D Z I Pesel Zadae r Odpowedź Puktacja B A 3 C 4 C 5 D 6 A E C 9 E 0 D * Oceae są wyłącze odpowedz umeszczoe w Arkuszu odpowedz Wypeła Komsja Egzamacyja