Wydział Fizyki PW Algebra z geometria

Wydział Fizyki PW Algebra z geometria - konspekt wykładu Agata Pilitowska Rok akademicki 07/08 Spis treści Grupy, pierścienie, ciała Liczby zespolone 3 3 Geometria analityczna w przestrzeni R 3 9 3 Punkty i wektory 9 3 Prosta i płaszczyzna 33 Powierzchnie -go stopnia 4 4 Układy równań liniowych 7 4 Macierze 7 4 Układy równań liniowych 3 43 Wyznaczniki i ich zastosowanie 35 5 Przestrzenie wektorowe 4 5 Przestrzenie i podprzestrzenie wektorowe 4 5 Układy wektorów 43 53 Baza i wymiar przestrzeni wektorowych 45 6 Odwzorowania liniowe 47 6 Macierz odwzorowania liniowego 49 6 Macierze zmiany bazy 50 7 Postać kanoniczna macierzy i odwzorowań 5 7 Wartości i wektory własne 5 7 Diagonalizacja macierzy odwzorowania liniowego 54 73 Postać kanoniczna Jordana 55

GRUPY, PIERŚCIENIE, CIAŁA Grupy, pierścienie, ciała Definicja Pare (G, +) nazywamy grupa, jeśli dla dowolnych a, b, c G, a + (b + c) = (a + b) + c, istnieje element neutralny 0 G taki, że dla każdego a G, a + 0 = 0 + a = a, każdy element a G ma element przeciwny a G, czyli taki, że a + ( a) = ( a) + a = 0 Jeśli dla dowolnych a, b G, a+b = b+a, to grupe nazywamy przemienna Przykład Przykładami grup sa : (Z, +) (Q, +) (R, +) (R \ {0}, ) Definicja 3 Trójke (P, +, ) nazywamy pierścieniem, jeśli (P, +) jest grupa przemienna, dla dowolnych a, b, c P, a (b c) = (a b) c, dla każdego a, b, c P a (b + c) = (a b) + (a c) oraz (a + b) c = (a c) + (b c) Przykład 4 Przykłady pierścieni: (Z, +, ) (Q, +, ) (R, +, ) Definicja 5 Ciałem nazywamy trójke (P, +, ) taka, że (P, +) jest grupa przemienna, (P = P \ {0}, ) jest grupa przemienna, dla dowolnych a, b, c P, (a + b) c = (a c) + (b c) Przykład 6 Przykłady ciał: (Q, +, ) (R, +, )

LICZBY ZESPOLONE 3 Liczby zespolone Definicja Liczba zespolona z nazywamy (uporza dkowana ) pare (a, b) liczb rzeczywistych a, b R Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczymy przez C := {(a, b) a, b R} Uwaga Dwie liczby zespolone z = (a, b ) i z = (a, b ) sa równe, gdy a = a oraz b = b W zbiorze C określamy działania dodawania oraz mnożenia: z + z = (a, b ) + (a, b ) := (a + a, b + b ) z z = (a, b ) (a, b ) := (a a b b, a b + a b ) Elementem przeciwnym do liczby z = (a, b) jest liczba z = ( a, b) Elementem odwrotnym do liczby z = (a, b) (0, 0) jest liczba z = ( a a +, b a + b ) Twierdzenie 3 Dla z, z, z 3 C mamy: z + z = z + z z z = z z z + (z + z 3 ) = (z + z ) + z 3 z (z z 3 ) = (z z ) z 3 (z + z ) z 3 = (z z 3 ) + (z z 3 ) Uwaga 4 (C, +, ) jest ciałem liczb zespolonych Każdej liczbie rzeczywistej a można jednoznacznie przyporza dkować liczbe zespolona (a, 0) Dodawanie i mnożenie liczb rzeczywistych traktowanych jak liczby zespolone jest zgodne z klasycznym dodawaniem i mnożeniem liczb rzeczywistych: (a, 0) + (a, 0) = (a + a, 0) (a, 0) (a, 0) = (a a, 0) Be dziemy zamiennie stosować zapis a oraz (a, 0), w obu przypadkach maja c na myśli liczbe rzeczywista a Definicja 5 Liczby postaci (0, b) be dziemy nazywać liczbami urojonymi W zbiorze liczb zespolonych C rozwia zaniem równania x + = 0 jest liczba urojona (0, ), gdyż (0, ) (0, ) = (, 0)

LICZBY ZESPOLONE 4 Postać algebraiczna liczby zespolonej Wprowadzamy oznaczenie: i := (0, ) Dla każdej liczby urojonej (0, b) mamy: (0, b) = (b, 0) (0, ) b i Każ liczbe zespolona z = (a, b) można jednoznacznie zapisać w postaci: (a, b) = (a, 0) + (b, 0) (0, ) a + bi Definicja 6 Wyrażenie z = a + bi nazywamy liczba zespolona w postaci algebraicznej Rez := a - cze ść rzeczywista liczby z Imz := b - cze ść urojona liczby z Uwaga 7 Dwie liczby zespolone z = a + b i oraz z = a + b i sa równe, gdy Rez = Rez oraz Imz = Imz W przypadku, gdy liczby zespolone sa zapisane w postaci algebraicznej, działania na nich można wykonywać tak jak dodawanie i mnożenie dwumianów o współczynnikach rzeczywistych zaste puja c i przez : (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i a + bi c + di ac + bd bc ad = c + + d c + d i Definicja 8 Sprze żeniem liczby zespolonej z = a + bi nazywamy liczbe zespolona z := a bi Modułem liczby zespolonej z = a + bi nazywamy liczbe rzeczywista a + b, która oznaczamy z Jeżeli z = a R, to z = a jest wartościa bezwzgle dna liczby a Liczbe zespolona (a, b) można traktować jako wektor na płaszczyźnie R, którego pocza tek pokrywa sie sie z pocza tkiem układu współrze dnych, a koniec znajduje sie w punkcie z = (a, b) Wtedy dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych jest dodawaniem i odejmowaniem wektorów Moduł liczby zespolonej z = a + bi jest długościa wektora o pocza tku w pocza tku układu współrze dnych i końcu w punkcie (a, b) Twierdzenie 9 Niech z, z, z C Wtedy Re(z + z ) = Rez + Rez

LICZBY ZESPOLONE 5 Im(z + z ) = Imz + Imz 3 z ± z = z ± z 4 z z = z z 5 dla z 0, z z = z z 6 z = z 7 z = z z R 8 z + z = Rez, z z = Imz 9 z z = z 0 z 0, z = 0 z = 0 z = z z z = z z 3 dla z 0, z z = z z 4 Rez Rez z, Imz Imz z 5 z + z z + z (tzw nierówność trójka ta) 6 z z z z Postać trygonometryczna liczby zespolonej Niech dla danej liczby zespolonej 0 z = a + bi, φ be dzie ka tem zorientowanym mie dzy dodatnia półosia Ox a wektorem Oz Definicja 0 Miare ka ta φ nazywamy argumentem liczby zespolonej 0 z i oznaczamy symbolem Argφ Jeśli liczba φ jest argumentem z, to liczba φ + kπ, dla k Z, jest także argumentem liczby z Twierdzenie Dla każdej liczby zespolonej z 0 istnieje dokładnie jedna liczba rzeczywista 0 φ < π taka, że z = z (cos φ + i sin φ) () Jeżeli także z = r(cos α + i sin α), dla r > 0, to r = z oraz α = φ + kπ, k Z Definicja () nazywamy postacia trygonometryczna liczby zespolonej z

LICZBY ZESPOLONE 6 Wniosek 3 Dwie liczby zespolone w postaci trygonometrycznej sa równe wtedy i tylko wtedy, gdy maja równe moduły, a ich argumenty różnia sie o całkowita wielokrotność ka ta pełnego Jeśli 0 φ < π, to φ nazywamy argumentem głównym liczby z i oznaczamy argz Przyjmujemy, że arg0 = 0 Przykład 4 Dla liczby zespolonej z = + 3i, z = oraz argz = π 3 Sta d postać trygonometryczna liczby z: z = (cos π 3 + i sin π 3 ) Twierdzenie 5 Niech z = r(cos φ + i sin φ) oraz z k = r k (cos φ k + i sin φ k ), dla k =,,, n Wtedy z = r(cos( φ) + i sin( φ)) z z = r r (cos(φ + φ ) + i sin(φ + φ )) 3 dla z 0, z z = r r (cos(φ φ ) + i sin(φ φ )) 4 z z n = r r n (cos(φ + + φ n ) + i sin(φ + + φ n )) 5 z n = r n (cos nφ + i sin nφ) Wniosek 6 Dla dowolnej liczby naturalnej n N prawdziwy jest tzw wzór Moivre a: (cos φ + i sin φ) n = cos nφ + i sin nφ (6) Przykład 7 Dla z = + i = (cos π 4 + i sin π 4 ) mamy ( + i) = ( ) (cos π 4 Pierwiastkowanie liczb zespolonych π + i sin ) = 64(cos 3π + i sin 3π) = 64 4 Definicja 8 Pierwiastkiem stopnia 0 < n N z liczby zespolonej z = z (cos φ + i sin φ) nazywamy każ liczbe zespolona w = w (cos α + i sin α) spełniaja ca warunek: w n = z Twierdzenie 9 Niech 0 < n N oraz 0 < r R Istnieje dokładnie n różnych pierwiastków zespolonych stopnia n z liczby zespolonej z = r(cos φ + i sin φ) 0 Pierwiastki te sa postaci: z k = n r(cos φ + kπ n + i sin φ + kπ ), k = 0,,, n n Wszystkie pierwiastki zespolone z liczby z = r(cos φ + i sin φ) 0 leża na okre gu o promieniu n r w wierzchołkach wieloka ta foremnego wpisanego w ten okra g

LICZBY ZESPOLONE 7 Przykład 0 Pierwiastki stopnia 3 z liczby i = cos π + i sin π : z 0 = cos π 6 + i sin π 6 = 3 + i z = cos 5π 6 + i sin 5π 6 = 3 + i, z = cos 3π + i sin 3π = i Wniosek Niech 0 < n N Pierwiastki stopnia n z można zapisać naste puja co: ( n ) k = z k = cos kπ n kπ + i sin n = (cos π n + i sin π n )k, k = 0,,, n Każdy pierwiastek n-tego stopnia z jedynki jest pote ga liczby ε = cos π n + i sin π n ε nazywamy pierwiastkiem pierwotnym z Przykład Wszystkie pierwiastki 6-go stopnia z sa wierzchołkami sześcioka ta wpisanego w okra g jednostkowy: z 0 = cos 0 + i sin 0 = z = cos π 6 + i sin π 6 = 3 + i (pierwiastek pierwotny) z = cos 4π 6 + i sin 4π 3 6 = + i, z 3 = cos 6π 6 + i sin 6π 6 =, z 4 = cos 8π 6 + i sin 8π 3 6 = i, z 5 = cos 0π 0π + i sin 6 6 = 3 i Postać wykładniczna liczby zespolonej Dla φ R wprowadzamy naste puja ce oznaczenie: e iφ := cos φ + i sin φ Przykład 3 e i π π = cos + i sin π = i Twierdzenie 4 Niech φ R Zachodza naste puja ce tożsamości nazwane wzorami Eulera: cos φ = eiφ + e iφ, sin φ = eiφ e iφ i

LICZBY ZESPOLONE 8 Twierdzenie 5 Każ liczbe zespolona z można zapisać w tzw postaci wykładniczej : z = re iφ, (5) gdzie 0 r R oraz φ R Jeżeli re iφ jest postacia wykładnicza liczby z, to r jest modułem liczby z, natomiast φ jest jej argumentem Uwaga 6 Niech 0 r, r R oraz φ, φ R Wówczas r e iφ = r e iφ r = r = 0 albo r = r > 0 oraz φ = φ + kπ, k Z Równania algebraiczne Niech a, b, c C Równanie algebraiczne drugiego stopnia az + bz + c = 0 (6) o współczynnikach zespolonych rozwia zuje sie w ten sam sposób co równanie o współczynnikach rzeczywistych Równanie (6) ma dokładnie dwa pierwiastki: z, = b ±, dla = b 4ac C a Pierwiastek podwójny wyste puja cy, gdy = 0 liczymy dwa razy Definicja 7 Niech a 0, a,, a n C Wyrażenie a 0 + a z + + a n z n + a n z n = 0 (7) nazywamy równaniem algebraicznym stopnia n Twierdzenie 8 (Zasadnicze twierdzenie algebry) Algebraiczne równanie stopnia n o współczynnikach zespolonych ma w zbiorze liczb zespolonych dokładnie n pierwiastków (każdy pierwiastek liczymy tyle razy, ile wynosi jego krotność) Przykład 9 Rozwia zaniem równania sa pierwiastki stopnia n z z n = 0

3 GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI R 3 9 3 Geometria analityczna w przestrzeni R 3 3 Punkty i wektory Elementy zbioru {(x, x, x 3 ) x, x, x 3 R} be dziemy nazywać punktami przestrzeni R 3 o współrze dnych x, x, x 3 Wektor o pocza tku w punkcie p = (x, x, x 3 ) i końcu w punkcie q = (y, y, y 3 ) oznaczamy pq Wektor można jednoznacznie scharakteryzować za pomoca trzech współrze d- nych Dla wektora pq zachodzi zależność: u = [u, u, u 3 ] = pq = [y x, y x, y 3 x 3 ] Liczby u, u oraz u 3 nazywamy współrze dnymi wektora u = pq = [u, u, u 3 ] Punkt zaczepienia wektora nie jest istotny Przy ustalonym układzie współrze dnych punktowi p = (x, x, x 3 ) odpowiada wektor 0p = [x, x, x 3 ] Wektor ten nazywamy promieniem wodza cym punktu p Sta d można utożsamiać punkt z jego promieniem wodza cym Definicja 3 Niech u = [u, u, u 3 ] i v = [v, v, v 3 ] be wektorami w R 3 Wektor u + v := [u + v, u + v, u 3 + v 3 ] nazywamy suma wektorów u i v Dla a R, wektor au := [au, au, au 3 ] nazywamy iloczynem wektora u przez liczbe a Własności sumy wektorów: Niech 0:= [0, 0, 0], u, v, w be wektorami w R 3 oraz a, b R Wtedy u + v = v + u, (u + v) + w = u + (v + w), u + 0 = 0 + u = u, Jeśli u = [u, u, u 3 ], to dla wektora u := [ u, u, u 3 ] mamy u = u, (ab)u = a(bu), (a + b)u = au + bu, a(u + v) = au + av, u + ( u) = 0

3 GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI R 3 0 Lemat 3 (Nierówność Schwartza) Dla dowolnych u, u, u 3, v, v, v 3 R 3 ( u i v i ) 3 i= i= u i 3 vi (3) i= Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy u = u = u 3 = 0 (lub v = v = v 3 = 0) lub istnieje t R takie, że v i = tu i dla każdego i =,, 3 Definicja 33 Niech u = [u, u, u 3 ] be dzie wektorem Liczbe u := u + u + u 3 nazywamy norma (lub długościa ) wektora u Jeśli u = pq = p q = [y x = y x, y x = y x, y 3 x 3 = y 3 x 3 ], to u := (y x ) + (y x ) + (y 3 x 3 ) jest długościa odcinka pq (oraz odcinka p q ) Własności normy wektora: Niech u i v be wektorami w R 3 oraz a R Wtedy u = 0 u = 0, au = a u, u + v u + v (nierówność trójka ta) Definicja 34 Iloczynem skalarnym wektorów u = [u, u, u 3 ] i v = [v, v, v 3 ] w przestrzeni R 3 nazywamy liczbe u v := u v + u v + u 3 v 3 Nierówność (3) można zapisać jako: Własności iloczynu skalarnego: (u v) u v Niech u, v i w be wektorami w R 3 oraz a R Wtedy u v = v u, (u + v) w = (u w) + (v w), (au) v = a(u v),

3 GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI R 3 Jeśli u 0, to u u > 0, u = u u Niech u i v be niezerowymi wektorami w przestrzeni R 3 Na mocy nierówności Schwartza u v u v Istnieje zatem dokładnie jedna liczba 0 α π taka, że cos α = u v u v Definicja 35 Liczbe α nazywamy ka tem (niezorientowanym) mie dzy wektorami u i v Jeśli jeden z wektorów jest wektorem zerowym, to jako ka t mie dzy tymi wektorami może być przyje ta dowolna liczba rzeczywista Wtedy dla dowolnych wektorów u i v u v = u v cos α Definicja 36 Niech α be dzie ka tem mie dzy wektorami u i v Wektory u i v sa prostopadłe, co oznaczamy u v, jeśli α = π Wektory u i v sa równoległe, co oznaczamy u v, jeśli α = 0 lub α = π Jeśli α = 0, to mówimy, że wektory u i v sa równoległe ze zwrotem zgodnym, jeśli natomiast α = π, to sa równoległe ze zwrotem przeciwnym Przyjmujemy umowe, że wektor zerowy 0 jest jednocześnie równoległy i prostopadły do każdego wektora w R 3 Twierdzenie 37 Wektory u i v sa prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy u v = 0 Twierdzenie 38 Wektory u i v sa równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje t R takie, że v = tu Jeśli wektory u i v sa niezerowe, to dla t > 0 jest to równoległość ze zwrotem zgodnym, a w przypadku t < 0, ze zwrotem przeciwnym Twierdzenie 39 (cosinusów) Niech α be dzie ka tem mie dzy wektorami u i v Wtedy u v = u + v u v cos α Definicja 30 Niech u = [u, u, u 3 ] i v = [v, v, v 3 ] be wektorami w przestrzeni R 3 Iloczynem wektorowym wektorów u i v nazywamy wektor: u v := [u v 3 u 3 v, (u v 3 u 3 v ), u v u v ]

3 GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI R 3 Twierdzenie 3 Niech u = [u, u, u 3 ] i v = [v, v, v 3 ] be wektorami w przestrzeni R 3 Wówczas u v = 0 u v Twierdzenie 3 Niech u = [u, u, u 3 ], v = [v, v, v 3 ] i w = [w, w, w 3 ] be niezerowymi wektorami w przestrzeni R 3 Jeśli wektory u i v nie sa równoległe, to w = u v wtedy i tylko wtedy, gdy w u i w v, w = u v sin α, gdzie α jest ka tem mie dzy wektorami u i v, w (u v 3 u 3 v ) w (u v 3 u 3 v ) + w 3 (u v u v ) > 0 Wniosek 33 Długość iloczynu wektorowego wektorów u i v jest polem równoległoboku, którego nierównoległymi bokami sa wektory u i v Własności iloczynu wektorowego: Niech u, v i w be wektorami w przestrzeni R 3 oraz a R Wtedy u v = v u, (au) v = a(u v), (u + v) w = (u w) + (v w) Definicja 34 Niech u = [u, u, u 3 ], v = [v, v, v 3 ] i w = [w, w, w 3 ] be wektorami w przestrzeni R 3 Wyrażenie (u v) w nazywamy iloczynem mieszanym wektorów u, v i w Wniosek 35 Niech wychodza ce z jednego wierzchołka krawe dzie równoległościanu w R 3 be wektorami u, v i w Wówczas (u v) w jest obje tościa tego równoległościanu 3 Prosta i płaszczyzna Niech u = [u, u, u 3 ] 0 be dzie wektorem oraz p 0 = (x 0, x 0, x 30 ) be dzie punktem przestrzeni R 3 Punkt p = (x, x, x 3 ) leży na prostej L przechodza cej przez punkt p 0 o kierunku u wtedy i tylko wtedy, gdy u p 0 p, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje t R 3 takie, że p 0 p = tu Zatem punkty należa ce do prostej L spełniaja nastepuja ca zależność: dla t R x = x 0 + tu, x = x 0 + tu, x 3 = x 30 + tu 3

3 GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI R 3 3 Opisanie punktów prostej L w powyższej postaci nazywa sie przedstawieniem parametrycznym tej prostej Równoważnie (dla u, u, u 3 0) punkty należa ce do prostej L spełniaja tzw równanie kierunkowe prostej : x x 0 u = x x 0 u = x 3 x 30 u 3 Punkt p = (x, x, x 3 ) należy do płaszczyzny Π przechodza cej przez punkt p 0 = (x 0, x 0, x 30 ) i równoległej do nierównoległych wektorów u = [u, u, u 3 ] i v = [v, v, v 3 ] wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja t, s R takie, że x = x 0 + tu + sv, x = x 0 + tu + sv, x 3 = x 30 + tu 3 + sv 3 Opisanie punktów płaszczyzny Π w powyższej postaci nazywa sie przedstawieniem parametrycznym tej płaszczyzny Płaszczyzne Π przechodza ca przez punkt p 0 = (x 0, x 0, x 30 ) i równoległa do dwóch nierównoległych wektorów u i v można równanoważnie opisać jako zbiór Π := {p = (x, x, x 3 ) R 3 p 0 p u v} Wektor n Π nazywamy wektorem normalnym do płaszczyzny Π Punkt p = (x, x, x 3 ) należy do płaszczyzny Π przechodza cej przez punkt p 0 = (x 0, x 0, x 30 ) i prostopadłej do wektora n = [A, B, C] wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia równanie normalne płaszczyzny: A(x x 0 ) + B(x x 0 ) + C(x 3 x 30 ) = 0 Przyjmuja c D := (Ax 0 +Bx 0 +Cx 30 ) równanie normalne płaszczyzny można przekształcić do równania ogólnego: Ax + Bx + Cx 3 + D = 0 W przestrzeni R 3 każde dwie proste albo sie pokrywaja, albo sa równoległe, albo sie przecinaja w dokładnie jednym punkcie, albo sa skośne Każde dwie płaszczyzny albo sie pokrywaja, albo sa równoległe, albo przecinaja sie wzdłuż prostej Układ równań A x + B x + C x 3 + D = 0 A x + B x + C x 3 + D = 0 dwóch nierównoległych płaszczyzn przecinaja cych sie wzdłuż prostej L nazywamy równaniem krawe dziowym prostej L Zbiór wszystkich płaszczyzn zawieraja cych ustalona prosta nazywamy pe kiem płaszczyzn

3 GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI R 3 4 33 Powierzchnie -go stopnia Zbiór punktów (x, y, z) R 3, które spełniaja równanie drugiego stopnia ax + by + cz + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0 tworzy pewna powierzchnie Kwadryki Powierzchnie opisana równaniem (x a) + (y b) + (z c) = R (35) nazywamy sfera o środku w punkcie s = (a, b, c) oraz promieniu R Jest to zbiór punktów w R 3 oddalonych od punktu s o R Powierzchnia opisana równaniem x a + y b + z c = (35) określa elipsoide Jest ona zawarta w prostopadłościanie {(x, y, z) R 3 a x a, b y b, c z c} Płaszczyzny układu współrze dnych sa płaszczyznami symetrii tej elipsoidy, zaś pocza tek układu jest jej środkiem symetrii Przekroje elipsoidy płaszczyznami układu (i rownoległymi do nich) sa elipsami Jeżeli dwie z liczb a, b, c sa równe, to elipsoida nazywa sie obrotowa Można ja wówczas otrzymać przez obrót elipsy wokół odpowiedniej osi układu Na przykład równanie x a + y a + z c = (353) określa elipsoide obrotowa o osi obrotu OZ Powierzchnia opisana równaniem x a + y b z c = (354) określa hiperboloide jednopowłokowa Płaszczyzny układu współrze dnych sa płaszczyznami symetrii, zaś pocza tek układu jest środkiem symetrii tej powierzchni Przekroje tej powierzchni płaszczyznami z = k sa elipsami, zaś płaszczyznami zawieraja cymi oś OZ sa hiperbolami Przekrój płaszczyzna y = b jest para prostych: { y = b x a + z c = 0 i { y = b x a z c = 0

3 GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI R 3 5 Hiperboloida jednopowłokowa jest tzw powierzchnia prostokreślna Oznacza to, że składa sie ona z samych linii prostych, ktore dziela sie na dwie rodziny prostych wzajemnie skośnych Jeżeli a = b, to hiperboloida x a + y a z c = (355) nazywa sie obrotowa Można ja wówczas otrzymać przez obrót hiperboli wokół osi OZ Powierzchnia opisana równaniem x a y b z c = (356) określa hiperboloide dwupowłokowa Płaszczyzny układu współrze dnych sa płaszczyznami symetrii, zaś pocza tek układu jest środkiem symetrii tej powierzchni Przekroje tej powierzchni płaszczyznami zawieraja cymi oś OX sa hiperbolami, zaś płaszczyznami x = k, dla k > a, sa elipsami Jeżeli a = b, to hiperboloida x a y a z c = (357) nazywa sie obrotowa Można ja wówczas otrzymać przez obrót hiperboli wokół osi OX Powierzchnia opisana równaniem x a + y b = z (358) określa paraboloide eliptyczna Powierzchnia ta nie ma środka symetrii Płaszczyzny układu współrze dnych OXZ oraz OY Z sa płaszczyznami symetrii tej powierzchni Przekroje tej powierzchni płaszczyznami zawieraja cymi oś OZ sa parabolami, zaś płaszczyznami z = k > 0 sa elipsami Jeżeli a = b, to paraboloida x a + y a = z (359) nazywa sie obrotowa Można ja wówczas otrzymać przez obrót paraboli wokół osi OZ Powierzchnia opisana równaniem x a y b = z (350)

3 GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI R 3 6 określa paraboloide hiperboliczna inaczej zwana powierzchnia siodłowa Jest to również powierzchnia prostokreślana Płaszczyzny układu współrze dnych OXZ oraz OY Z sa płaszczyznami symetrii tej powierzchni Przekroje tej powierzchni płaszczyznami OXZ oraz OY Z sa parabolami, przekrój płaszczyzna z = 0 daje dwie proste o równanich: { z = 0 x a + y b = 0 i { z = 0 x a y b = 0 Natomiast przekrój płaszczyzna z = k 0 jest hiperbola Powierzchnie stożkowe Niech dana be dzie na płaszczyźnie OXY krzywa K, a poza płaszczyzna punkt s Zbiór punktów w przestrzeni R 3 należa cych do prostych ła cza cych punkty krzywej K z punktem s nazywamy powierzchnia stożkowa lub krótko stożkiem Krzywa K nazywa sie kierownica stożka, a punkt s jego wierzchołkiem Jeżeli krzywa K jest elipsa o równaniach: { x a + y b = z c = 0, c > 0 to równanie stożka eliptycznego o wierzchołku w pocza tku układu współrze d- nych s = (0, 0, 0) i kierownicy K ma postać: x a + y b = z c (35) Płaszczyzny układu współrze dnych sa płaszczyznami symetrii, zaś pocza tek układu, środkiem symetrii tego stożka Powierzchnie walcowe Niech dana be dzie na płaszczyźnie OXY krzywa K oraz prosta L o wektorze kierunkowym [a, b, c], c 0 Zbiór punktów w przestrzeni R 3 należa cych do prostych równoległych do prostej L i przechodza cych przez punkty krzywej K nazywamy powierzchnia walcowa Krzywa K nazywa sie kierownica powierzchni walcowej Jeżeli kierownica K jest elipsa o równaniu x a + y b = a prosta L jest równoległa do osi OZ, to równanie powierzchni walcowej ma postać: i określa walec eliptyczny x a + y b = (35)

4 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 7 Jeżeli kierownica K jest hiperbola o równaniu x a y b = a prosta L jest równoległa do osi OZ, to równanie powierzchni walcowej ma postać: x a y b = (353) i określa walec hiperboliczny Jeżeli kierownica K jest parabola o równaniu y = px, gdzie p 0, a prosta L jest równoległa do osi OZ, to równanie powierzchni walcowej ma postać: i określa walec paraboliczny 4 Układy równań liniowych y = px (354) Niech K be dzie zbiorem R liczb rzeczywistych lub zbiorem C liczb zespolonych i niech m, n N 4 Macierze Definicja 4 Funkcje A : {,, m} {,, n} K, (i, j) A(i, j) nazywamy macierza stopnia m n o elementach w zbiorze K Funkcja A przyporza dkowuje każdej parze (i, j) liczb takich, że i {,, m}, j {,, n} element macierzy A(i, j) K Najcze ściej zamiast A(i, j) be dziemy pisać a ij dla i =,, m oraz j =,, n, natomiast macierz o elementach a ij oznaczamy A = [a ij ] n m lub po prostu A = [a ij ] Elementy macierzy A = [a ij ] n m wygodnie jest ustawić w prostoka tna tablice a a a n a a a n A = a m a m a mn Para indeksów (i, j) przy każdym elemencie a ij określa odpowiednio wiersz oraz kolumne macierzy, w których ten element sie znajduje Zatem macierz A stopnia m n jest macierza o m wierszach i n kolumnach Równość dwóch macierzy A = [a ij ] i B = [b ij ] oznacza, że obie macierze sa tego samego stopnia (tzn maja te sama liczbe wierszy i te sama liczbe kolumn), oraz a ij = b ij dla wszystkich i {,, m}, j {,, n} Symbolem M n m(k) be dziemy oznaczali zbiór wszystkich macierzy stopnia m n o elementach w K

4 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 8 Przykład 4 A = 0 7 5 5 3 5 3 0 8 0 3 5 4 9 7 8 Dla ustalonego i {,, m}, elementy i-tego wiersza macierzy A = [a ij ] be dziemy oznaczać jako r i (A) := (a i, a i,, a in ) Analogicznie, dla ustalonego j {,, n}, elementy j-tej kolumny macierzy A = [a ij ] n m be dziemy oznaczać c j (A) := (a j, a j,, a mj ) (4) Macierza zerowa stopnia m n nazywamy macierz, której wszystkie wyrazy sa równe zero i oznaczamy 0 n m 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n m = 0 0 0 0 0 0 0 0 Definicja 43 Macierz stopnia n n nazywamy macierza kwadratowa stopnia n O wyrazach a,, a nn macierzy kwadratowej mówimy, że leża na głównej przeka tnej tej macierzy a a a i a n a a a i a n A = a i a i a ii a in a n a n a ni a nn Definicja 44 Jeżeli wszystkie elementy pod główna przeka tna w macierzy

4 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 9 kwadratowej sa równe zero: a a a i a n 0 a a i a n 0 0 a ii a in 0 0 0 a nn to taka macierz nazywamy macierza trójka tna górna Jeżeli wszystkie elementy nad główna przeka tna w macierzy kwadratowej sa równe zero: a 0 0 0 a a 0 0 a i a i a ii 0 a n a n a ni a nn to taka macierz nazywamy macierza trójka tna dolna Przykład 45 Macierz trójka tna górna: A = 4 6 9 0 8 6 0 0 4 0 0 0 Macierz trójka tna dolna: A = 3 0 0 0 8 0 0 4 7 0 3 Definicja 46 Macierz A = [a ij ] n m nazywamy górna trapezowa, jeżeli dla każdego i > j, a ij = 0 Podobnie określamy macierz dolna trapezowa Przykład 47 Określenie macierz trapezowa bierze sie z faktu, że niezerowe elementy takiej macierzy układaja sie w trapez: 3 6 0 7 3 6 0 0 6 7 3 0 7 3 3 0 0 0 4 3 0 0 6 7 3 7 0 0 0 0 0 0 0 0 3 9 3 0 0 0 0 0

4 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 0 Definicja 48 Macierz kwadratowa A M n n (K), której wszystkie elementy poza główna przeka tna sa zerami, tzn A(i, j) = 0 dla i j, nazywamy macierza diagonalna i oznaczamy diag(a, a,, a nn ) a 0 0 0 0 a 0 0 diag(a, a,, a nn ) = 0 0 a ii 0 0 0 0 a nn Przykład 49 Macierz diagonalna stopnia 3 3: diag(,, 3) = 0 0 0 0 0 0 3 Macierz diagonala diag(,,, ) stopnia n n nazywamy macierza jednostkowa i oznaczamy I n lub I 0 0 0 0 0 0 I n = 0 0 0 0 0 0 Przykład 40 Macierz jednostkowa stopnia 3 3: I 3 = diag(,, ) = 0 0 0 0 0 0 Definicja 4 Niech A, B M n m(k) i λ K Suma macierzy A = [a ij ] n m i B = [b ij ] n m nazywamy macierz A + B = [a ij + b ij ] M n m(k) taka, że dla i =,, n, j =,, m: (A + B)(i, j) := A(i, j) + B(i, j) A + B = a + b a + b a j + b j a n + b n a + b a + b a j + b j a n + b n a i + b i a i + b i a ij + b ij a in + b in a m + b m a m + b m a mj + b mj a mn + b mn

4 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Iloczynem macierzy A przez liczbe λ R nazywamy macierz λa = [λa ij ] M n m(k) taka, że (λa)(i, j) := λa(i, j) dla i =,, n, j =,, m: λa λa λa j λa n λa λa λa j λa n λa = λa i λa i λa ij λa jn λa m λa m λa mi λa mn W szczególności, A = ( A)(i, j) = A(i, j) : a a a j a n a a a j a n a i a i a ij a jn a m a m a mi a mn Przykład 4 3 0 3 5 + 3 0 3 0 0 0 = = 5 0 5 0 0 5 3 3 4 3 Definicja 43 Niech A M n m(k) i B M p n(k) Iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz C = AB = [ n M p m(k) taka, że dla i =,, m, j =,, p C(i, j) := n A(i, k)b(k, j) k= k= a ik b kj ]

4 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH b b b j b p a a a s a n a a a s a n b b b j b p AB = a i a i a is a in = b s b s b sj b sp a m a m a ms a mn b n b n b nj b np n n n n a k b k a k b k a k b kj a k b kp k= k= k= k= n n n n a k b k a k b k a k b kj a k b kp k= k= k= k= n n n n a ik b k a ik b k a ik b kj a ik b kp k= k= k= k= n n n n a mk b k a mk b k a mk b kj a mk b kp k= k= k= k= Przykład 44 ( ) ( ) ( ) a b x y ax + bz ay + bt = c d z t cx + dz cy + dt Przykład 45 ( a b c x y z ) 3 4 5 6 ( a + 3b + 5c a + 4b + 6c = x + 3y + 5z x + 4y + 6z Mnożenie macierzy nie jest przemienne a także wynikiem mnożenia dwóch niezerowych macierzy może być macierz zerowa ( ) ( ) 0 Przykład 46 Niech A = i B = Wtedy 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 AB = = = 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 BA = = AB 0 0 0 0 0 Przykład 47 x 0 0 0 y 0 0 0 z a 0 0 0 b 0 0 0 c = xa 0 0 0 yb 0 0 0 zc )

4 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 3 Uwaga 48 Iloczyn dwóch macierzy diagonalnych jest macierza diagonalna, której elementy sa iloczynami odpowiednich elementów macierzy be cych czynnikami: diag(a, a,, a nn ) diag(b, b,, b nn ) = diag(a b, a b,, a nn b nn ) Definicja 49 Niech A M n n (K) be dzie macierza kwadratowa Pote ge macierzy A określamy w naste puja cy sposób: A 0 := I n, A k := AA k, dla k > 0 ( ) 0 Przykład 40 Niech A = Wtedy 3 ( ) A 3 = AA = 6 ( ) A 3 = AA 6 = 39 Własności sumy i iloczynu macierzy Niech A, A, A M n m(k), B, B M p n(k), C M r p (K) oraz λ K Wtedy (A + A ) + A = A + (A + A ), A + A = A + A, A + ( A) = 0 n m, A + 0 n m = A, (AB)C = A(BC), (A + A )B = (AB) + (A B) oraz A(B + B ) = (AB) + (AB ), (λa)b = A(λB) = λ(ab), I m A = A = AI n Uwaga 4 Niech A M n m(k) i B M p n(k) Wtedy r i (AB) = r i (A)B, dla i =,, m, c j (AB) = Ac j (B), dla j =,, n Definicja 4 Macierza transponowana wzgle dem macierzy A = [a ij ] n m nazywamy macierz A T stopnia n m taka, że dla i =,, m, j =,, n A T (i, j) := A(j, i)

4 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 4 Przykład 43 A = A T = 3 4 3 4 3 4 3 3 3 4 4 4 Macierz kwadratowa A spełniaja ca warunek A T = A nazywamy macierza symetryczna Macierz kwadratowa A nazywamy macierza antysymetryczna, jeżeli spełnia warunek A T = A Przykład 44 Macierz symetryczna: ( 3 3 3 Macierz antysymetryczna: ( 0 0 Uwaga 45 Jeżeli A jest dowolna macierza kwadratowa, to macierz (A+AT ) jest symetryczna, a macierz (A AT ) antysymetryczna Własności macierzy transponowanej Niech A, B M n m(k), C M k n(k) i λ K Wtedy (A + B) T = A T + B T, (λa) T = λa T, (A T ) T = A, I T n = I n, (AC) T = C T A T Macierz odwrotna Definicja 46 Macierz kwadratowa A M n n (K) jest odwracalna, jeśli istnieje macierz B M n n (K) taka, że ) ) AB = BA = I n Macierz B nazywamy macierza odwrotna do macierzy A i oznaczamy A

4 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 5 Przykład 47 Dla A = ( 3 5 A = ) macierz odwrotna jest równa ( 5 3 Przykład 48 Niech 0 a, b, c K Wtedy a 0 0 0 b 0 0 0 c ) a 0 0 = 0 b 0 0 0 c Przykład 49 Macierz odwrotna do macierzy diagonalnej diag(a, a,, a nn ), w której a, a,, a nn 0: (diag(a, a,, a nn )) = diag( a, a,, a nn ) Twierdzenie 430 Niech A, B M n n (K) be macierzami odwracalnymi i 0 λ K Wtedy I n = I n, (A ) = A, (AB) = B A, (A T ) = (A ) T, (λa) = λ A Operacje elementarne macierzy Niech A M m n (K) Elementarnymi operacjami wierszowymi macierzy A sa : Mnożenie dowolnego wiersza macierzy A przez element 0 λ K A λr i A oznaczać be dzie, że macierz A powstała z macierzy A w wyniku pomnożenia i-tego wiersza macierzy A przez λ 0 Dodawanie do dowolnego wiersza macierzy A dowolnego innego wiersza pomnożonego przez dowolny element λ K A ri+λr k A oznaczać be dzie, że macierz A powstała z macierzy A w wyniku dodania do i-tego wiersza macierzy A wiersza k-tego pomnożonego przez λ Zamiana dwóch wierszy miejscami A ri r k A oznaczać be dzie, że macierz A powstała z macierzy A w wyniku zamiany miejscami wierszy i-tego oraz k-tego

4 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 6 Operacje elementarne na wierszach macierzy można opisać jako mnożenie tej macierzy przez odpowiednio zmodyfikowana macierz jednostkowa : A λr i A A = 0 0 0 0 0 0 0 0 a ii = λ 0 0 0 0 A = diag(,, λ,, )A = [λr i ](I m )A A ri+λr k A A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a ii = a ik = λ 0 0 0 0 a kk = 0 0 0 0 0 A = [r i + λr k ](I m )A A r i r k A A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a ik = 0 0 0 a ki = 0 0 0 0 0 0 A = [r i r k ](I m )A Definicja 43 Każde złożenie skończonej liczby elementarnych operacji wierszowych be dziemy nazywali operacja wierszowa

4 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 7 Przykład 43 3 3 3 r 3 3 3 r r 0 0 0 3 3 3 r r 3 3 3 3 0 0 0 Definicja 433 Powiemy, że macierz A jest wierszowo równoważna macierzy A, jeśli A można utworzyć z A za pomoca pewnej operacji wierszowej Przykład 434 Macierz 3 3 3 0 0 0 jest wierszowo równoważna macierzy 3 3 3 Algorytm Gaussa Każ macierz kwadratowa można sprowadzić do postaci trójka tnej górnej ba dź dolnej (a czasami do postaci diagonalnej) za pomoca skończonej liczby wierszowych operacji elementarnych (tzn każda macierz kwadratowa jest wierszowo równoważna macierzy trójka tnej) Jedna z metod prowadza cych do tego celu nazywamy algorytmem Gaussa Algorytm Gaussa działa dla macierzy kwadratowej A = [a ij ] n n w taki sposób, że uzyskujemy zera pod główna przeka tna w kolumnie j n, odejmuja c od wierszy o numerach j+,, n wiersz o numerze j pomnożony przez odpowiednio dobrane stałe Czasami trzeba dodatkowo przestawić wiersze, jeśli wysta pi sytuacja, w której na głównej przeka tnej macierzy znajdzie sie wartość zero Przykład 435 0 3 3 3 r r3 3 3 0 3 Przykład 436 0 3 r r 3 3 5 r 3+r 0 0 3 0 0 5 3 5 r 3+r r 3r 0 3 3 3 0 0 5 0 3 0 0 0 0 0 5 r 3 3r r +r r r3 0 3 0 0 5 0 0 3 0 0 5 0 0 0 0 0 0 5

4 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 8 Uwaga 437 Każda macierz kwadratowa jest wierszowo równoważna macierzy trójka tnej (górnej) Twierdzenie 438 Jeżeli macierz A jest odwracalna, to znaczy że jest wierszowo równoważna macierzy jednostkowej Niech A Mm(K) n i B Mm(K) p Symbolem A B be dziemy oznaczali macierz stopnia m (n + p) o elementach w K taka, że { c j c j (A), dla j =,, n, (A B) = c j n (B), dla j = n +,, n + p ( ) ( ) a b x y Przykład 439 Niech A = i B = Wtedy c d z w ( ) a b x y A B = c d z w Twierdzenie 440 Niech A M n n (K) be dzie odwracalna macierza kwadratowa Jeśli f jest operacja wierszowa taka, że A I n f I n B, to wtedy B = A ( ) 3 Przykład 44 Niech A = Stosuja 5 c Twierdzenie 440 znajdziemy macierz odwrotna do macierzy A ( ) ( ) 3 0 r A I = r 3 0 r +3r 5 0 0 ( ) ( ) 0 5 3 r 0 5 3 0 0 Sta d Przykład 44 Niech A = A = ( 5 3 0 0 0 0 0 Stosuja c wniosek 440 znajdziemy macierz odwrotna do macierzy A 0 0 0 0 A I 4 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r r ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 9 r 4 r r 4 +r 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r +r 4 Sta d 0 0 0 r 3+r r4 r r 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r3 r4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r r 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Poste puja c analogicznie jak w przypadku macierzy trójka tnej, możemy każ macierz stopnia m n sprowadzić do macierzy (górnej) trapezowej Przykład 443 3 5 3 3 8 5 4 3 r r 3 0 3 0 3 0 6 r 3 r 3 0 3 3 3 8 5 4 3 3 0 3 0 0 0 0 6 r 3 3r r 4 r 3 0 3 0 3 5 4 3 3 0 3 0 0 0 0 0 0 r 4 5r Twierdzenie 444 Każda niezerowa macierz A M n m(k) jest wierszowo równoważna pewnej macierzy (górnej) trapezowej

4 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 30 Twierdzenie 445 Liczba niezerowych wierszy w macierzch (górnych) trapezowych wierszowo równoważnych jest taka sama Definicja 446 Rze dem macierzy A M n m(k) nazywamy liczbe niezerowych wierszy w macierzy (górnej) trapezowej wierszowo równoważnej macierzy A i oznaczamy rza Przykład 447 Sprowadzimy macierz 0 7 5 5 3 A = 5 3 0 8 0 3 5 4 9 7 8 do postaci trapezowej (górnej) 0 7 5 5 3 A = 5 3 0 8 0 3 5 4 9 7 8 3 0 7 5 5 0 6 0 6 0 3 5 4 9 7 8 3 0 7 5 5 0 7 5 5 6 4 4 0 4 9 7 8 3 0 7 5 5 0 7 5 5 0 7 5 5 0 7 5 3 0 7 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 5 r 4 r 4 3r r 3 r r r r 5 +r 3 0 7 5 5 5 3 0 8 0 3 5 4 9 7 8 3 0 7 5 5 0 6 0 6 0 6 4 4 0 4 9 7 8 3 0 7 5 5 0 7 5 5 0 7 5 5 4 9 7 8 3 0 7 5 5 0 0 0 0 0 0 0 7 5 5 0 7 5 3 0 7 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 6 r 3 r 3 5r r 5 r r 4 r r 3 r 5

4 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 3 3 0 7 5 5 0 0 0 0 3 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Otrzymana macierz B ma rza d równy 3 4 Układy równań liniowych Układem m równań liniowych nad K z n niewiadomymi x,, x n nazywać be dziemy każdy układ równań postaci: a x + + a j x j + + a n x n = b a i x + + a ij x j + + a in x n = b i a m x + + a mj x j + + a mn x n = b m, gdzie dla i =,, m, j =,, n, a ij, b i K Elementy a ij nazywamy współczynnikami przy niewiadomych, elementy b i nazywamy wyrazami wolnymi Rozwia zaniem układu równań liniowych nazywamy każdy cia g liczb (x,, x n ) z K spełniaja cych każde równanie układu Każdy układ równań liniowych albo nie ma rozwia zań, albo ma jedno rozwia zanie, albo ma nieskończenie wiele rozwia zań Jeżeli układ równań nie ma rozwia zań, to mówimy, że jest sprzeczny Jeżeli układ ma jedno rozwia zanie, to mówimy, że jest oznaczony Jeżeli układ ma nieskończenie wiele rozwia zań, to mówimy, że jest nieoznaczony Wprowadzaja c oznaczenia: A := a a j a n a i a ij a in a m a mj a mn, B := b b j b m, X := układ m równań z n niewiadomymi możemy zapisać w postaci macierzowej AX = B Macierz A nazywamy macierza układu równań lub macierza główna układu równań Jednokolumnowa macierz X nazywamy macierza niewiadomych lub kolumna niewiadomych Jednokolumnowa macierz B nazywamy macierza wyrazów wolnych lub kolumna wyrazów wolnych Macierz (A B) złożona z macierzy układu i kolumny wyrazów wolnych nazywamy macierza rozszerzona x x i x n

4 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 3 Niech A M n m(k), B M m(k) Oznaczmy przez Rozw(A B) := {X M n(k) AX = B} zbiór wszystkich rozwia zań układu AX = B Powiemy, że dwa układy równań liniowych sa równoważne, jeżeli maja takie same zbiory rozwia zań Twierdzenie 448 Niech A, A M n m(k), B, B M m(k) i niech macierz A B be dzie wierszowo-równoważna macierzy A B Wtedy Rozw(A B ) = Rozw(A B), czyli układy równań AX = B oraz A X = B sa równoważne Przykład 449 Macierz rozszerzona ( ) 5 A B := 3 3 3 3 0 jest wierszowo-równoważna macierzy ( A B 0 := 0 0 0 0 Sta d układ równań jest równoważny układowi ) x + x + x 3 + x 4 = 5 3x + 3x + 3x 3 + 3x 4 = 0 x + x + x 3 + x 4 = 0 0 =, co oznacza, że jest sprzeczny Zauważmy, że rza = rz(a B) = Przykład 450 Macierz rozszerzona A B := jest wierszowo-równoważna macierzy A B := 0 0 3 0 0 0 0 0 0 Sta d układ równań x + x = x + x 3 = x + x + x 3 = 3

4 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 33 jest równoważny układowi x = x = x 3 =, czyli ma dokładnie jedno rozwia zanie W tym przypadku rza = rz(a B) = n = 3 Macierz A jest wierszowo-równoważna macierzy jednostkowej I 3, zatem jest odwracalna Sta d X = x x x 3 = A B = Przykład 45 Macierz rozszerzona A B := 0 0 jest wierszowo-równoważna macierzy Sta d układ równań jest równoważny układowi Sta d A B := 0 0 4 4 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x + x = x + x 3 = x + x + x 3 = 4 4x + x + x 3 = 8 x + x = x + x 3 = 0 x = x x = t R x 3 = x, 3 = czyli układ ma nieskończenie wiele rozwia zań zależnych od jednego parametru t R W tym przykładzie mamy: rza = rz(a B) = < n = 3

4 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 34 Twierdzenie 45 (Kronecker, Capelli) Niech A M n m(k) i B M m(k) Układ równań AX = B ma co najmniej jedno rowia zanie wtedy i tylko wtedy, gdy Ponadto: rza = rz(a B) Jeśli rza = rz(a B) = n, to rozwia zanie jest dokładnie jedno W przypadku, gdy macierz A jest odwracalna, to X = A B, a układ AX = B nazywamy układem Cramera Jeśli rza = (A B) < n, to istnieje nieskończenie wiele rozwia zań zależnych od p = n rza parametrów Przykład 453 Rozważmy naste puja cy układ m = 5 równań z n = 5 niewiadomymi: x + 7x 3 5x 4 + x 5 = 5 x + x x 3 + x 4 + 3x 5 = 5x + 3x + x 3 + 8x 5 = 0 3x + x + x 3 x 4 + 5x 5 = 4x + x 9x 3 + 7x 4 + 8x 5 = Jak pokazaliśmy w Przykładzie 447 macierz 0 7 5 5 3 A B = 5 3 0 8 0 3 5 4 9 7 8 jest wierszowo równoważna macierzy A B w postaci trapezowej: 0 4 3 0 5 0 7 5 0 3 A B = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Sta d rza = rz(a B) = 3, czyli układ ma nieskończenie wiele rozwia zań zależnych od p = n rza = parametrów Rozwia zanie możemy zapisać w naste puja cej postaci: x = 5 + 4t 3t x = 3 7t + 5t x 3 = t x 4 = t x 5 =, gdzie t, t R

4 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 35 Niech A M n m(k) i X M n(k) Układ równań postaci: nazywamy układem jednorodnym AX = 0 n Wniosek 454 Układ jednorodny AX = 0 n ma niezerowe rozwia zanie wtedy i tylko wtedy, gdy rza < n Twierdzenie 455 Niech A M n m(k), B M m(k), X M n(k) oraz X 0 Rozw(A B) Wtedy Rozw(A B) = {X 0 + Y Y Rozw(A 0 n)} 43 Wyznaczniki i ich zastosowanie Z każ macierza kwadratowa A Mn n (K) zwia zana jest liczba DetA należa ca do zbioru K zwana wyznacznikiem macierzy A Niech A ij Mn n (K) be dzie macierza otrzymana z A przez skreślenie i- tego wiersza i j-tej kolumny Wyznacznik definiujemy indukcyjnie w naste puja cy sposób Definicja 456 Wyznacznik macierzy A = (a ) stopnia określamy jako jedyny element tej macierzy: DetA := a ( ) a a Wyznacznik macierzy A = stopnia określamy jako a a DetA = a a a a Wyznacznik macierzy A stopnia n > postaci a a a n a a a n a n a n a nn określamy jako: DetA := ( ) + a DetA + ( ) + a DetA + + ( ) +n a n DetA n Wyznacznik macierzy A = a a j a n a i a ij a in a n a nj a nn

4 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 36 cze sto oznaczamy w naste puja cy sposób: Przykład 457 DetA = a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 a a j a n a i a ij a in a n a nj a nn = a a a 33 + a a 3 a 3 + a 3 a a 3 a a 3 a 3 a 3 a a 3 a a a 33 Definicja 458 Niech A M n n (K) Element D ij := ( ) i+j DetA ij nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu a ij macierzy A DetA = a D + a D + + a n D n Twierdzenie 459 Niech A = (a ij ) M n n (K) be dzie macierza stopnia n Dla dowolnej liczby i n, wyznacznik macierzy A jest równy DetA = a i D i + a i D i + + a in D in (459) Wyrażenie (459) nosi nazwe rozwinie cia Laplace a wzgle dem i-tego wiersza Twierdzenie 460 Niech A = (a ij ) M n n (K) be dzie macierza stopnia n Dla dowolnej liczby j n, wyznacznik macierzy A jest równy DetA = a j D j + a j D j + + a nj D nj (460) Wyrażenie (460) nosi nazwe rozwinie cia Laplace a wzgle dem j-tej kolumny Przykład 46 Rozwinie cie Laplace a wyznacznika macierzy wzgle dem drugiego wiersza: 0 Det 0 = ( ) + 0 0 +0 ( )+ + ( )+3 = ( ) + 0 + ( ) 0 =

4 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 37 Przykład 46 Wyznacznik macierzy trójka tnej (górnej) a a a 3 a n 0 a a 3 a n 0 0 a 33 a 3n 0 0 0 a nn = a a a 33 a nn W szczególności: oraz Det(diag(λ,, λ n )) = λ λ n DetI n = Twierdzenie 463 Niech A M n n (K) i λ K Jeżeli macierz A zawiera wiersz złożony z samych zer, to DetA = 0 Jeżeli zamienimy miejscami dwa różne wiersze macierzy A, to jej wyznacznik zmieni znak 3 Jeżeli macierz A ma dwa jednakowe wiersze, to DetA = 0 4 Wyznacznik jest jednorodna funkcja wierszy macierzy, tzn a a j a n λa i λa ij λa in a n a nj a nn dla dowolnego i =,, n = λ a a j a n a i a ij a in a n a nj a nn 5 Wyznacznik jest addytywna funkcja wierszy macierzy, tzn a a j a n a i + b i a ij + b ij a in + b in a n a nj a nn a a j a n a i a ij a in a n a nj a nn dla dowolnego i =,, n 6 DetA = DetA T + = a a j a n b i b ij b in a n a nj a nn,,

4 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 38 7 Wyznacznik macierzy A nie ulegnie zmianie, jeśli do dowolnego wiersza dodamy elementy dowolnego innego wiersza tej macierzy pomnożone przez dowolny element λ K: a a j a n a i a ij a in a k a kj a kn a n a nj a nn dla dowolnych i, k n = a a j a n a i + λa k a ij + λa kj a in + λa kn a k a kj a kn a n a nj a nn Własności podane w Twierdzeniu 463 pozostaja prawdziwe, gdy zamiast wierszy mówić be dziemy o kolumnach Twierdzenie 464 (Binet, Cauchy) Niech A, B M n n (K) Wtedy Zastosowania wyznaczników Obliczanie macierzy odwrotnej Det(A B) = DetA DetB (464) Definicja 465 Niech A M n n (K) Transponowana macierz dopełnień algebraicznych A D := [D ij ] T nazywamy macierza doła czona Twierdzenie 466 Niech A M n n (K) Wtedy A A D = A D A = (DetA) I n Twierdzenie 467 Niech A M n n (K) Jeśli A jest macierza odwracalna, to DetA 0 oraz Det(A ) = DetA Jeśli DetA 0, to A jest macierza odwracalna oraz A = AD DetA,

4 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 39 Przykład 468 Det 0 0 = 0 0 0 A D = D T D D 3 D D D 3 = 0 D 3 D 3 D 33 0 0 0 0 0 0 T 0 = 0 0 T = Sta d A = A D = 0 0

4 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 40 Rza d macierzy Definicja 469 Podmacierza stopnia p r macierzy A M n m(k) nazywamy macierz otrzymana z macierzy A przez usunie cie m p wierszy oraz n r kolumn Definicja 470 Minorem stopnia r N macierzy A M n m(k) nazywamy wyznacznik dowolnej podmacierzy stopnia r r macierzy A Liczba r N jest rze dem macierzy A M n m(k), jeśli istnieje różny od zera minor stopnia r macierzy A, nie istnieje różny od zera minor macierzy A stopnia wie kszego od r Twierdzenie 47 Niech A M n m(k) rza m, rza n Jeśli m = n, to rza = n wtedy i tylko wtedy, gdy DetA 0 3 Rozwia zywanie równań Twierdzenie 47 Niech A M n n (K) Jeżeli DetA 0, to układ równań AX = B ma dokładnie jedno rozwia zanie dla każdego B M n(k) Rozwia zanie dane jest tzw wzorami Cramera: gdzie dla j =,, n x j = DetA j DetA, A j := (c (A), c (A),, c j (A), B, c j+ (A),, c n (A)), 4 Iloczyn wektorowy wektorów u = [u, u, u 3 ] i v = [v, v, v 3 ] u v := [u v 3 u 3 v, (u v 3 u 3 v ), u v u v ] [ ] u = u 3 v v 3, u u 3 v v 3, u u v v 5 Iloczyn mieszany wektorów u = [u, u, u 3 ], v = [v, v, v 3 ] i w = [w, w, w 3 ] [ ] u (u v) w = u 3 v v 3, u u 3 v v 3, u u v v [w, w, w 3 ] = u w u 3 v v 3 w u u 3 v v 3 + w 3 u u v v = u u u 3 v v v 3 w w w 3

5 PRZESTRZENIE WEKTOROWE 4 5 Przestrzenie wektorowe 5 Przestrzenie i podprzestrzenie wektorowe Niech K oznacza zbiór liczb rzeczywistych lub zespolonych Definicja 5 Przestrzenia wektorowa (liniowa ) V (K) nad K nazywamy zbiór V, w którym dla dowolnych elementów v, u V określona jest ich suma v + u V, która spełnia naste puja ce warunki: dla v, u V, v + u = u + v, dla v, u, w V, (v + u) + w = v + (u + w), w zbiorze V istnieje element 0 taki, że dla każdego v V, v + 0 = v, dla każdego v V istnieje element v V taki, że v + ( v) = 0; dla każdej liczby λ K i dla każdego v V określony jest ich iloczyn λ v V, który spełnia naste puja ce warunki: dla λ, µ K oraz v V, (λ + µ) v = λ v + µ v, dla λ K oraz v, u V, λ (v + u) = λ v + λ u, dla λ, µ K oraz v V, λ (µ v) = (λµ) v, v = v Elementy zbioru V nazywamy wektorami przestrzeni wektorowej V (K) Elementy zbioru K nazywamy skalarami Element 0 V nazywamy wektorem zerowym Dla każdego v V, element v nazywamy wektorem przeciwnym do wektora v Przykład 5 Przykłady przestrzeni wektorowych Przestrzeń K n (K) Niech n N i K n := {v = [v,, v n ] v,, v n K} Dla v, u K n oraz λ K określamy działania w naste puja cy sposób: v + u := [v + u,, v n + u n ], λ v := [λv,, λv n ] Zbiór K n z tak określonymi działaniami jest przestrzenia wektorowa Przestrzeń K (K) Niech K := {v = (v, v, ) v, v, K} Dla v, u K oraz λ K określamy działania w naste puja cy sposób: v + u := (v + u, v + u, ), λ v := (λv, λv, ) Zbiór K z tak określonymi działaniami jest przestrzenia wektorowa

5 PRZESTRZENIE WEKTOROWE 4 Przestrzeń K[x](K) Niech K[x] oznacza zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej x o współczynnikach w K Dla p, q K[x] oraz λ K określamy działania w naste puja cy sposób: (p + q)(x) := p(x) + q(x), dla każdego x K, (λ p)(x) := λp(x), dla każdego x K Zbiór K[x] z tak określonymi działaniami jest przestrzenia wektorowa Przestrzeń K n [x](k) Niech n N i niech K n [x] oznacza zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej x o współczynnikach w K stopnia niewie kszego niż n Dla p, q K n [x] oraz λ K określamy działania w naste puja cy sposób: (p + q)(x) := p(x) + q(x), dla każdego x K, (λ p)(x) := λp(x), dla każdego x K Zbiór K n [x] z tak określonymi działaniami jest przestrzenia wektorowa Przestrzeń Map(X, K)(K) Niech = X K i Map(X, K) oznacza zbiór wszystkich funkcji f : X K Dla f, g Map(X, K) oraz λ K określamy działania w naste puja cy sposób: (f + g)(x) := f(x) + g(x), dla każdego x X, (λ f)(x) := λf(x), dla każdego x X Zbiór Map(X, K) z tak określonymi działaniami jest przestrzenia wektorowa Przestrzeń M n m(k)(k) Niech n, m N Zbiór M n m(k) wszystkich macierzy stopnia m n o elementach w zbiorze K z działaniami dodawania macierzy i mnożenia macierzy przez liczbe λ K jest przestrzenia wektorowa Lemat 53 Niech V (K) be dzie przestrzenia wektorowa nad K Wtedy dla dowolnych v V i λ K: λ v = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy λ = 0 lub v = 0 ( λ) v = λ ( v) = (λ v) W szczególności: v = ( ) v Definicja 54 Niech V (K) be dzie przestrzenia wektorowa nad K i niech U V, U U nazywamy podprzestrzenia przestrzeni V (K) i ozn U(K), jeśli dla każdego u, w U i λ K u + w U,

5 PRZESTRZENIE WEKTOROWE 43 λ u U W szczególności, jeśli U(K) jest podprzestrzenia V (K), to dla dowolnych u, w U i λ, λ K λ u + λ w U Przykład 55 Przykładami podprzestrzeni wektorowych nad K sa : V (K) jest podprzestrzenia V (K) Jednoelementowy zbiór {0} jest podprzestrzenia przestrzeni V (K) Dla dowolnego n N, K n [x](k) jest podprzestrzenia przestrzeni K[x](K) Niech A M m n (K) Zbiór Rozw(A 0 n ) rozwia zań układu jednorodnego AX = 0 jest podprzestrzenia przestrzeni M n(k)(k) Dla X, zbiór wszystkich funkcji f : X K cia głych na X jest podprzestrzenia przestrzeni Map(X, K)(K) Twierdzenie 56 Niech U(K) i W (K) be podprzestrzeniami przestrzeni V (K) Wtedy U(K) W (K) := {v V v U i v W } U(K) + W (K) := {u + w u U, w W } sa podprzestrzeniami przestrzeni V (K) 5 Układy wektorów Każdy skończony multi-zbiór (dopuszczamy powtórzenia elementów) B wektorów v,, v m z przestrzeni V (K) nazywamy układem wektorów w przestrzeni V (K) Definicja 57 Niech λ,, λ m K Wektor λ v + + λ m v m nazywamy kombinacja liniowa (układu) wektorów v,, v m Skalary λ,, λ m nazywaja sie współczynnikami tej kombinacji Przykład 58 Wektor [4, 0, 5] jest kombinacja liniowa wektorów v = [, 0, ] oraz v = [, 0, ], gdyż [4, 0, 5] = [, 0, ] + [, 0, ] Twierdzenie 59 Niech B be dzie układem wektorów v,, v m z przestrzeni V (K) Wtedy zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów v,, v m : L(v,, v m ) := {λ v + + λ m v m λ,, λ m K} jest podprzestrzenia przestrzeni V (K)

5 PRZESTRZENIE WEKTOROWE 44 Mówimy, że podprzestrzeń L(v,, v m ) jest podprzestrzenia generowana przez układ {v,, v m } Jest to najmniejsza podprzestrzeń przestrzeni V (K) zawieraja ca układ {v,, v m } O układzie {v,, v m } mówimy, że jest zbiorem generatorów podprzestrzeni L(v,, v m ) Przykład 50 L([, 0], [0, ]) = {λ [, 0] + λ [0, ] λ, λ R} = {[λ, λ ] λ, λ R} = R Przyjmujemy, że L( ) := {0} czyli, że podprzestrzeń generowana przez pusty układ wektorów jest podprzestrzenia jednoelementowa złożona tylko z wektora zerowego Definicja 5 Niech B be dzie układem wektorów v,, v m z przestrzeni V (K) i niech λ,, λ m K Układ B jest liniowo niezależny (lub wektory v,, v m sa liniowo niezależne), jeśli λ v + + λ m v m = 0 λ = = λ m = 0 Jeśli układ {v,, v m } nie jest liniowo niezależny, to mówimy, że jest liniowo zależny (lub wektory v,, v m sa liniowo zależne) Przykład 5 Układ wektorów v = [, 0, ], v = [0,, ], v 3 = [0, 0, ] z przestrzeni R 3 jest liniowo niezależny Układ wektorów v = [, 0, ], v = [, 0, ], v 3 = [0, 0, ] z przestrzeni R 3 jest liniowo zależny Twierdzenie 53 Układ B wektorów v,, v m jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy żaden z wektorów v B nie jest kombinacja liniowa pozostałych Wniosek 54 Niech B be dzie liniowo niezależnym układem wektorów v,, v m z przestrzeni V (K) i niech v V Układ v,, v m, v jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy v / L({v,, v m }) Twierdzenie 55 Niech B be dzie układem wektorów v,, v m z przestrzeni V (K) i niech v V Wtedy: Jeśli istnieja takie i j, że v i = v j, to układ B jest liniowo zależny Jeśli układ B jest liniowo niezależny, to każdy jego podzbiór (tzw podukład) też jest liniowo niezależny 3 Jeśli układ B jest liniowo zależny, to dla każdego v V układ v, v,, v m też jest liniowo zależny 4 Układ złożony z jednego wektora v V jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy v 0

5 PRZESTRZENIE WEKTOROWE 45 53 Baza i wymiar przestrzeni wektorowych Definicja 56 Układ B wektorów v,, v n z przestrzeni V (K) nazywa sie baza przestrzeni V (K), jeśli v,, v n jest układem liniowo niezależnym, V = L(v,, v n ) Jako baze przestrzeni {0} przyjmujemy układ pusty Twierdzenie 57 Układ B wektorów v,, v n jest baza przestrzeni V (K) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego wektora v V istnieja jednoznacznie określone λ,, λ n K takie, że v = λ v + + λ n v n Skalary λ,, λ n K nazywaja sie współrze dnymi wektora v w bazie B Przykład 58 Układ wektorów v = [, 0, ], v = [0,, ], v 3 = [0, 0, ] jest baza przestrzeni R 3 Układ wektorów: e = [, 0,, 0],, e n = [0, 0,, ] jest baza przestrzeni K n Jest to tzw baza kanoniczna Twierdzenie 59 Dla dowolnego układu B wektorów v,, v n z przestrzeni V (K), B jest baza przestrzeni V (K) wtedy i tylko wtedy, gdy B jest maksymalnym układem liniowo niezależnym w przestrzeni V (K) Twierdzenie 50 Jeżeli v,, v n i w,, w m sa bazami przestrzeni wektorowej V (K), to n = m Definicja 5 Przestrzeń wektorowa, dla której istnieje baza nazywamy przestrzenia skończenie wymiarowa Definicja 5 Jeśli V (K) jest skończenie wymiarowa przestrzenia wektorowa to liczbe elementów (dowolnej) bazy przestrzeni V (K) nazywamy wymiarem tej przestrzeni i oznaczamy dimv (K) Wymiar przestrzeni wektorowej V (K) jest maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów w V (K) Przykład 53 dimr n (R) = n, dimm m(k) = m, dimm n m(k) = m n, dimk n [x](k) = n + Wniosek 54 Niech v,, v r V i r > dimv (K) Wtedy układ v,, v r jest liniowo zależny