Algebra liniowa z geometrią analityczną

Podobne dokumenty
Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona.

ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE

MMF ćwiczenia nr 1 - Równania różnicowe

III. LICZBY ZESPOLONE

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1.

1. ALGEBRA Liczby zespolone

ALGEBRA WEKTORÓW. PRZESTRZENIE WEKTOROWE PRZESTRZEŃ WEKTOROWA

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone

Teoria Sygnałów. II Inżynieria Obliczeniowa. Wykład 13

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,

ANALIZA FOURIEROWSKA szybkie transformaty Fouriera

15. CAŁKA NIEOZNACZONA cz. I

W analizie układów ciągłych wykorzystywane jest przekształcenie operatorowe Laplace a które zdefiniowane jest przez następujący wzór całkowy

1. Liczby zespolone i

Tw: (O promieniu zbieżności R szeregu potęgowego ) Jeżeli istnieje granica. to R = ) ciąg liczb zespolonych

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił

OCHRONA PRZECIWPOŻAROWA BUDYNKÓW

Wyk lad 2 W lasności cia la liczb zespolonych

CAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.

cos(ωt) ω ( ) 1 cos ω sin(ωt)dt = sin(ωt) ω cos(ωt)dt i 1 = sin ω i ( 1 cos ω ω 1 e iωt dt = e iωt iω II sposób: ˆf(ω) = 1 = e iω 1 = i(e iω 1) i ω

Algebra liniowa z geometrią analityczną. WYKŁAD 11. PRZEKSZTAŁCENIE LINIOWE WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE Przekształcenie liniowe

"Liczby rządzą światem." Pitagoras

Automatyka i Robotyka Analiza Wykład 23 dr Adam Ćmiel

LICZBY ZESPOLONE. j= -1, j = 1. Liczby zespolone będą oznaczane przez podkreślenie symbolu (litery), oznaczającej tę liczbę:

LICZBY ZESPOLONE. = 0, wie c np. i v 3 = q

Transformata Z Matlab

Zestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t. x y + 2t 2x 3y + 5z t x z t

Zestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. Macierze przekształceń liniowych. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

MATERIA LY DO ĆWICZEŃ Z ANALIZY ZESPOLONEJ Literatura: [Ch] J. Cha

Drgania układów o wielu stopniach swobody

, q3) współrzędnych kartezjańskich o równaniach:

Domieszki w nanostrukturach. = χ

MACIERZE I WYZNACZNIKI

tek zauważmy, że podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wyższych rze

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik

WYKŁAD 2. Rozdział 2: Drgania układu liniowego o jednym stopniu swobody. Część 1 Drgania swobodne

3. Zapas stabilności układów regulacji 3.1. Wprowadzenie

ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE

Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

W takim modelu prawdopodobieństwo konfiguracji OR wynosi. 0, 21 lub , 79. 6

WIELOMIANY. ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu.

Funkcje zespolone. 2 Elementarne funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Transformator Φ M. uzwojenia; siła elektromotoryczna indukowana w i-tym zwoju: dφ. = z1, z2 liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego.

Funkcje elementarne. Matematyka 1

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA)

Matematyka wybrane zagadnienia. Lista nr 4

ODWROTNE PRZEKSZTAŁCENIE ZET

PODSTAWY AUTOMATYKI 9. Wskaźniki jakości regulacji

, +, - przestrzeń afiniczna, gdzie w wprowadzono iloczyn

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Zastosowanie funkcji inżynierskich w arkuszach kalkulacyjnych zadania z rozwiązaniami

(a b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

Marek Zakrzewski Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska. Lekarstwo na kłopoty z Cardanem: Róbta co Vieta.

Rozdział 2. Liczby zespolone

f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n

Arkusz 1 - karta pracy Całka oznaczona i jej zastosowania. Całka niewłaściwa

Funkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) dla każdego s = (s.

Dwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

d J m m dt model maszyny prądu stałego

1. Granica funkcji w punkcie

( ) WŁASNOŚCI MACIERZY

Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac

ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas

Wyznaczyć prędkości punktów A i B

Funkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Programowanie dynamiczne i modele rekurencyjne w ekonomii Wykład 3

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

3. Zapas stabilności układów regulacji 3.1. Wprowadzenie

Zadania kinematyki mechanizmów

Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Z-TRANSFORMACJA Spis treści

n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa

Sprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

sin sin ε δ Pryzmat Pryzmat Pryzmat Pryzmat Powierzchnia sferyczna Elementy optyczne II sin sin,

Matematyka A kolokwium 26 kwietnia 2017 r., godz. 18:05 20:00. i = = i. +i sin ) = 1024(cos 5π+i sin 5π) =

WYKŁAD 6. MODELE OBIEKTÓW 3-D3 część Powierzchnie opisane parametrycznie. Plan wykładu: Powierzchnie opisane parametrycznie

Wykład 14. Oscylacje kwantowe w polu magnetycznym. W mechanice klasycznej uogólniony pęd naładowanej cząstki ma postać [ A] B =. (14.

Oddziaływanie elektronu z materią

Podstawy Konstrukcji Maszyn

Zadanie 1. Dla ramy przestrzennej przedstawionej na rys. 1 wyznaczyć reakcje i sporządzić wykresy sił wewnętrznych. DANE

1. Pojęcie równania różniczkowego jest to pewne równanie funkcyjne, które zapisać można w postaci ogólnej

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE PODSTAWOWYCH CZŁONÓW LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI

LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY

Algebra liniowa. Zadania przygotowujące do egzaminu: .Wskazówka: Zastosować wzór de Moivre'a;

APROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne

Liczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) 27 lutego 2007

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Definicja interpolacji

Transkrypt:

WYKŁAD. Elmtar fucj mij spoloj: wilomiay, pirwiasti jdości, fucja: pirwiast stopia, fucja wyładica, fucja logarytmica. Podstawow własości wilomiaów: podilość, twirdi Bout, podstawow twirdi algbry, suai pirwiastów wilomiaów drugigo i trcigo stopia. Twirdi: Każdy wilomia wadratowy postaci: W() = a b c ma w bior C licb spoloych dwa pirwiasti, pry cym ma mijsc trychotomia: R lub R lub C R Dowód Postać aoica wilomiau a b c a b c b c b a a a a a 4a b 4ac b b a a, gdi b 4ac a 4a a 4a., dwa róż pirwiasti rcywist b b b a lub a 4a a 4a a a b a a., pirwiast o rotości b a b c a tj. a b a., i ma rowiąań w bior licb rcywistych W bior licb spoloych achodi: Zatm: i i b i a b c a, a ba c a a b i gdi a a Dwa pirwiasti spolo b a i a b i a a, b a a i, 4 4 Pryład Rowiąać rówai x ; 4, to i, i i, i Twirdi: Jśli wilomia w a a a a, /8

jst wilomiam mij spoloj, to wx y i w x y i Px, y i Qx, y gdi P x, y i x y Dowód Z rówości : i, i i Pryład możmy apisać w postaci: Q, są wilomiaami o współcyiach rcywistych miych x i y., i 4, i 5 i ( i) (4 i) (5 i) 6 i i x y i 4 ix y i 5 i x y i 6 i x i 6x 6xy y y 9x x x, y i Qx y P, Wios Twirdi Jśli to licba y y 9xy 4x, 4y 8xy x,... ora dfiicji dodawaia i możia. xy 5x y 6 y 5y x x y i x y i x y i w w x y i jst pirwiastim wilomiau w a a a a x y i tż jst pirwiastim wilomiau w. Dowód Dla w Px, y i Qx, y mamy: x i y P x, y Qx y Stąd:,, i w w ( ) w( ) P( x, y ) iq( x, y ) P x y i Qx, y i, Twirdi ( d Moivr a) (prypomii) Dla ażdj licby spoloj rcos i si achodi: ora dla licby aturalj,,,..., r i cos si Fucja: pirwiast stopia Dfiicja Rowiąaia rówaia, gdi x y ic ora,, ; awimy pirwiastami stopia licby. Podstawow twirdi algbry /8

Pirwiastów stopia licby jst. Wios Zapis dla licby i jst jdoacy. i jst fucją w dotychcasowym ssi tgo słowa. Rowiąai rówaia dla trygoomtrycj postaci licb spoloych x i y r cos i, x i y rcos i si si Z twirdia d Moivr a: Stąd r cos i si r cos i r r i r (ii) cos cos (iii) si si si r Uład rówań (ii), (iii) ma rowiąai postaci cyli gdi Z Stąd: r cos i si, Z mod Jśli. Otrymujmy wartości, wyrażo pr r cos i si,,,, ; Z Pryład dwa pirwiasti stopia = = r cos i si, r cos i si /8

Pryład Oblicyć pirwiasti stopia licby 4 i arcsi 5 5 cos i arcsi si 5 arcsi 5 5 cos i si Zbiór pirwiastów stopia licby i cos i si,,, arcsi 5 - olj pirwiasti stopia Mamy: cos i si,,,, Twirdi (a) ), (b) (mod, (c), (d), Itrprtacja gomtryca licb,,, : Wirchołi -ąta formgo wpisago w orąg o promiiu i środu (, ). Fucja liiowa spoloa f : C C; f gdi: a i b= r(cos isi ) C c i d C x yi r (cos isi ) C Itrprtacja gomtryca /łożi trch prstałcń w płascyźi/ (i) Rociągięci w stosuu r (ii) Obrót o ąt Arg a i bx i y rcos i si r cos i si 4/8

r r [cos( ) isi( )] (iii) Prsuięci o wtor odpowiadający ; x iy x i y c i d x c i y d Iwrsja f, gdi cos i si r cos i si Nich r r. Zatm: cos i si cos i si r r r. Itrprtacja gomtryca prstałcia f (łożi dwóch prstałcń) (i) iwrsji, Arg' Arg ' (ii) odbicia wględm osi x, ' ' Arg' ' Arg' ' ' ' Aalityca postać f() u i v x y i x Stąd u x y, y v x y 5/8

u x u v, v y u v Rówai oręgu w płascyźi ma postać ogólą: a x y bx cy d Rówai oręgu prstałcogo pry pomocy fucji f() u bu cv a d u( u v ) u v u v Cyli d u v bu cv a Wios f prstałca oręgi a oręgi. a x y bx cy d Dla a= bx + cy + d = rówai prostj obram tj prostj jst orąg o rówaiu: u v bu cv d. Pryład Zalźć obra prostj l : x + y 4 = pr prstałci f Mamy: a =, b =, c =, d =-4.. Obram prostj l pr f() jst orąg o rówaiu: v u v 4 u tj. u 4 v 8 64 a więc orąg o środu w, i o promiiu o długości 4 8. 8 6/8

Fucja wyładica Dfiicja Dla = x + iy, pryjmimy f() = x cos y i si y x Stąd:, y arg. Fucja jst fucją orsową: i dla Z Wios,,. Dla = yi (tj. = ) iy i cos y i si y (w scgólości: ) it t paramtryc prdstawii oręgu jdostowgo a prdial, (tj. gdy t prbiga, to it prbiga puty a oręgu o rówaiu x y ). Itrprtacja gomtryca fucji f() = i iarg cos i r r si Pryjmijmy tra, ż r cos i si r cos i ; si, gdi mamy więc a mocy dfiicji fucji wyładicj: Stąd r isi (cos isi ) r cos 7/8

r r, tj.. f rociągięci Arg Arg rociągięci w stosuu wdłuż promiia Arg. Fucja f() = log Dfiicja log l r i jśli r dla i r Fucja log i jst fucją poiważ i log l r i gdi Z ; ( r ). Fucja log ma isońci wil gałęi: ażdj ustaloj wartości odpowiada jda gałąź logarytmu będąca fucją w dotychcasowym asym roumiiu tgo trmiu. Gałąź główa: l r i Arg r Własości fucji log log log log, log, log. i i Dowód: Dla r, r mamy log log i i i logr r r r log lr r i l r i l r i log log Poadto: log l iarg l iarg iarg. 8/8