32 (+) Jest to szereg o wyrazach dodatich Poadto wyraz ogóly tego szeregu jest zbie»y do 0, wi c waruek koieczy zbie»o±ci szeregu jest speªioy s (+) 2 s 2 s + 2 (2+) 2 + 2 3 2 + 6 3 6 + 6 4 6 2 3 s 3 s 2 + 3 (3+) 2 3 + 3 4 2 3 + 2 8 2 + 2 9 2 3 4 s k k k+ k(k+) k k+ k k(k+) k k(k+) k ( k+ k(k+) k k k ( + + + + ) ( + + + + ) k+ 2 3 2 3 4 + + ( 2 2 ) + ( 3 3 ) + ( 4 4 ) + + ( ) + + Zatem: lim s lim ( + ) lim lim + 0 k ) k(k+) k ( ) k k+ 322 3 2 2 + 5 2 2 2 3 + 7 2 3 2 4 + + 2+ 2 2 (+) + 2 Widzimy,»e jest to szereg o wyrazach dodatich Poadto jego wyraz ogóly u 2+ 2 (+) 2 d»y do 0 (poiewa» w miaowiku tego uªamka mamy wielomia wy»szego stopia i» w licziku), wi c waruek koieczy zbie»o±ci szeregu jest speªioy s 3 2 2 2 3 4 3 4 s 2 s + 2 2+ 2 2 3 2 3 4 + 5 4 9 3 4 + 5 36 27 36 + 5 36 32 36 8 9 s 3 s 2 + 2 3+ 3 2 4 2 8 9 + 7 9 6 8 6+7 9 6 28+7 44 + 35 44 5 6 s k 2k+ k 2 (k+) 2 k ( k+ + k ) k 2 (k+) 2 k 2 (k+) 2 k ( + k 2 (k+) k(k+) 2 ) k (( k k+ )( k + k+ )) k (( k )2 ( k+ )2 ) k ( k 2 (k+) 2 ) k + k2 Poiewa» k 2 k (k+) 2 (+) 2 k ( ( + )) k(k+) k k+ k 2 k (k+) 2
k2 k 2 k s (+) 2 (k+) 2 a st d: 0, wi c otrzymujemy: lim s lim lim (+) 2 0 323 l2 + l( + 2 ) + l( + 3 ) + + l( + ) + Zauwa»my,»e dla N > 0 zarówo uªamek jak i logarytm aturaly s okre±loe Poadto mamy: lim l( + ) (z ciąg lości logarytmu aturalego) l(lim + lim ) l( + 0) l 0 zatem waruek koieczy zbie»o±ci szeregu jest okre±loy s l2 s 2 l2 + l( + 2 ) l2 + l 3 2 s 3 l2 + l 3 2 + l( + 3 ) l2 + l 3 2 + l 4 3 s k l( + ) k+ k k l (a podstawie wzoru l a k b la lb) k (l(k +) lk) k l(k +) k lk l(+)+ k l(k +) l k2 lk Poiewa» k l(k + ) k2 lk 0, wi c otrzymujemy: s l( + ) l l( + ) 0 l( + ) Poiewa» wraz ze wzrostem, powy»szy logarytm ro±ie do +, wi c: lim s lim l( + ) + A zatem szereg day w zadaiu jest rozbie»y 324 l 4 2 4 3 7 4 0 + l + l + l + 7 2 0 3 3 Zauwa»my ajpierw,»e szereg te pocz wszy od drugiego wyrazu jest szeregiem o wyrazach ieujemych, wi c mo»emy go jako taki traktowa 2
W poi»szych wyliczeiach b dziemy korzystali z wzorów: l a b la lb l(ab) la + lb Wyliczmy kilka pocz tkowyh sum cz ±ciowych: s l 4 l l4 s 2 s + l 2 4 l + l(2 4) l( 7) l l4 + l2 + l4 l l7 l2 l7 7 4 s 3 s 2 + l 3 7 2 0 l2 l7 + (l(3 7) l(2 0)) l2 l7 + l3 + l7 l2 l0 l3 l0 s 4 s 3 + l 4 0 3 3 s 3 + (l(4 0) l(3 3)) l3 l0 + l4 + l0 l3 l3 l4 l3 a podstawie powy»szych wylicze«mo»emy poda wzór a -t sum cz stkow s l l(3 + ) () Udowodijmy przez idukcj matematycz prawdziwo± powy»szego wzoru a -t sum cz stkow Dla k, 2, 3, 4 wzór te jest prawdziwy Zakªadamy teraz,»e jest o prawdziwy dla k N k : s k lk l(3k + ) a twierdzimy,»e prawdziwa jest teza idukcyja: s k+ l(k + ) l(3(k + ) + ) l(k + ) l(3k + 4) Na podstawie sposobu okre±leia szeregu mamy: s k+ s k + l (k+)(3k+) k(3k++3) s k + l (k+)(3k+) k(3k+4) Przeksztaª my teraz wzór a (k+)-t sum cz stkow : s k+ s k + l (k+)(3k+) k(3k+4) s k + (l((k + )(3k + )) l(k(3k + 4))) lk l(3k + ) + l(k + ) + l(3k + ) lk l(3k + 4) l(k + ) l(3k + 4), czyli mamy tez idukcyj A zatem udowodili±my,»e z zaªo»eia idukcyjego wyika teza idukcyja Czyli wzór () jest prawdziwy dla ka»dej liczby aturalej wi kszej od 0 Zajd¹my teraz graic ci gu sum cz ±ciowych szeregu: lim s lim (l l(3 + )) lim l 3+ l(lim ) l l 3+ 3+0 3 z ci gªo±ci logarytmy aturalego 3
325 2 ( 2+ x 2 x) To zdaie jest problematycze Zawiera bª d w tre±ci, bo dla drugi pierwiastek przyjmuje posta x, co w matematyce ie jest okre±loe Dlatego apisaªem w tre±ci sum zaczyaj c si od 2 Poadto musi zachodzi x R + {0}, bo wyra»eie podpierwiastkowe ie mo»e by ujeme Przeksztaª my szereg do ast puj cej postaci: 2 (x 2+ x 2 ) Obliczmy kilka pocz tkowych sum cz stkowych: s x 5 x 3 s 2 s + x 7 x 5 x 5 x 3 + x 7 x 5 x 7 x 3 s 3 s 2 + x 9 x 7 x 7 x 3 + x 9 x 7 x 9 x 3 s 4 s 3 + x x 9 x 9 x 3 + x x 9 x x 3 s x 2(+)+ x 3 x 2+3 x 3 Zatem: lim s lim x 2+3 lim x 3 Dla x 0 jest: lim 0 2+3 lim 0 3 0 0 0 Dla x > 0 jest: lim x 2+3 lim x 3 lim x 2+3 x 3 Poiewa» przy uªamek 2+3 d»y do 0, wi c lim x 2+3, czyli lim s x 3 3 x Natomiast dla x < 0, tak jak to ju» powiedziao we wst pie szereg ie jest okre±loy 326 S + S + 2 u S 2 2+ 2 3 2 u + u 2 S 3 3+ 3 4 3 u + u 2 + u 3 S 4 4+ 4 5 4 u + u 2 + u 3 + u 4 4
S 5 5+ 5 6 5 u + u 2 + u 3 + u 4 + u 5 S + u + u 2 + u 3 + + u Na podstawie powy»szych sum cz stkowych mo»emy wyliczy pocz tkowe wyrazy szeregu: u 2 u 2 3 2 u 3 2 2 2 u 3 4 3 u u 2 4 3 2 + 2 6 u 4 5 4 u u 2 u 3 5 4 2 + 2 + 6 2 u 5 6 5 u u 2 u 3 u 4 6 5 2 + 2 + 6 + 2 20 Zauwa»my,»e: u 2 2 u 3 2 3 u 4 3 4 u 5 4 5 i ogólie: u ( ) Zatem szukay szereg ma posta : 2 2 ( ) a jego suma wyosi: S lim S lim + lim + lim + lim + 0 Opcjoalie obliczmy jeszcze sum szeregu a podstawie sumy jego wyrazów: S 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 2 (obie sumy awzajem si zosz ) 2 2 + 2 2 2 3 Czyli otrzymali±my te sam wyik co obliczaj c graic ci gu sum cz stkowych To potwierdza poprawo± aszych wylicze«+ 2 327 S +2 2 5
S +2 2 +2 2 2 u S 2 +22 2 2 +4 4 3 4 u + u 2 S 3 +23 2 3 +8 8 7 8 u + u 2 + u 3 S 4 +24 2 4 +6 6 5 6 u + u 2 + u 3 + u 4 S 5 +25 2 5 +32 32 3 32 u + u 2 + u 3 + u 4 + u 5 Na tej podstawie obliczmy kilka pocz tkowych wyrazów: u 2 u 2 3 4 u 3 4 2 4 u 3 7 8 u u 2 7 8 2 4 8 u 4 5 6 u u 2 u 3 5 6 2 4 8 6 u 5 3 32 u u 2 u 3 u 4 3 32 2 4 8 6 32 Widzimy wi c,»e: u 2 i szereg ma posta : 2 Jego suma wyosi: S lim S lim +2 2 lim ( 2 ) + lim 2 2 0 + Obliczmy jeszcze dla pewo±ci sum tego szeregu a podstawie zalezioej jego deicji: 2 ( ) 2 2 jest to szereg geometryczy, w którym a i q Zatem korzystaj c z wzoru a sum 2 2 szeregu geometryczego obliczamy: S a 2 q 2 2 2 Co potwierdza poprawo± aszych wylicze«328 S ( ) S ( ) u S 2 ( )2 2 2 u + u 2 6
S 3 ( )3 3 3 u + u 2 + u 3 S 4 ( )4 4 4 u + u 2 + u 3 + u 4 S 5 ( )5 5 5 u + u 2 + u 3 + u 4 + u 5 S 6 ( )6 6 6 u + u 2 + u 3 + u 4 + u 5 + u 6 Na tej podstawie wyliczmy kilka pocz tkowych wyrazów szeregu: u u 2 2 u 2 ( ) 2 + 3 2 u 3 3 u u 2 3 ( ) 3 2 3 + 3 2 5 6 u 4 4 u u 2 u 3 4 ( ) 3 2 ( 5 6 ) 4 + 3 2 + 5 6 7 2 u 5 5 u u 2 u 3 u 4 5 ( ) 3 2 ( 5 6 ) 7 2 5 + 3 2 + 5 6 7 2 9 20 u 6 u 6 u 2 u 3 u 4 u 5 ( ) 3 ( 5) 7 ( 9 ) + 3 + 5 7 + 9 6 2 6 2 20 6 2 6 2 20 30 Na tej podstawie mo»emy apisa wzór a wyraz ogóly szeregu: u ( ) 2 ( ) a wi c asz szereg wygl da ast puj co: + 2 ( ) 2 ( ) a jego suma wyosi: S lim S lim ( ) raz po lewej stroie 0 a raz po prawej 0, bo przy warto±ci ci gu S d» do 0 aprzemieie Obliczmy jeszcze dla pewo±ci sum zalezioego szeregu a podstawie jego deicji: S + 2 ( ) 2 ( ) Rozbijmy powy»sz sum a sum wyrazów parzystych i sum wyrazów ieparzystych: S + k ( )2k + k k + 2 k 4k (2k ) 2k k 4k+ + 2k (2k+) k 2k 2 k + 2 2 + 2 k2 + 2 + 0 2 k 2(2k) + (2k ) 2k k ( )2k+ 4k+2 + 2k (2k+) k 2k k(2k ) 2 k 2 k (2k ) k 2 2k k k (2k ) 2 k Przeksztaª my teraz wyra»eie w awiasie: k + k (2k ) k 2k+ 2 k 2(2k+) ((2k+) ) (2k+) 4k (2k ) 2k k k (2k ) k 2k+ 2 k 2k (2k ) 2k k(2k+) 2 k k (2k+) k (2k ) 2 k ( k (2k+) 2 k k (2k+) k ( 2k+ + k (2k )(2k+) k (2k+) + k (2k ) k k (2k+) ) () k (2k+) 2k ) k (2k )(2k+) k ( 2k++2k ) k (2k )(2k+) 7
k 4k 4 k (2k )(2k+) k (2k )(2k+) S k 3 3 S k2 S k + 3 5 3 + 5 2 5 S k3 S k2 + 5 7 2 5 + 35 3 7 S k4 S k3 + 7 9 3 7 + 63 4 9 S k k 2k + S k lim k k lim 2k + k Zatem mamy: k k 2k k + k lim k 2+ k 2+0 2 () - (4 2 k 4 2 0 (2k )(2k+) 2 2 2 Wi c tym sposobem rówie» suma wyiosªa 0, co potwierdza poprawo± aszych wylicze«329 2 Z postaci szeregu widzimy,»e jest to szereg o wyrazach ieujemych Poadto wida,»e graica wyrazu ogólego szeregu wyosi 0, wi c waruek koieczy zbie»o±ci szeregu jest speªioy Zabadajmy teraz jego zbie»o± > 2 2 2 Po prawej stroie ierówo±ci mamy szereg harmoiczy rz du, który jest rozbie»y Zatem a podstawie kryterium porówawczego i twierdzeia (32) baday szereg jest rozbie»y 330 Poiewa» lim u lim lim ie jest speªioy a zatem baday szereg jest rozbie»y, wi c waruek koieczy zbie»o±ci szeregu 33 log 3 8
Widzimy,»e jest to szereg o wyrazach ieujemych Zbadajmy jego zbie»o± : log 3 < 3 2 Poiewa» po prawej stroie mamy szereg harmoiczy rz du 2, który jest zbie»y, wi c a podstawie kryterium porówawczego baday szereg rówie» jest zbie»y 332 +2 2 3 Widzimy,»e jest to szereg o wyrazach ieujemych Poadto wida,»e wyraz ogóly szeregu jest zbie»y do 0, poiewa» w miaowiku mamy wielomia stopia wy»szego i» w licziku A zatem waruek koieczy zbie»o±ci szeregu jest speªioy We¹my pod uwag wyraz ogóly tego szeregu: u +2 2 3 + 2 2 2 +2 2 2 < 3 2 2 2 3 2 3 2 Po prawej stroie mamy szereg harmoiczy stopia 2, który jest zbie»y Zatem a podstawie kryterium porówawczego oraz twierdzeia 32 stwierdzamy,»e baday szereg jest zbie»y 9