Seria Zbieżność rozkładów We wszystkich poniższych zadaniach (E, ρ) jest przestrzenią metryczną Wykazać, że dla dowolnych x, x n, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x Sprawdzić, że n nk= δ k n λ, gdzie λ - miara Lebesgue a na (0, ) 3 Niech X n będą zmiennymi losowymi o wartościach w E, określonymi na tej samej przestrzeni probabilistycznej Wykazać, że jeżeli X n P X, to X n X 4 Podać przykład ciągu zmiennych losowych określonych na wspólnej przestrzeni probabilistycznej, które są zbieżne według rozkładu, ale nie są zbieżne według prawdopodobieństwa 5 Niech X n będą zmiennymi losowymi o wartościach w E, określonymi na tej samej przestrzeni probabilistycznej Wykazać, że jeśli X n c, to X n P c Czy musi zachodzić zbieżność pn? 6 Twierdzenie Scheffe go Niech µ będzie miarą σ-skończoną, f n, f funkcjami nieujemnymi i takimi, że miary ν n (A) = A f ndµ, ν(a) = A fdµ są miarami probabilistycznymi Niech pw f n f względem miary µ Udowodnić, że sup ν(a) ν n (A) f f n dµ 0 A Ω Wywnioskować stąd, że jeżeli f n f pw względem miary µ, to ν n ν 7 Podać przykład rozkładów ciągłych µ, µ n na R o gęstościach odp f n, f, takich że µ n µ, ale nie jest prawdą, że f n f pw względem miary Lebesgue a 8 Niech S E będzie zbiorem przeliczalnym, zaś µ, µ n miarami probabilistycznymi skupionymi na S a) Wykazać, że jeżeli µ n ({x}) µ({x}) dla każdego x S, to µ n µ b) Wykazać, że jeżeli każdy punkt zbioru S jest izolowany, to implikację z punktu a) można odwrócić oraz że bez tego założenia nie jest to prawdą c) Czy z istnienia granic lim n µ n ({x}) dla każdego x S wynika, że ciąg µ n zbiega słabo? 9 Udowodnić, że jeśli X n X oraz sup n E X n p < wówczas E X p <, ale niekoniecznie lim n E X n p = E X p Tak jest jeśli sup n E X n p+ɛ < 0 Udowodnić, że jeśli X n X, Y n Y oraz przy każdym n zmienne X n, Y n są niezależne i X jest niezależne od Y, to (X n, Y n ) (X, Y )
Seria Zbieżność rozkładów Mamy dany okrąg S = {z C : z = } Wybieramy liczbę α S, która nie spełnia równania α k = dla żadnego k Z\{0} Dla każdego n N, oraz I S, borelowskiego definiujemy µ n (I) := 0 k n : αk I n Pokaż, że µ n µ, gdzie µ jest unormowaną miarą Lebesgue a na S (jako rozmaitości) Udowodnić, że dla rzeczywistych zmiennych losowych X n, X zachodzi równoważnosć X n X wtedy i tylko wtedy gdy istnieją zmienne X n, X takie, że X n X n, X X oraz pn X X n 3 Wykazać, że jeżeli X n, Y n, Z n są określone na tej samej przestrzeni probabilistycznej oraz X n X, Y n a, Z n b, gdzie a, b R, to X n Y n + Z n ax + b 4 Wykazać, że jeżeli X n Y n X, Y n 0 oraz f jest funkcją różniczkowalną w zerze, to X n (f(y n ) f(0)) f (0)X 5 Znaleźć warunki konieczne i dostateczne na to, by poniższe rodziny miar były ciasne a) {U(a, b)} (a,b) I b) {Exp(λ)} λ I c) {N (a, σ )} (a,σ ) I 6 Wykazać, że ciąg N (a n, σ n) jest słabo zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy istnieją skończone granice a = lim n a n σ = lim n σ n i wówczas N (a n, σ n) N (a, σ ) 7 Niech X n będzie pierwszą współrzędną wektora losowego o rozkładzie jednostajnym na sferze (odp kuli) w R n o środku 0 i promieniu n Zbadać słabą zbieżność ciągu X n 8 Niech X i będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na (0, ) zbadać słabą zbiezność ciągu n min(x,, X n ) 9 Wykazać, że jeżeli ciąg dystrybuant jest zbieżny punktowo do dystrybuanty ciągłej, to zbieżność jest jednostajna 0 Pokazać, że d(µ, ν) = inf{ɛ : F µ (t) < F ν (t + ɛ) + ɛ, F ν (t) < F µ (t + ɛ) + ɛ, t R} definiuje odległość w rozkładach na R, która zadaje słabą zbieżność Niech (E, ρ) będzie przestrzenią polską Wykazać, że { d BL (µ, ν) = sup fdµ E E definiuje odległość, która zadaje słabą zbieżność } fdν : f : E [, ], f jest -Lipschitzowska Załóżmy, że X jest ograniczoną zmienną losową, zaś X n ciągiem zmiennych losowych takim, że dla każdego k N EX k n EX Wykazać, że wówczas X n X
Seria 3 Funkcje charakterystyczne Obliczyć funkcje charakterystyczne podstawowych rozkładów a) dyskretnych, b) ciągłych Pokazać, że kombinacje wypukłe funkcji charakterystycznych są funkcjami charakterystycznymi 3 Udowodnić, że jeśli funkcja charakterystyczna zmiennej losowej ma drugą pochodną w zerze, to EX < 4 Wiadomo, że φ jest funkcją charakterystyczną pewnej zmiennej losowej X Czy funkcjami charakterystycznymi są : φ, Reφ, φ, φ? 5 Niech ε, ε, będą niezależnymi zmiennymi Rademachera Przy pomocy funkcji charakterystycznych sprawdzić, że zmienna losowa i i ε i ma rozkład jednostajny na przedziale [, ] 6 Sprawdzić, że splot rozkładów normalnych jest normalny 7 Niech X będzie zmienną losową taką, że P (X Z) = Wykazać, że dla każdego n Z, P (X = n) = π e itn φ X (t)dt π 0 8 Zmienne losowe X, Y, U, V są niezależne o rozkładzie N (0, ) Obliczyć funkcję charakterystyczną zmiennej a) XY, b) X, c) X/Y, d) (X Y ) e) XY + UV 9 Twierdzenie Riemanna-Lebesgue a Udowodnić, że jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie ciągłym, to φ X (t) 0, gdy t 0 Czy funkcja +e x jest funkcją charakterystyczną pewnego rozkładu? Udowodnić, że φ(t) = e t α nie jest funkcją charakterystyczną dla α > Wykazać, że dla 0 < α φ(t) = e t α jest funkcją charakterystyczną pewnego rozkładu
Seria 4 Funkcje charakterystyczne, rozkłady gaussowskie, CLT Dane są niezależne zmienne losowe X, X,, o wspólnym rozkładzie z wartością oczekiwaną równą 0 i dodatnią wariancją Wyznaczyć w zależności od a, α R ( ) lim P X + + X n n > a Zmienne losowe X, X, są niezależne, mają ten sam rozkład, EX = 0, Var(X) = Zbadać zbieżność względem rozkładu ciągów n α U n = n(x + + X n ) X + + X n, V n = X + + X n X + + Xn 3 Powiemy, że układ trójkątny (X n,k ) spełnia warunek Lyapunowa, lim k n n k= E X n,k EX n,k +δ = 0 Wykazać, że warunek Lyapunowa implikuje warunek Lindeberga 4 Rzucono 000 razy kostką Oszacować prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek będzie zawarta między 340 a 3590 5 Niech X, X, będą niezależnymi zmiennymi losowymi, takimi, że Wykazać, że P(X n = ±) = ( n ), P(X n = ±n) = n X + + X n n N (0, ), ale Var(X n ) 6 Niech X będzie całkowalną z kwadratem zmienną losową, taką, że X Y +Z, gdzie Y, Z - niezależne kopie X Wykazać, że X ma rozkład N (0, σ ) 7 Zmienne losowe X, X, są niezależne oraz P(X k = k) = P(X k = k) = / Niech s n = n k= Var(X k ) Zbadać słabą zbieżność ciągu X + + X n s n 8 Zmienne losowe X,, X, są niezależne i mają rozkłady U( a k, a k ) Zbadać zbieżność ciągu X + + X n s n jeśli (a) ciąg (a k ) jest ograniczony i s n (b) k a k < 9 Zmienna losowa X λ ma rozkład Poissona z parametrem λ Zbadać słabą zbieżność (X λ λ)/ λ przy λ
0 Niech X, X, będą zmiennymi iid o średniej zero i wariancji σ, zaś f funkcją różniczkowalną w 0 Wykazać, że n(f(y n ) f(0)) zbiega słabo do rozkładu N (0, σ f (0) ), gdzie Y n = X + + X n n ( ) Niech X N (0, ) Wykazać, że dla dowolnej funkcji gładkiej o zwartym nośniku f : R R, zachodzi Varf(X) E f (X)
Seria 5 Warunkowa wartość oczekiwana Rzucamy dwa razy kostką Niech X, Y oznacza liczbę oczek wyrzuconą odp w pierwszym i drugim rzucie Obliczyć a) E(X X + Y ), b) E(X XY = 3), E(X XY = 8), E(X XY = 36) Wektor losowy (X, Y ) ma rozkład jednostajny na kole o środku (0, 0) i promieniu Obliczyć E(X Y = y), E(X + Y + Y X = x), 3 Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na [0, ] Niech U = min(x, Y ), V = max(x, Y ) Wyznaczyć rozkłady warunkowe U względem V i V względem U 4 Niech X k oznacza liczbę sukcesów w pierwszych k próbach nieskończonego schematu Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu równym p Wyznaczyć E(X k X l ) dla k, l 5 Znaleźć rozkład warunkowy X po warunkiem X + Y = t, gdzie X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie a) N (0, σ ), b) Exp(λ), c) P oiss(λ) 6 Niech (X, Y ) będzie wektorem losowym o gęstości g(x, y) = 8xy {x,y 0,x +y }(x, y) Znaleźć E(X Y = y) 7 Niech (X, Y ) będzie wektorem gaussowskim o macierzy kowariancji Q Załóżmy, że det Q 0 Wyznaczyć E(Y X) 8 X, Y są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie N (0, ) Znaleźć E(X + Y X + Y ) 9 Udowodnić, że całkowalna zmienna losowa X ma rozkład symetryczny wtedy i tylko wtedy, gdy E(X X ) = 0 0 Losujemy liczbę Λ z przedziału (0, ), a następnie liczbę X z rozkładu Exp(Λ) Wyznaczyć gęstość zmiennych (Λ, X) oraz X Niech G F będą σ-ciałami, zaś X zmienną losową, taką że E[E(X F)] = E[E(X G)] Wykazać, że E(X F) = E(X G) Zmienne X, Y sa całkowalne z kwadratem, zaś G jest σ-ciałem Wykazać, że E[XE(Y G)] = E[Y E(X G)]
Seria 6 Filtracje, momenty stopu, martyngały Niech τ, τ będą momentami stopu Udowodnić, że momentami stopu są także τ τ oraz τ τ Czy są momentami stopu τ +, τ? Niech (F t ) t N będzie filtracją, zaś (X t ) t N ciągiem zmiennych losowych, adaptowalnym do tej filtracji Niech τ oznacza moment pierwszej wizyty ciągu X t w zbiorze borelowskim B Wykazać, że τ jest momentem zatrzymania 3 Niech X, X, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o średniej 0 Zdefiniujmy S n = X + + X n oraz Z n = S n VarS n Wykazać, że (Z n, σ(x,, X n )) jest martyngałem 4 Niech X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie średniej 0 i skończonej wariancji, F n = σ(x,, X n ) Zdefiniujmy Udowodnić, że (Z n, F n ) jest martyngałem n Z 0 = 0, Z n = X k X k k= 5 Niech ξ i (i =,, ) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Pr(ξ i = ) = p, Pr(ξ i = ) = q = p Niech F n = σ(ξ,, ξ n ) oraz Z n = Wykazać, że ciąg (Z n, F n ) jest martyngałem ( ) ξ ++ξ q n p 6 Niech X n będzie ciągiem zmiennych losowych, adaptowanych do filtracji F n Załóżmy, że X 0 = 0 Wykazać, że (X n, F n ) jest martyngałem, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ograniczonego momentu stopu τ, EX τ = 0 7 Rozważmy martyngał X n, całkowalny z kwadratem, tzn EX n < dla każdego n Zdefiniujmy przyrosty martyngałowe wzorem D n = X n X n Wykazać, że zmienne D n są parami nieskorelowane 8 Studenta X czeka egzamin Zna odpowiedź na 0 z 30 pytań, losowanych przez kolejno zdających studentów Studenci, wychodząc z egzaminu, informują czekających, jakie pytania otrzymali Jaką strategię powinien przyjąć X, żeby mieć jak największą szansę na zdanie egzaminu? 9 Niech S n = n i= ε i, gdzie ε, ε - niezależne zmienne Rademachera Niech τ = inf{n: S n = } Wykazać, że Eτ =
Seria 7 Martyngały (cd), łańcuchy Markowa Rzucamy kostką tak długo, aż otrzymamy wszystkie oczka Znaleźć wartość średnią sumy wyrzuconych oczek Gracze A i B, startując z kapitałów odp a, b złotych, grają w następującą grę Rzucają (niekoniecznie symetryczną) monetą Jeśli wypadnie orzeł, gracz A otrzymuje złotówkę od gracza B, jeśli reszka odwrotnie Grają tak długo, aż jeden z nich zbankrutuje Obliczyć prawdopodobieństwo wygranej gracza A, korzystając z teorii martyngałów 3 W urnie znajduje się b kul białych i c czarnych W kolejnych krokach losujemy ze zwracaniem urnę z kuli i dokładamy do urny jeszcze a kul tego samego koloru, co wylosowana X Niech X n oznacza liczbę białych kul w urnie po n-tym losowaniu Wykazać, że n jest b+c+na martyngałem względem naturalnej filtracji 4 Niech ε, ε, będą niezależnymi zmiennymi Rademachera Niech ponadto F n = σ(ε,, ε n ) oraz Z n = e a(ε ++ε n) na / Wykazać, że Z n jest nadmartyngałem Zbadać jego zbieżność prawie na pewno i w L 5 Niech X, X, będą nieujemnymi zmiennymi iid o średniej Zbadać zbieżność ciągu Y n = X X X n pn i w L 6 Niech X, X, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o średniej zero Zdefiniujmy Y n = n (X + + X n ) Wykazać, że rodzina (Y n ) n 0 jest jednostajnie całkowalna 7 W pojemniku znajduje się m cząstek W każdej sekundzie każda z cząstek, niezależnie od pozostałych może albo zniknąć (z prawdopodobieństwem /3), albo podzielić się na trzy cząstki Wykazać, że z prawdopodobieństwem po pewnym czasie w pojemniku nie będzie żadnej cząstki 8 Niech (ε n ) będzie ciągiem niezależnych zmiennych Rademachera Czy a) X n = U n U n+, b) Y n = (U n + U n+ )/ są łańcuchami Markowa? 9 Podać przykład łańcucha Markowa (X n ) n 0 i funkcji f, takich że (f(x n )) n 0 nie jest łańcuchem Markowa 0 Niech (X n ) będzie łańcuchem Markowa na przestrzeni stanów S i o macierzy przejścia P Funkcję f : S R nazwiemy harmoniczną, jeśli f(i) = j S p ij f(j) dla każdego i S Wykazać, że jeśli S jest skończona, zaś f jest harmoniczna, to (f(x n ), σ(x 0,, X n )) jest martyngałem Udowodnić, że łańcuch Markowa o skończonej liczbie stanów nie może składać się tylko ze stanów chwilowych Czy jest to prawda dla łańcuchów o nieskończonej liczbie stanów?
Seria 8 Łańcuchy Markowa Niech X n będzie błądzeniem przypadkowym na prostej, tzn P(X n+ = x + X n = x) = p, P(X n+ = x X n = x) = q = p Wykazać, że 0 jest stanem powracalnym, wtedy i tylko wtedy, gdy p = / Niech Y n = (Xn, Xn,, Xn) d będzie symetrycznym błądzeniem przypadkowym w Z d (czyli X n (i) to niezależne błądzenia na prostej z p = /) Dla jakich wartości d,y n jest powracalnym łańcuchem Markowa? 3 Zmodyfikujmy błądzenie z poprzedniego zadania Niech X n+ = X n + J n+, gdzie J n niezależne zmienne losowe o rozkładzie P(J n = ±e k ) =, gdzie e d,, e d wersory w R d Dla jakich d błądzenie to jest powracalne? 4 Zmienne Y 0, Y, Y, są niezależne i mają ten sam rozkład geometryczny z parametrem Ciąg zmiennych X, X, jest określony następująco: X 0 pn, a dla n 0, jeśli Y n =, X n+ = X n Y n jeśli Y n a) Wykazać, że (X n ) n jest nieprzywiedlnym łańcuchem Markowa b) Czy łańcuch ten jest okresowy? c) Udowodnić, że wszystkie stany są powracające d) Niech N będzie dużą liczbą naturalną Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że X N nie przekracza 3 5 Rzucamy kostką tak długo, aż pojawi się ciąg 5 lub 55 Jakie jest prawdopodobieństwo, że ciąg 6 pojawi się wcześniej? 6 Rzucamy symetryczną monetą, aż do momentu, gdy wyrzucimy pod rząd cztery orły Obliczyć wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów 7 Macierz przejścia łańcuch Markowa (X n ) n 0 na przestrzeni E = {,, 3, 4} zadana jest następująco: 0 4 0 0 P = 4 0 0 3 3 0 3 0 3 (a) Zakładając, że X 0 = pn, obliczyć prawdopodobieństwo, że X n będzie w stanie przed stanem 4 (b) Zakładając, że X 0 = 3 pn, obliczyć wartość oczekiwaną czasu dojścia do stanu (c) Wyznaczyć rozkład stacjonarny (d) Czy łańcuch jest okresowy? Czy jest nieprzywiedlny? 8 W pudełku A jest 6 kul ponumerowanych od do 6, w pudełku B ani jednej Wykonano 0000000 rzutów kostką i po każdym rzucie przekładano kulę z wylosowanym numerem do drugiego pudełka Jaka jest w przybliżeniu szansa, że pudełko B jest puste?