Matematka II: Zadania przed 3. terminem S tu niektóre zadania z egzaminu z rozwi zaniami i troch dodatkowch. Znale¹ ekstrema lokalne funkcji f(, ) = ( 2 + 2 2 )e (2 + 2 ) Odp. Jedno minimum (w p. (, )), dwa maksima w punktach (, ±), i jeszcze dwa punkt siodªowe (to oczwi±cie nie ekstrema) w punktach (±, ). Rozw. Punkt stacjonarne (lub: krtczne, lub: podejrzane o ekstremum) liczm z warunkow zerowania si pochodnch cz stkowch f. Mam: f = (2 2 3 4 2 )e (2 + 2) = = ( 2 2 2 ) = = = lub 2 +2 2 = ; f = (4 2 2 4 3 )e (2 + 2) = = (2 2 2 2 ) = = = lub 2 +2 2 = 2. sk d otrzmujem czter mo»liwe uk d równa«: I : =, = ; II : =, 2 + 2 2 = 2; III : 2 + 2 2 =, = ; które maj rozwi zania: IV : 2 + 2 2 =, 2 + 2 2 = 2 (IV daje ukªad sprzeczn dlaczego?). I : (, ); II : (±, ); III : (, ±); Ab znale¹ ekstrema, nale» oblicz macierz drugich pochodnch D 2 f w tch punktach i zbada, cz jest dodatnio lub ujemnie okre±lona. Mam: f = (2 2 4 2 + 4 4 + 8 2 2 )e (2 + 2) ; f = f = ( 2 + 4 3 + 8 3 )e (2 + 2) ; f = (4 2 2 6 2 + 4 2 2 + 8 4 )e (2 + 2). W punktach krtcznch mam: 2 (a) I: D 2 f I = - jest dodatnio okre±lona (dlaczego?) MINIMUM. 4 2 (b) II: D 2 f I = - jest ujemnie okre±lona (dlaczego?) MAKSIMUM. e 2 4 (c) II: D 2 f I = nie jest okre±lona ani dodatnio ani ujemnie SIOe 2 DŠO. 2. Znale¹ najmniejsz i najwi ksz warto± funkcji: f(, ) = + 2 w kole K: K = {(, ) R 2 : 2 + 2.
Rozw. Szukam najsampierw wewn trz koªa punktów stacjonarnch (zwanch te» krtcznmi, b d¹ podejrzanmi o ekstrema). W tm celu liczm pochodne cz stkowe funkcji f: f =, f = 2 i przrównujem do zera. Wida,»e zawsze pochodne cz stkowe s ró»ne (tu: wi ksze) od zera, tak wi c wewn trz koªa nie ma ekstremów. Wobec tego, szukam warto±ci najwi kszch na brzegu, tzn. na okr gu 2 + 2 =. A to jest problem podpadaj c pod metod mno»ników Lagrange'a, bo szukam ekstremów funkcji f prz warunku g(, ) = 2 + 2 =. Tworzm wi c funkcj F (, ) = f(, ) + λg(, ) (gdzie λ mno»nik Lagrange'a), liczm jej pochodne i przrównujem do zera. W ten sposób dostajem równania: F = + 2λ =, F = 2 + 2λ =. () Mno» c pierwsze równanie przez 2 i dodaj c do drugiego, dostaniem 2λ( 2 + ) =, sk d λ = lub = 2. Pierwsza mo»liwo± nie mo»e zachodzi, gd» po wstawieniu λ = do równa«() dostalib±m =, 2 =, czli sprzeczno±. Pozostaje wi c mo»liwo± = 2. Pami tajm,»e mam jeszcze równanie wi zu 2 + 2 = ; po wstawieniu tam otrzmanej równo±ci = 2 dostajem: 5 2 = = = ± 5 i, poniewa» = 2, otrzmujem dwa punkt p, p 2 podejrzane o ekstrema: p = ( ) ( 2 5, ; p 2 =, 2 ). 5 5 5 Mo»na teraz zbada, cz p, p 2 s ekstremami przez: ) wliczenie drugiej pochodnej, albo 2) skorzstanie z twierdzenia,»e funkcja ci gªa na zbiorze zwartm osi ga swoje kres, wobec czego, je±li ma punkt krtczne, to w nich przjmuje warto±ci najwi ksze i najmniejsze. Tu zbiorem jest okr g, wi c zbiór zwart (domkni t i ograniczon). Warto±ci funkcji w punktach p, p 2 s : f p = 5, f p2 = 5, wobec czego, w p funkcja osi ga maksimum na okr gu (a wi c jest to te» warto± najwi ksza na caªm kole K), a w p 2 funkcja osi ga minimum na okr gu (a wi c jest to te» warto± najmniejsza na caªm kole K). 3. Znale¹ ogólne rozwi zania (t) równa«ró»niczkowch: (a) + 6 =, (b) + 6 = 2te t. Rozw. 2
(a) RORJ: Równanie charakterstczne: λ 2 + λ 6 = ma pierwiastki: λ = 2, λ 2 = 3. St d Rozwi zanie Ogólne Równania Jednorodnego OJ = C e 2t + C 2 e 3t. (b) RSRN: Niejednorodno± jest 'zgadwalna', jako»e jest postaci wielomian (tu: pierwszego stopnia) raz eksponens. Wkªadnik w eksponensie wrazu niejednorodnego nie pokrwa si z»adn z warto±ci wªasnch równania charakterstcznego. Przewidujem wi c rozwi zanie w postaci: (wielomian. stopnia) e t, czli Rozwi zanie Szczególne Równania Niejednorodnego SN = (A + Bt)e t. Wstawiaj c t posta do równania niejednorodnego, dostajem: ( 2B +A)e t +Ate t = 2te t. Równanie to musi b speªnione to»samo±ciowo dla ka»dego t, sk d mam: 2B + A = (wspóªcznnik prz e t ), B = 2 (wspóªcznnik prz te t ). Znajdujem st d wspóªcznniki: A = 4, B = 2, czli SN = (4 + 2t)e t Rozwi zanie Ogólne Równania Niejednorodnego ON wra»e«: ON = SN + OJ. jest sum pow»szch 4. Znale¹ warto±ci wªasne i wektor wªasne operatora danego macierz A: Rozw. A = 5 5 5 (a) warto±ci wªasne: Liczm wielomian charakterstczn macierz: w A (λ) = det (5 λ) (5 λ) (5 λ) = (5 λ) 3 3(5 λ) 2 Wida,»e warto podstawi t = 5 λ, co daje w A (t) = t 3 3t 2. Warto±ci wªasne A s pierwiastkami równania charakterstcznego. Zauwa»am,»e jednm z pierwiastków równania charakterstcznego jest t = (Je±li w zadaniu kolokwialnm pojawi si równanie trzeciego stopnia, to z bardzo wsokim prawdopodobie«stwem jednm z pierwiastków jest niewielka liczba caªkowita. Chba»e ukªadaj c zadanie jest zªo±liw albo si pomli.). St d mam: w A (t) = (t + ) 2 (t 2), którego pierwiastki s : t = (podwójn), t 2 = 2. W przeliczeniu na lambd: λ = 5 t = 6, λ 2 = 5 t 2 = 3. (b) Wektor wªasne: i. v jest wektorem speªniaj cm równanie: Av = λ v. Niech v = Wstawiaj c t posta do równania Av = λ v, gdzie λ = 6, dostajem ukªad równa«na skªadowe wektora v : α + + = (trz raz to samo, wi c nie przepisujem dwu pozostaªch równa«, bo s identczne). Jedn α. 3
ze skªadowch (np. α) mo»em wi c wrazi jako funkcje pozostaªch: α =, co daje posta wektora wªasnego: v = = + gdzie, s dowolnmi liczbami. Innmi sªow, zbiór wektorów wªasnch tworz tu dwuwmiarow przestrze«wektorow, rozpinan przez wektor oraz. ii. v 2 jest wektorem speªniaj cm równanie: Av 2 = λ 2 v 2. Niech v 2 = Wstawiaj c t posta do równania Av 2 = λ 2 v 2, gdzie λ 2 = 3, dostajem ukªad równa«na skªadowe wektora v 2 : 2α = α +2 = α +2 = Rozwi zujem ukªad, dostaj c na wspóªcznniki: =, α =, czli v 2 jest v 2 = = gdzie jest dowoln liczb. Innmi sªow, zbiór wektorów wªasnch tworz tu jednowmiarow przestrze«wektorow, rozpinan przez wektor. 5. W zale»no±ci od parametru p znale¹ rozwi zanie(-a) ukªadu równa«: p p p z = Rozw. Korzstam z wzorów Cramera. Liczm wznaczniki: W = p p p W = = (p ) 2 (p + 2); W = p p Mam trz mo»liwe stuacje: = (p ) 2 ; W z = p p p p = (p ) 2 ; = (p ) 2. α. 4
(a) Gd W, tzn. p i p 2, to ukªad ma jednoznaczne rozwi zanie dane przez wzor Cramera: = W W = p + 2 ; = W W = p + 2 ; z = W z W = p + 2. (b) Gd p = 2, to W =, za± pozostaªe wznaczniki s ró»ne od zera ukªad jest sprzeczn. (c) Gd p =, to wszstkie wznaczniki s równe zeru. Ukªad przjmuje wted posta : = z Wszstkie równania s takie same, wstarcz wi c napisa : + + z = i mo»na wrazi jedn ze zmiennch (np. z) jako funkcj i : z =, gdzie, s dowolne. Jest tu wi c niesko«czenie wiele rozwi za«tworz one dwuparametrow rodzin. Cz sto wgodne jest równowa»ne zapisanie rozwi zania w postaci wektorowej. Uzupeªniaj c pow»sze wra»enie na z dwoma tautologicznmi równaniami: =, =, mo»em zapisa z = = + + 5