62 Baza i wymiar V nazywamy baz- Definicja 66 Niech V bdzie przestrzeni, liniow, nad cia/em F Podzbiór B przestrzeni V, je2eli: () B jest liniowo niezale2ny, (2) B jest generuj,cy, tzn lin(b) =V Przyk/ady: () Rozwa=my przestrze; Q n, lub R n, lub C n, lub Z n p, lub GF (p m ) n, lub, najogólniej, F n, gdzie F jest dowolnym cia:em Niech =, 2 =,, n = Wówczas (, 2,, n) jest baz7 Nazywamy j7 cz9sto baz- kanoniczn-
(2) Rozwa=my przestrze; Mn m (F ) i niech ij = j Wówczas (,, n, 2,, 2n,, m,, mn) jest baz7 (3) Rozwa=my przestrze; F [x] Wówczas (, x, x 2,x 3,) jest baz7 (4) Rozwa=my przestrze; C nad cia:em R Wówczas (,i) jest baz7 Twierdzenie 67 Niech V bdzie przestrzeni, liniow, nad cia/em F, niech B s, równowa2ne: () B jest baz,, (2) B jest maksymalnym liniowo niezale2nym podzbiorem V i 55 V Nastpuj,ce warunki Dowód () (2) : Za:ó=my, =e B jest baz7 Przypu<8my, =e istnieje liniowo niezale=ny podzbiór B B V Niech v B \ B Poniewa= V = lin(b), wi9c v = a v + a 2 v 2 + + a m v m, dla pewnych v,,v m B oraz a,,a m F Wówczas v a v a m v m = i =, a wi9c B nie jest liniowo niezale=ny (2) () : Za:ó=my, =e B jest maksymalnym liniowo niezale=nym podzbiorem V Wystarczy pokaza8, =e B jest generuj7cy Ustalmy v V Je<li v B, to v lin(b) Je<li v / B, to B apple {v} jest liniowo zale=ny, a wi9c av + a v + + a m v m = dla pewnych a, a,,a m F oraz v,,v m B Poniewa= v,,v m s7 liniowo niezale=ne, wi9c a = Zatem v = a a v a ma v m lin(b) Wniosek 68 Ka2da przestrze liniowa ma baz Dowód Je=eli V = { }, to zbiór pusty jest baz7 Je=eli V = { }, to istnieje = v V i A = {v} jest zbiorem liniowo niezale=nym W niepustej rodzinie X = {B V : A B i B jest liniowo niezale=ny} uporz7dkowanej przez inkluzj9 ka=dy :a;cuch ma ograniczenie górne, a wi9c wobec lematu Kuratowskiego- Zorna istnieje element maksymalny, który wobec Twierdzenia 67 jest baz7 Przyk/ad: (5) Rozwa=my przestrze; R nad cia:em Q Z poprzedniego twierdzenia wynika istnieje bazy tej przestrzeni, jakkolwiek wskazanie jej elementów nie jest mo=liwe Baz9 t9 nazywamy baz- Hamela Twierdzenie 69 Niech V bdzie przestrzeni, liniow, nad cia/em F, niech B V Nastpuj,ce warunki s, równowa2ne: () B jest baz,, (2) B jest generuj,cy i dla ka2dego v V istnieje dok/adnie jedna kombinacja liniowa taka, 2e dla a,,a m F i v,,v m B v = a v + + a m v m,
56 Dowód () (2) : Ustalmy v = i przypu<8my, =e v = a v + + a m v m = a v + + a nv n dla v,,v m,v,,v n B oraz a,,a m,a,,a n F Wówczas = a v + + a m v m a v a nv n i poniewa= v =, nie wszystkie a i,a j s7 równe, sk7d v,,v m,v,,v n s7 liniowo zale=ne Jest to mo=liwe, je<li n = m oraz v i = v i (2) () : Przypu<8my, =e B jest liniowo zale=ny Wówczas v = a v + + a m v m dla pewnych v, v,,v m B oraz a,,a m F Zatem v = v oraz v = a v ++a m v m s7 dwiema kombinacjami liniowymi wektorów z B daj7cymi v Definicja 6 Niech V bdzie przestrzeni, liniow, nad cia/em F, niech B V Dla v V jednoznacznie wyznaczone skalary a,,a m F takie, 2e dla pewnych v,,v m B: nazywamy wspó/rzdnymi wektora v w bazie B Przyk/ady: (6) Rozwa=my przestrze; R 3 Poniewa= 2 3 = v = a v + + a m v m +2 +3 wi9c wektor 2 ma w bazie (, 2, 3) wspó:rz9dne (, 2, 3) 3 (7) Rozwa=my przestrze; R 3 Poniewa= wi9c wektor 2 3 2 3 ma w bazie =2 + +,, wspó:rz9dne (2,, ) Lemat 6 Niech V bdzie przestrzeni, liniow, nad cia/em F, niech v, v,,v m,w,,w n V Je2eli v lin(v,,v m,w,,w n ) oraz v/ lin(w,,w n ), to dla pewnego i {,,m}: v i lin(v,,v i,v,v i+,,v m,w,,w n ) Dowód Za:ó=my, =e v = a v + + a m v m + b w + + b n w n, dla pewnych a,,a m,b,,b n F Zauwa=my, =e istnieje a i =dla pewnego i {,,m}: gdyby a = = a m =, to wówczas v = b w + + b n w n lin(w,,w n ) Wobec tego: v i = a a i v a i a i v i + a i v a i+ a i v i+ a m a i v m b a i w b n a i w n
Twierdzenie 62 (Lemat Steinitza 2 o wymianie) Niech V bdzie przestrzeni, liniow, nad cia/em F, niech v, v,,v m,w,,w n V Za/ó2my, 2e V = lin(v,,v m ) oraz 2e w,,w n s, liniowo niezale2ne Wówczas: () n m, (2) istniej, i,i 2,,i m n takie, 2e V = lin(w,,w n,v i,,v im n ) Dowód Dowód prowadzimy indukcyjnie wzgl9dem n Dla n =nie ma czego dowodzi8 Za:ó=my, =e je<li w,,w n s7 liniowo niezale=ne, to n m oraz istniej7 i,,i m n takie, =e V = lin(w,,w n,v i,,v im n ) Niech w,,w n+ b9d7 liniowo niezale=ne Je<li n<m, to n + m Je<li n = m, to wobec za:o=enia indukcyjnego V = lin(w,,w n ) i st7d w n+ lin(w,,w n ), a wi9c w,,w n,w n+ nie mog7 by8 liniowo niezale=ne Pozostaje wykaza8 cz9<8 (2) twierdzenia Wobec za:o=enia indukcyjnego: w n+ V = lin(w,,w n,v i,,v im n ) Ponadto w n+ / lin(w,,w n ) Wobec Lematu 6, po ewentualnej zmianie notacji v im n lin(w,,w n,w n+,v i,,v im n ) Zauwa=my, =e poniewa= ka=dy z wektorów w,,w n,v i,,v im n jest kombinacj7 liniow7 wektorów w,,w n,w n+,v i,,v im n oraz poniewa= V = lin(w,,w n,v i,,v im n ), wi9c w konsekwencji V = lin(w,,w n,w n+,v i,,v im n ) 57 Wniosek 63 Niech V bdzie przestrzeni, liniow, nad cia/em F Je2eli n-elementowy uk/ad jest baz, przestrzeni V, to ka2da baza tej przestrzeni sk/ada si z dok/adnie n wektorów Dowód Niech (w,,w n ) i (v,,v m ) b9d7 bazami Wówczas uk:ad (v,,v m ) jest liniowo niezale=ny, a (w,,w n ) generuj7cy, wi9c z lematu Steinitza m n Przez symetri9 n m Definicja 64 Niech V bdzie przestrzeni, liniow, nad cia/em F Liczb elementów dowolnej sko- czonej bazy przestrzeni V nazywamy wymiarem i oznaczamy dim V Je2eli nie istnieje skoczona baza danej przestrzeni, przyjmujemy dim V = Twierdzenie 65 Niech V bdzie przestrzeni, liniow, nad cia/em F, niech dim V = n Wówczas je2eli U<V, to dim U n Dowód Wobec lematu Steinitza ka=dy liniowo niezale=ny podzbiór V ma co najwy=ej n elementów Ponadto ka=dy liniowo niezale=ny podzbiór U jest liniowo niezale=nym podzbiorem V, a wi9c ma co najwy=ej n elementów W szczególno<ci baza U ma co najwy=ej n elementów, a wi9c dim U n Wniosek 66 Niech V bdzie przestrzeni, liniow, nad cia/em F, niech dim V = n Niech U < V Nastpuj,ce warunki s, równowa2ne: () U = V, (2) dim U = n 2 Ernst Steinitz (87-928) urodzony w Laurahütte, dzi% cz$%# Siemianowic!l"skich
58 Dowód () (2) : Je=eli U = V, to oczywi<cie dim U = n (2) () : Za:ó=my, =e (v,,v n ) jest baz7 U Baz9 t9 mo=na uzupe:ni8 do bazy V Ale baza V b9dzie mia:a n elementów, a zatem (v,,v n ) jest baz7 V Definicja 67 Niech V bdzie przestrzeni, liniow, nad cia/em F, niech v,,v n V, niech a,,a n F Równo- postaci a v + + a n v n = nazywamy zalenoci- midzy v,,v n Ci,gi wspó/czynników (a,,a n ) odpowiadaj,cych wszystkim zale2nociom midzy v,,v n tworz, podzbiór przestrzeni F n oznaczany przez Z(v,,v n ) i nazywany zbiorem zalenoci midzy v,,v n Twierdzenie 68 Niech V bdzie przestrzeni, liniow, nad cia/em F, niech v,,v n V Wówczas zbiór zale2noci Z(v,,v n ) jest podprzestrzeni, przestrzeni F n oraz dim Z(v,,v n )=n dim lin(v,,v n ) Dowód Sprawdzenie, =e Z(v,,v n ) jest podprzestrzeni7 pozostawiamy Czytelnikowi jako nietrudne 8wiczenie Niech r = dim lin(v,,v n ) Wówczas ka=dy maksymalny liniowo niezale=ny podzbiór zbioru {v,,v n } sk:ada si9 z r elementów Mo=emy za:o=y8, =e v,,v r s7 liniowo niezale=ne Wówczas v r+i = a i v + + a ir v r dla pewnych a i,,a ir F, i {,,n r} Poka=emy, =e (a,,a r,,,,), (a 2,,a 2r,,,,), (a n r,,,a n r,r,,,, ) tworz7 baz9 przestrzeni Z(v,,v n ) Poniewa= a i v + + a ir v r v r+i = wi9c (a i,,a ir,,,,,,,) Z(v,,v n ) Za:ó=my, =e (,,) = x (a,,a r,,,,) + x 2 (a 2,,a 2r,,,,) + x n r (a n r,,,a n r,r,,,, ) W szczególno<ci dla wspó:rz9dnej n r + i: x i =,
a wi9c x = = x n r =iwektory s7 liniowo niezale=ne Ustalmy (a,,a n ) Z(v,,v n ) Wówczas (a,,a n )+a (a,,a r,,,,) + a 2 (a 2,,a 2r,,,,) + a n (a n r,,,a n r,r,,,, ) = (a + a a + + a n a n r,,,(a r + a a r + + a n a n r,r,,,) Z(v,,v n ), a zatem (a + a a + + a n a n r, )v + +(a r + a a r + + a n a n r,r )v r = Poniewa= v,,v r s7 liniowo niezale=ne, wi9c i tym samym a + a a + + a n a n r, = = a r + a a r + + a n a n r,r = (a,,a n )= a (a,,a r,,,,) a 2 (a 2,,a 2r,,,,) a n (a n r,,,a n r,r,,,, ) 59 Twierdzenie 69 Niech V bdzie przestrzeni, liniow, nad cia/em F, niech U,U 2 <V, dim U <, dim U 2 < Wówczas dim(u U 2 ) <, dim(u + U 2 ) < oraz dim(u U 2 ) + dim(u + U 2 ) = dim U + dim U 2 Dowód Poniewa= U U 2 U oraz dim U <, wi9c dim(u U 2 ) < Niech (v,,v k ) b9- dzie baz7 U U 2 Mo=emy uzupe:ni8 j7 do bazy (v,,v k,,v n ) podprzestrzeni U i do bazy (v,,v k,,w m ) podprzestrzeni U 2 Oczywi<cie lin(v,,v k,,v n,,w m )=U + U 2 Poka=emy, =e wektory (v,,v k,v k+,,v n,w k+,,w m ) s7 liniowo niezale=ne Za:ó=my, =e a v + + a n v n + b k+ w k+ + + b m w m = dla pewnych a,,a n,b k+,,b m F Wówczas a v + + a n v n = b k+ w k+ b m w m U 2, a wi9c a v ++a n v n U U 2 Tym samym a k+ = = a n =, a wi9c a v ++a k v k +b k+ w k+ + + b m w m = i skoro (v,,v k,,w m ) s7 liniowo niezale=ne, wi9c równie= a = = a k = b k+ = = b m = Wniosek 62 Niech V bdzie przestrzeni, liniow, nad cia/em F, niech dim V< Wówczas dim(u U 2 ) dim U + dim U 2 n gdzie dim V = n Dowód Wystarczy zauwa=y8, =e dim(u + U 2 ) n Hiperp/asz- Definicja 62 Niech V bdzie przestrzeni, liniow, nad cia/em F, niech dim V < czyzn- nazywamy ka2d, podprzestrze przestrzeni V o wymiarze n, niech U,U 2 <V
6 Twierdzenie 622 Niech V bdzie przestrzeni, liniow, nad cia/em F, niech dim V = n Niech U<V i niech dim U = k Wówczas U jest czci, wspóln, n k hiperp/aszczyzn Dowód Niech (v,,v k ) b9dzie baz7 U Mo=emy uzupe:ni8 j7 do bazy (v,,v k,v k+,,v n ) przestrzeni V Niech W i = lin(v,,v k+i,v k+i+,,v n ), i {,,n k} Poka=emy, =e U = W W n k Oczywi<cie U = lin(v,,v k ) W W n k Ustalmy v W W n k Niech v = a v ++ a n v n dla pewnych a,,a n F Ustalmy i {,,n k} Wówczas v W i, a wi9c a v ++a n v n W i Tym samym a k+i = Twierdzenie 623 Niech V bdzie przestrzeni, liniow, nad cia/em F, niech dim V = n Niech W,,W l bd, hiperp/aszczyznami Wówczas dim(w W l ) n l Dowód Dla l =nie ma czego dowodzi8 Za:ó=my, =e l> i =e dla l hiperp:aszczyzn rezultat jest prawdziwy Niech W,,W l+ b9d7 hiperp:aszczyznami Wówczas dim(w W l ) n l Wobec Wniosku 62 dim(w W l W l+ ) dim(w W l )+n n n l =n (l + ) Wniosek 624 Niech V bdzie przestrzeni, liniow, nad cia/em F, niech dim V = n Niech U<V i niech dim U = k Wówczas U jest czci, wspóln, n k, ale nie mniejszej liczby hiperp/aszczyzn
7 Wykapplead 7: Struktura zbioru rozwi za ukappleadu równa Definicja 7 Niech F b)dzie cia*em, niech U b)dzie uk*adem jednorodnym m równa+ liniowych o n niewiadomych i wspó*czynnikach z cia*a F Niech U b)dzie podprzestrzeni' F n rozwi'za+ uk*adu U Ka-d' baz) U b)dziemy nazywa( uk)adem fundamentalnym rozwi'za+ uk*adu U, a ka-de przedstawienie parametryczne U rozwi'zaniem ogólnym uk)adu U Niech U b)dzie uk*adem m równa+ liniowych o n niewiadomych i wspó*czynnikach z cia*a F Niech W b)dzie warstw' podprzestrzeni przestrzeni F n wyznaczon' przez rozwi'zania uk*adu U Ka-de przedstawienie parametryczne W nazywamy rozwi'zaniem ogólnym uk)adu U Twierdzenie 72 Niech F b)dzie cia*em, niech U<F n b)dzie wyznaczona przez równanie a x + + a n x n =, dla pewnych a,,a n F nie wszystkich równych zeru Wówczas U jest hiperp*aszczyzn' a Dowód Za7ó:my, :e a = Wówczas / U, a wi6c dim U n Ponadto 2 a 2 a, 3 3 a,, n U i wszystkie te wektory s4 liniowo niezale:ne a n a Wniosek 73 Niech F b)dzie cia*em, niech U<F n b)dzie wyznaczona przez uk*ad m równa+ jednorodnych o n niewiadomych Wówczas dim U n m Dowód Wynika wprost z Twierdze8 72 i?? Twierdzenie 74 Niech F b)dzie cia*em, niec U<F n b)dzie hiperp*aszczyzn' Wówczas U jest wyznaczona przez równanie a x + + a n x n =, dla pewnych a,,a n F nie wszystkich równych zeru Dowód Za7ó:my, :e (,, n ) jest baz4 podprzestrzeni U Niech i =[a i,,a in ], dla i {,,n } 6 Rozwa:my uk7ad równa8 U : a x + + a n x n = a 2 x + + a 2n x n = a n, x + + a n,n x n = i niech U oznacza podprzestrze8 rozwi4za8 uk7adu U Wobec Wniosku 73 dim U n (n ) =, niech zatem = [b,,b n ] U Podprzestrze8 W wyznaczona przez równanie b x + + b n x n = jest hiperp7aszczyzn4 wobec Twierdzenia 72 Ponadto, wobec okre9lenia [b,,b n ],,, n W i tym samym U = lin(,, n ) W Poniewa: dim U = dim W = n oznacza to, :e U = W Wniosek 75 Niech F b)dzie cia*em, niech U<F n b)dzie podprzestrzeni' k-wymiarow' Wówczas U jest wyznaczona przez przez uk*ad z*o-ony z n k, ale nie mniej, jednorodnych równa+ liniowych Dowód Wynika wprost z Twierdzenia 76 i Wniosku?? Twierdzenie 76 Niech F b)dzie cia*em, niech W,,W k <F n b)d' hiperp*aszczyznami Niech l i = b)dzie równaniem hiperp*aszczyzny W i, l i F h [x,,x n ], i {,,k} Wówczas dim(w W k )= n k wtedy i tylko wtedy, gdy formy liniowe l,,l k s' liniowo niezale-ne
62 Dowód Za7ó:my, :e formy l,,l k s4 liniowo zale:ne Wobec Twierdzenia?? jedna z tych form jest kombinacj4 liniow4 pozosta7ych mo:emy za7o:y5, :e l k jest kombinacj4 liniow4 form l,,l k Wówczas uk7ady l = l = l k = oraz l k = maj4 identyczne zbiory rozwi4za8, a wi6c W W k = W W k Wobec Twierdzenia??, dim(w W k ) n k =n k + >n k, wi6c dim(w W k ) >n k Wobec Twierdzenia?? i prawa kontrapozcyji udowodnili9my zatem, :e je:eli dim(w W k )=n k, to formy l,,l k s4 liniowo niezale:ne Za7ó:my, :e formy l,,l k s4 liniowo niezale:ne Uk7ad (l,,l k ) uzupe7niamy do bazy (l,,l k,,l n ) przestrzeni liniowej F h [x,,x n ] form liniowych n zmiennych Niech W i b6dzie hiperp7aszczyzn4 wyznaczon4 przez równanie l i =, i {,,n} Poka:emy, :e W W n = {} Poniewa: l,,l n generuj4 przestrze8 F h [x,,x n ], wi6c formy x,,x n s4 kombinacjami liniowymi form l,,l n Tym samym ka:dy wektor b6d4cy rowi4zaniem uk7adu l = l n = jest te: rozwi4zaniem uk7adu x =,,x n =, a wi6c W W n {} i tym samym W W n = {} W szczególno9ci dim(w W n )= Poniewa: dim(w k+ W n ) n (n k) =k, wi6c wobec Wniosku 62 = dim(w W n ) dim[(w W k ) (W k+ W n )] dim(w W k ) + dim(w k+ W n ) n dim(w W k )+k n, czyli dim(w W k ) n k i tym samym, wobec Twierdzenia??, dim(w W k )=n k Wniosek 77 Niech F b)dzie cia*em, niech l,,l k F h [x,,x n ], niech U<F n b)dzie podprzestrzeni' wyznaczon' przez uk*ad równa+ l = Wówczas dim U = n dim lin(l,,l k ) U : l k = Dowód Niech dim lin(l,,l k )=r i niech l i,,l ir b6dzie maksymalnym liniowo niezale:nym podzbiorem {l,,l n } Wówczas U jest wyznaczona przez uk7ad li = l ir = i wobec Twierdzenia 76 dim U = n r = n dim lin(l,,l n )
Definicja 78 Niech F b)dzie cia*em Niech A =[a ij ] Mm(F n ) Oznaczmy i = a i a in, dla i {,,m}, tak aby Oznaczmy ponadto: j = a j a mj A = m, dla j {,,n}, tak aby A = n Liczb) dim lin(,, m ) nazywamy rz(dem wierszowym macierzy A, a liczb) dim lin(,, n) nazywamy rz(dem kolumnowym macierzy A Twierdzenie 79 Niech F b)dzie cia*em, niech A =[a ij ] równy jest jej rz)dowi wierszowemu Dowód Oznaczmy i = a i a in, dla i {,,m}, tak aby oraz j = a j a mj A = m, dla j {,,n}, 63 M n m(f ) Rz'd kolumnowy macierzy A tak aby A = n Podprzestrze8 Z(,, n) przestrzeni F n jest identyczna z podprzestrzeni4 rozwi4za8 uk7adu a x + + a n x n = Wobec Twierdzenia??: Wobec Wniosku 77: U : a m x + + a mn x n = dim Z(,, n) =n dim lin(,, n) dim Z(,, n) =n dim lin(l,,l m ), gdzie l i = a i x + + a in x n F h [x,,x n ], dla i {,,m} Przekszta7cenie : F h [x,,x n ] F n dane wzorem (c x + + c n x n )=[c,,c n ] jest izomorfizmem przestrzeni liniowych, a wi6c dim lin(l,,l m ) = dim lin(,, m ) Reasumuj4c: n dim lin(,, n) = dim Z(,, n) =n dim lin(l,,l m )=n dim lin(,, m ), a wi6c dim lin(,, n) = dim lin(,, m ) Definicja 7 Niech F b)dzie cia*em, niech A =[a ij ] Mm(F n ) Wspóln' warto,( rz)du kolumnowego i rz)du wierszowego macierzy A nazywamy rz(dem macierzy A i oznaczamy r(a)
64 Wniosek 7 Niech F b)dzie cia*em, niech A =[a ij ] Mm(F n ) Warto,( r(a) nie ulegnie zmianie, je-eli na kolumnach lub wierszach macierzy A wykonamy operacje elementarne typu, 2 lub 3 Przyk)ad: () Powy:szy wniosek daje praktyczn4 metod6 znajdowania rz6du macierzy: najpierw sprowadzamy przez operacje elementarne dan4 macierz do postaci trójk4tnej, a nast6pnie zliczamy niezerowe wiersze lub kolumny Dla przyk7adu obliczymy rz4d macierzy r(a) = Mamy kolejno: = r = r r 2 3 4 5 7 6 2 3 4 3 5 3 3 2 6 gdy: wektory, A = 2 3 4 5 7 6 2 3 4 w 2 3w = r w 3 7w w 4 w = r w 3 + w 2, [,,, 3]) s4 liniowo niezale:ne w 4 + 2w 3, 3 3 2 2 2 2 3 5 w 2 :( 2) 3 k 2 k k 3 2k k 4 k 2 6 3 k 3 k 2 k 4 + k 2 = r 3 3 =4, (lub, symetrycznie, [,,, ], [,,, ], [,,, 3], Wniosek 72 Niech F b)dzie cia*em, niech A =[a ij ] M n m(f ) Wówczas r(a) =r(a T ) Wniosek 73 Niech F b)dzie cia*em, niech a x + + a n x n = w 3 w 4 U : a m x + + a mn x n =
65 b)dzie uk*adem m jednorodnych równa+ liniowych o wspó*czynnikach z cia*a F, niech a a 2 a n A =, a m a m2 a mn niech U <F n b)dzie podprzestrzeni' rozwi'za+ uk*adu U Wówczas dim U = n r(a) Dowód Wynika wprost z przyj6tych definicji i z Wniosku 77 Wniosek 74 (twierdzenie Kroneckera-Capelliego) Niech F b)dzie cia*em, niech a x + + a n x n = b a x + + a n x n = U : oraz U : a m x + + a mn x n = b m a m x + + a mn x n =, b)d' uk*adami m równa+ liniowych o wspó*czynnikach z cia*a F i m jednorodnych równa+ liniowych o wspó*czynnikach z cia*a F otrzymanym z równa+ uk*adu U przez zast'pienie prawych stron zerami, niech a a 2 a n b a a 2 a n A = oraz A =, a m a m2 a mn b m a m a m2 a mn niech U <F n b)dzie podprzestrzeni' rozwi'za+ uk*adu U Wówczas uk*ad U ma rozwi'zanie wtedy i tylko wtedy, gdy r(a) =r(a ) Ponadto je,li uk*ad U ma cho( jedno rozwi'zanie, to wówczas zbiór wszystkich rozwi'za+ jest warstw' podprzestrzeni U, przy czym dim U = n r(a) W szczególno,ci uk*ad ma dok*adnie jedno rozwi'zanie wtedy i tylko wtedy, gdy r(a) =r(a )=n Dowód Wystarczy udowodni5, :e uk7ad ma rozwi4zanie wtedy i tylko wtedy, gdy r(a) = r(a ) pozosta7e tezy twierdzenia wynikaj4 z Twierdzenia?? i Wniosku 73 Oznaczmy j = a j a mj, dla j {,,n}, oraz j = tak, aby A = n Uk7ad U mo:emy zapisa5 wektorowo jako U w : x + + x n n = Elementy a,,a n F s4 rozwi4zaniem uk7adu U w wtedy i tylko wtedy, gdy a + + a n n =, a zatem wtedy i tylko wtedy, gdy lin(,, n), a zatem wtedy i tylko wtedy, gdy lin(,, n) = lin(,, n, ), a zatem wtedy i tylko wtedy, gdy dim lin(,, n) = dim lin(,, n, ) (jako :e lin(,, n) lin(,, n, )), czyli gdy r(a )=r(a) Twierdzenie 75 Niech F b)dzie cia*em, niech a x + + a n x n = b b b m a x + + a n x n =, U : oraz U : a m x + + a mn x n = b m a m x + + a mn x n =,
66 niech ponadto a a 2 a n b a a 2 a n A = oraz A =, a m a m2 a mn b m a m a m2 a mn Wówczas uk*ad U jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy r(a) =r(a ) Dowód Wcze9niej zauwa:yli9my (Wniosek??), :e uk7ad sprzeczny nie ma rozwi4za8, a zatem, wobec twierdzenia Kroneckera-Capelliego, r(a) = r(a ) Pozostaje sprawdzi5, :e je9li uk7ad jest niesprzeczny, to r(a) =r(a ) Za7ó:my, :e r(a) = r(a ) Niech i = a i a in, dla i {,,m}, i niech i = a i a in b i, dla i {,,m}, tak aby A = oraz A = m Niech ponadto a j j =, dla j {,,n}, oraz = a mj tak, aby A = n Wówczas: dim lin(,, m )=r(a ) = dim lin(,, n) dim lin(,, n, ) =r(a) = dim lin(,, m), a zatem r(a ) <r(a) Istniej4 zatem liczby naturalne i,,i s takie, :e wektory i,, i s s4 liniowo niezale:ne, a wektory i,, is s4 liniowo zale:ne Tym samym istniej4 a,,a s F takie, :e m b b m a i + + a s i s = oraz a i + + a s is = Tym samym a i + + a s i s = [,,,,a], dla pewnego a = Wobec tego mno:4c i j -te równanie uk7adu U przez a j, dla j {,,s}, a nast6pnie dodaj4c tak zmodyfikowane równania stronami, otrzymujemy =a,