Twierdzenie Levy-Steiniza i zbiory osi galne szeregów warunkowo zbie»nych Jacek Marchwicki (praca wspólna z Szymonem Gª bem) 21.05.2017 Konopnica
Wprowadzenie
Wprowadzenie Zbiór osi galny A(x n ) = { n=1 ε nx n : (ε n ) {0, 1} N }
Wprowadzenie Zbiór osi galny A(x n ) = { n=1 ε nx n : (ε n ) {0, 1} N } Sum range SR(x n ) = { n=1 x σ(n) : σ S }
Wprowadzenie Zbiór osi galny A(x n ) = { n=1 ε nx n : (ε n ) {0, 1} N } Sum range SR(x n ) = { n=1 x σ(n) : σ S } Zwi zek pomi dzy sum range, a zbiorem osi galnym Niech n=1 x n b dzie szeregiem warunkowo zbie»nym w przestrzeni Banacha X. Wówczas SR(x n ) A(x n ).
Wprowadzenie Zbiór osi galny A(x n ) = { n=1 ε nx n : (ε n ) {0, 1} N } Sum range SR(x n ) = { n=1 x σ(n) : σ S } Zwi zek pomi dzy sum range, a zbiorem osi galnym Niech n=1 x n b dzie szeregiem warunkowo zbie»nym w przestrzeni Banacha X. Wówczas SR(x n ) A(x n ). Lemat SR(x n ) = R 2 wtedy i tylko wtedy gdy A(x n ) = R 2.
Ale to ju» byªo...
Ale to ju» byªo... Czym mo»e by zbiór osi galny? Dla szeregów warunkowo zbie»nych na pªaszczy¹nie zbiór osi galny mo»e by mi dzy innymi:
Ale to ju» byªo... Czym mo»e by zbiór osi galny? Dla szeregów warunkowo zbie»nych na pªaszczy¹nie zbiór osi galny mo»e by mi dzy innymi: wykresem funkcji;
Ale to ju» byªo... Czym mo»e by zbiór osi galny? Dla szeregów warunkowo zbie»nych na pªaszczy¹nie zbiór osi galny mo»e by mi dzy innymi: wykresem funkcji; zbiorem, który nie jest ani typu F σ ani G δ ;
Ale to ju» byªo... Czym mo»e by zbiór osi galny? Dla szeregów warunkowo zbie»nych na pªaszczy¹nie zbiór osi galny mo»e by mi dzy innymi: wykresem funkcji; zbiorem, który nie jest ani typu F σ ani G δ ; zbiorem g stym o pustym wn trzu;
Ale to ju» byªo... Czym mo»e by zbiór osi galny? Dla szeregów warunkowo zbie»nych na pªaszczy¹nie zbiór osi galny mo»e by mi dzy innymi: wykresem funkcji; zbiorem, który nie jest ani typu F σ ani G δ ; zbiorem g stym o pustym wn trzu; zbiorem otwartym nie b d cym pªaszczyzn ;
Wektory Leviego
Wektory Leviego Denicja Powiemy,»e u R 2, u = 1jest wektorem Leviego dla szeregu n=1 v n je»eli dla dowolnego ε > 0 mamy,»e v n S ε(u) v n =, gdzie S ε (u) = {v : u, v (1 ε) u v }.
Wektory Leviego Denicja Powiemy,»e u R 2, u = 1jest wektorem Leviego dla szeregu n=1 v n je»eli dla dowolnego ε > 0 mamy,»e v n S ε(u) v n =, gdzie S ε (u) = {v : u, v (1 ε) u v }. Fakt 1 Szereg bezwzgl dnie zbie»ny nie posiada wektorów Leviego.
Wektory Leviego Denicja Powiemy,»e u R 2, u = 1jest wektorem Leviego dla szeregu n=1 v n je»eli dla dowolnego ε > 0 mamy,»e v n S ε(u) v n =, gdzie S ε (u) = {v : u, v (1 ε) u v }. Fakt 1 Szereg bezwzgl dnie zbie»ny nie posiada wektorów Leviego. Fakt 2 Szereg warunkowo zbie»ny posiada wektor Leviego na ka»dej domkni tej póªsferze jednostkowej.
Wektory Leviego Denicja Powiemy,»e u R 2, u = 1jest wektorem Leviego dla szeregu n=1 v n je»eli dla dowolnego ε > 0 mamy,»e v n S ε(u) v n =, gdzie S ε (u) = {v : u, v (1 ε) u v }. Fakt 1 Szereg bezwzgl dnie zbie»ny nie posiada wektorów Leviego. Fakt 2 Szereg warunkowo zbie»ny posiada wektor Leviego na ka»dej domkni tej póªsferze jednostkowej. Wniosek Szereg warunkowo zbie»ny posiada przynajmniej dwa wektory Leviego, przy czym je»eli posiada dokªadnie dwa to s one wzajemnie przeciwne.
Przykªady
Przykªady Jednowymiarowe sum-range i dwa wektory Leviego Dla szeregów x n=1 n = ( ( 1)n n=1, 0); n y n=1 n = ( ( 1)n n=1, ( 1)n ) mamy odpowiednio n n L(x n ) = {(1, 0), ( 1, 0)} oraz L(x n ) = {(1, 1), ( 1, 1)}. Warto zauwa»y,»e SR(x n ) = span(l(x n )) + x n=1 n.
Przykªady Jednowymiarowe sum-range i dwa wektory Leviego Dla szeregów x n=1 n = ( ( 1)n n=1, 0); n y n=1 n = ( ( 1)n n=1, ( 1)n ) mamy odpowiednio n n L(x n ) = {(1, 0), ( 1, 0)} oraz L(x n ) = {(1, 1), ( 1, 1)}. Warto zauwa»y,»e SR(x n ) = span(l(x n )) + x n=1 n. Dwuwymiarowe sum-range i dwa wektory Leviego Dla ( ( 1)n n=1 n, ( 1)n n ) mamy L(x n ) = {(0, 1), (0, 1)}
Przykªady Jednowymiarowe sum-range i dwa wektory Leviego Dla szeregów x n=1 n = ( ( 1)n n=1, 0); n y n=1 n = ( ( 1)n n=1, ( 1)n ) mamy odpowiednio n n L(x n ) = {(1, 0), ( 1, 0)} oraz L(x n ) = {(1, 1), ( 1, 1)}. Warto zauwa»y,»e SR(x n ) = span(l(x n )) + x n=1 n. Dwuwymiarowe sum-range i dwa wektory Leviego Dla ( ( 1)n n=1 n Mnóstwo wektorów Leviego, ( 1)n n ) mamy L(x n ) = {(0, 1), (0, 1)} Niech z C, z = 1 b dzie takie,»e z n 1 dla dowolnego n N. Wtedy z n n=1 jest warunkowo n zbie»ny oraz L(z n ) = S(0, 1).
Przykªady
Przykªady Trzy wektory Leviego Niech x 3n 2 = ( 1, 1 ), x 3n 2 3n 2 3n 1 = ( 1, 0), 3n 1 x 3n = (0, 1 ) dla n N. Wtedy 3n L(x n ) = {( 1, 1), (1, 0), (0, 1)}.
Przykªady Trzy wektory Leviego Niech x 3n 2 = ( 1, 1 ), x 3n 2 3n 2 3n 1 = ( 1, 0), 3n 1 x 3n = (0, 1 ) dla n N. Wtedy 3n L(x n ) = {( 1, 1), (1, 0), (0, 1)}. Niech x 3n 2 = ( 1, 1 3n 2 3n 2 ), x 3n 1 = ( 1, 0), 3n 1 1 x 3n = (0, 3n ) dla n N. Wtedy L(x n ) = {(0, 1), (1, 0), (0, 1)}. W szczególno±ci L(x n ) {(x, y) : x < 0} =. Cztery wektory Leviego
Przykªady Trzy wektory Leviego Niech x 3n 2 = ( 1, 1 ), x 3n 2 3n 2 3n 1 = ( 1, 0), 3n 1 x 3n = (0, 1 ) dla n N. Wtedy 3n L(x n ) = {( 1, 1), (1, 0), (0, 1)}. Niech x 3n 2 = ( 1, 1 3n 2 3n 2 ), x 3n 1 = ( 1, 0), 3n 1 1 x 3n = (0, 3n ) dla n N. Wtedy L(x n ) = {(0, 1), (1, 0), (0, 1)}. W szczególno±ci L(x n ) {(x, y) : x < 0} =. Cztery wektory Leviego x 2n 1 = (0, ( 1)n ), x n 2n = ( ( 1)n, 0) dla ka»dego n N. n Wtedy L(x n ) = {(0, 1), ( 1, 0), (0, 1), (1, 0)}.
Przynajmniej trzy wektory Leviego
Przynajmniej trzy wektory Leviego Lemat Zaªó»my,»e szereg warunkowo zbie»ny x n=1 n posiada dwa liniowo niezale»ne wektory Leviego u, v. Wtedy span + (u, v) A abs (x n ) = { ε n=1 nx n : (ε n ) {0, 1} N, ε n=1 n x n < }.
Przynajmniej trzy wektory Leviego Lemat Zaªó»my,»e szereg warunkowo zbie»ny x n=1 n posiada dwa liniowo niezale»ne wektory Leviego u, v. Wtedy span + (u, v) A abs (x n ) = { ε n=1 nx n : (ε n ) {0, 1} N, ε n=1 n x n < }. Twierdzenie Zaªó»my,»e szereg warunkowo zbie»ny n=1 x n posiada wektor Leviego na ka»dej otwartej póªsferze jednostkowej. Wówczas A abs (x n ) = R 2.
Przynajmniej trzy wektory Leviego Lemat Zaªó»my,»e szereg warunkowo zbie»ny x n=1 n posiada dwa liniowo niezale»ne wektory Leviego u, v. Wtedy span + (u, v) A abs (x n ) = { ε n=1 nx n : (ε n ) {0, 1} N, ε n=1 n x n < }. Twierdzenie Zaªó»my,»e szereg warunkowo zbie»ny n=1 x n posiada wektor Leviego na ka»dej otwartej póªsferze jednostkowej. Wówczas A abs (x n ) = R 2. Twierdzenie Zaªó»my,»e szereg warunkowo zbie»ny n=1 x n posiada przynajmniej trzy wektory Leviego. Wówczas A abs (x n ) = R 2.
Dwa wektory Leviego
Dwa wektory Leviego Wªasno± redukcji Powiemy,»e szereg (x n=1 n, y n ) posiada wªasno± redukcji y gdy lim n n x n = oraz dla ka»dego ε > 0, x ( ε, ε), N N istnieje sko«czony zbiór indeksów A = {k 1 < k 2 <... < k m } gdzie k 1 N taki,»e n A x n x < ε ; max 2 1 j m j x n=1 k n < ε oraz max 1 j m j y n=1 k n < ε.
Dwa wektory Leviego Wªasno± redukcji Powiemy,»e szereg (x n=1 n, y n ) posiada wªasno± redukcji y gdy lim n n x n = oraz dla ka»dego ε > 0, x ( ε, ε), N N istnieje sko«czony zbiór indeksów A = {k 1 < k 2 <... < k m } gdzie k 1 N taki,»e n A x n x < ε ; max 2 1 j m j x n=1 k n < ε oraz max 1 j m j y n=1 k n < ε. Wªasno±ci Zaªó»my,»e warunkowo zbie»ny szereg n=1 (x n, y n ) posiada wªasno± redukcji. Wtedy: SR(x n, y n ) = R 2
Dwa wektory Leviego Wªasno± redukcji Powiemy,»e szereg (x n=1 n, y n ) posiada wªasno± redukcji y gdy lim n n x n = oraz dla ka»dego ε > 0, x ( ε, ε), N N istnieje sko«czony zbiór indeksów A = {k 1 < k 2 <... < k m } gdzie k 1 N taki,»e n A x n x < ε ; max 2 1 j m j x n=1 k n < ε oraz max 1 j m j y n=1 k n < ε. Wªasno±ci Zaªó»my,»e warunkowo zbie»ny szereg n=1 (x n, y n ) posiada wªasno± redukcji. Wtedy: SR(x n, y n ) = R 2 L(x n, y n ) = {(0, 1), (0, 1)}
Dwa wektory Leviego Wªasno± redukcji Powiemy,»e szereg (x n=1 n, y n ) posiada wªasno± redukcji y gdy lim n n x n = oraz dla ka»dego ε > 0, x ( ε, ε), N N istnieje sko«czony zbiór indeksów A = {k 1 < k 2 <... < k m } gdzie k 1 N taki,»e n A x n x < ε ; max 2 1 j m j x n=1 k n < ε oraz max 1 j m j y n=1 k n < ε. Wªasno±ci Zaªó»my,»e warunkowo zbie»ny szereg n=1 (x n, y n ) posiada wªasno± redukcji. Wtedy: SR(x n, y n ) = R 2 L(x n, y n ) = {(0, 1), (0, 1)} A(x n, y n ) = R 2
Przykªadowa klasa szeregów o wªasno±ci redukcji
Przykªadowa klasa szeregów o wªasno±ci redukcji Konstrukcja Niech (x n ), (y n ) b d nierosn cymi ci gami liczb dodatnich zbie»nymi do 0 oraz x n=1 n = y y n=1 n = i lim n = n x. n Zdeniujmy v 4n 3 = ( x 2n 1, y 2n 1 ), v 4n 2 = ( x 2n 1, y 2n 1 ), v 4n 1 = (x 2n, y 2n ), v 4n = (x 2n, y 2n ) dla ka»dego n N. Wtedy A(v n ) = R 2.
Przykªadowa klasa szeregów o wªasno±ci redukcji Konstrukcja Niech (x n ), (y n ) b d nierosn cymi ci gami liczb dodatnich zbie»nymi do 0 oraz x n=1 n = y y n=1 n = i lim n = n x. n Zdeniujmy v 4n 3 = ( x 2n 1, y 2n 1 ), v 4n 2 = ( x 2n 1, y 2n 1 ), v 4n 1 = (x 2n, y 2n ), v 4n = (x 2n, y 2n ) dla ka»dego n N. Wtedy A(v n ) = R 2. Przykªad Niech v 2n 1 = (x 2n 1, y 2n 1 ) = ( ( 1)n, ( 1)n n n ), v 2n = (x 2n, y 2n ) = ( ( 1)n, ( 1)n+1 n n ) dla n N. Wtedy L(v n ) = {(0, 1), (0, 1)}, SR(v n ) = R 2 oraz A(v n ) = R 2.
Dwa wektory Leviego i A abs (v n ) A(v n ) 1
Dwa wektory Leviego i A abs (v n ) A(v n ) 1 Lemat Niech szereg n=1 y n b dzie warunkowo zbie»ny oraz n=1 x n b dzie bezwzgl dnie zbie»ny, x n > 0 dla n N. Rozwa»my v n = (x n, y n ), wtedy L(v n ) = {(0, 1), (0, 1)}
Dwa wektory Leviego i A abs (v n ) A(v n ) 1 Lemat Niech szereg n=1 y n b dzie warunkowo zbie»ny oraz n=1 x n b dzie bezwzgl dnie zbie»ny, x n > 0 dla n N. Rozwa»my v n = (x n, y n ), wtedy L(v n ) = {(0, 1), (0, 1)} SR(v n ) = span(l(v n )) + n=1 v n
Dwa wektory Leviego i A abs (v n ) A(v n ) 1 Lemat Niech szereg n=1 y n b dzie warunkowo zbie»ny oraz n=1 x n b dzie bezwzgl dnie zbie»ny, x n > 0 dla n N. Rozwa»my v n = (x n, y n ), wtedy L(v n ) = {(0, 1), (0, 1)} SR(v n ) = span(l(v n )) + v n=1 n v n=1 n A(v n ) \ A abs (v n ). Przykªad
Dwa wektory Leviego i A abs (v n ) A(v n ) 1 Lemat Niech szereg n=1 y n b dzie warunkowo zbie»ny oraz n=1 x n b dzie bezwzgl dnie zbie»ny, x n > 0 dla n N. Rozwa»my v n = (x n, y n ), wtedy L(v n ) = {(0, 1), (0, 1)} SR(v n ) = span(l(v n )) + v n=1 n v n=1 n A(v n ) \ A abs (v n ). Przykªad Niech v n = ( 1, ( 1)n ) dla n N. Wtedy 2 n n (1, ln 2) A(v n ) \ A abs (v n ).
Dwa wektory Leviego i A abs (v n ) A(v n ) 2
Dwa wektory Leviego i A abs (v n ) A(v n ) 2 Przykªad Niech n 0 = 0, n k = 4 k2 + n k 1 dla k N. Zdeniujmy x n = 1, y 4 k2 n = 1 dla n (n 2 k k 1, n k ] oraz poªó»my v 4n 3 = ( x 2n 1, y 2n 1 ), v 4n 2 = ( x 2n 1, y 2n 1 ), v 4n 1 = (x 2n, y 2n ), v 4n = (x 2n, y 2n ) dla ka»dego n N. Wówczas
Dwa wektory Leviego i A abs (v n ) A(v n ) 2 Przykªad Niech n 0 = 0, n k = 4 k2 + n k 1 dla k N. Zdeniujmy x n = 1, y 4 k2 n = 1 dla n (n 2 k k 1, n k ] oraz poªó»my v 4n 3 = ( x 2n 1, y 2n 1 ), v 4n 2 = ( x 2n 1, y 2n 1 ), v 4n 1 = (x 2n, y 2n ), v 4n = (x 2n, y 2n ) dla ka»dego n N. Wówczas L(v n ) = {(0, 1), (0, 1)}
Dwa wektory Leviego i A abs (v n ) A(v n ) 2 Przykªad Niech n 0 = 0, n k = 4 k2 + n k 1 dla k N. Zdeniujmy x n = 1, y 4 k2 n = 1 dla n (n 2 k k 1, n k ] oraz poªó»my v 4n 3 = ( x 2n 1, y 2n 1 ), v 4n 2 = ( x 2n 1, y 2n 1 ), v 4n 1 = (x 2n, y 2n ), v 4n = (x 2n, y 2n ) dla ka»dego n N. Wówczas L(v n ) = {(0, 1), (0, 1)} SR(v n ) = R 2
Dwa wektory Leviego i A abs (v n ) A(v n ) 2 Przykªad Niech n 0 = 0, n k = 4 k2 + n k 1 dla k N. Zdeniujmy x n = 1, y 4 k2 n = 1 dla n (n 2 k k 1, n k ] oraz poªó»my v 4n 3 = ( x 2n 1, y 2n 1 ), v 4n 2 = ( x 2n 1, y 2n 1 ), v 4n 1 = (x 2n, y 2n ), v 4n = (x 2n, y 2n ) dla ka»dego n N. Wówczas L(v n ) = {(0, 1), (0, 1)} SR(v n ) = R 2 A(v n ) = R 2
Dwa wektory Leviego i A abs (v n ) A(v n ) 2 Przykªad Niech n 0 = 0, n k = 4 k2 + n k 1 dla k N. Zdeniujmy x n = 1, y 4 k2 n = 1 dla n (n 2 k k 1, n k ] oraz poªó»my v 4n 3 = ( x 2n 1, y 2n 1 ), v 4n 2 = ( x 2n 1, y 2n 1 ), v 4n 1 = (x 2n, y 2n ), v 4n = (x 2n, y 2n ) dla ka»dego n N. Wówczas L(v n ) = {(0, 1), (0, 1)} SR(v n ) = R 2 A(v n ) = R 2 A abs (v n ) { 1 3 } R =, wi c A abs(v n ) R 2.
Bibliograa T. Banakh, A. Bartoszewicz, M. Filipczak, E. Szymonik, Topological and measure properties of some self-similar sets, Topol. Methods Nonlinear Anal., 46(2) (2015), 10131028 A. Bartoszewicz, S. Gªab, Achievement sets on the plane perturbations of geometric and multigeometric series, Chaos Solitons Fractals 77 (2015) 8493. A. Bartoszewicz, S. Gªab, J. Marchwicki, Achievement sets of conditionally convergent series, arxiv:1604.07575 A. Bartoszewicz, M. Filipczak, F. Prus-Wi±niowski, Topological and algebraic aspects of subsums of series. Traditional and present-day topics in real analysis, 345366, Faculty of Mathematics and Computer Science. University of Šód¹, Šód¹, 2013. A. Bartoszewicz, M. Filipczak, E. Szymonik, Multigeometric sequences and Cantorvals, Cent. Eur. J. Math. 12(7) (2014), 10001007. C. Ferens, On the range of purely atomic probability measures, Studia Math. 77 (1984), 261263. J.A. Guthrie, J.E. Neymann, The topological structure of the set of subsums of an innite series, Colloq. Math. 55:2 (1988), 323327. R. Jones, Achievement sets of sequences, Am. Math. Mon. 118:6 (2011), 508521. I. Halperin, Sums of series, permitting rearrangements, M. I. Kadets, V. M. Kadets, Series in Banach spaces. Conditional and unconditional convergence. Translated from the Russian by Andrei Iacob. Operator Theory: Advances and Applications, 94. Birkh» user Verlag, Basel, 1997. viii+156 pp.
Bibliograa S. Kakeya, On the partial sums of an innite series, Tôhoku Sic. Rep. 3 (1914), 159164. P. Klinga, Rearranging series of vectors on a small set, J. Math. Anal. Appl. 424 (2015) 966974. P. Mendes, F. Oliveira, On the topological structure of the arithmetic sum of two Cantor sets, Nonlinearity. 7 (1994), 329343. M. Morán, Fractal series. Mathematika 36 (1989), no. 2, 334348 (1990). M. Morán, Dimension functions for fractal sets associated to series. Proc. Amer. Math. Soc. 120 (1994), no. 3, 749754. J.E. Neymann, R.A. Sáenz, On the paper of Guthrie and Nymann on subsums of innite series, Colloq. Math. 83 (2000), 14. Z. Nitecki, The subsum set of a null sequence, arxiv:1106.3779v1 Z. Nitecki, Cantorvals and subsum sets of null sequences. Amer. Math. Monthly 122 (2015), no. 9, 862870. A.D. Weinstein, B.E. Shapiro, On the structure of a set of α-representable numbers, Izv. Vys². U ebn. Zaved. Matematika. 24 (1980), 811.