Liczby i działania na liczbach

Na tym wykładzie chciałbym przekonać Państwa, że Mathematica może być pomocna w studiowaniu analizy matematycznej. Liczby i działania na liczbach (* liczby całkowite *) Element[-, Integers] należy do zbiór liczb cał (* inaczej, używając pomocy Writing Assistant *) - Integers zbiór liczb całkowitych (* Dlaczego to jest ważne? *) Simplify[ Sin[n * Pi]] uprość sinus pi Sin[n π] Simplify[ Sin[n * Pi], uprość sinus pi 0 Element[n, należy do Integers]] zbiór liczb całko (* liczby pierwsze *) Element[5, Primes] należy do zbiór liczb pi Element[5, Primes] należy do zbiór liczb False Element 3 5, Integers należy do zbiór liczb cał False (* dzielniki liczby calkowitej *) Divisors[7] dzielniki {, 7}

NOF_.nb Divisors[36] dzielniki {,, 3, 4, 6, 9,, 8, 36} (* najwiekszy wspolny podzielnik greatest common divisor *) GCD[30, 5, 00] największy wspólny dzielnik 5 (* najmniejsza wspólna wielokrotność least common multiple *) LCM[, 50, 8] najmniejsza wspólna wielokrotność 600 (* liczby wymierne *) Element 3 5, Rationals należy do liczby wymierne (* inaczej *) 3 5 Rationals liczby wymierne Element[ E, Rationals] należy do l liczby wymierne False (* liczby rzeczywiste *) Element[ E, Reals] należy do l liczby rze Element[ Pi, Reals] należy do pi liczby rze I * I j jedność urojona - Element[ I, Reals] należy do liczby rze False (* liczby zespolone *) Element[ I, Complexes] należy do liczby zespolon

3 + 5 NOF_.nb 3 (* inaczej *) i Complexes liczby zespolone Solve[z^ + 0, z] rozwiąż równanie {{z -i}, {z i}} Element[3-4 * I, Complexes] należy do liczby zespolon (* Upraszczanie wyrażeń *) 5 + * 4 + 5 - + 3 40 + 35 00 7 0 (* Definiujemy dwie liczby z pierwiastkami, x i y, a następnie upraszczamy ich różnicę, iloczyn i iloraz *) x = - Sqrt[]; y = + * Sqrt[]; pierwiastek kwadratowy pierwiastek k Simplify[x - y] uprość - 3 Simplify[x * y] uprość - + 3 Simplify[y / x] uprość 3 + 5 * Sqrt[] y / x pierwiastek kwadratowy ClearAll[x, y]; wyczyść wszystko (* Uproscic wyrazenie *) Simplify[ Abs[x] + Abs[x + ] + Sqrt[x^ + 4 * x + 4], uprość wartość wartość bez pierwiastek kwadratowy Abs[x] + Abs[ + x] + Abs[ + x] Element[x, należy do Reals]] liczby rzecz (* Uproscic wyrazenia z logarytmami *)

4 NOF_.nb? Log Log[z] gives the natural logarithm of z (logarithm to base e). Log[b, z] gives the logarithm to base b. Log[ E] lo liczba Eulera Log[ Sqrt[ E]] lo pier liczba (* bo... *) E^ liczba Eulera Sqrt[ E] pier liczb Log0[000] logarytm dziesiętny 3 (* bo... *) 0^3 000 Log 64, 4 logarytm - 3 (* bo... *) 64^ - 3 4 Log 3, logarytm - 5 Log 4, logarytm - Log[] Log[4] Sqrt[] pierwiastek kwad

NOF_.nb 5 Simplify - Log[] uprość Log[4] - Log[] Log[6] FullSimplify - Log[] uprość pełniej Log[6] - 4 Log 5, 0 logarytm - Simplify[36^Log[6, 5]] uprość logarytm Log 5 36 Log 6 FullSimplify[36^Log[6, 5]] uprość pełniej logarytm 5 Simplify a a - b - b b - a - a * - a b^ - a^ uprość a + a b + b a - b Apart a + a b + b rozłóż na ułamki a -proste b - + - - 3 a -a + b + - a a + b (* Rozłożyć na czynniki *) Factor[x^6 + 6 * x^5 - x^4-6 * x^3] rozłóż na czynniki - + x x 3 + x (6 + x) (* Dla jakiej wartosci k wielomian W(x)= x^5+3*x^4+*x^3-5*x^+3*x+k jest podzielny przez x-? *) Solve[ PolynomialRemainder[x^5 + 3 * x^4 + * x^3-5 * x^ + 3 * x + k, x -, x] 0, k] rozwi reszta z dzielenia wielomianów {{k -8}} (* sprawdzenie *) Simplify x^5 + 3 * x^4 + * x^3-5 * x^ + 3 * x - 8 x - uprość 4 + 9 x + x + 5 x 3 + x 4

6 NOF_.nb Równania i nierówności Reduce x x^ - x^ - 3 > 0, x, Reals zredukuj liczby rze - 3 < x < - 0 < x < x > 3 Reduce[ ^x > E^x, x, Reals] zredukuj liczba E liczby rze x < 0 (* Dopuszczalna jest nierownosc jednoczesna *) Simplify Reduce < Abs E^ * x - 3 < 3, x, Reals uprość zredukuj wa liczba Eulera liczby rzecz x < 0 Log[5] < x < Log[6] (* Inny zapis z logicznym "and" *) Simplify Reduce < Abs E^ * x - 3 && Abs E^ * x - 3 < 3, x, Reals uprość zredukuj wa liczba Eulera wa liczba Eulera liczby rzecz x < 0 Log[5] < x < Log[6] (* Uwaga: to logiczne "lub" *) N Simplify Reduce < Abs E^ * x - 3 && Abs E^ * x - 3 < 3, x, Reals uprość zredukuj wa liczba Eulera wa liczba Eulera liczby rzeczy x < 0. 0.80479 < x < 0.89588 (* Dobrze jest wynik sprawdzic na rysunku *) Plot, 3, wykres Abs E^ * x - 3, {x, -, }, wa liczba Eulera PlotRange {.8, 3.} zakres wykresu 3.0.8.6.4..0 -.0-0.5 0.0 0.5.0 (* Przykład nierówności wymiernej *)

NOF_.nb 7 Simplify Reduce x + ^ - x^ x * * x + < -, x, Reals uprość zredukuj liczby rzecz - < x < 0 (* Podaj dziedzine funkcji f(x)= Sqrt[4-x^]+ Log[-x], pierwiastek k logarytm czyli nierówność z logarytmem i pierwistkiem kwadratowym *) Simplify[ Reduce[4 - x^ 0 && - x > 0, x, Reals]] uprość zredukuj liczby rzecz - x < (*... albo jeszcze prościej tak *) In[]:= FunctionDomain[ Sqrt[4 - x^] + Log[ - x], x] dziedzina funkcji pierwiastek kwadr logarytm Out[]= - x < (* Przykład nierówności trygonometrycznej *) Simplify[ Reduce[ Sin[x] + Cos[x] > Sqrt[] * Cos[ * x], x, Reals]] uprość zredukuj sinus cosinus pierwiaste cosinus liczby rzecz C[] Integers && ArcTan - + π C[] < x < ArcTan + + π C[] (* C[] jest dowolną liczbą całkowitą, a litera stała C jest zastrzeżona dla stałych *) stała FullSimplify[ Reduce[ Sin[x] + Cos[x] > Sqrt[] * Cos[ * x], x, Reals]] uprość pełniej zredukuj sinus cosinus pierwiaste cosinus liczby rzecz C[] Integers && π + 4 x > 8 π C[] && 4 x < π 3 + 8 C[] (* Zmiana: teraz szukamy rozwiązań w postaci par liczb całkowitych *) Simplify[ Reduce[x^ + y^ - * x 7, {x, y}, Integers]] uprość zredukuj zbiór liczb całko x - x 3 && y - y (* Rysowanie funkcji danej w postaci uwikłanej *)

8 NOF_.nb ContourPlot Cos[x] + Cos[y], {x, 0, 4 Pi}, {y, 0, 4 Pi} wykres kontu cosinus cosinus pi pi 0 8 6 4 0 0 4 6 8 0 (* Możemy podać więcej równań *) ContourPlot x^ + y^, x^ - y^ 4, wykres konturowy {x, -, }, {y, -, }, Axes osie y, pra AxesLabel {"x", "y"} oznaczenia osi 0 x - - - - 0 (* Zadanie 6 z zestawu nr : Jaką figurę geometryczną wyznacza na płaszczyźnie xy układ nierówności: *x+y 4, (x+4) y, y -? *)

NOF_.nb 9 RegionPlot * x + y 4 && (x + 4) y && y -, {x, -7, 3}, y, -3, 3 wykres regionu na płaszczyźnie 3 0 - -6-4 - 0 (* Zadanie 4 z zestawu nr 4: Dana jest funkcja f(x)= *x-3. Narysować wykresy funkcji f(x), f(x) -, f x+, f(-x),-f(x), -f(-x), f(x), f *x, f x, f^ - (x), f(x) *) Clear[f, x]; wyczyść f[x_] := * x - 3 sol = Solve[f[x] y, x] rozwiąż równanie x 3 + y ClearAll[g, y]; wyczyść wszystko g[y_] := x /. sol[[]] g[y] 3 + y

0 NOF_.nb Plot f[x], f[x] -, f[x + ], f[-x], -f[x], -f[-x], Abs[f[x]], f[ * x], f x, g[x], wykres wartość bezwzględna {x, -, }, PlotLegends "f(x)", "f(x)-", "f(x+)", "f(-x)", legenda dla grafik "-f(x)", "-f(-x)", " f(x) ", "f(x)", "f(/x)", "f - (x)" 5 f(x) 0 5 - - -5-0 -5 f(x)- f(x+) f(-x) -f(x) -f(-x) f(x) f(x) f(/x) f - (x) Granice ciągów i funkcji (* Przykład "zwykłej" definicji ciągu *) a[n_] := n! n^ + Table[a[n], {n,, }] tabela, 5, 3 5, 4 7, 60 3, 70 37, 504 ClearAll[a] wyczyść wszystk 5, 8064 3 8 440,, 4 (* Rekurencyjna definicja ciągu Fibonacciego *) a[] = a[] = ; a[n_] := a[n - ] + a[n - ]; a[3] Table[a[n], {n,, 5}] tabela 3 68 800, 0 {,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, 33, 377, 60} 9 958 400, 6 95 800 30 9 ClearAll[a] wyczyść wszystko (* Mathematica potrafi rozpoznać, z jakim ciągiem mamy do czynienia *) RSolve[{a[] ==, a[] ==, a[n] == a[n - ] + a[n - ]}, a[n], n] rozwiąż równania rekurencyjne {{a[n] Fibonacci[n]}}

NOF_.nb Granice ciągów (przy n ) (* Dzięki programowi Mathematica mamy szansę lepiej zrozumieć definicje *) (* Mozemy sprawdzic z definicji, ze ponizszych ciagow wynosi zero *) (* Poniżej obrazek z serwisu http://www.analizamatematyczna.enhost.pl *) g = 0; Simplify Reduce Abs n - g < epsilon, n, Reals, n > 0 && epsilon > 0 uprość zredukuj wartość bezwzględna liczby rzeczywiste epsilon n > (* czyli n > epsilon *) g = 0; wn = Simplify Reduce Abs n^ + n - g < epsilon, n, Reals, uprość zredukuj wartość bezwzględna liczby rzec n > 0 && epsilon > 0 && epsilon < + n > 4 + epsilon epsilon (* czyli n > 4+epsilon epsilon - *) g = 0; Simplify[ Reduce[ Abs[^(-n) - g] < epsilon, n, Reals], n > 0 && epsilon > 0 && epsilon < ] uprość zredukuj wartość bezwzględna liczby rzeczywiste n Log[] + Log[epsilon] > 0 (* czyli n > -Log[epsilon] Log[] *) logarytm logarytm g = 3; Simplify Reduce Abs 3 * n^ + n - n^ + 5 n + - g < epsilon, n, Reals, uprość zredukuj wartość bezwzględna liczby rzec n > 0 && epsilon > 0 && epsilon < epsilon 5 + n > 4 + 96 - epsilon + 7 epsilon

NOF_.nb epsilon = 000; soln0 = N Solve epsilon 5 + n == 4 + 96 - epsilon + 7 epsilon, n ; rozwiąż równanie n0 = Ceiling[n /. soln0[[]]]; sufit Plot 3 * n^ + n - n^ + 5 n +, 3, 3 + epsilon, 3 - epsilon, wykres {n, n0-000, n0 + 0 000}, 3.000 PlotRange 3 - epsilon * 0, 3 + epsilon * 0 zakres wykresu 3.0005 3.0000.9995.9990 4 000 6 000 8 000 0 000 000 4 000 (* Pewne BARDZO znane granice *) Limit + n ^n, n e Infinity (* To nie jest "zwykłe" e, ale liczba Eulera, w Mathematice oznaczane przez E albo specjalne, pogrubione e *) liczba Eulera Limit - n ^n, n e (* Wzór Stirlinga *) Infinity Limit n! * E^n n^n * Sqrt[ * Pi * n], n liczba Eulera pierwias pi Infinity Limit 6 * n^ - * n + 3 * n^ + 5 * n -, n Infinity Limit ^n + 3 3^n +, n Infinity 0

NOF_.nb 3 Limit Sin[n!] n +, n Infinity sinus 0 Limit Sum[ * i -, {i,, n}] n +, n Infinity sumowanie Limit Sum[i, {i,, n}] n^, n Infinity sumowanie Limit n^ + n + 3 3 * n^ - 5 * n -, n Infinity 3 Granice funkcji (* Na początek ostrzeżenie *) Plot Exp - x, {x, -, }, wyk funkcja eksponencjalna f(x) 0 PlotRange {-, 0}, zakres wykresu AxesLabel {"x", "f(x)"} oznaczenia osi 8 6 4 - - x - Limit Exp - x, x 0 funkcja eksponencjalna 0 (* To nie jest poprawna odpowiedź, bo 0 jest granicą prawostronną, a jako taka nie istnieje! *) (* W przypadkach wątpliwych warto narysować funkcję i sprawdzić jawnie granicę prawostronną... *) Limit Exp - x, x 0, Direction - funkcja eksponencjalna kierunek 0 (* oraz lewostronną: *)

4 NOF_.nb Limit Exp - x, x 0, Direction funkcja eksponencjalna kierunek (* Granice z funkcji wymiernych *) Limit[-5 * x^ - 3 * x +, x -Infinity] - Limit[-3 * x^ * Sqrt[5 * x^ + 7], x Infinity] pierwiastek kwadratowy - Limit -5 * x^5 + 3 * x x^ -, x -Infinity Limit x^4 - x -, x 4 Limit x^ - 4 * x + 3 x - 3, x 3 Limit x^3 + ^ 4 + x^4 + ^ 3, x Infinity Limit Sin[x] x, x 0 sinus Limit Cos[x] x * Sin[x], x 0 cosinus sinus Limit Sqrt[x] - x -, x pierwiastek kwadratowy Limit 5 * x^4 - * x^ - 7 8 - * x^3 - x^4, x Infinity -5 Limit x - - (x + 6) x^ - 4, x 4

NOF_.nb 5 Ostrożność jest wymagana w przypadku funkcji wielu zmiennych Przykład: g(x,y)= x y x +y limit = Limit Limit x * y^ x^ + y^, y limit = Limit Limit x * y^ x^ + y^, x 0 Infinity, x ść Infinity, y ść Infinity Infinity Granica nie powinna zależeć od drogi, po której zmierzamy do punktu (x0,y0) w płaszczyźnie XY! Szeregi liczbowe Zbieżność szeregu liczbowego: czy sumy n i= a i istnieje przy n? (* Szereg harmoniczny jest rozbieżny *) SumConvergence n, n zbieżność sumy False (* ale taki naprzemienny szereg jest już zbieżny *) SumConvergence - ^n n, n zbieżność sumy (* i Mathematica zna sumę tego szeregu: *) Sum - ^n n, {n,, Infinity} sumowanie ść -Log[] SumConvergence n^, n zbieżność sumy Sum n^, {n,, Infinity} sumowanie ść π 6 (* Bardziej ogólny wynik dla szeregu n^alpha: dostaniemy warunek, kiedy szereg jest zbieżny *)

6 NOF_.nb SumConvergence n^alpha, n zbieżność sumy Re[alpha] > Simplify Sum n^alpha, {n,, Infinity}, Re[alpha] > uprość sumowanie ść część rzeczywista Zeta[alpha]? Zeta Zeta[s] gives the Riemann zeta function ζ(s). Zeta[s, a] gives the generalized Riemann zeta function ζ(s, a). (* Znany wynik dla szeregu geometrycznego *) SumConvergence[q^ n, n] zbieżność sumy Abs[q] < Simplify[ Sum[q^n, {n,, Infinity}], Abs[q] < ] uprość sumowanie ść wartość bezwzg q - - + q Pochodne Pochodna funkcji f(x) w punkcie x0 (https://pl.wikipedia.org/wiki/pochodna)

NOF_.nb 7 (* Używając w programie Mathematica komendy D,musimy zawsze wskazać, oblicz pochodną po czym różniczkujemy, nawet jeśli nam wydaje się to zupełnie oczywiste! *) h = a * x^6 a x 6 D[h, x] oblicz pochodną 6 a x 5 D[h, a] oblicz pochodną x 6 (* pochodne wyższych rzędów *) D[h, {x, 4}] oblicz pochodną 360 a x w[x_] := x^3 x^ + w'[x] x 4 - + 3 x + x + x w''[x] 8 x 5 + x 3-4 x3 + x + Simplify[w''[x]] uprość - x -3 + x + x 3 (* i tak dalej... *) Simplify[w''''''[x]] uprość 6 x + x - 70 x -7 + 35 x - x 4 + x 6 + x 7 Simplify[ D[w[x], {x, 6}]] uprość oblicz pochodną - 70 x -7 + 35 x - x 4 + x 6 + x 7

8 NOF_.nb D[ Sqrt[ * x], x] pierwiastek kwadrato x D[ Sin[x] * Cos[x], x] sinus cosinus Cos[x] - Sin[x] D Sin[ * x] ^5, x ob sinus 0 Cos[ x] Sin[ x] 4 D[ Exp[7 * x + 3], x] funkcja eksponencjalna 7 e 3+7 x D[ Tan[x], x] tangens Sec[x] In[4]:= (* Sec[x] to Cos[x] *) secans cosinus In[3]:= Out[3]= Sec[x] === Cos[x] secans cosinus In[5]:= Out[5]= D[ Tan[x], x] === Cos[x] ^ tangens cosinus D[x^x, x] oblicz pochodną x x + Log[x] (* Mathematica zna też ogólniejsze twierdzenia o pochodnych, na przykład o pochodnej iloczynu... *) D[f[x] * f[x], x] oblicz pochodną f[x] f [x] + f[x] f [x] (* lub ilorazu *) Factor D f[x] f[x], x rozłóż oblicz pochodną f[x] f [x] - f[x] f [x] f[x]

NOF_.nb 9 (* Równaniami różniczkowymi będziemy się zajmować bardziej szczegółowo na jednym z kolejnych wykładów; teraz sprawdźmy, że funkcja x[t]= A* Cos Sqrt k m *t + co pierwiastek kwadratowy B* Sin Sqrt k m *t jest rozwiązaniem równania m*x''[t]+k*x[t]=0 *) si pierwiastek kwadratowy Clear[x, A, B, k, m] wyczyść x[t_] := A * Cos Sqrt k m * t + B * Sin Sqrt k m * t co pierwiastek kwadratowy si pierwiastek kwadrato Simplify[m * x''[t] + k * x[t] == 0] uprość (* Weźmy funkcję wielu zmiennych *) v = Sin[x + y] * Cos[x - * z] sinus cosinus Cos[x - z] Sin[x + y] D[v, x] oblicz pochodną Cos[x + y] Cos[x - z] - Sin[x + y] Sin[x - z] D[v, y] oblicz pochodną Cos[x + y] Cos[x - z] D[v, z] oblicz pochodną Sin[x + y] Sin[x - z] (* pochodna po x i y *) D[v, x, y] oblicz pochodną -Cos[x - z] Sin[x + y] - Cos[x + y] Sin[x - z] (* rozwinięcie w szereg *) Series[ Sin[x], {x, 0, 5}] szereg sinus x - x3 6 + x5 0 + O[x]6 Series[ Cos[x], {x, 0, 7}] szereg cosinus - x + x4 4 - x6 70 + O[x]8

0 NOF_.nb Plot Cos[x], - x^ + x^4 4 - x^6 70, {x, 0, 3} wykres cosinus.0 0.5 0.5.0.5.0.5 3.0-0.5 -.0 Jedno z wielu zastosowań pochodnych: równania stycznych do wykresu funkcji (* Styczna do paraboli y=x^ o równaniu y = a*x + b *) Clear[f, x]; wyczyść f[x_] = x^ x df = x D[f[x], x] oblicz pochodn x0 = 3; (* Współczynnik kierunkowy prostej jest równy pochodnej w punkce x0 *) a = df /. x x0 6 (* Współczynnik b dostajemy z warunku, ze prosta musi przechodzić przez punkt x0,f x0 *) solb = {{b -9}} Solve[a * x0 + b f[x0], b] rozwiąż równanie b = b /. solb[[]] -9

NOF_.nb Plot[{f[x], a * x + b, f[x0]}, {x, x0-3, x0 + 3}, PlotRange wykres zakres wykresu x^ All, ws AxesLabel {"x", "x^"}] oznaczenia osi 30 0 0 3 4 5 6 x -0 Clear[a, b, x0]; wyczyść (* Styczna do elipsy *) A = ; B = ; ContourPlot x^ A^ + y^ B^, {x, -A, A}, wykres konturowy {y, -B, B}, Axes osie, pra AxesLabel {"x", "y"}, oznaczenia osi AspectRatio format obrazu.0 y 0.5 0.0 x -0.5 -.0 - - 0 Clear[A, B]; wyczyść elipsa = x^ A^ + y^ B^ x A + y B (* Dla ustalonego x szukamy y *) soly = Solve[elipsa, y] rozwiąż równanie y - B A - x A, y B A - x A

NOF_.nb (* Rózniczkuje rownanie elipsy. Dzieki opcji y moge wyliczyc pochodna dy dx! *) delipsa = x A D[elipsa, x, NonConstants y] oblicz pochodną nie stałe y D[y, x, NonConstants {y}] + 0 B Solve[delipsa, rozwiąż równanie D[y, x, oblicz NonConstants {y}]] nie stałe D[y, x, NonConstants {y}] - B x A y NonConstants nie stałe (* Równanie prostej, która przechodzi przez punkt x0,y0 i ma współczynnik kierunkowy a, ma postac: y-y0 = a* x - x0 *) h = Together y - y0 + B x0 x - x0 0 zgrupuj A y0 B x x0 - B x0 + A y y0 - A y0 A y0 0 h = Simplify[h, A > 0 && y0 0] uprość y + B x - x0 x0 A y0 y0 (* Musimy jeszcze uwzglednic fakt, ze punkt x0,y0 nalezy do elipsy, czyli spelnia rownanie elipsy *) h3 = Expand[h] rozszerz y + B x x0 A y0 B x0 - A y0 y0 styczna[x0_, y0_] = h3 /. B^ * x0^ + A^ * y0^ A^ * B^ y + B x x0 A y0 B x0 - A y0 y0 (* Czesciej uzywana forma *) styczna[x0_, y0_] = x0 * x A^ + y0 * y B^ x x0 A + y y0 B (* Przykład *) A = ; B = ; x0 = ;

NOF_.nb 3 soly y - 4 - x, y 4 - x solyx0 = soly /. x x0 y - 3, y 3 y0 = {y /. solyx0[[]], y /. solyx0[[]]} - 3, 3 styczna[x0, y0[[]]] x 4-3 y styczna[x0, y0[[]]] x 4 + 3 y A = ; B = ; ContourPlot x^ A^ + y^ B^, x wykres konturowy 4 + 3 y, x 4-3 y, {x, - * A, * A}, {y, - * B, * B}, Axes osie, pra AxesLabel {"x", "y"}, oznaczenia osi AspectRatio format obrazu y 0 x - - -4-0 4 Badanie przebiegu zmienności funkcji (* Zadanie domowe nr 3 z zestawu nr 5: zbadać przebieg zmienności funkcji f(x)= x^+ x+ *) ClearAll[f, x, y]; wyczyść wszystko

4 NOF_.nb f[x_] = x^ + x + + x + x (* Dziedzina funkcji *) Df = FunctionDomain[f[x], x, Reals] dziedzina funkcji liczby rze x < - x > - (* Dziedzina funkcji jest w danym przypadku oczywista *) Simplify[ Reduce[ + x 0, x, Reals]] uprość zredukuj liczby rzecz + x 0 (* Przeciwdziedzina zbiór wartości funkcji: uwaga na składnię! *) Rf = FunctionRange[f[x], x, y] zakres funkcji y - - 3 y - + 3 (* To już nie było takie oczywiste! *) (* Granice w minus i plus ści *) g = Limit[f[x], x -> -Infinity] - g = Limit[f[x], x -> Infinity] (* Funkcja nie ma więc asymptot poziomych *) (* Granica lewostronna i prawostronna przy x - *) g3 = - Limit[f[x], x -, Direction ] kierunek g4 = Limit[f[x], x -, Direction -] kierunek (* Czy funkcja jest parzysta? *) FullSimplify[ ForAll[x, Df, f[x] f[-x]]] uprość pełniej kwantyfikator ogólny False (* Czy funkcja jest nieparzysta? *)

NOF_.nb 5 FullSimplify[ ForAll[x, Df, f[-x] -f[x]]] uprość pełniej kwantyfikator ogólny False (* pierwsza pochodna *) df = Simplify[ D[f[x], x]] uprość oblicz pochodną - + x + x + x (* Dla jakich x pochodna jest ujemna? *) FullSimplify[ Reduce[df < 0, x, Reals]] uprość pełniej zredukuj liczby rzecz + 3 + x > 0 && + x < 0 - < x < - + 3 (* Funkcja jest malejąca dla -- 3 < x < - oraz gdy - < x < -+ 3 *) (* Dla jakich x pochodna jest dodatnia? *) FullSimplify[ Reduce[df > 0, x, Reals]] uprość pełniej zredukuj liczby rzecz + 3 + x < 0 + x > 3 (* Funkcja jest rosnąca dla x < -- 3 oraz dla x > 3 - *) (* Dla jakich x pochodna przyjmuje wartosc zero? *) sdfzero = Solve[df 0, x] rozwiąż równanie x - - 3, x - + 3 (* Lista punktów x, dla których pierwsza pochodna przyjmuje wartość zero *) zerapoch = x /. sdfzero - - 3, - + 3 N[zerapoch = x /. sdfzero] przybliżenie numeryczne {-.7305, 0.7305} (* Po uproszczeniu wartości funkcji w tych punktach *) FullSimplify[f[zerapoch]] uprość pełniej - + 3, - + 3 N[ FullSimplify[f[zerapoch]]] uprość pełniej {- 5.464,.464}

6 NOF_.nb df = Simplify[ D[df, x]] uprość oblicz pochodn 6 + x 3 (* Dla jakich x druga pochodna jest ujemna? *) FullSimplify[ Reduce[df < 0, x, Reals]] uprość pełniej zredukuj liczby rzecz x < - (* Funkcja jest wklęsła dla x < - *) (* Dla jakich x druga pochodna jest dodatnia? *) FullSimplify[ Reduce[df > 0, x, Reals]] uprość pełniej zredukuj liczby rzecz x > - (* Funkcja jest wypukła dla x > - *) (* Dla jakich x druga pochodna przyjmuje wartosc zero? *) sdfzero = {} Solve[df 0, x] rozwiąż równanie (* Funkcja nie ma punktów przegięcia *) (* Wartości drugiej pochodnej dla miejsc zerowych pierwszej pochodnej *) zerapoch - - 3, - + 3 wartoscipoch = df /. sdfzero - 3, 3 (* Dlatego f(x) ma w punkcie -- 3,- 3 maksimum lokalne, a w punkcie -+ 3, 3 minimum lokalne *) (* Na koniec sprawdzimy jeszcze, czy istnieją asympoty ukośne *) a = Limit f[x] x, x -Infinity

NOF_.nb 7 b = Limit[f[x] - a * x, x -Infinity] - - - - a = Limit f[x] x, x Infinity b = - Limit[f[x] - a * x, x Infinity] (* Prosta o równaniu y=x- jest asymptotą ukośną zarówno dla x -, jak i dla x *) (* Wykres funkcji wraz z asymptotami *) Plot[{f[x], a * x + b}, {x, -4, 3}, AxesLabel {"x", "f(x)"}] wykres oznaczenia osi f(x) 0 5-4 -3 - - 3 x -5-0 -5 Całka nieoznaczona Integrate[x^ a, x] całka x +a + a Integrate x, x całka Log[x]

8 NOF_.nb Integrate Sqrt (x + 7) x +, x całka pierwiastek kwadratowy 7 + x 7 + x + x + x 7 + x + 5 + x ArcSinh + x 5 7 + x Simplify D uprość oblicz 7 pochodną + x + x + x 7 + x + 5 + x ArcSinh + x, x arcus sinus hiperboliczny 5 7 + x + x Integrate[ Cos[x], x] całka cosinus Sin[x] Integrate[ Sin[x], x] całka sinus -Cos[x] Integrate[ Tan[x], x] całka tangens -Log[Cos[x]] Integrate[ Cot[x], x] całka cotangens Log[Sin[x]] Integrate Sin[x] * Cos[x] Sin[x] ^4 + Cos[x] ^, x całka sinus cosinus sinus cosinus - 3 ArcTan - Tan[x] + ArcTan + Tan[x] 3 3 Integrate[ Exp[x], x] całka funkcja ekspon e x Integrate x^3 x^ +, x całka x - Log + x Integrate[ Sqrt[ + x^], x] całka pierwiastek kwadratowy x + x + ArcSinh[x] Integrate[ Sqrt[ - x^], x] całka pierwiastek kwadratowy x - x + ArcSin[x]

NOF_.nb 9 Integrate[ Sqrt[x^ - ], x] całka pierwiastek kwadratowy x - + x - Log x + - + x Integrate Sqrt[ + x^], x całka pierwiastek kwadratowy ArcSinh[x] ArcSinh[x] dx arcus sinus hiperbo - + x + x ArcSinh[x] Integrate Sqrt[ - x^], x całka pierwiastek kwadratowy ArcSin[x] Integrate Sqrt[x^ - ], x całka pierwiastek kwadratowy Log x + - + x Log x + logarytm - + x dx - - + x + x Log x + - + x - - + x + x Log x + - + x dx logarytm - 3 4 x - + x + 4 Log x + - + x + x Log x + - + x - 3 4 x - + x + Log x + 4 logarytm - + x + x Log x + - + x dx logarytm 4-3 9 - x 9 - + x - - + x 3/ + 3 x 3 + x Log x + - + x (* Czasem trzeba zachować ostrożność, bo Mathematica lubi używać zespolonego rachunku, a my oczekujemy funkcji rzeczywistej *) Integrate Cos[x] + Sin[x] ^ + Cos[x] ^3, x całka cosinus sinus cosinus 5 + 7 i - i ArcTan - i Tan x + - 7 i + i ArcTan + i Tan x - 5 Tan x (* Oczywiście nie powinniśmy żądać rzeczy niemożliwych: niektóre całki nie wyrażają się przez funkcje elementarne *)

30 NOF_.nb Integrate[ Exp[-x^], x] całka funkcja eksponencja π Erf[x] e-x dx π Erf[x] x π Erf[x] funkcja błęd e -x Cos[x] dx x CosIntegral[x] Sin[x] dx x SinIntegral[x] Całka oznaczona Całka oznaczona w przypadku funkcji jednej zmiennej a b f (x) dx (rysunek ze strony http://blog.etrapez.pl/calki-oznaczone/calki-oznaczone-definicja/)

NOF_.nb 3 Jeśli F (x) = f(x), to a b f (x) dx = F(b) - F(a) Plot[x, {x,, 3}, wykres 3.0 x AxesLabel {"x", "x"}, oznaczenia osi Filling wypełnienie Axis] oś.5.0.5.5.0.5 3.0 x PoleTrapezu = * 3 + * 3-4 Integrate[x, x] całka x

3 NOF_.nb CalkaOznaczona = 4 x /. x 3 - x /. x Plot[ Sin[x], {x, 0, wyk sinus sin(x).0 Pi}, pi AxesLabel {"x", "sin(x)"}, oznaczenia osi Filling wypełnienie Axis] oś 0.8 0.6 0.4 0. 0.5.0.5.0.5 3.0 x Integrate[ Sin[x], {x, 0, Pi}] całka sinus pi WAŻNA UWAGA PRAKTYCZNA: W wielu przypadkach opłaca się policzyć najpierw całkę nieoznaczoną, a następnie przy jej pomocy całkę oznaczoną! (* Poniższa instrukcja byłaby wykonywana bardzo dłuuuugo: *) (* L/v Simplify 0 uprość v + alpha+ beta t v dt,v>0&&alpha>0&&beta>0&&l>0 *) L (* Dlatego zrobimy tak: *) s0 = Simplify v beta t v + alpha + uprość L dt, v > 0 && alpha > 0 && beta > 0 && L > 0 beta t v L alpha + beta v L v + beta t v alpha + L + v beta t v Log alpha + + v beta t v + alpha + L L (* A następnie: *)

NOF_.nb 33 s = Simplify s0 /. t L v - s0 /. t 0 uprość beta v L -alpha alpha + v + alpha + beta alpha + beta + v - v Log alpha + alpha + v + v Log alpha + beta + alpha + beta + v (* Pole koła o promieniu r *) r = ; RegionPlot[x^ + y^ r^, {x, -r, r}, {y, -r, r}, wykres regionu na płaszczyźnie y Axes osie, pra AxesLabel {"x", "y"}] oznaczenia osi 0 x - - - - 0 (* To samo przy pomocy innej instrukcji i innych opcji *)

34 NOF_.nb r = ; Plot[{-Sqrt[r^ - x^], Sqrt[r^ - x^]}, {x, -r, r}, wykres pierwiastek kwadrat pierwiastek kwadratowy AspectRatio, format obrazu Frame ramka, pra y Filling { {}}, wypełnienie AxesLabel {"x", "y"}] oznaczenia osi 0 x - - - - 0 r =.; Simplify[ * Integrate[ Sqrt[r^ - x^], {x, -r, r}], r > 0] uprość całka pierwiastek kwadratowy π r (* Kilka badzo ważnych całek niewłaściwych *) Plot[ Exp[-x^], {x, -4, 4}, PlotRange wyk funkcja eksponencjalna zakres wykresu.0 All, ws Filling wypełnienie Axis] oś 0.8 0.6 0.4 0. -4-4 Integrate[ Exp[-x^], {x, -Infinity, Infinity}] całka funkcja eksponencja nieskończ ść π

NOF_.nb 35 a = ; Plot[ Exp[-a * x], {x, 0, 4}, PlotRange wyk funkcja eksponencjalna zakres wykresu All, ws Filling wypełnienie Axis] oś.0 0.8 0.6 0.4 0. 3 4 a =.; Simplify[ Integrate[ Exp[-a * x], {x, 0, Infinity}], a > 0] uprość całka funkcja eksponencjalna ść a f[x_] = Max Sin[x] x, 0 ; m sinus f[x_] = Min Sin[x] x, 0 ; mi sinus Plot[{f[x], f[x]}, {x, -5, 5}, PlotRange All, wykres zakres wykresu wszys Filling wypełnienie Axis, oś AxesLabel {"x", "sin(x)/x"}] oznaczenia osi sin(x)/x.0 0.8 0.6 0.4 0. -5-0 -5 5 0 5 x -0. Integrate Sin[x] x, {x, -Infinity, Infinity} całka sinus nieskończ ść π Clear[f, f]; wyczyść f[x_] = Max[ Sin[x^], 0]; m sinus

36 NOF_.nb f[x_] = Min[ Sin[x^], 0]; mi sinus Plot[{f[x], f[x]}, {x, -4, 4}, PlotRange All, wykres zakres wykresu wszys Filling wypełnienie Axis, oś AxesLabel {"x", "sin(x^)"}] oznaczenia osi sin(x^).0 0.5-4 - 4 x -0.5 -.0 Integrate[ Sin[x^], {x, -Infinity, Infinity}] całka sinus nieskończ ść π Integrate[ Cos[x^], {x, -Infinity, Infinity}] całka cosinus nieskończ ść π (* Objętość pod wykresem funkcji dwóch zmiennych wymaga podwójnej całki oznaczonej *) Plot3D[x^ + * y, {x, 0, 3}, {y, 0, 5}, AxesLabel {"x", "y", "f(x,y)"}] wykres trójwymiarowy oznaczenia osi

NOF_.nb 37 Integrate[x^ + * y, {x, 0, 3}, {y, 0, 5}] całka 0 (* Policzmy teraz objętość kuli, czyli podwojoną objętość półkuli o promieniu r, używając współrzednych kartezjańskich *) Clear[r]; wyczyść * Integrate [ Sqrt[r^ - x^ - y^], {x, -r, r}, {y, - Sqrt[r^ - x^], Sqrt[r^ - x^]}] całka pierwiastek kwadratowy pierwiastek kwadrat pierwiastek kwadratowy 4 π r 3 3 (* Kula jest kostką we współrzędnych sferycznych i trójwymiarowa całka oznaczona po rp, theta i phi ma bardzo proste granice *) Integrate[rp^ * Sin[theta], {rp, 0, r}, {theta, 0, Pi}, {phi, 0, * Pi}] całka sinus pi pi 4 π r 3 3 Inne zastosowania całek oznaczonych w fizyce i technice poznacie Państwo niebawem!