2.2 Model odsetek prostych 9

2.2 Model odsetek prostych 9 Uwaga 2.2.2 Komentarza wymaga znaczenie stopy bazowej. Z definicji wynika, że i T = FV PV, co wcale nie oznacza, że wartość indeksu i PV T zależy od wartości pocz atkowej PV.Wskaźnik i T liczbowo przedstawia dwa aspekty MOP: czas trwaniazjawiskaorazjegodynamikȩ. Miar a dynamiki zjawiska zmiany wartości kapita lu w czasie jest iloraz K(t o +Δt) K(t o ), Δt gdzie 0 t o <T, Δt >0 i t o +Δt T.Zauważmy, że z za lożenia (2.1) iwzoru (2.2), dla danego MOP dynamika ta jest zawsze sta la i wynosi q = FV PV T. W takim razie, jeśli dla takiego MOP zmieni a siȩ warunki brzegowe na PV i to zawsze FV PV FV PV = = i PV T. PV FV, Uwaga 2.2.3 MOP odpowiada klasyczna transakcja, któr a najprościej jest opisać w uk ladzie bilateralnym. Dane s a dwa podmioty A i B, zktórych podmiot A dysponuje nadwyżk a finansow a reprezentuje podaż, podmiot B reprezentuje popyt. Podmioty te zawieraj a umowȩ: na określony czas (liczony w ilościach dni) podmiot A pożycza podmiotowi B kapita l w wysokości PV,który musi być zwrócony na koniec. Miar a poniesionego kosztu przez podmiot B s a odsetki naliczone jednorazowo od pożyczonego kapita lu za czas trwania transakcji. Dla podmiotu A odsetki te s a zyskiem z transakcji. Przyk lad 2.2.1 Wspólnota mieszkaniowa lokuje 10000 z l na lokacie rocznej w banku, której oprocentowanie w skali roku wynosi 5%. Ile wspólnota otrzyma po up lywie roku? Mamy tutaj obraz sytuacji opisanej w uwadze powyżej. Z za lożenia T = (liczba dni roku), i T =0, 05, PV = 10000. Zysk z lokaty, to odsetki I T za okres T,dlategoPV + I T stanowi kwotȩ jak a otrzyma wspólnota po roku, czyli FV = PV + I T = 10000 + 10000 0, 05 = 10500. W praktyce wygodniej jest pos lugiwać siȩ standardow a d lugości a okresu T jak a jest (patrz przyk lad wyżej). Ponieważ wtedy na ogó l T <,należy przed lużyć funkcjȩ t K(t) z przedzia lu [0,T] na przedzia l [0,] (patrz rys. 3). Oczywiście dalej dostaniemy funkcjȩ liniow a. Po podstawieniu t = do wzoru (2.5) otrzymamy K() =PVi T T + PV. (2.9) 9

10 Matematyka finansowa i bankowa Oznaczaj ac we wzorze (2.9), R = i T T, czyli i T = R T, (2.10) dostaniemy zasadȩ dopasowania stopy bazowej do stopy rocznej R zwanej teżstop a p.a. (z lac. per annum). K PV T t Rysunek 2.3: ilustracja przed lużenia funkcji t K(t) Przyk lad 2.2.2 Wspólnota stoi przed wyborem: czy ulokować 5000 z l na pó l roku wed lug stopy rocznej 7%, czy4000 z l na rok wed lug stopy rocznej 9%. Ztreści przyk ladu możemy siȩ domyślać, że wspólnota nie dysponuje duż a nadwyżk a finansow a i dlatego rozważa różne okresy deponowania swoich środków, bior ac 10

2.2 Model odsetek prostych 11 pod uwagȩ ryzyko zwi azane ze zjawiskiem utraty p lynności. Zauważmy, że warianty brane pod uwagȩ s a nieporównywalne. Zgodnie bowiem z zasad a datowania kapita lu nie można ze sob a porównywać wartości przysz lych datowanych różnie. W takim razie wariant pierwszy należy prolongować doca lego roku. Niech I T, gdzie T = oznaczaj a odsetki dla wariantu pierwszego za okres T, I 2 1 odsetki zuwzglȩdnieniem przed lużenia tej transakcji, a wiȩc należne po up lywie roku. Wtedy, z zasady dopasowania stopy, dlastopyi T =0, 07 /2 =0, 035 dostaniemy I 1 = 5000 i T + 5000 i T = 350. Tymczasem odsetki I 2 należne również po roku z transakcji drugiej wynios a I 2 = 4000 0, 09 = 360. ponieważ I 2 >I 1,wiȩc przy nie uwzglȩdnianiu ryzyka zwi azanego z być może utrat a p lynności, wariant drugi jest korzystniejszy. Analiza przedstawiona w powyższym przyk ladzie prowadzi nas do nastȩpuj acego wniosku Wniosek 2.2.1 Przypuśćmy, że MOP z parametrami: T,PV,i T zosta l prolongowany do okresu nt dla pewnej liczby naturalnej n>1. Oznaczmy przez FV n wartość przysz l a po up lywie czasu nt.wtedy FV n = PV + I 1 + I 2 +...+ I n, (2.11) gdzie I j oznaczaj a odsetki liczone od wartości pocz atkowej PV za okres T. Zauważmy, że ponieważ odsetki I j s a należne dopiero po up lywie nt dni, datowane s a jednakowo i dlatego można je dodaj ac kumulować. W takim razie, z (2.11) dostaniemy FV n = PV + PVi T +...+ PVi T = PV + PVni T = PV(1 + ni T ). (2.12) Na koniec zauważmy, że do takiego samego wyniku możemy dojść przed lużaj ac funkcjȩ t K(t) do przedzia lu [0,nT], takjaktozrobiliśmy w przypadku zasady dostosowania stopy. Istotnie, ze wzoru (2.3), po podstawieniu t = nt dostaniemy FV n = K(nT )=PVi T nt T + PV = PV(1 + ni T ). Procedura opisana w ostatnim wniosku ma znaczenie czysto teoretyczne, jak pokazaliśmy to w powyższym przyk ladzie. W praktyce spotykamy siȩ zezja- wiskiem w pewnym sensie odwrotnym. Dok ladniej, w pierwszej fazie trwania transakcji z parametrami: T,i T,PV, po up lywie T 1 dni, 0 <T 1 <Tzaczȩ la obowi azywać nowastopar 1 podana jako stopa p.a. Po up lywie kolejnych T 2 11

12 Matematyka finansowa i bankowa dni, T 1 + T 2 <T zaczȩ la obowi azywać stopa p.a. R 2. Wreszcie, po up lywie kolejnych T n 1 dni, T 1 + T 2 +...+ T n 1 <T,dokońca przez T n dni obowi azywa la stopa p.a. R n 1 (patrz rys. 4)). Wyliczymy w zaistnia lej sytuacji przys luguj ace odsetki w ramach MOP. it R1 R2 Rn-1 x x x x x x 0 i1 T1 i2 T1+T2 i3 T1+T2+T3 T1+ +Tn-1 in T=T1+ +Tn Rysunek 2.4: ilustracja zjawiska zmiany stopy bazowej w MOP W tym celu podzielmy oryginalny przedzia l czasowy [0,T] chwilami: T 1,T 1 + T 2,...,T = T 1 + T 2 +...+ T n.dlakażdego z tak powsta lych podokresów niech i j oznacza obowi azuj ac a w nim stopȩ. Dostaniemy kolejno: T 1 i 1 = i T T,i T 2 2 = R 1,...,i T n n = R n 1. Wtedy odsetki I j naliczone za kolejne podokresy od wartości pocz atkowej wed lug stopy i j wynios a I j = PVi j. Ponieważ należne bȩd a dopiero po up lywie T dni, jako jednakowo datowane bȩdzie je można skumulować do wartości I T. Dlatego I T = I 1 + I 2 +...+ I n = PV(i 1 + i 2 +...+ i n ). Przyk lad 2.2.3 Wdniu17marcaw laściciele lokali we wspólnocie Alternatywy 4 zobowi azali zarz adcȩ doulokowaniawolnychśrodków stanowi acych rezerwy z op lat bież acych w laścicieli w wysokości 8000 z l na rocznej lokacie terminowej oprocentowanej na 8%. Zarz adca nastȩpnego dnia wykona l dyspozycje w banku zgodn a zuchwa l aw laścicieli. Po up lywie 90 dni od za lożenia lokaty bank powiadomi l zarz adcȩ o zmianie stopy p.a. na 7%. Niestety, 10 grudnia tego samego roku nast api la awaria instalacji elektrycznej, zmuszaj aca wspólnotȩ do natychmiastowej likwidacji lokaty celem pokrycia kosztów remontu. Bank w takiej sytuacji nalicza odsetki wed lug MOP. Obliczyć wysokość odsetek należnych wspólnocie. Przyj ać, że rok ten ma 365 dni. Zaczynamy od konstrukcji przedzia lu czasowego i kolejnych podokresów (patrz rys. 5). Pocz atkiem przedzia lu jest dzień 18 marca. Wydarzeniem, które wyróżnia pierwszy podokres jest zmiana oprocentowania i liczy on 90 dni. Kończy siȩ zatem 25 czerwca. Kolejny podokres trwa od 26 czerwca do 10 grudnia i spowodowany jest zerwaniem umowy o lokatȩ. Okres ten trwa 168 dni. W okresach tych 12

2.2 Model odsetek prostych 13 obowi azuj a stopy bazowe, gdzie 90 i 1 =0, 08 365 =0, 019, i 2 =0, 07 168 =0, 032. 365 St ad I T = I 1 + I 2,gdzieT = 258 oraz I 1 = PVi 1 = 8000 0, 019 = 152, 00, I 2 = PVi 2 = 8000 0, 032 = 257, 75, czyli I T = 409, 75. 0 i1 90 i2 258 x x x 18 marca 25 czerwca 10 grudnia Rysunek 2.5: ilustracja do przyk ladu 1.2.3 13

14 Matematyka finansowa i bankowa 2.3 Model odsetek z lożonych Weźmy klasyczny przypadek MOP z parametrami: T,i T,PV,FV. Okres [0,T] podtraktujmy jako kolejny j ty podokres przedzia lu czasowego [0,nT]dla n>1 z parametrami: i T,PV j,fv j,gdziefv j = PV j+1, czyli wartość przysz la j tego podokresu jest wartości a teraźniejsz a podokresu nastȩpnego j + 1 (patrz rysunek 6). Wtedy na mocy MOP Wtakimrazie FV j = PV j (1 + i T ), dla j =1, 2,...,n. (2.13) FV 2 = PV 2 (1 + i T )=FV 1 (1 + i T )=PV(1 + i T )(1 + i T )=PV(1 + i T ) 2. I ogólnie, dla każdego 1 j n FV j = PV(1 + i T ) j. (2.14) W szczególności FV n = PV(1 + i T ) n. (2.15) Zjawisko oparte na powyższych za lożeniach i opisane wzorami (2.13) (2.15) nazywamy modelem odsetek z lożonych (MOZ). Natomiast równość FV j = PV j+1 nazywamy kapitalizacj a odsetek, bowiem odsetki naliczone na koniec okresu w wysokości PV j i T powiȩkszaj a kapita l PV j staj ac siȩ sk ladow a kolejnego kapita lu pocz atkowego PV j+1.mówimy też, że odsetki skapitalizowa ly siȩ. PV=PV1 FV1=PV2 FV2=PV3 FVn 0 x T x 2T nt Rysunek 2.6: ilustracja do MOZ Przyk lad 2.3.1 Wspólnota mieszkaniowa lokuje na trzy lata 5000 z l na koncie bankowym oprocentowanym w skali roku na 6%. Zak ladaj ac MOZ z kapitalizacj a pó lroczn a wyznaczyćwartość depozytu na koniec umowy. Zza lożenia mamy do czynienia z n = 6 krotn a kapitalizacj a, ze stop a bazow a i T =0, 06 /2 =0, 03. W takim razie, z (2.15) dostaniemy FV 6 = 5000 (1 + 0, 03) 6 = 5970, 26. Gdybyśmy zdecydowali siȩ tylko na dwukrotne prolongowanie rocznej lokaty, to zgodnie z MOP FV 6 = 5000 (1 + 3 0, 06) = 5900, 00. 14

2.3 Model odsetek z lożonych 15 I ogólnie, ponieważ dla każdej liczby naturalnej n 2 i liczby rzeczywistej a 0 zachodzi nierówność Bernoulliego (1 + a) n > 1+na, widzimy, że MOZ z lożony z n krotnej kapitalizacji z lożonej jest wydajniejszy od MOP realizuj acego dla tych samych podokresów zjawisko prolongaty, czyli PV(1 + i T ) n >PV(1 + ni T ). Wróćmy do powyższego przyk ladu i wyznaczmy wartości naliczonych odsetek na koniec kolejnych podokresów (patrz rys. 7). I1 I2 I3 I4 I5 I6 x x x x x PV PV1=FV PV2=FV1 PV3=FV2 PV4=FV3 PV5=FV4 6T=FV5 Rysunek 2.7: ilustracja do przyk ladu 1.3.1 ZMOP,przyuwzglȩdnieniu zjawiska kapitalizacji dostaniemy kolejno: I 1 = PVi T = 5000 0, 03 = 150, I 2 = PV 1 i T = FVi T =(PV + I 1 )i T = 5150 0, 03 = 154, 50, I 3 = PV 2 i T = FV 1 i T =(PV 1 + I 2 )i T = 5304, 5 0, 03 = 159, 14, I 4 = PV 3 i T = FV 2 i T =(PV 2 + I 3 )i T = 5463, 64 0, 03 = 163, 91, I 5 = PV 4 i T = FV 3 i T =(PV 3 + I 4 )i T = 5627, 55 0, 03 = 168, 83, I 6 = PV 5 i T = FV 4 i T =(PV 4 + I 5 )i T = 5796, 38 0, 03 = 173, 89. I ostatecznie FV 5 = PV 5 + I 6 = 5796, 38 + 173, 89 = 5970, 27. W sytuacji ogólnej, ponieważ FV j = PV j + I j oraz PV j = FV j 1,dostaniemy FV j = PV j + I j = FV j 1 + I j, (2.16) sk ad ze wzoru (2.15) otrzymamy I j = FV j FV j 1 = PV(1 + i T ) j PV(1 + i T ) j 1 = PVi T (1 + i T ) j 1. (2.17) Z drugiej strony możemy mówić oodsetkachi sk takich, że FV n = PV + I sk, czyli I sk = I T. (2.18) 15

16 Matematyka finansowa i bankowa Wtedy ze wzoru (2.15) I sk = PV((1 + i T ) n 1). (2.19) Odsetki te (nie mylić zodsetkamii j ) nazwiemy dalej odsetkami skumulowanymi. Ich rolȩ wyjaśnia kolejny przyk lad Przyk lad 2.3.2 Wspólnota mieszkaniowa podejmuje decyzjȩ o wp lacie do banku na trzy lata kwoty 20000 z l stanowi acej środki funduszu remontowego. Obowi azuj aca w tym okresie stopa roczna wynosi 8%, odsetki kapitalizowane s a w cyklu rocznym. O ile powiȩkszy siȩ z lożony kapita l na koniec umowy? O jak a wartość przyrosn a odsetki po pierwszym, po drugim oraz po trzecim roku trwania lokaty? Kapita l powiȩkszy siȩ o odsetki skumulowane. Obliczymy je zgodnie z formu l a (2.19), co daje I sk = PV((1 + i T ) n 1) = 20000 (1, 008 3 1) = 5194, 24. Po pierwszym roku lokaty wartość odsetek wyniesie zgodnie ze wzorem (2.17) Po drugim roku Po trzecim, ostatnim roku I 1 = PVi T = 20000 0, 08 = 1600, 00. I 2 = PVi T (1 + i T ) = 20000 0, 08 1, 08 = 1728, 00. I 3 = PVi T (1 + i T ) 2 = 20000 0, 08 1, 008 2 = 1866, 24. Zauważmy, że I 1 + I 2 + I 3 = 5194, 24 = I sk. Ostatni wynik wymaga komentarza. Z jednej strony pope lniamy b l ad, lami ac zapis zasady porównywania kapita lu, próbuj ac dodawać do siebie kapita l różnie datowany. Z drugiej strony na przytoczonym przyk ladzie zauważamy pewn a prawid lowość. Odniesiemy siȩ najpierw do drugiej kwestii. W tym celu weźmy pod uwagȩ wartości kolejnych odsetek: I 1,I 2,...,I n. Spośród nich wybierzmy s asiednie I j,i j+1 ikorzystaj ac z (2.17) podzielmy je przez siebie I j+1 I j = PVi T (1 + i T ) j PVi T (1 + i T ) j 1. Po uproszeniu dostaniemy I j+1 I j =1+i T, 16

2.3 Model odsetek z lożonych 17 co oznacza, że każdy taki iloraz jest jednakowy. W matematyce mówimy wtedy, że I 1,I 2,...,I n s a kolejnymi wyrazami ci agu geometrycznego o ilorazie równym 1+i T. Ponadto wiadomo, że wtedy I 1 + I 2 +...+ I n = I 1 1 (1 + i T ) n 1 (1 + i T ), (2.20) co po uproszeniu i skorzystaniu ze wzoru na I sk daje I 1 + I 2 +...+ I n = PVi T (1 + i T ) n 1 i T = PV((1 + i T ) n 1) = I sk. (2.21) Zatem w MOZ zawsze odsetki skumulowane równe s a sumie odsetek naliczonych za kolejne okresy kapitalizacji. Usprawidliwieniem możliwości dodawania do siebie tych odsetek jest fakt, że ich należność zapada dopiero na koniec kapitalizacji i w tym sensie s a jednakowo datowane. Możemy teraz zdefiniować kolejn astopȩ i ef, gdzie na mocy (2.21), i ef = I sk PV = I T PV =(1+i T ) n 1, (2.22) któr a nazywamy stop a efektywn a wmozzaokresnt. Zauważmy, że dla tej stopy FV n = PV + PVi ef. (2.23) Ponadto, z nierówności Bernoulliego, dla tej stopy mamy nierówność, której wersjȩ już widzieliśmy przy porównaniu obu modeli odsetkowych i ef >ni T, o ile n 2. (2.24) Przyk lad 2.3.3 Wspólnota mieszkaniowa otrzyma la dwie propozycje ulokowania wolnych środków: 1. 10000 z l na 18 miesiȩcy z kapitalizacj a kwartaln a w.g. stopy p.a. równej 7%; 2. 10000 z l na 18 miesiȩcy z kapitalizacj a pó lroczn a w.g. stopy p.a. R. Dla jakiej wartości R wariant pierwszy bȩdzie korzystniejszy? Ponieważ 6T 1 =3T 2,gdzieT 1 i T 2 oznaczaj a okresy kapitalizacji dla tych wariantów, wykorzystamy pojȩcie stopy efektywnej. Dla wariantu pierwszego mamy: i T1 =0, 07 1/4 =0, 0175, 17

18 Matematyka finansowa i bankowa wiȩc I sk1 = I 6T1 = PV 1 ((1 + i T1 ) 6 1) = 10000 (1, 0175 6 1) = 1097, 02. Dlatego i ef1 = I sk 1 = 0, 1097. PV 1 Wartość stopyr musi być taka, aby i ef1 >i ef2, bowiem obie stopy efektywne obejmuj a ten sam okres. Oznacza to, że 0, 1097 > Po przekszta lceniu otrzymamy idlategor<0, 0706, czyli R<7, 06%. ( 1+ R 2 ) 3 1, bowiem it2 = R 2. 1+ R 2 < 3 1, 1097 = 1, 0353 Dla MOZ z parametrami: PV,i T,n porównamy teraz wartość stopy efektywnej ze stop a roczn a. Zaczniemy od przyk ladu liczbowego, wykorzystuj ac do tego celu dane z przyk ladu powyższego: R =0, 07, i ef =0, 1097. Problem polega na tym, że stopy te odnosz a siȩ do różnych okresów dlatego nie można ich porównywać. W takim razie należy wartość stopy efektywnej zrelatywizować do okresu. W tym celu do jej obliczenia należy wzi ać takien o,że n o T =, ( ) co w naszym przypadku oznacza, że n o =4. WtedyPV (1 + i T ) no 1 opisuje zysk z MOZ za okres roku. Oznaczmy tȩ stopȩ przez i o, czyli i o =(1+i T ) no 1=1, 0175 4 1 = 0, 07196 >R. Rozważmy teraz sytuacjȩ ogóln a. Wtedy i T Za lóżmy, że n o T = = R T i i ef =(1+i T ) n 1. dla pewnej liczby naturalnej n o, co oznacza, że T<iwci agu kapitalizacja przebiega ca lkowit a ilość razy.wtedy i o = ( 1+R T ) no ( 1= 1+ R ) no 1. n o Znierówności Bernoulliego mamy teraz i o >R, o ile n o 2. Możemy wiȩc sformu lować nastȩpuj acy wniosek 18

2.3 Model odsetek z lożonych 19 Wniosek 2.3.1 Niech dla MOZ, T<iwci agu kapitalizacja odbywa siȩ n o razy, czyli n o T =. Jeśli n o =1,toi o = R = i T. W przeciwnym razie mamy zawsze R<i o. Stopȩ i o dalej bȩdziemy nazywali efektywn a stop a nominaln a. Poznaliśmy w ten sposób cztery rodzaje stóp procentowych: stopȩ bazow a i T,stopȩp.a. R, stopȩ efektywn a i ef istopȩ efektywn a nominaln a i o.wnastȩpnym rozdziale poznamy kolejn a, pi at a stopȩ stopȩ dyskontow a. 19