ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 6 Kalkulacja sk ladki netto II. Funkcje komutacyjne.

Transkrypt

1 Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 6 Kalkulacja sk ladki netto II. Funkcje komutacyjne. 1

2 Przypomnienie Umowa ubezpieczenia zawiera informacje o: Przedmiocie ubezpieczenia Czasie trwania ubezpieczenia Sumie ubezpieczenia Terminie wyp laty 2

3 Przyk lad 1 Umowa ubezpieczenia (40) przewiduje wyp late kwoty 1, jeżeli (40) umrze w ciagu 2 lat od podpisania umowy po pó lrocznym okresie odroczenia. Wyznaczyć JSN, jeżeli suma ubezpieczenia jest p latna na koniec roku, w którym nastapi la śmierć osoby ubezpieczonej. JSN = v P (0.5 T 40 < 1) + v 2 P (K 40 = 1) = 0.5vq 40 + v 2 ( l41 l 42 } {{ l 40 } jeżeli HU ) 3

4 Jeżeli HU, to P (0.5 T 40 < 1) = P (T 40 > 0.5) P (T 40 > 1) = 0.5 P (T 40 > 0)+0.5 P (T 40 > 1) P (T 40 > 1) = 0.5P [ P (T 40 > 0) P (T 40 > 1) ] = 0.5q 40. 4

5 Przyk lad 2 Umowa ubezpieczenia na ca le życie (30) przewiduje wyp late kwoty 1 na koniec roku, w którym nastepi la śmierć osoby ubezpieczonej. Zgodnie z umowa sk ladki op lacane bed a na poczatku każdego roku w czasie trwania ubezpieczenia. Wysokość sk ladki w k-tym roku trwania umowy vp (K 30 = k) = vp (T 30 > k) P (T 30 < k + 1 T 30 > k) = v kp 30 q [30]+k jeżeli czynnik dyskonta jest taki sam w każdym roku. 5

6 Przyk lad 3 Harmonogram sp lat kredytu znajduje si e w poniższej tabeli miesiac kwota Raty kredytu sa p latne do 5 każdego miesiaca. Zaproponować ubezpieczenie, które zabezpiecza sp late tego kredytu na wypadek śmierci kredytobiorcy. Wyznaczyć JSN. Każdy miesiac ma 30 dni 6

7 Przynajmniej 2 możliwe interpretacje: 1. Ubezpieczyciel zobowiazuje sie zap lacić ca l a należna kwote w terminie sp laty pierwszej raty po śmierci osoby ubezpieczonej. 2. Ubezpieczyciel zobowiazuje sie p lacić raty kredytu po śmierci kredytobiorcy w terminach uprzednio ustalonych. 7

8 Pierwsza interpretacja. Podokres: 5 dni. v efektywny czynnik dyskonta przy kapitalizacji dziennej v 65 P (K x = 0, S (72) x ) v 95 P (K x = 0, < S(72) x ) v 125 P (K x = 0, < S(72) x ) v 155 P (K x = 0, < S(72) x ). 8

9 Druga interpretacja [ P (K x = 0, S (72) x )( 2v v v v 155) + P (K x = 0, < S(72) x )( 2v v v 155) + P (K x = 0, < S(72) x )( 3v v P (K x = 0, < S(72) x ) 4v155 ] ) 9

10 Przypomnijmy, że jeżeli obowiazuje HU, to P (K x = k, S (m) x = l m ) = P (K x = k)p (S (m) x = l m ) = 1 m P (K x = k). Zatem, w szczególności P (K x = 0,13 < S (72) x 19) = P (K x = 0)P (13 < S x (72) 19) = q x 19 k=14 = 5 72 q x. P (S (72) x = k 72 ) Dlaczego faktyczna sk ladka jest taka sama dla wszystkich? 10

11 Przyk lad 4 Wyznaczyć, na podstawie TTŻ, JSN w ubezpieczeniu na ca le życie, jeżeli obowiazuje HCFM. JSN = E [ Z ] = E [ v T ] x = 0 vt f x (t)dt. Przypomnijmy, że HCFM oznacza, że µ [x]+k+u = µ [x]+k, jeżeli k N 0 oraz 0 u < 1. Uzasadniliśmy już, że jeżeli HCFM, to gdzie P (T x > k + u) = k p x ( p[x]+k ) u, p [x]+k = P (T x > k + 1 T x > k). 11

12 Zatem P (T x k + u) = 1 P (T x > k + u) = 1 k p x (p [x]+k ) u. W konsekwencji, jeżeli k N 0 oraz 0 < u < 1, to dla t = k + u f x (t) = [ 1 k p x ( p [x]+k ) u ] = k p x ln p [x]+k (p [x]+k ) u. 12

13 Z tego wynika, że JSN = kp x ln 1 p [x]+k k+1 k v t( p [x]+k ) t kdt = kp x ln p [x]+k p k ln v p [x]+k [x]+k [ (v ) k ( ) ] k+1 p[x]+k v p[x]+k. 13

14 Funkcje komutacyjne Zdyskontowana liczba przeżywajacych D x = v x l x. Inne funkcje komutacyjne C x = v x+1 d x, M x = R x = C x+k, M x+k. 14

15 Znajomość wartości funkcji komutacyjnych pozwala latwo wyznaczyć JSN w ubezpieczeniach p latnych na koniec roku śmierci Na przyk lad A x = M x D x, A 1x: n = M x M x+n D x, n A x = M x+n D x, A x: n = M x M x+n + D x+n D x. 15

16 Umowa renty życiowej zak lada wyp laty z określona intensywnościa ustalonych kwot w czasie kiedy ubezpieczony żyje. 16

17 Ze wzgledu na czas objety umowa można wyróżnić: rente dożywotnia rente terminowa rente odroczona. 17

18 Za lożmy, że umowa renty przewiduje wyp laty kwot c k, k N 0 w kolejnych latach trwania życia osoby ubezpieczonej, to znaczy wtedy, gdy k K x. Za lóżmy, że K x = K. obecna wyp lat wynosi Wówczas wartość K c k v k. Zatem zmienna losowa opisujac a wartość obecna wyp lat jest K x c k v k. 18

19 Jednorazowa sk ladka netto dla rent o p latności c k w k-tym roku: [ K x ] E c k v k = K=0 K c k v k P (K x = K). Z drugiej strony gdzie: Zatem [ K x ] ( E c k v k = E χ k Tx = [ K x ] E c k v k = χ k Tx c k v k, 1, T x k, 0, T x < k. c k v k E [ χ k Tx ]. 19

20 Oczywiście E [ χ k Tx ] = 0 P (T x < k)+1 P (T x k) = P (T x k). Z tego wynika, że [ K x ] E c k v k = c k v k kp x. 20

21 Niech c k = 1 dla każdego k N 0. Wówczas jednorazowa sk ladka netto w przypadku renty wynosi, zgodnie z tym co wyprowadziliśmy poprzednio Porównajmy z A x v k P (T x>k) {}}{ kp x. v k+1 k p x q } {{ [x]+k. } P (K x =k) 21

22 Porównajmy jeszcze raz A x = v k+1 P (K x = k), dla renty o warunkach opisanych powyżej JSN = K v k K=0 P (K x = k). 22

23 Renty na ca le życie Renta p latna z góry na poczatku każdego roku życia rentobiorcy ä x = v k kp x. Renta p latna z do lu na koniec roku przeżytego przez rentobiorc e a x = E [ K x k=1 v k] = k=1 v k kp x = ä x 1. 23

24 Renty terminowe Renta terminowa na życie p latna z góry Zatem c k = 1, k = 0,..., n 1, 0, k = n, n + 1,.... ä x: n = n 1 v k kp x. Renta na życie p latna z do lu c k = Zatem 0, k = 0, 1, k = 1,..., n 0, k = n, n + 1,... a x: n = n k=1 v k kp x. 24

25 Renty odroczone Dożywotnia renta p latna z góry odroczona o m c k = 0, k = 0, 1,..., m 1, 1, k = m, m + 1,... wi ec m äx = k=m v k kp x. Dożywotnia renta p larna z do lu odroczona o m c k = wiec 0, k = 0,..., m, 1, k = m + 1, m + 2,... m a x = k=m+1 v k kp x. 25

26 Renty sta le, p latne cz eściej niż raz w roku Przypadek renty p latnej z góry, o p latności 1 m, m-krotnie w ci agu roku. Wartość obecna wyp laty Z = 1 m Zatem [ 1 E m ( 1 + v 1/m + + v K x+s x (m) m(k x +S (m) x ) 1 = E = E = [ 1 m [ v k/m ] ) 1/m v k/m χ {m(kx +S x (m) ) 1 k} 1 m vk/m χ {Tx k/m} 1 m v k m km p x. ] ]. 26

27 Obserwacja 1 Jednorazowa sk ladka renty na ca le życie, p latnej po 1/m, z góry, m- krotnie w roku, wynosi ä x (m) = 1 A(m) x d (m), jeżeli zachodzi HU, to dodatkowo gdzie: ä (m) x = 1 i i (m)a x d (m), A x (m) jest jednorazowa sk ladka netto ubezpieczenia na ca le życie na sume 1, p latnego na koniec 1/m-tej cześci roku po śmierci, d (m) jest stopa procentowa z góry, odpowiadajac a nominalnej stopie procentowej i (m) przy m-krotnej kapitalizacji, czyli d (m) = i (m) 1 + i (m) /m. 27

28 Inwestujemy kwote C oczekujac stopy procentowej i. Jaka cześć kwoty C możmy otrzymać natychmiast, aby po roku otrzymać znowu C? Civ = Cd d = i 1 + i d nazywa sie stopa procentowa z góry. Ten sam argument zastosowany do sytuacji, gdy kapitalizacja m-krotnie w roku z nominalna stopa procentowa i (m) dla wyznaczenia nominalnej stopy procentowej z góry przy kapitalizacji m-krotnie w ciagu roku d (m) = i(m) 1 + i(m) m. 28