ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I
|
|
- Dariusz Zych
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I 1
2 Kodeks cywilny Tytu l XXVII, Umowa ubezpieczenia Dzia l I. Przepisy ogólne Dzia l II. Ubezpieczenia majatkowe Dzia l III. Ubezpieczenia osobowe 2
3 Art Przez umowe ubezpieczenia zak lad ubezpieczeń zobowiazuje sie spe lnić określone świadczenie w razie zajścia przewidzianego w umowie wypadku, a ubezpieczajacy zobowiazuje sie zap lacić sk ladke. 2 Świadczenie zak ladu ubezpieczeń polega w szczególności na zap lacie: 1) przy ubezpieczeniu majatkowym - określonego odszkodowania za szkode powsta l a wskutek przewidzianego w umowie wypadku; 2) przy ubezpieczeniu osobowym - umówionej sumy pienieżnej, renty lub innego świadczenia w razie zajścia przewidzianego w umowie wypadku w życiu osoby ubezpieczonej. 3
4 Art Przed zawarciem umowy ubezpieczenia zak lad ubezpieczeń ma obowiazek doreczyć ubezpieczajacemu tekst ogólnych warunków ubezpieczenia. 2. Ogólne warunki ubezpieczenia określaja w szczególności 1) przedmiot i zakres ubezpieczenia, 2) sposób zawierania umowy ubezpieczenia, 3) zakres i czas trwania odpowiedzialności zak ladu ubezpieczeń, 4) prawa i obowiazki stron umowy, 6) sposób ustalania i op lacania sk ladki ubezpieczeniowej lub op lat pobieranych przez zak lad ubezpieczeń oraz 4
5 metod ich indeksacji, a także ich wysokość, 8) tryb, warunki oraz sposób dokonywania zmiany umowy ubezpieczenia zawartej na czas nieokreślony, 9) sposób ustalania wysokości szkody oraz wyp laty odszkodowania lub innego świadczenia 12) sum e ubezpieczenia i warunki jej zmiany...
6 Art Ubezpieczajacy obowiazany jest podać do wiadomości zak ladu ubezpieczeń wszystkie znane sobie okoliczności, o które zak lad ubezpieczeń zapytywa l w formularzu oferty albo przed zawarciem umowy w innych pismach. 5
7 Art Sk ladke oblicza sie za czas trwania odpowiedzialności zak ladu ubezpieczeń. 2. Jeżeli nie umówiono sie inaczej, sk ladka powinna być zap lacona jednocześnie z zawarciem umowy ubezpieczenia, a jeżeli umowa dosz la do skutku przed doreczeniem dokumentu ubezpieczenia - w ciagu czternastu dni od jego doreczenia. 7
8 Art Jeżeli nie umówiono sie inaczej, zak lad ubezpieczeń obowiazany jest spe lnić świadczenie w terminie dni trzydziestu, liczac od daty otrzymania zawiadomienia o wypadku. 8
9 Art Roszczenia z umowy ubezpieczenia przedawniaja sie z up lywem lat trzech. 9
10 Art Ubezpieczenie osobowe może w szczególności dotyczyć: 1) przy ubezpieczeniu na życie - śmierci osoby ubezpieczonej lub dożycia przez nia oznaczonego wieku; 2) przy ubezpieczeniu nast epstw nieszcz eśliwych wypadków - uszkodzenia cia la, rozstroju zdrowia lub śmierci wskutek nieszcz eśliwego wypadku. 10
11 Art Ubezpieczony może wskazać jedna lub wiecej osób uprawnionych do otrzymania sumy ubezpieczenia na wypadek jego śmierci; może również zawrzeć umowe ubezpieczenia na okaziciela. 11
12 Ze wzgl edu na czas obj ety ubezpieczeniem wyróżnia si e najcz eściej: na ca le życie terminowe odroczone 12
13 Ze wzgl edu na moment wyp laty sumy ubezpieczenia: chwila śmierci koniec roku śmierci koniec miesiaca,..., w którym nastapi la śmierć ubezpieczonego koniec okresu obj etego ubezpieczeniem, w przypadku gdy ubezpieczony żyje (ubezpieczenie na dożycie). 13
14 Sk ladka netto to kwota, która przeci etnie powinna wytarczyć na wyp laty z tytu lu ubezpieczenia. Sk ladka brutto, czyli kwota faktycznie pobierana od ubezpieczonego z tytu lu ubezpieczenia, powinna pokryć także koszt prowadzenia dzia lalności przez zak lad ubezpieczeń, może także zawierać narzut na ryzyko. 14
15 Niech b(t) bedzie suma ubezpieczenia, która za lad ubezpieczeniowy zobowiazuje sie wyp lacić z tytu lu umowy ubezpieczenia, jeżeli p latność nastapi w momencie t. Na przyk lad, jeżeli umowa przewiduje wyp late, jeżeli śmierć osoby ubezpieczonej nastapi w ciagu roku od momentu zawarcia umowy, to b(t) = 1, t < 1, 0, t 1. Funkcje b(t) nazywa sie funkcja korzyści. 15
16 Wartość obecna wyp laty z(t) = b(t)v t gdzie v = i = e δ v czynnik dyskonta odpowiadajacy technicznej stopie procentowej i δ nat eżenie oprocentowania. 16
17 Za lóżmy, że dany jest portfel n takich samych ubezpieczeń osób o takim samym statusie. Niech Z k bedzie zmienna losowa, której wartościa jest wartość obecna wyp laty z tytu lu ubezpieczenia. Twierdzenie 1 (Ko lmogorow) Niech X n : Ω R bedzie ciagiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozk ladzie i takim, że E X 1 <. Wówczas P { ω : 1 lim n n n k=1 } X k = EX 1 = 1. 17
18 Zatem 1 n jeżeli n. n k=1 Z k 1 E(Z 1 ), Wniosek Średnia wyp lata wynosi EZ Sk ladka netto = wartość oczekiwana obecnej wartości wyp laty z tytu lu ubezpieczenia. 18
19 Ubezpieczenie x-latka na ca le życie p latne w momencie śmierci. Jednorazowa sk ladka netto Ā x = E [ v T ] x = Uwaga 0 vt f x (t)dt f x (t) = t p x µ [x]+t. 19
20 Ubezpieczenie terminowe x-latka z okresem ubezpieczenia n-lat p latne w momencie śmierci Funkcja korzyści b(t) = 1, t n 0, t > n. Jednorazowa sk ladka netto Ā 1x: n = n 0 vt tp x µ [x]+t dt = n 0 vt f x (t)dt. 20
21 Czyste ubezpieczenie na dożycie x-latka Funkcja korzyści b(t) = 1, t n, 0, t < n. Obecna wartość wyp laty Z = v n χ Tx n Jednorazowa sk ladka netto Ā x: 1 n = v n np x. 21
22 Odroczone ubezpieczenie na ca le życie x-latka z okresem odroczenia m-lat p latne w momencie śmierci Funkcja korzyści b(t) = 0, t m, 1, t > m. Jednorazowa sk ladka netto m Āx = m vt f x (t)dt = Ā x Ā 1x: m. 22
23 Ubezpieczenie bezterminowe z rosnac a suma ubezpieczenia p latne w momencie śmierci Funkcja korzyści b(t) = t (ĪĀ) x = 0 tvt f x (t)dt 23
24 Ubezpieczenie terminowe malejace skokowo Funkcja korzyści b(t) = n t, t n, 0, t > n. Jednorazowa sk ladka netto (DĀ) 1x: n = n 0 vt (n t ) t p x µ [x]+t dt. 24
25 Ubezpieczenie x-latka na ca le życie p latne na koniec roku śmierci ubezpieczonego Wartość obecna wyp laty Z = v Kx+1. Jednorazowa sk ladka netto A x = E [ v K x+1 ] = = = k=0 k=0 k=0 v k+1 P (K x = k) v k+1 P (k T x < k + 1) v k+1 kp x q [x]+k. 25
26 Ubezpieczenie terminowe x-latka m-letnie p latne na koniec roku śmierci Jednorazowa sk ladka netto A 1x: m = m 1 k=0 v k+1 P (K x = k) Odroczone ubezpieczenie na ca le życie x-latka z odroczeniem m-lat p latne na koniec roku śmierci Jednorazowa sk ladka netto m A x = A x A 1x: m = k=m v k+1 P (K x = k) 26
27 Ubezpieczenie o rosnacej sumie ubezpieczenia Wartość obecna wyp laty Z = (K + 1)v K+1 Jednorazowa sk ladka netto (IA) x = k=0 (k + 1)v k+1 kp x q [x]+k. 27
28 Przypadek ubezpieczenia p latnego na koniec m-tej cz eści roku Przypomnijmy S x (m) = ms x + 1, m gdzie S x = T x K x = T x T x. A (m) x JSN w ubezpieczeniu na ca le życie x- latka o sta lej sumie ubezpieczenia i p latności na koniec m-tego okresu roku śmierci. 28
29 Obserwacja 1 Przy za lożeniu HU zachodzi zwiazek A (m) x = i i (m)a x gdzie i (m) jest nominalna stopa procentowa, która przy kapitalizacji m razy w roku daje efektywna stope i. Dowód: A (m) x = E [ v K x+s x (m) ] [ = E v K x +1 v S(m) x 1 ] Przypomnijmy, że K x oraz S (m) x sa niezależnymi zmiennymi losowymi, jeżeli zachodzi HU. Z tego wynika, że v Kx+1, v S(m) x 1 sa niezależnymi zmiennymi losowymi. Zatem A (m) x = E [ v K x+1 ] E [ v S(m) x 1 ] = A x E [ v S(m) x 1 ]. 29
30 Pozostaje wi ec wyznaczyć Zauważmy, że E [ v S(m) x 1 ] = E [ v S(m) x 1 ]. = 1 m = 1 m m k=1 m v k m 1 P (S (m) x = k m ) k=1 m 1 k=0 (1 + i) 1 k m (1 + i) k m = 1 (1 + i) 1 m(1 + i) m 1 1 = i i (m). 30
31 Pytanie 1 Jak doskonale wiemy parametry rozk ladu zmiennej T x, a wi ec również K x możemy odczytać z TTŻ. Skad bierze sie wartość v? 31
32 Pytanie 2 Jakie jest prawdopodobieństwo, że zebrane sk ladki nie wystarcza na wyp laty? Powiedzmy, że interesuje nas A 1 30: x = 1 1, 05 q 30 = 0, wtedy, gdy i = 0, 05 i suma ubezpieczenia wynosi PLN. Wówczas sk ladka wyniesie 175,20PLN. W sytuacji jednego ubezpieczonego odpowiednie prawdopodobieństwo wynosi q 30. W sytuacji 100 takich samych ubezpieczeń prawdopodobieństwo bankructwa 100q
ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 6 Kalkulacja sk ladki netto II. Funkcje komutacyjne.
Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 6 Kalkulacja sk ladki netto II. Funkcje komutacyjne. 1 Przypomnienie Umowa ubezpieczenia zawiera informacje o: Przedmiocie ubezpieczenia Czasie
Bardziej szczegółowoJednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej. Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia.
Jednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia Wartość obecna wyp laty Y = Zatem JSN = = Kx +1 0, K x = 0, 1,..., n 1,
Bardziej szczegółowoep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 1 Wprowadzajacy
Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 1 Wprowadzajacy 1 Matematyka aktuarialna 1. matematyka w ubezpieczeniach, 2. dok ladniej, matematyka ubezpieczeń na życie, 3. czasami szerzej,
Bardziej szczegółowoep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia
Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia 1 Cele (na dzisiaj): Zrozumieć w jaki sposób można wyznaczyć przysz ly czas życia osoby w wieku x. Zrozumieć parametry
Bardziej szczegółowoep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 9 Analiza pewnego problemu i krótkie przypomnienie, czyli Powtarzanie jest matka nauki.
Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 9 Analiza pewnego problemu i krótkie przypomnienie, czyli Powtarzanie jest matka nauki. 1 Zadanie (29) zawar l umowe kredytu w momencie ukończenia
Bardziej szczegółowoep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2
Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2 1 Przypomnienie Jesteśmy już w stanie wyznaczyć tp x = l x+t l x, gdzie l x, l x+t, to liczebności kohorty odpowiednio
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 4: UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE Ubezpieczenie na życie jest to kontrakt (zwany polisą), w którym ubezpieczony zobowiązuje się do opłacenia składki (jednorazowo lub
Bardziej szczegółowoUbezpieczenia na życie
ROZDZIAŁ 4 Ubezpieczenia na życie Ubezpieczenie na życie jest to kontrakt (zwany polisą), w którym ubezpieczony zobowiązuje się do opłacenia składki (jednorazowo lub w ratach), a w zamian za to ubezpieczyciel
Bardziej szczegółowo3 Ubezpieczenia na życie
3 Ubezpieczenia na życie O ile nie jest powiedziane inaczej, w poniższych zadaniach zakładamy HJP. 3.1. Zadania 7.1-7.26 z Miśkiewicz-Nawrocka, Zeug-Żebro, Zbiór zadań z matematyki finansowej. 3.2. Mając
Bardziej szczegółowo1. Ubezpieczenia życiowe
1. Ubezpieczenia życiowe Przy ubezpieczeniach życiowych mamy do czynienia z jednorazową wypłatą sumy ubezpieczenia. Moment jej wypłaty i wielkość wypłaty może być funkcją zmiennej losowej T a więc czas
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 11 Ubezpieczenia Ŝyciowe 2
Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - Ubezpieczenia Ŝyciowe 2 Składki netto w ubezpieczeniach Ŝyciowych Zakład ubezpieczeniowy pobiera za ubezpieczenia składkę brutto, składającą się ze składki netto
Bardziej szczegółowoJeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI.
Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI. Micha l Ramsza Szko la G lówna Handlowa Micha l Ramsza (Szko la G lówna Handlowa) Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI. 1 / 13 Dlaczego
Bardziej szczegółowoKODEKS CYWILNY z dnia 23 kwietnia 1964r. (Dz. U. Nr 16, poz. 93 z późn. zm.) KSIĘGA TRZECIA ZOBOWIĄZANIA. Tytuł XXVII. UMOWA UBEZPIECZENIA
KODEKS CYWILNY z dnia 23 kwietnia 1964r. (Dz. U. Nr 16, poz. 93 z późn. zm.) KSIĘGA TRZECIA ZOBOWIĄZANIA Tytuł XXVII. UMOWA UBEZPIECZENIA Rozdział 1 Przepisy ogólne Art. 805. 1. Przez umowę ubezpieczenia
Bardziej szczegółowo= µ. Niech ponadto. M( s) oznacza funkcję tworzącą momenty. zmiennej T( x), dla pewnego wieku x, w populacji A. Wówczas e x wyraża się wzorem: 1
1. W populacji B natężenie wymierania µ ( B ) x jest większe od natężenia wymierania ( A) µ x w populacji A, jednostajnie o µ > 0, dla każdego wieku x tzn. ( B) ( A) µ µ x = µ. Niech ponadto x M( s) oznacza
Bardziej szczegółowoSkładki i rezerwy netto
ROZDZIAŁ 6 Składki i rezerwy netto 1 Składki netto Umowę pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym dotyczącą ubezpieczenia na życie nazywa się polisą ubezpieczeniową Polisa taka zawiera szczegółowe warunki
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
22 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoElementy teorii przeżywalności
Elementy teorii przeżywalności Zadanie 1.1 Zapisz 1. Prawdopodobieństwo, że noworodek umrze nie później niż w wieku 8 lat 2. P-two, że noworodek umrze nie później niż w wieku 3 lat 3. P-two, że noworodek
Bardziej szczegółowoUBEZPIECZENIA NA ŻYCIE
UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE M BIENIEK Ubezpieczenie na życie jest to kontrakt pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym gwarantujący, że ubezpieczyciel w zamian za opłacanie składek, wypłaci z góry ustaloną
Bardziej szczegółowo1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza
1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza x µ x = 06e. dożyje wieku największej śmiertelności (tzn. takiego wieku, w którym
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 6: SKŁADKI OKRESOWE Składki okresowe netto Umowę pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym dotyczącą ubezpieczenia na życie nazywa się polisą ubezpieczeniową
Bardziej szczegółowoUmowa ubezpieczenia. Główne źródła opracowania prezentacji: 1. Kidyba, Prawo handlowe, C.H.Beck 2016 r.
Umowa ubezpieczenia Główne źródła opracowania prezentacji: 1. Kidyba, Prawo handlowe, C.H.Beck 2016 r. 1 Przez umowę ubezpieczenia ubezpieczyciel zobowiązuje się, w zakresie działalności swego przedsiębiorstwa,
Bardziej szczegółowoUbezpieczenia życiowe
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ubezpieczenia życiowe 1. Z historii ubezpieczeń W uproszczeniu mówiąc mamy dwa tradycyjne modele ubezpieczeń. Pierwszy ma źródło w towarzystwach
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 0 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:. Czas egzaminu: 100 minut Warszawa, 31
Bardziej szczegółowoWNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ
WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y
Bardziej szczegółowoUBEZPIECZ SIĘ, NAJLEPIEJ U MATEMATYKA
KARIERA MATEMATYKĄ KREŚLONA UBEZPIECZ SIĘ, NAJLEPIEJ U MATEMATYKA Ryzyko i ubezpieczenie Możliwość zajścia niechcianego zdarzenia nazywamy ryzykiem. Ryzyko prawie zawsze wiąże się ze stratą. Ryzyko i ubezpieczenie
Bardziej szczegółowoKLAUZULA UBEZPIECZENIA KOSZTÓW OPIEKI NAD DZIEåMI LUB OSOBAMI NIESAMODZIELNYMI POLSKA
KLAUZULA UBEZPIECZENIA KOSZTÓW OPIEKI NAD DZIEåMI LUB OSOBAMI NIESAMODZIELNYMI POLSKA KLAUZULA UBEZPIECZENIA KOSZTÓW OPIEKI NAD DZIEåMI LUB OSOBAMI NIESAMODZIELNYMI POLSKA 1 1. Ta klauzula rozszerza umow
Bardziej szczegółowoLXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 29 września 2014 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 29 września 2014 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoKancelaria Sejmu s. 176/242
Kancelaria Sejmu s. 176/242 Art. 804. Roszczenia przysługujące spedytorowi przeciwko przewoźnikom i dalszym spedytorom, którymi się posługiwał przy przewozie przesyłki, przedawniają się z upływem sześciu
Bardziej szczegółowoTablice trwania życia
ROZDZIAŁ 3 Tablice trwania życia 1 Przyszły czas życia Osobę, która ukończyła x lat życia, będziemy nazywać x-latkiem i oznaczać symbolem x Jej przyszły czas życia, tzn od chwili x do chwili śmierci, będziemy
Bardziej szczegółowoObliczanie skãladek ubezpieczeniowych. oznaczaj ac, dãlugo s c _zycia noworodka. De nicja 1 Czas prze_zycia T(x) dla x-latka okre slony jest wzorem
Obliczanie skãladek ubezpizeniowych Nih x oznacza wiek osoby. Nih X b edzie, zmienn losow oznaczaj ac, dãlugo s c _zycia noworodka. De nicja Czas prze_zycia T(x) dla x-latka okre slony jest wzorem T(x)
Bardziej szczegółowo1. Pięciu osobników pochodzi z populacji, w której pojedyncze życie podlega ryzyku śmierci
1. Pięciu osobników pochodzi z populacji, w której pojedyncze życie podlega ryzyku śmierci + t µ + t A + B 2. Wyznacz prawdopodobieństwo, że z grupy tej nikt nie umrze w ciągu najbliższych 5 lat, jeśli
Bardziej szczegółowoLXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 3: WYZNACZANIE ROZKŁADU CZASU PRZYSZŁEGO ŻYCIA 1 Hipoteza jednorodnej populacji Rozważmy pewną populację osób w różnym wieku i załóżmy, że każda z tych osób
Bardziej szczegółowoLIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoUSTAWA z dnia 13 kwietnia 2007 r. o zmianie ustawy Kodeks cywilny oraz o zmianie niektórych innych ustaw 1)
Kancelaria Sejmu s. 1/11 USTAWA z dnia 13 kwietnia 2007 r. Opracowano na podstawie: Dz.U. z 2007 r. Nr 82, poz. 557. o zmianie ustawy Kodeks cywilny oraz o zmianie niektórych innych ustaw 1) Art. 1. W
Bardziej szczegółowoDODATKOWE KLAUZULE UMOWNE
Załącznik Nr 26 do Uchwały nr 61/2007 Zarządu PTU S.A. z dnia 01 sierpnia 2007 roku DODATKOWE KLAUZULE UMOWNE do Ogólnych Warunków Ubezpieczenia odpowiedzialności cywilnej przewoźnika drogowego w ruchu
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 5: RENTY ŻYCIOWE
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 5: RENTY ŻYCIOWE Rentą życiową nazywamy ciąg płatności który ustaje w chwili śmierci pewnej osoby (zwykle ubezpieczonego) Mówiąc o rencie życiowej nie zaznaczamy
Bardziej szczegółowoLXXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 23 maja 2016 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 23 maja 2016 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 2006 r. Część I. Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 006 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Inwestor dokonuje
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń na życie. Piotr Kowalski
Matematyka ubezpieczeń na życie Piotr Kowalski 27 stycznia 212 Spis treści 1 Elementy matematyki finansowej 1 1.1 Oznaczenia.............................. 1 1.2 Związki................................
Bardziej szczegółowoXXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoXLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 28 września 2015 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 28 września 2015 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 5. Renty życiowe
ROZDZIAŁ 5 Renty życiowe Rentą życiową nazywamy ciąg płatności który ustaje w chwili śmierci pewnej osoby (zwykle ubezpieczonego) Mówiąc o rencie życiowej nie zaznaczamy czy osoba której przyszły czas
Bardziej szczegółowoOGÓLNE RENTY ŻYCIOWE
OGÓLNE RENTY ŻYCIOWE M. BIENIEK Rentą życiową nazywamy kontrakt między ubezpieczycielem a ubezpieczonym, w którym ubezpieczony w zamian za określoną opłatę, zwaną składką, otrzymuje ciąg z góry określonych
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń życiowych r.
. W populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo de Moivre a z wiekiem granicznym ω = 50, dzieckiem jest się do wieku d. W wieku d rozpoczyna się pracę i pracuje się do wieku p.w wieku p przechodzi
Bardziej szczegółowoLXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowo1. Niech g(t) oznacza gęstość wymierania, od momentu narodzin, pewnej populacji mężczyzn. Demografowie zauważyli, że po drobnej modyfikacji: =
. Niech g(t) oznacza gęstość wymierania, od momentu narodzin, pewnej populacji mężczyzn. Demografowie zauważyli, że po drobnej modyfikacji: ~ 0,9g( t) 0 t < 50 g ( t) =,2 g( t) 50 t. opisuje ona śmiertelność
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoMateriał porównawczy do ustawy z dnia 7 marca 2007 r. o zmianie ustawy Kodeks cywilny oraz o zmianie niektórych innych ustaw
BIURO LEGISLACYJNE/ Materiał porównawczy Materiał porównawczy do ustawy z dnia 7 marca 2007 r. o zmianie ustawy Kodeks cywilny oraz o zmianie niektórych innych ustaw USTAWA z dnia 23 kwietnia 1964 r. KODEKS
Bardziej szczegółowoUmowa ubezpieczenia oprac. Tomasz A. Winiarczyk
Umowa ubezpieczenia oprac. Tomasz A. Winiarczyk ubezpieczenie urządzenie gospodarcze, zapewniające pokrycie pewnych potrzeb majątkowych, wywołanych u pewnych jednostek przez odznaczające się pewna prawidłowością
Bardziej szczegółowoZadanie 1. są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ),
Zadanie. Zmienne losowe są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ) ( ) i gęstością: ( ) na przedziale ( ). Wobec tego ( ) wynosi: (A) 0.2295 (B) 0.2403 (C) 0.2457 (D) 0.25 (E) 0.269 Zadanie 2. Niech:
Bardziej szczegółowoREZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH
REZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH M. BIENIEK Przypomnijmy, że dla dowolnego wektora przepływów c rezerwę w chwili k względem funkcji dyskonta v zdefiniowaliśmy jako k(c; v) = Val k ( k c; v), k = 0,
Bardziej szczegółowoImmunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych
Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych Elżbieta Krajewska Instytut Matematyki Politechnika Łódzka Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 1/22 Plan prezentacji
Bardziej szczegółowoUbezpieczenia gospodarcze (majątkowe i osobowe) są jeszcze niedocenianym elementem działalności wielu zamawiających.
Ubezpieczenia gospodarcze (majątkowe i osobowe) są jeszcze niedocenianym elementem działalności wielu zamawiających. Ubezpieczenia gospodarcze (majątkowe i osobowe) są jeszcze niedocenianym elementem działalności
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.2.2008 r. Zadanie. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Pr ( N = k) = 0 dla k = 0,, K, 9. Liczby szkód w
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych..00 r. Zadanie. Proces szkód w pewnym ubezpieczeniu jest złożonym procesem Poissona z oczekiwaną liczbą szkód w ciągu roku równą λ i rozkładem wartości szkody o dystrybuancie
Bardziej szczegółowoMUMIO Lab 6 (składki, kontrakt stop-loss)
MUMIO Lab 6 (składki, kontrakt stop-loss) 1. (6p.) Niech X oznacza ryzyko (zmienn a losow a o własności P (X 0) = 1), a H( ) niech oznacza formułȩ kalkulacji składki (przyporz adkowuj ac a każdemu ryzyku
Bardziej szczegółowoLXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2016 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2016 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, czerwiec 2014 Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Sprawdź, czy wektor x 0 = (0,5,,0,0) jest rozwiązaniem dopuszczalnym zagadnienia programowania liniowego: Zminimalizować 3x 1 +x +x 3 +4x 4 +6x 5, przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.
Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
Bardziej szczegółowoGrzegorz Mazur. Zak lad Metod Obliczeniowych Chemii UJ. 14 marca 2007
Zak lad Metod Obliczeniowych Chemii UJ 14 marca 2007 Rzad 1 Zamiast wst epu 2 Rzad Notacja dużego O Notacja Ω Notacja Θ 3 S lowniczek Rzad Algorytm W matematyce oraz informatyce to skończony, uporzadkowany
Bardziej szczegółowoLX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa, 28
Bardziej szczegółowoXXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 17 stycznia 2005 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 17 stycznia 2005 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń życiowych r.
1. W danej populacji intensywność śmiertelności zmienia się skokowo w rocznicę narodzin i jest stała aż do następnych urodzin. Jaka jest oczekiwana liczba osób z kohorty miliona 60-latków, które umrą po
Bardziej szczegółowoArt Zakład ubezpieczeń udziela ochrony ubezpieczeniowej na podstawie umowy ubezpieczenia zawartej z ubezpieczającym. 2. Umowa ubezpieczenia
UMOWA UBEZPIECZENIA Art. 15. 1. Zakład ubezpieczeń udziela ochrony ubezpieczeniowej na podstawie umowy ubezpieczenia zawartej z ubezpieczającym. 2. Umowa ubezpieczenia ma charakter dobrowolny, z zastrzeżeniem
Bardziej szczegółowoSTYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja
Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja Ramy wyk ladu i podstawowe narz edzia matematyczne SGH Semestr letni 2012-13 Uk lady dynamiczne Rozwiazanie modelu dynamicznego bardzo czesto można zapisać
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
5 marca 2011 Zasady 10 wyk ladów; egzamin pisemny; Literatura 1 A. Lomnicki Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników PWN 1999. 2 W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski Rachunek
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
21 marca 2011 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
10 marca 2014 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.04.0 r. Zadanie. Przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ liczby szkód generowane przez ubezpieczającego się w kolejnych latach to niezależne zmienne losowe o rozkładzie
Bardziej szczegółowoEGZAMIN DYPLOMOWY, część II, Biomatematyka
Biomatematyka Niech X n oznacza proporcję pozycji w nici DNA, które po n replikacjach są obsadzone takimi samymi nukleotydami, jak w chwili początkowej, tak więc X 0 = 1. Zakładamy, że w każdej replikacji
Bardziej szczegółowoLXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowodla t ściślejsze ograniczenie na prawdopodobieństwo otrzymujemy przyjmując k = 1, zaś dla t > t ściślejsze ograniczenie otrzymujemy przyjmując k = 2.
Zadanie. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej μ, wariancji momencie centralnym μ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X μ k Pr > μ + t σ ) 0. k k t σ *
Bardziej szczegółowoLXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoXXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudniaa 2005 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudniaa 2005 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoParametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f
Zadanie. W kolejnych latach t =,,,... ubezpieczony charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ generuje N t szkód. Dla danego Λ = λ zmienne N, N, N,... są warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
21 marca 2011 Zmienna losowa wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być na
Bardziej szczegółowo4. Ubezpieczenie Życiowe
4. Ubezpieczenie Życiowe Składka ubezpieczeniowa musi brać pod uwagę następujące czynniki: 1. Kwotę wypłaconą przy śmierci ubezpieczonego oraz jej wartość aktualną. 2. Rozkład czasu do śmierci ubezpieczonego
Bardziej szczegółowoMetody aktuarialne - opis przedmiotu
Metody aktuarialne - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Metody aktuarialne Kod przedmiotu 11.5-WK-MATP-MA-W-S14_pNadGenEJ6TV Wydział Kierunek Wydział Matematyki, Informatyki i Ekonometrii
Bardziej szczegółowoROZPORZÑDZENIE MINISTRA FINANSÓW. z dnia 7 listopada 2001 r.
Dziennik Ustaw Nr 135 10543 Poz. 1518 1518 ROZPORZÑDZENIE MINISTRA FINANSÓW z dnia 7 listopada 2001 r. w sprawie informacji, jakie powinien zawieraç wniosek o przyrzeczenie podpisania Umowy DOKE, oraz
Bardziej szczegółowoOCHRONNE UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE NORDEA MAX
OCHRONNE UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE NORDEA MAX PRZEDMIOT UBEZPIECZENIA Życie ubezpieczonego Umowa ubezpieczenia może być zawarta w dwóch wariantach: wariant I na jedno życie wariant II na dwa życia 2 ZAKRES
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 00 minut . Ile
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń życiowych 17 marca 2008 r.
1. Niech oznacza przeciętne dalsze trwanie życia w ciągu najbliższego roku obliczone przy założeniu hipotezy interpolacyjnej o stałym natężeniu wymierania między wiekami całkowitymi. Podobnie niech oznacza
Bardziej szczegółowodr Hubert Wiśniewski 1
dr Hubert Wiśniewski 1 Agenda: 1. Rodzaje i czynniki ryzyka w przedsiębiorstwie ubezpieczeniowym. 2. Miary ryzyka przedsiębiorstwa ubezpieczeniowego. 3. Zarządzanie ryzykiem ubezpieczeniowym w przedsiębiorstwie
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy
Bardziej szczegółowoWycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne
Matematyka finansowa - 8 Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoAktuariat i matematyka finansowa. Rezerwy techniczno ubezpieczeniowe i metody ich tworzenia
Aktuariat i matematyka finansowa Rezerwy techniczno ubezpieczeniowe i metody ich tworzenia Tworzenie rezerw i ich wysokość wpływa na Obliczanie zysku dla potrzeb podatkowych, Sprawozdawczość dla udziałowców,
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoI. Postanowienia typowe (zgodne z art. 12a ustawy o działalności ubezpieczeniowej)
Ogólne Warunki Ubezpieczenia na Życie z Ubezpieczeniowym Funduszem Kapitałowym ze Składką Jednorazową Multiportfel Asas/Multiportfel Protekt Skandia Życie TU S.A. data wejścia w życie - 10 sierpnia 2007
Bardziej szczegółowoProcesy Stochastyczne - Zestaw 1
Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Zadanie 1 Niech ξ i η bed a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladach N (0, 1). Niech X = ξ +η i Y = ξ η. Znaleźć rozk lad (X, Y ) i rozk lad warunkowy L X ( Y ). Zadanie
Bardziej szczegółowoUMOWA UBEZPIECZENIA OSOBOWEGO
UMOWA UBEZPIECZENIA OSOBOWEGO zawarta w dniu... w..., pomiędzy: 1....... zwanym dalej Ubezpieczycielem a, 2....... zwanym dalej Ubezpieczającym, w dalszej części łącznie nazywani Stronami o następującej
Bardziej szczegółowo