Jednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej. Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia.

Transkrypt

1 Jednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia Wartość obecna wyp laty Y = Zatem JSN = = Kx +1 0, K x = 0, 1,..., n 1, t=1 v t, K x n. k=n k=n (K x +1 E t=1 E (k+1 t=1 ) v t K x = k P (K x = k) v t )P (K x = k) 1

2 Renta p latna z góry na poczatku każdego roku w wysokości c k Wartość obecna wyp laty Zatem JSN = = k k=0 j=0 k k=0 j=0 Y = K x c k k k=0 t=1 ( K x c j E t=1 v t. ) v t K x = k P (K x = k) ( k c j E v t )P (K x = k) t=1 2

3 Modele sk ladek i umów Rozróżnia sie nastepuj ace warianty op lacania umowy P1 jednorazowa sk ladka wnoszona w momencie zawierania umowy. P2 sk ladki o sta lej wysokości, p lacone dyskretnie z góry na poczatku każdego podokresu trwania umowy. P3 sk ladki o sta lej intensywności, p lacone w sposób ciag ly przez ca ly czas trwania umowy. P4 sk ladki o zmiennej wysokości, p lacone dyskretnie. P5 sk ladki o zmiennej intensywności p lacone w sposób ciag ly. 3

4 Modele umowy: 1. ca lkowicie dyskretny 2. ca lkowicie ciag ly 3. mieszany. 4

5 Ca lkowita strata ubezpieczyciela L = OW wyp lat z tytu lu umowy OW sk ladki. Wartość obecna liczona jest na poczatek umowy. L jest zmienna losowa, zmienna losowa jest zarówno OW wyp lat, jak i OW sk ladki. Sk ladke nazywa sie sk ladka netto, jeżeli spe lnia warunek równoważności EL = 0. 5

6 Problem Za lóżmy, że sk ladki w ubezpieczeniu na ca le życie op lacane sa dyskretnie z góry na poczatku roku. Wyznaczyć wysokość sk ladki P (A x ) OW sk ladki = P (A x ) OW wyp laty = v K x+1 K x v k k=0 Zatem warunek EL = 0 oznacza po prostu A x = E [ v K x+1 ] [ K x ] = P (A x ) E v k = P (A x )ä x. k=0 Zatem P (A x ) = A x ä x = d A x 1 A x. 6

7 Prospektywna strata tl := bieżaca wartość w chwili t przysz lych wyp lat bieżaca wartość w chwili t przysz lej sk ladki Oczywiście jest ca lkowita strata. 0L Jeżeli T x < t, to tl = 0. 7

8 Przyk lad 1 Ubezpieczenie na ca le życie (x) z suma ubezpieczenia p latna na koniec roku śmierci ze sk ladka p latna w momencie podpisania umowy, t < K x tl = v K x+1 t, t > 0, v K x+1 A x, t = 0. 8

9 Przyk lad 2 Ubezpieczenie na ca le życie z suma ubezpieczenia p latna na koniec roku śmierci ze sk ladka P (A x ) p latna na poczatku każdego roku, t < K x w szczególności tl = v K x+1 t P (A x ) 0L = v K x+1 P (A x ) K x k=t K x k=0 v k t, v k. 9

10 Przyk lad 3 Odroczone na n > 1 lat ubezpieczenie na ca le życie ze sk ladka p latna przez ca ly czas trwania umowy, w jednakowej wysokości P ( n A x), poza pierwszym rokiem. tl = χ{k x n}v Kx+1 t P ( n A ) K x x v k t k=max{1,t} 10

11 Zmienna losowa, której wartościa jest zysk ubezpieczyciela w chwili t. Dok ladniej: wartość obecna na moment podpisania umowy zysku z ubezpieczenia w chwili t tl retro = OW sk ladki zap laconej od 0 do chwili t OW wyp lat ubezpieczyciela od chwili 0 do chwili t 11

12 Przyk lad 1 Przyk lad 2 tl retro = A x v K x tl retro = P (A x ) t k=0 v k v K x 12

13 E( t L retro ) ( = E OW sk ladki zap laconej od 0 do chwili t OW wyp lat ubezpieczyciela od chwili 0 do chwili t ( = E (OW ca lej sk ladki OW sk ladki po t) (OW wszystkich wyp lat OW wyp lat po t) ( = EL + E OW wyp lat po t latach OW sk ladki po t latach ) = 0 + E ( v t tl ) ) = v t tp x E( t L T x t). ) 13

14 Ostatnia równość wynika oczywiście z zależności gdzie G jest σ-algebra Zatem E ( tl ) = E [ E( t L G) ], {, {t < K x }, {t K x }, Ω}. E ( tl ) = P (K x > t) 0 + P (K x < t) E [ tl K x t ] = t p x E [ tl K x t ] 14

15 Wniosek E( t L retro ) = v t tp x E [ tl K x t ] Wyrażenie te x := v t tp x nazywa si e aktuarialnym czynnikiem dyskonta. Wyrażenie tv := E [ tl K x t ] nazywa sie prospektywna rezerwa sk ladki netto. Oczywiście także tv = 1 P (T x t) E[ tl χ{t x t} ] = E( tl) tp x. 15

16 Sk ladki i rezerwy dla wybranych polis Ubezpieczenie na ca le życie P x := P (A x ) = A x ä x, Dla momentu k wartość oczekiwana wartości bieżacej przysz lej wyp laty E(v K x+1 k ) = m=k v m+1 k P (K x = m), Dla momentu k wartość oczekiwana wartości bieżacej przysz lej sk ladki E(P x K x m=k v m+1 k ) = P x ( m m=k t=k v t k )P (K x = m) 16

17 Zatem rezerwa w tym przypadku wynosi kv x = P x v m+1 k P (K x = m K x k) m=k ( m m=k t=k := A [x]+k P x ä [x]+k v t k )P (K x = m K x k) 17

18 Ubezpieczenie terminowe na n lat Sk ladka netto p lacona w jednakowej wysokości na poczatku każdego roku trwania umowy ubezpieczeniowej P 1x:. n Wartość obecna sk ladki min{k x,n 1} P 1x: n m=0 Wartość obecna wyp laty v m. χ{k x n 1}v K x+1. 18

19 Zatem min{k E χ{k x n 1}v Kx+1 x,n 1} P 1x: n czyli A 1x: n P 1x: n ä x: n = 0. m=0 v m Ostatecznie sk ladka netto w terminowym ubezpieczeniu n-letnim wynosi = 0, P 1x: n = A 1x: n ä x: n. 19

20 Wartość bieżaca w momencie k przysz lych wyp lat χ{k x n 1}v K x+1 k. Wartość bieżaca w momencie k przysz lych sk ladek min{k x,n 1} P 1x: n m=k Zatem rezerwa w momencie k kv 1x: n = 1 kp x n 1 m=k n 1 P 1x: n = n 1 m=k n 1 P 1x: n m=k t=k v m k v m+1 k P (K x = m) m v t k P (K x = m) v m+1 k P (K x = m k T x ) m m=k t=k v t k P (K x = m k T x ) 20

21 Ubezpieczenie na ca le życie, ze sk ladka p lacona przez pierwsze h lat Wartość obecna wyp laty v K x+1 Wartość obecna sk ladki Sk ladka netto min{k x,h} hp x m=0 v m (min{k E(v Kx+1 x,h} ) ) h P x E v m = 0. m=0 Zatem hp x = A x ä x: h. 21

22 Ogólny model dyskretny Ubezpieczenie gwarantuje wyp late sumy b k+1, jeśli K x = k. Sk ladki sa p lacone z góry w wysokości Π k za każdy rozpoczety rok umowy. Prospektywna strata kl = 0, K x < k, b Kx +1v Kx+1 k K x j=k Π jv j k, K x k. Obserwacja kv = b k+j+1 v j+1 j j=0 i=0 Π i+k v i j p [x]+k q [x]+k+j 22

23 Równoważne sformu lowanie obserwacji kv = j=0 b k+j+1 v j+1 p [x]+k q [x]+k+j j=0 Π k+j v j jp [x]+k. 23

24 Ważny wniosek Zachodza nastepuj ace zależności oraz kv = vb k+1 q [x]+k Π k + v k+1 Vp [x]+k kv v k+1 V + Π k = v(b k+1 k+1 V)q [x]+k. 24

25 Podejście deterministyczne Rozważmy kohorte x-latków liczac a poczatkowo l [x] osób, z których każdy zawiera umowe o ubezpieczenie, gwarantujac a wyp late kwoty b k+1 na koniec jego śmierci, jeśli umrze w roku k trwania umowy. Umowa jest op laca sk ladka w rocznych ratach o wysokości Π k, p laconych przez każdego z żyjacych na poczatku każdego roku umowy. 25

26 Na poczatku ubezpieczyciel zgromadzi l kwote l [x] Π 0. Po up lywie roku ubezpieczyciel wyp laci kwot e b 1 d [x] = b 1 ( l[x] l [x]+1 ). W k-ta rocznice ubezpieczyciel wyp laci l acznie sume b k d [x]+k 1 = b k (l [x]+k 1 l [x]+k ), otrzyma także sk ladk e l [x]+k Π k. 26

27 Bieżaca wartość przysz lych wydatków oraz wp lywów w roku k h=0 b k+h+1 v h+1 d [x]+k+h h=0 Π k+h v h l [x]+k+h. Średnia strata w roku k na jednego ubezpieczonego 1 l [x]+k h=0 h=0 b k+h+1 v h+1 d [x]+k+h Π k+h v h l [x]+k+h W roku k ubezpieczyciel zgromadzi l kwot e k 1 h=0 Π h (1 + i) k h l [x]+h k 1 h=0 b h+1 (1 + i) k (h+1) d [x]+h. 27

28 Wniosek h=0 b h+1 v h+1 d [x]+h = h=0 Π h v h l [x]+h. Zatem jeżeli sk ladka ma równoważyć przep lywy, to musi być sk ladka netto. 28