V. RÓWNANA RÓŻNCOWE 4.. Wstęp Prz frowm przetwarzaiu sgałów dooujem ih dsretzaji zli próbowaia, tz. zamia sgału iągłego a iąg sgałów dsreth. Sgał iągł (t) przedstawiam jao iąg rzędh wzazah dla dsreth wartośi zasu Δt, gdzie Δt jest oresem próbowaia, zaś jest lizba ałowitą. Δt 0 5 Δt 0 Δt 5 t se Rs.4.. Dsretzaja (próbowaie) sgału iągłego Jeśli iąg rzędh spełia pewą reureję, p. 5 6 0, 0,,,, (4.) to możem sueswie oblizć elemet bleb tlo wartośi pozątowe bł zae. Gdbśm zali w powższm rówaiu wartośi pozątowe, p. 0, oraz 0, to podstawiają olejo dla 0,,,, otrzmujem 5 6 0 9, 6 5, 0, itd. 4 5 5 Wzór reurej o postai (4.) azwam rówaiem różiowm, zaś iąg { } spełiają to rówaie azwam rozwiązaiem rówaia różiowego. Jeśli zahodzi ideal związe międz fuja iągłą (t) i iągiem { } wartośi rzędh otrzmami z próbowaia oresowego, to rówaia różiowe są śiśle związae z rówaiami różizowm mają te same metod ih rozwiązwaia. 4.. Rówaia różiowe liiowe o stałh współziah Rozważm rówaie różiowe o postai a0 a a u, 0,,,, (4.) gdzie rzezwiste stałe a u są dae. Jeśli u 0 dla ażdego, to rówaie (4.) azwam jedorodm, jeśli u 0, to rówaie różiowe jest rówaiem iejedorodm. 0, a, a,, a oraz iąg rzezwist { }
Załóżm, że iąg potęgow { } { r } różiowego lub też Mam wię rówaie jest rozwiązaiem jedorodego rówaia a0 a a 0, Z powższego wia, że { } { r } 0,,,, (4.) a r a r a r 0 (4.4) 0 ( a r a r a ) r 0. (4.4a) 0 jest rozwiązaiem rówaia (4.) jeśli r jest pierwiastiem wielomiau haraterstzego P ( ) a0 a a (4.5) rówaia (4.). W te sposób rozwiązaia (4.) zależą od pierwiastów r, r,, r rówaia (4.5). Wted rozróżiam trz astępująe przpadi: pierwiasti wielomiau haraterstzego są rzezwiste i rozróżiale; wted ażda potęga r i, i,,, jest rozwiązaiem rówaia (4.). Rozwiązaie ogóle tego rozwiązaia jest ih superpozją, tz. r r r, (4.6) gdzie i, i,,, są stałmi. wielomia haraterstz (4.5) ma pierwiasti zespoloe sprzężoe; jeśli α jβ jest pierwiastiem rówaia (4.5), to rówież jest im rozwiązaie zespoloe sprzężoe α jβ ; zęść rozwiązaia ogólego (4.) pohodzi od pierwiastów zespoloh i jest daa przez α jβ ) ( α j ) (4.7) ( β Lizbę zespoloą możem przedstawić w postai władizej i trgoometrzej i wted α ± jβ ρ ep( ± jϕ) ρ(osϕ ± jsiϕ) (4.8) ( α ± jβ ) ρ ep( ± j ϕ) ρ (osϕ ± jsi ϕ). (4.8a) Stąd otrzmujem rozwiązaie (4.7) ' ' ρ os ϕ ρ si ϕ ρ os( ϕ ψ ) (4.9) wielomia haraterstz (4.5) ma pierwiasti wielorote; jeśli r r, to zęść rozwiązaia ogólego pohodzi od pierwiasta podwójego i jest daa przez ( ) r (4.0)
i rówież gd pierwiaste jest pierwiastiem m-rotm, tz. rm rm rm r dla m, to zęść rozwiązaia ogólego pohodząa od tego pierwiasta m ( mr ) r,. (4.) W przpadu rówaia iejedorodego (4.) rozwiązaie ogóle ma postać { } { h } { p }, (4.) gdzie { h } jest rozwiązaiem ogólm rówaia jedorodego (4.) związaego z (4.), zaś { p } jest rozwiązaiem szzególm rówaia iejedorodego (4.). 4.. Grafiza reprezetaja rówaia różiowego liiowego o stałh współziah Liiowe rówie różiowe o stałh współziah przedstawiam za pomoą trzeh astępująh elemetów: sumator jego sgał wjśiow jest sumą sgałów wejśiowh: f g - f g - h h Rs.4.. Sumator elemet możą jego sgał wjśiow jest rów sgałowi wejśiowemu pomożoemu przez lizbę b wsazaą a tm elemeie: b b Rs.4.. Elemet (zło) możą sgał wejśiow b raz elemet opóźiają jego sgał wjśiow jest rów sgałowi wejśiowemu opóźioemu o próbe: z - - Rs.4.. Elemet (zło) opóźiają sgał o próbe
Przład 4.. Przedstawm shemat bloow rówaia różiowego 0, Powższe rówaie możem zapisać w astępująej formie, 0,,,, sąd mam astępują shemat bloow: - z - z - z - Rs.4.4. Shemat bloow do przładu 4.. Przład 4.. Wzazm prąd ozow -tego oza obwodu eletrzego przedstawioego a rs.4.5. jeśli zae są wartośi (N) rezstaji R i N rezstaji R oraz sem E. Obwód jest obwodem o lizbie oze N. - N N R R R R - - - - - N - N - E R R R R R Rs.4.5. Drabiow obwód eletrz Z drugiego prawa Kirhhoffa mam rówaie dla pierwszego oza R ( ) R E 0 (a) i podobie dla -tego oza jeśli N oraz dla (N) oza R ( ) R ( ) R 0 (b) N R ( N N ) R 0. () 4
Następie rówaie (b) zapiszem w postai R 0. (d) R widzim wię, że powższe rówaie jest liiowm jedorodm rówaiem różiowm o stałh współziah. Jeśli przjmiem rozwiązaie potęgowe wielomia haraterstz tórego pierwiasti r, (e) R P ( r) r r, (f) R R R R. (g) 4 R r, ± R R Zgodie z rówaiem (4.6) rozwiązaie ogóle rówaia (d) ma postać r r,,,, N, N. (h) Teraz musim wzazć stałe i worzstują warui pozątowe, tj. rówaia (a) oraz () w astępują sposób: z rówaia (a) mam z rówaia () otrzmujem ( R R ) E (i) R N N ( R R ) R. (j) Jeśli teraz prąd z rówaia (h) podstawim do wżej otrzmah rówań (i) oraz (j), to otrzmam olejo: dla oraz gd r ( r r ) ( R R ) E r () R dla N oraz N gd N N r N N ( r r ) ( R R ) N N r R. (l) Rówaia () i (l) tworzą uład rówań o dwóh iewiadomh i. Stałe te woszą: 5
N N r r r [ R ( r ) R ] E [( r ) R R ][ r ( R R ) R ] r ( R R ) R (m) oraz N r r [ R ( r ) R ] r N E [( r ) R R ][ r ( R R ) R ] r ( R R ) R. () Po wzazeiu th stałh ze wzoru (h) zajdujem prąd ozow w -tm ozu jao fuję rezstaji R i R oraz apięia zasilaia E. Dla przładu rahuowego weźm wartośi N 4, R 6 Ω i R Ω oraz E 0 V. Wted wzazam: r, r 0.5, 0.00084598,.668 i prąd ozow p. drugiego oza 0.40 A. 4.4. Rozwiązwaie umerze rówaia algebraizego Rozwiązwaie rówaia algebraizego i P( ) a0 a a ai a 0 (4.) o stałh rzezwisth współziah a0, a, a,, a i,, a polega a wzazaiu jego pierwiastów,,, i,,. Załóżm prz tm, że pierwiasti te są rzezwiste i rozróżiale. Wted możem rozważać rówaie różiowe a0 a a a 0,,,, (4.4) utworzoe ze współziów rówaia (4.) zauważają, że rówaie (4.) jest rówaiem haraterstzm rówaia (4.4). Rozwiązaiem ogólm rówaia (4.4) jest dae, podobie ja poprzedio, przez wrażeie, (4.5) gdzie i, i,,, są stałmi wzazami z waruów pozątowh: 0 (4.6) 6
Załóżm teraz, że pierwsz pierwiaste o do modułu jest pierwiastiem ajwięszm, tz. > i dla i,,, oraz stała 0. Prz th założeiah możem wazać, że stosue dwóh astępują po sobie wrazów oraz rozwiązaia (4.5) dąż do jeśli tlo, zli lim (4.7) Algortm oreślo przez wzór (4.7) azwa się rzezwistą metodą Beroulliego. Dla dowodu powższego algortmu zapiszm rozwiązaie (4.5) w astępują sposób: i wobe tego dla mam (4.8), (4.8a) a stąd. (4.9) Jeśli tlo > i dla i,,,, to z łatwośią widzim, że gd. Jeśli 0, o może zdarzć się prz ieodpowiedim wborze waruów pozątowh, ale gd 0, to graia (4.7) jest rówa pierwiastowi astępemu ajwięszemu o do modułu spośród pierwiastów rówaia (4.) prz umowm założeiu, że > i dla i, 4,,. Ab wzazć pozostałe pierwiasti rówaia (4.) ajpierw dzielim to rówaie, zli wielomia P (), przez jedomia ( ), otrzmują wielomia, tórego pierwiastami są,,, i,,. Jeśli pierwiasti tego owego wielomiau są łatwo rozróżiale, to powtarza się rzezwist algortm Beroulliego ab wzazć pierwiaste. Załadam prz tm, że > > >. W podob sposób wzazam pozostałe pierwiasti. W przpadu gd jest pierwiastiem wielorotm rówaia (4.), wzór (4.7) może bć adal stosowa; po wzazaiu otuujem algortm Beroulliego. Przład 4.. Wzazć pierwiasti rówaia 6 6 0 (a) 7
.5 PHL -6* -6 0.5-0.5 4 - -.5 Rs.4.6. Wres wielomiau P( ) 6 6 Pierwiasti tego rówaia możem oszaować a podstawie wresu wielomiau P ( ) 6 6 lub wzazć je metodą prób, otrzmują,,. Zastosujm rzezwist algortm Beroulliego. W tm elu z rówaia (a) utwórzm rówaie różiowe 6 6 0, (b) sąd mam 6 6. () Wjdźm teraz z waruów pozątowh, p. 0 0, 0, i wzazm oleje wartośi : dla 0 mam: 0 0, dla mam: 0,, 6 6 6 0 6 0 6 0 0, Dla dalszh wartośi mam:, 6, 5 4.66 6 4 6 6 6 0 5 0 współzii wagi - 6-6 - - 0 0 0 6 6 0 6 5 4.6 6 5 90.6 warui pozątowe 6 5 90 0.4 4 5 90 0 966.0 5 90 0 966 05. 6 0 966 05 90.08 7 966 05 90 850.05 W te sposób stwierdzam, że gd. 8