R z d z i a ł 6 RUCH DRGAJĄCY I FALOWY 6.1. Ruch drgający harmniczny Ruch w przyrdzie jest zjawiskiem pwszechnym. Wszystkie bserwwane w przyrdzie ruchy dzielimy na cztery klasy: ruch pstępwy ruch brtwy ruch drgający ruch falwy Ruchem drgającym, lub wprst drganiami nazywamy dwlne zjawisk fizyczne (każdy ruch lub zmianę stanu) charakteryzujące się pwtarzalnścią w czasie wielkści fizycznej A(t) pisującej ten prces. Rys.6.1. Ruch drgający kreswy 11
Ze względu na pisujący drgający parametr A(t) drgania mżemy pdzielić na: - mechaniczne: zmieniają się współrzędne pisujące płżenie ciała; - elektryczne: zmienia się np. napięcie U(t) lub ładunek Q(t) na kndensatrze bwdu RLC; - elektrmagnetyczne: drgają pla elektryczne i magnetyczne. Zmieniają się wektry r r E t i B t pisujące te pla. () () Wśród szerkiej klasy drgań mżemy wyróżnić drgania harmniczne. Drgania harmniczne t takie drgania, w których wielkść charakteryzująca dany układ zmienia się z czasem sinusidalnie lub csinusidalnie. A () t A cs( ωt + ϕ ) = (6.1) Rys.6.. Wykres przedstawia drgania harmniczne z fazą pczątkwą ϕ różną d zera, amplitudą A i kresem T. Drgania harmniczne charakteryzuje: 1. kreswść; tzn. istnieje taki dstęp czasu T, że dla dwlneg czasu t zachdzi: T nazywamy kresem drgań; () t = A( t T) A +. stałść maksymalneg wychylenia A zwaneg amplitudą drgań; 3. Stałść kresu T. 1 Skr T=cnst, t wielkść ν = kreśla liczbę drgań w ciągu jednstki czasu. T Wielkść ν nsi nazwę częstści drgań i spełnia związki ν = π gdzie: ω = t częstść kątwa lub pulsacja drgań. T 1 T = ω π (6.) 1
1 Częstść ν mierzymy w hercach 1Hz = 1s. Argument funkcji csinus (lub sinus) () t = ωt + ϕ ϕ (6.3) w wyrażeniu (6.1) nazywamy fazą drgań, a wielkść ϕ = cnst fazą pczątkwą. Jeżeli chcemy pisać matematycznie drgania t musimy pdać: - pstać funkcji A(t) alb - równanie matematyczna zwane równaniem ruchu, z któreg funkcja A(t) mże być bliczna. 6.. Prędkść i przyspieszenie punktu drgająceg Pamiętamy, że prędkść ruchu ciała υ wyrażamy S υ = lim = t 0 t przyspieszenie ruchu ciała a ma pstać: ds υ dυ d s a = lim = = t 0 t zatem dla dwlnej wielkści A(t) prędkść punktu drgająceg trzymujemy, różniczkując funkcję (6.1) względem czasu da = = Aω sin ( ωt + ϕ ) zaś υ (6.4) Różniczkując pnwnie tę zależnść względem czasu, znajdujemy przyspieszenie dυ a = = Aω cs( ωt + ϕ ) (6.5) Prównując wzry (6.5) i (6.1) widzimy, że przyspieszenie jest prprcjnalne d wychylenia () a = ω A t (6.6) Jak widać wzór (6.6) jest w zgdzie z wiadmściami wyniesinymi uprzedni (ze szkły średniej), gdzie definiując ruch harmniczny mówin, że jest t taki ruch, w którym siła F(t) działająca na układ drgający jest wprst prprcjnalna d wychylenia i przeciwnie d teg wychylenia skierwana F () t = m a = mω A() t Drgania harmniczne pisane równaniem (6.1) mżna także wyrazić w pstaci 13
przy czym π ϕ 1 = ϕ0 +. A () t = A sin( ωt + ϕ ) 1 6.3. Drgania swbdne Niech na sprężynie będzie zaczepina masa m, tak jak na rys.6.3. Rys.6.3. Mechaniczny scylatr harmniczny Gdy wychylamy ciał masie m z płżenia równwagi x = 0 x t zgdnie z definicją siły sprężystej na układ działa siła F s : F s = kx (6.7) Siła sprężystści F s jest prprcjnalna d wychylenia x i przeciwnie d nieg skierwana. Współczynnik prprcjnalnści k nazywany jest zwykle współczynnikiem sprężystści lub stałą siłwą sprężyny. Współczynnik sprężystści ( F / x) k = mówi nam jaka siła jest ptrzebna d wydłużenia sprężyny jednstkę długści i ma wymiar [N/m]. Zgdnie z II zasadą dynamiki Newtna: ΣF = ma dla scylatra harmniczneg mżemy zapisać: d x kx = m 14
czyli Oznaczając frmalnie (6.8) przyjmie pstać: d x k = x (6.8) m k m ω = (6.9) d x = ω x (6.10) Równanie (6.10) nsi nazwę równania ruchu drgań swbdnych punktu materialneg. Jest t równanie różniczkwe rzędu drugieg jednrdne. Aby znaleźć funkcję x(t) pisującą drgania scylatra swbdneg należy rzwiązać równanie (6.10). Na pdstawie rzważań prwadznych w pdrzdziale 6.1. pstulujemy, że funkcja typu x () t A cs( ωt + ϕ ) winna być rzwiązaniem równania ruchu (6.10). Pdstawiając (6.11) i wyrażenie (6.1) = (6.11) d x = ω A cs( ωt + ϕ ) (6.1) bliczne z (6.11) d równania (6.10) trzymujemy: ω A cs Widzimy, że równść (6.13) zachdzi jeżeli gdzie ( ωt + ϕ ) = ω A cs( ωt + ϕ ) (6.13) ω = ω k ω = 6.14) m jest częsttliwścią kłwą drgań własnych układu. Jeżeli znamy stałą siłwą k sprężyny i masę m ciała zawieszneg na tej sprężynie, t mżemy bliczyć ω (kres T) drgań własnych układu. Drgania swbdne (własne) są zatem drganiami harmnicznymi pisanymi funkcją x () t A cs( ω t + ϕ ) = (6.15) 15
Punkt materialny wyknujący drgania harmniczne pisane (6.15) nsi nazwę scylatra harmniczneg nietłumineg. Amplituda A i faza pczątkwa ϕ drgań swbdnych (własnych) zależą d spsbu pbudzania układu drgań. Drgania swbdne wyknują też wahadła matematyczne i fizyczne. Drgania swbdne nie muszą być wyłącznie mechaniczne, np. w bwdzie elektrycznym złżnym z indukcyjnści L i pjemnści C występują drgania (swbdne) elektryczne. Jeżeli w równaniu (6.10) zastąpimy x(t) przez A(t) t uzyskamy ugólnine równanie ruchu drgań swbdnych w pstaci: d A = ω A (6.16) Obliczmy teraz całkwitą energię mechaniczną E drgająceg harmnicznie punktu materialneg. Energia kinetyczna E k wyrazi się wzrem: E k υ m 1 dx = m =, gdzie x = A cs( ω t + ϕ ) E k 1 mω A sin ( ω t + ϕ ) = (6.17) Energia kinetyczna zmienia się d zera dla największeg wychylenia x i siąga wartść maksymalną E k max 1 mω A = dla wychylenia x = 0. Energię ptencjalną E p drgająceg punktu bliczamy, wyznaczając energię ptencjalną rzciągniętej sprężyny. Energia ptencjalna zgrmadzna w rzciągniętej sprężynie równa się pracy W włżnej przy rzciąganiu tej sprężyny. Czyli 1 E p W = kx x x W = F dx = 0 s 0 x ( kx) dx = kxdx = =, gdzie x = A cs( ω t + ϕ ) Ale pamiętamy (patrz (6.14)), że E p = 1 ka cs 0 ( ω t + ϕ ) 1 kx k ω = ; m k = mω 16
Wtedy E p 1 mω A cs Całkwita energia mechaniczna E jest równa E = E k + E p = 1 ( ω t + ϕ ) = (6.18) mω A [ sin ( ω t + ϕ) + cs ( ω t + ϕ )] 1 E = m ω A (6.19) Widzimy zatem, że w ruchu harmnicznym energia ptencjalna i kinetyczna punktu wyknująceg drganie zmieniają się w taki spsób, że ich suma pzstaje stała. Jest t zgdne z zasadą zachwania energii mechanicznej, gdyż w przypadku drgań swbdnych straty energii mechanicznej nie występują. Na rysunku 6.4 pkazan zależnść x(t), υ(t), a(t), E k (t) i E p (t) drgań swbdnych. Zwróćmy uwagę, że wykres υ(t) jest przesunięty w stsunku d wykresu x(t) π/; t sam yczy wykresu a(t) w stsunku d wykresu υ(t). Mówimy, że między prędkścią a wychyleniem raz między przyspieszeniem a prędkścią występuje przesunięcie fazwe równe π/. Rys.6.4. Zależnść x(t), υ(t), a(t), E k (t) i E p (t) w ruchu harmnicznym z zerwą fazą pczątkwą (ϕ 0 = 0) 17
6.4. Drgania tłumine Jeżeli drgania ciała dbywają się w śrdku materialnym (np. w gazie, cieczy), t wskutek występwania siły pru śrdka, którą będziemy nazywać siłą tłumiącą, drgania będą zanikać. Niezależnie d natury śrdka siła tłumiąca F t jest prprcjnalna d prędkści υ ciała drgająceg (jeśli prędkść ta jest niewielka). Zatem dx F t = f (6.0) Współczynnik prprcjnalnści f nazywa się współczynnikiem pru śrdka. Znak minus w pwyższym wzrze uwzględnia fakt, że siła F r t jest zawsze skierwana przeciwnie d kierunku ruchu (kierunku prędkści). Rys.6.5. Mechaniczny, tłuminy scylatr harmniczny równanie (6.1) przyjmie pstać Uwzględniając działanie siły (6.0) mżemy dla drgań tłuminych, zgdnie z II zasadą dynamiki, napisać czyli Alb ΣF = ma; Fs + Ft = ma dx d x kx f = m d x k f dx = x (6.1) m m Pamiętając, że k m = ω jest t częstść kłwa drgań własnych (czyli częstść z jaką drgałby układ gdyby nie był tłumienia) raz znaczając frmalnie f m = β (6.) d x dx = ω x β (6.3) Równanie (6.3) nsi nazwę równania ruchu drgań harmnicznych tłuminych. Jest t równanie różniczkwe rzędu drugieg, jednrdne. 18
Rzwiązaniem teg równania jest funkcja f gdzie: β = t tzw. współczynnik tłumienia, a m tłuminych. ( ω t + ϕ) βt x = A0 e cs 1 (6.4) ω 1 = ω β t pulsacja drgań Prównując wzór (6.9) dla drgań swbdnych ze wzrem (6.4) widzimy, że wskutek działania siły tłumiącej: 1. amplituda drgań tłuminych maleje z upływem czasu według zależnści A A t 0 e β = (6.5). pulsacja drgań tłuminych jest mniejsza niż dla drgań swbdnych ω 1 = ω β < ω (6.6) Na rysunku 6.6 przedstawin wykres drgań tłuminych ciała z naniesinym dla prównania z wykresem drgań swbdnych teg ciała. Rys..6.6. Prównanie drgań tłuminych (linia ciągła) z drganiami swbdnymi (linia przerywana); kres drgań tłuminych jest większy niż kres drgań swbdnych. Wielkścią charakteryzującą drgania tłumine jest tzw. lgarytmiczny dekrement tłumienia. Lgarytmiczny dektrement tłumienia jest t lgarytm naturalny stsunku dwóch amplitud w chwilach t i t+t. Oznaczając lgarytmiczny dekrement tłumienia literą λ (lambda) mżemy zapisać Ae λ = ln β A e ( t+ T) βt = ln e β T = βt (6.7) Zależnści d (6.4) d (6.7) mają sens tylk wtedy, jeśli β < ω, w przeciwnym razie ruch nie jest ruchem drgającym, lecz ruchem pełzającym (aperidycznym). 19
6.5. Drgania wymuszne Jeżeli chcemy, aby pry śrdka nie tłumiły drgań, t na drgający punkt materialny należy działa dpwiedni zmienną w czasie siłą. W przypadku drgań harmnicznych siła ta ma pstać: Fw = F0 cs Ω t (6.8) Siłę tę nazywamy siłą wymuszającą. W przypadku drgań wymusznych mamy ΣF = ma; Fs + Ft + Fw = ma czyli d x dx m + f + kx = F0 cs Ω t (6.9) Alb d x k f dx F0 = x + cs Ω t m m m C mżna zapisać: d x dx = ω x β + p cs Ω t (6.30) gdzie p F = jest amplitudą m znrmalizwaną siły wymuszającej Rys.6.7. Mechaniczny, tłuminy scylatr (przeliczną na jednstkę masy). harmniczny z wymuszaniem F w Równanie (6.30) nsi nazwę równania ruchu drgań wymusznych. Rzwiązaniem teg równania jest funkcja ( Ω t + Φ ) x = A cs (6.31) gdzie amplituda A i faza pczątkwa Φ 0 ustalneg drgania wymuszneg mają pstać: p A = (6.3) Φ ( ω Ω ) + 4β Ω βω = arc tg (6.33) ω Ω 130
Widzimy więc, że w wyniku działania siły wymuszającej pstaci (6.8) punkt materialny wyknuje drgania harmniczne z pulsacją Ω, tzn. z taką pulsacją, z jaką zmienia się siła wymuszająca. Amplituda drgań wymusznych jest ściśle kreślna i zależy d amplitudy siły wymuszającej p raz d jej pulsacji Ω. Również pczątkwa faza drgania Φ zależy d pulsacji Ω. Gdy siła wymuszająca działa na drgające ciał z dpwiednią częsttliwścią, t amplituda drgań teg ciała mże siągnąć bardz dużą wielkść nawet przy niewielkiej sile wymuszającej. Zjawisk t nazywamy reznansem. Przeanalizujemy becnie wyrażenie (6.3) na amplitudę ( Ω) A drgań wymusznych. Wykres przedstawiający funkcję ( Ω) A nazywamy krzywą reznansu. Na rysunku 6.8 przedstawin krzywe reznansu dla różnych wartści współczynnika tłumienia β. Z rysunku teg wynikają następujące wniski: 1. Maksymalna wartść amplitudy A r jest tym większa, im mniejszy jest współczynnik tłumienia β, a gdy β 0, t A r (patrz β na rys.6.8).. Jeżeli tłumienie jest słabe (β 1 i β na rys.6.8) T A r siąga maksimum, gdy pulsacja Ω przyjmie wartści Ω r 1,Ωr niec mniejsze d pulsacji drgań własnych ω. Im mniejsza jest wartść β, tym bardziej Ω r zbliża się d wartści ω. 3. Przy bardz silnym tłumieniu (β 3 i β 4 na rys.6.8) reznans (maksimum) nie występuje; maksymalna amplituda drgań A r jest siągana, gdy Ω jest bliskie zera. Rys.6.8. Krzywe reznanswe dla różnych wartści współczynnika tłumienia β: β0 < β1 < β < β3 < β4 131
Wartść pulsacji siły wymuszającej Ω r, dla której amplituda drgań jest maksymalna, nazywa się pulsacją reznanswą. Odpwiadająca jej amplituda A r nazywa się amplitudą reznanswą. Wyrażenia na A r i Ω r mżna trzymać ze wzru (6.3). Amplituda przyjmuje wartść maksymalną, gdy wielmian pd pierwiastkiem siąga minimum. Obliczając jeg pchdną względem Ω i przyrównując ją d zera, znajdujemy Ω r = ω β (6.34) Pdstawiając (6.34) d (6.3), trzymujemy A r p = (6.35) β ω β Zjawisk reznansu jest bardz rzpwszechnine w przyrdzie i technice. Skutki reznansu mgą być pzytywne lub negatywne. Na przykład, wirujące części maszyny, jeżeli nie są dkładnie wyważne, wymuszają drgania innych części maszyny i jeżeli jest spełniny przy tym warunek reznansu, t amplituda drgań wymusznych mże być taka duża, że dprwadzi t d zniszczenia drgających części. Ze zjawiskiem reznansu sptykamy się jadąc np. autbusem: przy pewnej prędkści brtów silnika szyby lub niektóre części karserii zaczynają silnie drgać. 6.6. Ddawanie drgań harmnicznych równległych tej samej częsttliwści Rzważmy teraz przypadek, gdy punkt materialny wyknuje jedncześnie dwa (lub więcej drgania harmniczne równległe tej samej częsttliwści kłwej, czyli tej samej pulsacji, lecz różniące się fazą. Drgania nazywamy równległymi, gdy zachdzą wzdłuż tej samej prstej. Załóżmy, że rzważane przez nas drgania zachdzą wzdłuż si x. Mżemy je wtedy wyrazić równaniami x x 1 A1 cs t ( ω + ϕ ) = (6.36) A cs t 1 ( ω + ϕ ) = (6.37) przy czym występująca między drganiami różnica faz ϕ = ϕ ϕ1, nsi nazwę przesunięcia fazweg. Drganie wypadkwe rzważaneg punktu jest superpzycją jeg drgań składwych, a wychylenie wypadkwe jest sumą jeg wychyleń składwych, zatem x = x + = ( ωt + ϕ ) + A cs( ω + ϕ ) 1 x A1 cs 1 t 13
Stsując dpwiednie wzry trygnmetryczne, wyrażenie pwyższe mżna sprwadzić d pstaci ( ω + ϕ ) x = Acs t (6.38) gdzie A = A1 + A + A1A cs( ϕ ϕ1 ) (6.39) A1 sin A sin tg ϕ = (6.40) A cs A cs 1 ϕ1 + ϕ1 + Widzimy, że złżenie dwóch drgań harmnicznych jednakwych pulsacjach różniących się fazą daje w wyniku drganie tej samej pulsacji. Jasne jest, że t sam yczy złżenia większej liczby drgań. Knkludując mżemy stwierdzić, że ddawanie drgań harmnicznych równległych, jednakwych pulsacjach różniących się fazą, daje w wyniku drganie harmniczne tej samej pulsacji. Składanie drgań mżna wyknać graficznie metdą wektrwą. W metdzie tej każde drganie jest przedstawine wektrem długści A k, twrzącym kąt ϕ k z sią x. Na rysunku 6.9 przedstawin graficznie złżenie dwóch drgań. Na pdstawie teg rysunku łatw jest trzymać wzry (6.39) i (6.40). ϕ ϕ Rys.6.9. Wektrwa metda składania drgań. Drgania składwe amplitudach A 1 i A raz fazach ϕ 1 i ϕ dają wypadkwe drganie amplitudzie A i fazie ϕ. 6.7. Istta ruchu falweg Większść wiadmści, jakie mamy świecie zewnętrznym, dciera d naszej świadmści pprzez rgana zmysłwe słuchu i wzrku za pśrednictwem fal. Infrmacje te dchdzą d bserwatra z pewnym późnieniem wynikającym ze skńcznej prędkści światła i dźwięku. Rzpatrzymy teraz sytuację, w której drgająca cząstka jest płączna pprzez siły sprężyste z innymi cząstkami (rys.6.10). Wskutek działania między cząstkami sił sprężystych drgania będą przensiły się d jednej cząstki d drugiej. 133
Rys.6.10. Schematyczne przedstawienie prpagacji fali w ciele stałym. Z pdbną sytuacją sptykamy się w ciałach stałych i gazach. Jak przykład rzpatrzmy gaz. Jeśli w pewnym miejscu sprężymy gaz, np. na skutek ruchu tłka, t w bszarze tym znajdzie się więcej cząstek. Spwduje t wzrst ciśnienia gazu i pjawienie się siły skierwanej w kierunku mniejszeg ciśnienia (gęstści). Na skutek teg, tam gdzie gaz był zgęszczny, teraz ulegnie rzrzedzeniu i dwrtnie. Jeśli tłk będzie wyknywał ruch drgający, t w gazie będą rzprzestrzeniały się klejne zgęszczenia i rzrzedzenia śrdka. Omówine tutaj drgania sprężyste rzchdzące się w gazach, cieczach i ciałach stałych nazywamy falami sprężystymi. Fale sprężyste nazywamy też częst falami akustycznymi, rzumiejąc przez ten termin fale sprężyste prpagujące się we wszystkich stanach skupienia materii, w pełnym zakresie częstści drgań, jaki mże wystąpić w przyrdzie. Okazuje się, że prces przekazywania drgań z jedneg punktu d drugieg jest zjawiskiem charakterystycznym nie tylk dla śrdków sprężystych, ale również dla pla elektrmagnetyczneg. Drgania pla elektrmagnetyczneg wytwarzają falę elektrmagnetyczną. W tym przypadku zmieniającymi się wielkściami są pla: elektryczne i magnetyczne. Charakterystyczną cechą takieg zaburzenia jest fakt, że mże n prpagwać się również w próżni. Na pdstawie licznych bserwacji fizycznych mżemy pwiedzieć, że fale t nic inneg jak rzchdzące się w przestrzeni zaburzenia stanu materii lub pla. Wspólną cechą wszystkich zjawisk falwych jest zdlnść przenszenia przez falę energii, przy czym w prcesie tym występuje w spsób ciągły kreswa zamiana energii jedneg rdzaju na drugi rdzaj. Np. w przypadku fal sprężystych mamy ciągłą zamianę energii kinetycznej cząstek materii na energię ptencjalną, a w przypadku fal elektrmagnetycznych energia pla elektryczneg przechdzi w energię pla magnetyczneg i na dwrót. 6.8. Funkcja falwa. Rdzaje fal Wiemy już, że ruch falwy plega na rzchdzeniu się zaburzenia pewnej wielkści fizycznej charakteryzującej stan śrdka. D pisu teg zaburzenia będziemy psługiwać się wielkścią ψ, która zależeć będzie d płżenia i czasu. 134
( x, y, z, t) ψ = ψ (6.41) Funkcja ψ(x,y,z,t,) t funkcja falwa pisująca rzchdzącą się w śrdku falę. W przypadku prpagacji fali w cieczy lub gazie ψ będzie pisywał zmiany gęstści lub ciśnienia w śrdku spwdwane przejściem fali. W przypadku ciał stałych ψ będzie przemieszczeniem atmów z płżenia równwagi. Dla fali elektrmagnetycznej jak funkcję ψ przyjmuje się natężenie pla elektryczneg lub magnetyczneg. Jeśli funkcja ψ jest skalarem, t dpwiednia fala nazywa się skalarną, jeśli jest wektrem, t mówimy fali wektrwej. Przykładem fali skalarnej jest fala akustyczna w gazie, natmiast fali wektrwej fala elektrmagnetyczna. Zajmiemy się najpierw pisem takiej fali, dla której ψ zależy tylk d jednej współrzędnej x i d czasu t ( x, t) ψ = ψ (6.4) Rys.6.11. Ilustracja d wyprwadzenia zależnści ψ = ψ sin( ωt kx) 0 Falę taką nazywamy falą płaską. Dbrym przykładem fali płaskiej mże być fala akustyczna wytwrzna prze tłk dużej średnicy drgający w kierunku prstpadłym d swjej płaszczyzny. Znajdziemy teraz pstać funkcji falwej ψ fali płaskiej. Załóżmy, że źródł fali wyknuje ruch harmniczny wkół punktu x = 0 raz, że w chwili pczątkwej ψ = 0 (rys.6.11). Mżemy więc zapisać ψ = ψ 0 sin ωt (6.4) gdzie ω i ψ 0 są dpwiedni częstścią i amplitudą drgań. Zaburzenie śrdka wywłane ruchem tłka przemieści się w przestrzeni i p czasie t 0 znajdzie się w punkcie współrzędnej x. Drgania w tym punkcie będą późnine w stsunku d drgań źródła 135
wielkść ϕ = ωt 0. Przyjmując, że amplituda drgań nie zmienia się, funkcja ψ(x,t) będzie miała pstać ( x, t) = ψ sin ω( t ) ψ (6.43) 0 t 0 t 0 mżemy zapisać w pstaci t = x 0 (6.44) υ gdzie υ jest prędkścią rzchdzenia się (prpagacji) fali, a ściślej prędkścią przemieszczania się kreślnej fazy fali, czyli prędkścią fazwą. Prędkść fazwą będziemy nazywali dalej prędkścią fali. Uwzględniając więc (6.44), zależnść (6.43) będzie miała pstać Pnieważ π ω =, więc T x x ψ( x, t) = ψ0 sin ω t = ψ0 sin ωt ω (6.45) υ υ π x πx ψ( x, t) = ψ0 sin ωt = ψ0 sin ωt (6.46) T υ λ gdzie λ = υt jest długścią fali, czyli dległścią, na jaką przemieści się zaburzenie w czasie jedneg kresu T. Wprwadźmy jeszcze pjęcie liczby falwej k zdefiniwanej jak Zatem równanie (6.46) przyjmie pstać k = π. λ ( x, t) = ψ0 sin( ωt kx) ψ (6.47) Zależnści (6.45-6.47) przedstawiają funkcje fali płaskiej. Argument funkcji sinus nazywamy fazą fali. Zbiór punktów w przestrzeni, w których faza ma taką samą wartść, nazywamy pwierzchnią falwą lub człem fali. Dla fali płaskiej kreślnej wzrem (6.47) pwierzchniami falwymi będą płaszczyzny x = cnst (rys.6.1). Pwierzchni falwych jest nieskńczenie wiele. Zauważmy, że z warunku stałści fazy mżemy wyznaczyć wyprwadzną wcześniej prędkść fazwą, a mianwicie lub ω t kx = cnst (6.48) cnst ω x = + t (6.49) k k 136
Stąd π dx ω T λ υ = = = = k π T (6.50) λ Rys.6.1 Fala płaska Linie, które w każdym punkcie są prstpadłe d pwierzchni falwej, nazywamy prmieniami fali. Wskazują ne kierunek prpagacji fali. W przypadku rzpatrywanej fali płaskiej, danej wzrem (6.47), są t linie równległe d si x i zrientwane tak jak ś x. Oprócz fal płaskich wyróżniamy jeszcze (ze względu na kształt czła fali) fale kuliste, kliste i walcwe (rys.6.13). Fale kuliste i kliste pchdzą d źródeł punktwych, zaś fale walcwe d źródeł liniwych. 137
Rys.6.13. Fala kulista (a), klista (b) i walcwa (c) Dtychczas mówiliśmy zależnści przestrzenn-czaswej funkcji ψ pisującej zaburzenie śrdka, natmiast nie kreśliliśmy, jaki jest kierunek przemieszczenie się zaburzenia czy drgań cząstek śrdka. W związku z kierunkiem, w jakim dbywają się drgania, fale dzielimy na: pdłużne gdy kierunek drgań jest równległy d kierunku prpagacji fali, pprzeczne gdy kierunek drgań jest prstpadły d kierunku prpagacji fali (rys.6.14). Rys.6.14. Fala pdłużna (a) i pprzeczna (b) 138
Pdłużne fale sprężyste mgą prpagwać się w cieczach i ciałach stałych. Natmiast fale pprzeczne sprężyste, których prpagacja pwduje zmianę kształtu śrdka mgą prpagwać się tylk w śrdkach mających sprężystść pstaci, czyli w ciałach stałych. 6.9 Równanie różniczkwe ruchu falweg Funkcja ψ(x,t) (6.47) pisująca zaburzenia wywłane przejściem fali spełnia pewne równanie, które nazywamy różniczkwym równaniem ruchu fali. Aby znaleźć pstać teg równania, bliczamy drugie pchdne funkcji ψ(x,t) względem t raz względem x. ψ0 sin ψ = ω t ( ωt kx) = ω ψ (6.51) ψ = k ψ0 sin( ωt kx) = k ψ (6.5) x Mnżąc bustrnnie równanie (6.51) przez k, natmiast (6.5) przez ω, mżemy prównać lewe strny tych równań Pnieważ (patrz 6.50)) ω k = υ, więc ψ ψ ω = k (6.53) x t ψ 1 ψ = (6.54) x υ t Jest t równanie różniczkwe ruchu fali płaskiej prpagującej się wzdłuż si x z prędkścią fazwą υ. Rzwiązaniami równania (6.54) są mawiane już wcześniej funkcje falwe (6.47). Czyli, znając pstać równania ruchu falweg daneg rdzaju, jesteśmy w stanie (rzwiązując równanie ruch) wyznaczyć funkcje falwe ψ pisujące rzchdzenie się daneg rdzaju fali w danym śrdku. Jeżeli ψ 1 i ψ są rzwiązaniami różniczkweg równania fali t funkcja ψ = α1ψ1 + α ψ, gdzie α 1 i α są dwlnymi stałymi, jest także rzwiązaniem równania fali, a więc ψ reprezentuje również falę, która mże rzchdzić się w tym śrdku. Fakt ten nsi nazwę zasady superpzycji, którą mżna sfrmułwać następując. Jeśli w śrdku prpagują się dwie fale, t wypadkwe zaburzenia śrdka jest równe sumie zaburzeń wywłanych przez pszczególne fale. 139
6.10. Interferencja fal Interferencją fal nazywamy zjawisk nakładania się (superpzycji) dwóch lub więcej fal tych samych długściach, a więc tych samych pulsacjach. Rzważmy dwie fale biegnące z taką samą prędkścią w tym samym kierunku równych amplitudach, lecz różniących się fazach. Niech równania tych fal mają pstać ( ωt kx) = ψ0 φ1 1 = ψ0 sin sin ψ (6.55) ( ωt kx + ϕ) = ψ0 φ = ψ0 sin sin ψ (6.56) W danym punkcie przestrzeni fale te wywłują drgania równległe różnicy faz φ = φ φ1 = ϕ. Wypadkwe drgania mżna wyrazić równaniem ψ = ψ0 ψ = ψ 1 + ψ = ψ0 sin φ1 + ψ0 sin ( sin φ + sin φ ) 1 φ1 + φ φ1 φ = ψ0 sin cs ϕ ϕ ψ = ψ 0 sin ωt kx + cs ϕ ψ = A sin ωt kx + (6.57) ϕ gdzie A = ψ0 cs. Fala wypadkwa ψ dana równaniem (6.57) ma więc tę samą pulsację ω c fale składwe ψ 1 i ϕ ψ ale inną amplitudę A, równą ψ 0 cs. Gdy fazy fal są zgdne (tzn. ϕ = 0, ± π, ± 4π,... ), t amplituda fali wypadkwej wynsi A; mówimy wówczas, że fale się wzmacniają. Gdy fazy fal są przeciwne (tzn. ϕ = ±π, ± 3π,... ), t amplituda fali wypadkwej jest równa zeru; mówimy wówczas, że fale się wygłuszają. Warunkiem kniecznym wystąpienia interferencji fal, jest t, aby różnica faz fal nakładających się była stała w czasie. Takie fale nszą nazwę kherentnych alb spójnych. Fale pchdzące z dwóch niezależnych źródeł na gół nie są spójne. Fale spójne przesunięte w fazie mżna trzymać z jedneg źródła, jeżeli fale te będą przebywały niejednakwe drgi. φ 140
6.11. Fale stjące Fala wytwrzna w ciele skńcznych rzmiarach dbija się d granicy teg ciała: np. fala wytwrzna na napiętej strunie dbija się d bu punktów unieruchmienia struny. Fala dbita prusza się w kierunku przeciwnym niż fala padająca i superpzycja tych dwóch fal (fali padającej i dbitej) daje w wyniku falę wypadkwą, zwaną falą stjącą. Załóżmy, że rzchdząca się w ciele fala jest falą harmniczną i że dbija się na d granic teg ciała bez strat, tzn. fala dbita ma taką samą amplitudę, c fala padająca. Fale te mżna pisać równaniami: x ψ1 ( x, t) = ψ0 sin ω t - fala biegnie w kierunku ddatnim 0x i υ x ψ ( x, t) = ψ0 sin ω t + - fala biegnie w kierunku ujemnym si 0x. υ Stąd fala wypadkwa ( x, t) ψ ma pstać (, t) = ψ ( x, t) + ( x, t) ψ ; x 1 ψ x x (, t) = ψ sin ω t + sin ω t + ψ x 0 ; υ υ x ψ( x, t) = ψ0 sin ωt cs ω ; υ x ψ ( x, t) = ψ0 cs ω sin ωt υ (6.58) Jest t równanie fali stjącej. Równanie fali stjącej pstaci (6.58) mżemy zapisać ( x, t) = A( x) sin ωt ψ (6.59) gdzie amplituda x A( x) = ψ0 cs ω (6.60) υ W przypadku fali stjącej wszystkie cząstki śrdka (np. struny) wyknują drgania harmniczne w tej samej fazie. W fali biegnącej (czyli fali funkcji falwej danej równaniem (6.45) lub (6.47)) amplitudy cząstek drgających są jednakwe, dla fali stjącej natmiast charakterystyczne jest t, że amplitudy drgań cząstek zależą d ich płżeń. Ze wzru (6.59) mżna wywniskwać, że amplituda drgań, dana wyrażeniem (6.60), przybiera wartść maksymalną ψ 0 w punktach, w których 141
x ω = kx = 0, π,π,3π,... υ a wartść minimalną (równą zeru) w punktach, w których x π 3π 5π ω = kx =,,,... υ Punkty maksymalnej amplitudzie drgań są nazywane strzałkami, a punkty w których amplituda drgań jest równa zeru, czyli punkty nie wyknujące drgań, są nazywane węzłami. Pnieważ zachdzi związek a węzły w punktach k = π, strzałki znajdują się w punktach λ λ 3π x = 0,, λ,... λ 3λ 5λ x =,,,... 4 4 4 Widać stąd, że węzły i strzałki są płżne na przemian raz, że dległści między klejnymi węzłami lub klejnymi strzałkami wynszą pół długści fali. Zależnści te przedstawin na rys.6.15. Rys.6.15. Fala stjąca przedstawina w pstaci szeregu chwilwych ftgrafii wychylenia T T punktów z płżenia równwagi dla trzech chwil: t, t + i t +. Dla chwili 4 T t + (dla której wszystkie punkty mają zerwe wychylenie), strzałkami 4 znaczn prędkści cząstek. 14
Fala stjąca jest szczególnym przypadkiem fali, takiej, w której energia drgań nie jest przenszna, lecz trwale zmagazynwana w pszczególnych punktach śrdka. Ruch taki mżna rzpatrywać jak drganie śrdka jak całści. Nazywamy g jednak falą stjącą, pnieważ pwstaje w wyniku nałżenia się dwóch fal biegnących w przeciwnych kierunkach. Odbicie fali d granicy śrdka mże zachdzić dwjak: ze zmianą fazy i bez zmiany fazy. Np. gdy kniec struny jest unieruchminy, przy dbiciu fali jej faza zmienia się skkw π. Fale padająca i dbita znszą się wzajemnie w tym punkcie i w miejscu zamcwania pwstaje węzeł. Odmiennie wygląda sprawa w przypadku, gdy kniec struny jest swbdny, np. zakńczny pierścieniem mgącym przesuwać się na pprzecznie umieszcznym pręcie. W tym przypadku dbicie fali następuje bez zmiany fazy i na kńcu struny pwstaje strzałka. 143