FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

Transkrypt

1 Teria Maxwella cztery równania FAL LKTROMAGNTYCZN Przyśpieszny ładunek emituje pla elektryczne i magnetyczne prpagujące się z prędkścią c = ε µ. Fale elektrmagnetyczne zakres częsttliwści (4 7) Hz W większści zjawisk fizycznych występują ddziaływania elektrmagnetyczne Częsttliwść Hz Fale średnie Fale krótkie TV Fale radiwe Mikrfale Ultrafilet Zakres widzialny Prmieniwanie pdczerwne Rys Widm fal elektrmagnetycznych X γ Prmieniwanie

2 Równanie różniczkwe fali elektrmagnetycznej y J P B b x B b B B+dB P O x a z Widk z góry z Rys. 9.. Prstkątny element nieskńcznej pwierzchni z prądem pwierzchniwym J. Rys Widk z góry elementu prądu przedstawineg na rys. 9.. Całki krzywliniwe liczne są w kierunku ruchu wskazówek zegara wkół prądu i wkół punktu P.

3 Ugólnine praw Ampera r r B ds v r r 1 r µ j ds + ds c (7.16) t = C S S Kntur bchdzimy zgdnie z kierunkiem wskazówek zegara. Równanie (7.16) napiszemy w pstaci r r B ds = Jb lub Stąd znajdujemy B w pbliżu płaskieg prądu µ Bb = µ Jb µ B = J (9.1) Prąd J zmienia się w czasie, a trzymany wynik słuszny jest jedynie w pbliżu źródła. Teraz psłużymy się prstkątnym knturem całkwania wkół punktu P. Wektr ds r jest skierwany za płaszczyznę rysunku w ujemnym kierunku si y. Wówczas r r ds = ds = bdx. y y a równanie (7.16) przyjmie pstać r B ds = 0 + C 1 c r r ds t

4 lub Wbec teg y ( B + db ) b B b = ( bdx ) z z db dx db z z z 1 = c t = cnst 1 c t t 1 = c y dx t y dx Z ugólnineg prawa Faradaya C B x z 1 y = (9.) c t r r ds = S r B r ds dt mżna trzymać jeszcze jeden związek między plami B i.

5 J y h ( + d) dx Rys Widk z bku na element płaskieg prądu przedstawineg na rys. 9.. P Całkujemy w kierunku przeciwnym d ruchu wskazówek zegara p prstkątnym knturze wkół punktu P w płaszczyźnie Oxy czyli a dalej C r r ds = r B r ds t Bz ( y + d y )h yh = t i statecznie d d dx y y B = t t = cnst x y z dx B = t B t z ( hdx ) z = (9.3)

6 Mamy dwa równania, (9.) i (9.3), z dwiema niewiadmymi B z i y. Różniczkując równanie (9.) p x, a równanie (9.3) p t, mżna wyłączyć y = t c x x B x y z 1 t x c x B y z 1 = (9.4) Pdbnie t B t x t B t x t z y z y = = Pdstawiając t wyrażenie w prawą strnę równania (9.4), mamy 1 t B c x B z z = (9.5) Jest t słynne równanie różniczkwe równanie falwe Maxwella. Rzwiązanie teg równania przedstawia falę biegnącą prpagującą się z prędkścią c. Równanie (9.3) zawiera uzupełniającą infrmację wskazującą, że wielkść pla elektryczneg jest równa = cb i że pla r i B r są wzajemnie prstpadłe.

7 J y Prmieniwanie płaskieg prądu P Załóżmy, że prąd pwierzchniwy (rys. 9.) ma pstać J = J cs ω t, prąd J płynie w kierunku przeciwnym d si y. z O Rys. 9.. Prstkątny element nieskńcznej pwierzchni z prądem pwierzchniwym J. Pdstawiając t rzwiązanie d lewej strny równania (9.5) mamy x Przy małych wartściach x rzwiązanie kreślne jest wyrażeniem (9.1) µ Bz ( x,t ) = J cs ωt W przypadku dużych wartści x jednznacznym rzwiązaniem jest µ ( ) = x B z x,t J cs ω t (9.6) c a d prawej B x z ω = c µ J cs ω t x c ω = c µ x ( ) ω J cs ω t = Bz 1 Bz 1 ω = c t c c c B z czyli równanie falwe (9.5) jest spełnine.

8 Zauważmy, że dla x 0 trzymujemy Bz = ( µ / )J cs ω t. Rzwiązanie t spełnia warunek brzegwy i jest jednznacznym rzwiązaniem prblemu. Teraz znając B mżemy bliczyć ple pdstawiając rzwiązanie na B d równania (9.3) stąd x y x x = B cs ω t = ω B sinω t t c c x = ω B sin ω t dx = cb cs ω t c x c y + cnst Stała całkwania jest równa zeru, pnieważ ładunki twrzące stałe ple elektryczne nie występują. Tak więc Jest t ple prmieniwania. y cµ = = x cbz J cs ω t c Za ddatni kierunek prądu J przyjęt kierunek przeciwny d kierunku si y. Dlateg ddatnie znaki wielkści y i B z znaczają, że w pbliżu źródła ple y skierwane jest przeciwnie d prądu J. Wygdnie jest t zapamiętać w następujący spsób: ddatnie ładunki będą grmadzić się na dlnej krawędzi, a ujemne na górnej. Linie sił pla skierwane są z dłu d góry, tj. przeciwnie d kierunku prądu. (9.7)

9 Wykazaliśmy, że = cb a także, że pla elektryczne i magnetyczne są wzajemnie prstpadłe. y z y B c x J B c x z B Rys Płaska fala mnchrmatyczna prpagująca się w praw z prędkścią c. Fala emitwana jest przez sinusidalny prąd J płynący w płaszczyźnie yz.

10 Rzkład Furiera peridycznej funkcji F(t Rzważmy przypadek, kiedy prąd pwierzchniwy kreślany jest funkcją piłkształtną kresie τ. Wówczas ω = π τ. Funkcję piłkształtną mżna przedstawić w pstaci sumy nieskńcznej liczby fal sinusidalnych 1 F(t ) = sin ω n n= 1 Jest t rzkład Furiera peridycznej funkcji F(t). ( n t ) W gólnym przypadku dwlną funkcję peridyczną częstści 1/τ mżna zapisać w pstaci sumy fal mnchrmatycznych częstściach n(1/τ), gdzie n przyjmuje liczby całkwite d 1 d.

11 (a) 1 0 sinωt 1 sin ωt τ t Dla generacji piłkształtnej fali elektrmagnetycznej prąd pwierzchniwy kreślany jest wzrem -1 1 F n= 1 1 n ( t) = sin( nωt) gdzie ω = π τ. 1 J = J sin ω n n = 1 ( n t) (b) 0-1 fale 1 sin ωt + sin ωt τ t Pnieważ równania Maxwella są liniwe dnśnie, B i J, więc pełne rzwiązanie jest równe sumie ddzielnych rzwiązań. 19 fal 1 9 fal (c) 0 τ t -1 Rys Przedstawienie piłkształtnej funkcji w pstaci sumy nieskńcznej liczby fal sinusidalnych: (a) dwie fale sinusidalne; (b) wynik złżenia dwóch fal sinusidalnych; (c) suma pierwszych dziewięciu i dziewiętnastu fal sinusidalnych.

12 Oddziaływanie prmieniwania z materią Dbry przewdnik dbija falę ze 100% efektywnścią. Przez dielektryk fala prpaguje się nie dznając pchłaniania; jednakże prpagacja fali zachdzi wlniej niż w próżni. Te pzrne paradksy rzwiązuje się stsując pdejście mikrskpwe z uwzględnieniem budwy atmwej materii. nergia prmieniwania pad B pad x j z y Rys Fala padająca r pad przemieszcza się w praw i pada na płytkę indukując prąd, który na praw i na lew d płytki prmieniuje własne ple r. Na rys. 9.7 pkazan falę elektrmagnetyczną padającą na prstkątny element płytki nieskńcznych rzmiarach. Jeżeli gęstść prądu indukwaneg jest równa j, t w prstkątnym elemencie będzie płynął prąd I = jz x Różnica ptencjałów pmiędzy górną a dlną krawędzią wynsi V = y, a energia tracna w jednstce czasu na ciepł Jule'a wynsi dw dt = IV = ( jz x) y = j( y z x) gdzie y z x znacza bjętść elementu płytki. Mc tracna w jednstce bjętści przewdnika wynsi j.

13 Jeżeli na przewdzącą płytkę pada płaska fala mnchrmatyczna, t przy tym nie tylk wydziela się ciepł z szybkścią j w jednstce bjętści, lecz indukwany prąd j także prmieniuje falę elektrmagnetyczną. Jeżeli prąd pwierzchniwy J = j x, t zgdnie z (9.7) cµ = j x (9.8) Znak minus wskazuje, że wewnątrz płytki ple r r skierwane jest przeciwnie d prądu j. Niech PS znacza straty mcy na jednstkwą pwierzchnię. W przypadku cienkiej płytki grubści x dw PS = 1 yz dt = j x (9.9) czyli PS = (9.10) cµ Rzpatrzmy teraz sts takich cienkich płytek. Jeżeli sts płytek jest nieskńczenie gruby, t ple r zstanie całkwicie pchłnięte i całkwitą mc prmieniwania z jednstki pwierzchni wynsi pad P S = d cµ 0 0 pad = 1 cµ 0 pad = 1 µ 0 pad B pad

14 Mc prmieniwana przez jednstkwą pwierzchnię charakteryzwana jest wektrem Pytinga. Jeg wartść znaczana jest przez P S. Pnieważ kierunek strumienia energii kreślany jest ilczynem wektrwym r B r, t P r S mżemy wyrazić r P S r r = 1 B (9.11) µ Sprawdzimy czy trzymany wzór nie przeczy trzymanemu wcześniej wyrażeniu dla energii przypadającej na jednstkę bjętści pla [wzór (7.14)]. Rzpatrzymy falę płaską padającą na pwierzchnię A. Zgdnie z kreśleniem P S, strumień energii w czasie dt wynsi dw = P S Adt gdzie dw znacza energię w bjętści dv = Adx. Pnieważ czyli dw Stsując teraz wyrażenie (9.11) trzymamy Zamieniając na cb = P dw dv A dx c S = dw dv PS = c = 1 c µ P c S B dt = dv dx c, stąd dw dv B B = + czyli = dw w = µ µ ε + B dv 1 µ

15 Pęd prmieniwania pad B pad j c x y z F m Rys Padająca fala wywłuje w płytce prąd I = jz x. Na ten prąd działa siła r r r magnetyczna F = Iy B. m Wykażemy teraz, że płaska fala z rys. 9.7 przekazuje płytce grubści x nie tylk energię, ale i pęd. Rzważmy prstkątny element nieskńcznej płytki, któreg pwierzchnia wynsi y (rys. 9.8). z Pnieważ jdt jest ilścią ciepła Jule a wydzielająceg się w jednstce bjętści w czasie dt, t ilść ciepła wydzielająceg się w elemencie płytki bjętści y z x wynsi dw = Zamieniając na cb dw ( jdt )( y z x) = cjz xy Bdt Pnieważ prąd płynący przez rzważany element płytki wynsi I = j( z x), więc dw = ciy Bdt

16 Na r element r r prądu długści y, prstpadły d padająceg pla magnetyczneg, działa siła Fm = I y B w kierunku r B r zgdnie z kierunkiem fali padającej. Zamieniając Iy B na F m trzymujemy dw = cf dt Pęd przekazywany elementwi płytki dp = F m dt, czyli m dp 1dW c dw = cdp, a stąd = (9.1) Tak jak pprzedni, całkując p grubści płytki x trzymujemy p = W/c. Wbec teg pęd przekazywany płytce przez padającą falę równy jest wielkści 1/c pmnżnej przez energię rzprszną w płytce. W dwlnym elemencie bjętści pla prmieniwania dv zawarta energia wynsi a jeg pęd jest równy energii pdzielnej przez c. dw = ε dv lement bjętści dv charakteryzuje się wektrem pędu (z uwzględnieniem związku dw = P S dv c) r r P dp = 1 S dv (9.13) c c nergię prmieniwania łatw dczuć umieszczając rękę w strumieniu światła. Jednakże pmiar pędu strumienia świetlneg jest utrudniny na skutek teg, że wartść 1/c jest mała.

17 Odbicie prmieniwania d przewdnika pad J Płytka Rys Padająca fala wywłuje w płytce nadprzewdzącej prąd J, który prmieniuje ple r równe c d wartści z r pad. W przypadku przewdnika wyskiej knduktywnści σ, fala elektrmagnetyczna nie jest pchłnięta całkwicie; częściw jest dbijana. Rzważymy skrajny przypadek σ = (nadprzewdnik). Ple elektryczne wewnątrz nadprzewdnika zawsze przyjmuje wartść zerwą (w przeciwnym przypadku niegraniczenie wzrósłby prąd). Tak więc indukwany prąd pwierzchniwy kazuje się takim, że ple prmieniwania =. Wówczas wewnątrz płytki wypadkwe ple r r r = + = 0 pad pad Na lew d płytki ple uwarunkwane jest dwma falami mnchrmatycznymi jednakwym natężeniu, biegnącymi w przeciwnych kierunkach (fala stjąca).

18 Oddziaływanie prmieniwania z dielektrykiem Zewnętrzne elektrny atmów dielektryka ulegają przemieszczaniu pd wpływem zewnętrzneg pla elektryczneg. Zewnętrzny elektrn atmu traktujemy w pstaci kulisteg błku prmieniu R. Przyjmiemy, że gęstść ładunku jest stała. Siła działająca na prtn zgdnie z równaniem Prtn (4.16) wynsi R x e F = e = e x = k e x 3 3 4π ε ε rr R Chmura elektrnwa gdzie k = 1 4πε ε. / r Zgdnie z III prawem Newtna, identyczna siła działa na elektrn Rys lektrn traktwany jak jednrdna naładwana kula przesunięty na dległść x względem prtnu. Z pwyższeg równania trzymamy k = m e x d x = ω 3 dt er x m d x dt ke = R e 3 x

19 gdzie ω = ke m R e 3 Siła działająca na zewnętrzną chmurę elektrnwą wynsi F atm = mω x (9.14) gdzie ω częstść kłwa drgań własnych elektrnu. Jeżeli na chmurę elektrnwą działa ple pad padającej fali, t wypadkwą siłę zapiszemy w pstaci stąd trzymamy następujące równanie F wyp = F atm + ( e) pad Rzpatrujemy przypadek, kiedy źródła zapisujemy jak r pad d y m = dt mω y e pad skierwane jest wzdłuż si y. Falę padającą w dległści x d pad = cs ω x ( t ) c Wówczas d y dt e = x ω y cs ω t m c

20 Rzwiązaniem teg równania różniczkweg jest y = m e x (9.15) cs ω t ( ω ω ) c W pwyższy spsób wykazaliśmy jak ddziaływuje pjedynczy atm z falą elektrmagnetyczną. Teraz rzważymy ddziaływanie fali z dużą ilścią takich atmów zawartych w płytce ciała stałeg lub w warstwie gazu.

21 Współczynnik załamania. Dyspersja na płytkę grubści x pada fala płaska, ple elektryczne fali padającej pad wymusi drganie harmniczne elektrnów, drgający elektrn prmieniuje falę elektrmagnetyczną, pwstaje fala dbita i przechdząca, lecz teraz nie ma strat na ciepł Jule a, energia zachwuje się w pstaci prmieniwania elektrmagnetyczneg, a wbec teg płytka kazuje się przezrczystą dla prmieniwania, fala elektrmagnetyczna prpaguje się wewnątrz płytki z prędkścią u < c. Chcemy wyjaśnić, że fala elektrmagnetyczna prpaguje się z prędkścią u < c. Ple wewnątrz płytki jest superpzycją pla fali padającej i pól prmieniwania wszystkich elektrnów. Każde z pól z sbna będzie prpagwać się z prędkścią u = c, lecz ple wypadkwe mże prpagwać się tak, jakby jeg prędkść była mniejsza. Stsując wzór (9.15) wykażemy, że ple prmieniwania każdeg elektrnu atmweg późnia się w fazie π/ względem pla fali padającej, która wywłuje ruch elektrnów.

22 Wyprwadzimy wzór dla współczynnika załamania krzystając z rys i pstępując w następujący spsób: 1. Zadamy ple elektryczne fali padającej.. Obliczymy prędkść elektrnów atmwych w płytce uwarunkwaną wpływem pla elektryczneg fali padającej. 3. Mając tą prędkść (lub gęstść pla elektryczneg), bliczymy wtórne prmieniwanie emitwane przez elektrny. 4. Zsumujemy falę padającą i fale wtórne w celu trzymania wypadkwej emitwanej fali. 5. Znajdziemy związek pmiędzy fazą fali emitwanej a współczynnikiem załamania. Ad.1. Fala padająca y Ple elektryczne fali padającej ma pstać x x = cs t c pad ω J ' x Próżnia Płytka Próżnia Rys Fala padająca r pad wytwarza w płytce prąd gęstści j, któreg prmieniwanie wnsi wkład w wypadkwą falę r '.

23 Ad.. Prędkść elektrnu Różniczkując wzór (9.15) trzymujemy wyrażenie na prędkść słab związanych elektrnów: Gęstść prądu w płytce wynsi v y = dy dt = m j e ( ω ω ) = N ω ( e) v y sinω t x c gdzie N jest liczbą drgających elektrnów w jednstce bjętści. Czyli j = Ne m ω ( ω ω ) sinω t x c

24 Ad.3. Prmieniwanie emitwane przez elektrny Ple prmieniwania emitwane przez elektrny płytki, zgdnie z (9.7), zapiszemy w pstaci cµ = j x gdzie znak wskazuje, że prąd j i wytwarzane przezeń ple prmieniwania charakteryzują się przeciwnymi kierunkami. Pdstawiając wyrażenie dla j, mamy Przepiszemy t wyrażenie w pstaci gdzie k = ω/c, raz cµ Ne m ω = = ( ω ω ) cs sinω t ( ) ωt kx π ( ω ω ) x x c (9.16) cµ Ne ω = x (9.17) m

25 Ad.4. Fala wypadkwa y θ ϕ ' π/ x Wypadkwe ple elektryczne emitwanej fali stanwi superpzycję pla fali padającej i pla emitwaneg przez elektrny atmwe ' = pad + Uwzględniając wyrażenie (9.16) trzymamy ' gdzie = ω( t x c) = csθ + cs θ. ( π ) θ Rys Wykres fazwy dla przypadku ddawania dwóch fal mnchrmatycznych csθ cs θ π /. i ( ) Chciaż θ rśnie z czasem, jednakże bie fale mnchrmatyczne zachwują stałą różnicę faz równą π/. ' Z rys. 9.1 mżna zauważyć, że wektr wypadkwy r przesunięty jest w fazie względem fali padającej kąt ϕ = / (przyjęt przy tym małe kąty zakładając, że / << 1).

26 Ad.5. Związek pmiędzy przesunięciem fazwym a współczynnikiem załamania Fala padająca przechdzi przez płytkę w ciągu czasu x t =, c pdczas gdy fala rzchdząca się z prędkścią u = c/n ptrzebuje więcej czasu x t' = n. c Czł wypadkwej fali przy przejściu przez płytkę późni się x ( n ) c t' = 1. Odpwiada t przesunięciu fazwemu Pnieważ ϕ = /, t [( ) ] n ϕ = ω t = ω 1 c x ω ( n 1 ) c x =

27 n 1 ω Rys Krzywa dyspersji nrmalnej wykreślna zgdnie ze wzrem (9.18). ω Pdstawiając wyrażenie (9.17) dla i rzwiązując względem n, znajdujemy n = 1+ ε m (9.18) Ne ( ω ω ) Jest t wzór kreślający współczynnik załamania płytki. Zauważmy także, że stswaliśmy przybliżenie zgdnie z którym ple fali padającej zmienia się słab, tj. << i stąd (n 1) << 1. W przypadku dużych n, ple pad wewnątrz płytki należy zmienić na wypadkwe ple. Kmplikuje t bliczenia i nie będziemy ich tutaj przytaczać.

28 Otrzymany wynik pprawnie kreśla zależnść współczynnika załamania d częstści padająceg prmieniwania (rys. 9.13). Dla większści atmów ω > ω, gdzie ω dnsi się d widzialneg zakresu widma. Odpwiada temu współczynnik załamania większy d 1, czyli prędkść światła mniejsza d c. Przy przejściu d zakresu czerwneg d zakresu filetweg widma widzialneg, współczynnik załamania wzrasta i wzrasta również dchylenie prmieni świetlnych przechdzących przez pryzmat, tj. ma miejsce dyspersja nrmalna. Fala elektrmagnetyczna prpaguje się wewnątrz płytki z prędkścią u < c. Stsunek c/u = n nazywamy współczynnikiem załamania. Dla większści ciał stałych, współczynnik załamania równy jest w przybliżeniu 1.5; znacza t, że prędkść światła w tych ciałach jest niższa kł 33%.

29 Ple prmieniwania ładunków punktwych Załóżmy, że w jednstce bjętści znajduje się N ładunków. Jeżeli każdy ładunek q drga według prawa y = y sinωt, t gęstść prądu wynsi j = Nqωy cs ωt, a prąd w warstwie grubści x wynsi J = j x = (N q ω y x )cs ωt Wówczas stsując wyrażenie (9.7), ple prmieniwania jest kreślne wzrem y cµ = Nqωy x cs( ωt kx ) (9.19) Załóżmy teraz, że zamiast rzkładu ładunków mamy pjedynczy ładunek q drgający według prawa y = y sinωt. Krzystając z równania Maxwella mżna pkazać, że w dległści r d ładunku q ple prmieniwania kreślne jest wyrażeniem µ qω y = 4πr sinω t r c sinθ (9.0) gdzie θ jest kątem pmiędzy wektrem przyśpieszenia a wektrem wdzącym (rys. 9.14).

30 Uwzględniając, że przyśpieszenie a = ω y sin ωt, mamy µ r q = a t sinθ (9.1) 4 π r c a P q θ Rys Kierunek pla prmieniwania r wytwarzaneg przez ładunek punktwy q pruszający się z przyśpieszeniem a r. We wzrze tym ( t r c) a znacza przyśpieszenie z wcześniejszej chwili czasu t r c. Wektr r skierwany jest prstpadle d wektra wdząceg r (rys. 9.14). Wzór (9.1) jest pprawny gdy v << c. Kierunek pla B r jest prstpadły d r i r i tak jak pprzedni B = /c.

31 (a) (b) S 1 S d S 1 Interferencja fal elektrmagnetycznych Interferencja fal prmieniwanych przez dwa źródła punktwe θ S θ dsinθ r 1 r r 1 r kran Rys (a) Dwa źródła S 1 i S w dległści d d siebie. (b) Pwyższe źródła w pwiększeniu. Różnica dróg r r d sinθ 1. O y P x Rzważmy dwa diple elektryczne S 1 i S drgające w fazie w kierunku si z (rys. 9.15). Przyjmijmy, że mment diplwy kreślny jest wzrem p = qz = qz cs ω t = p cs ωt. Wówczas przyśpieszenie ładunku dipla a = ω z cs ωt = ω ( p q) cs ωt Pdstawiając t wyrażenie d (9.1) znajdujemy ple prmieniwania dipla w pstaci µ q = 4πr = µ p 4πr ω ω q p cs ω t cs ω t r c = r c cs pnieważ sin Θ = 1 i = µ pω 4πr. ( kr ωt )

32 y O 1 ϕ Rys Wykres fazwy dla przypadku dwóch źródeł różnicy faz j. x Zgdnie z tym wyrażeniem, ple elektryczne w punkcie P ( kr ωt ) + cs( kr ωt ) = 1 + = cs 1 gdzie = µ p 4πr Kąt ϕ między wektrami jest równy różnicy faz pól r 1 i r ϕ = ( kr ω t) ( kr ω t ) = k( r ) Ple wypadkwe ω 1 r1 = + + csϕ = ( 1+ csϕ ) Natężenie fali, I, jest prprcjnalne d kwadratu amplitudy, dlateg [ 1+ cs k( r )] I = I r. Różnica dróg r r 1 = d sinθ, jeżeli dległść d ekranu jest dstatecznie duża. 1

33 Warunek, dla któreg różnica dróg jest równa dsinq, nazywany jest przybliżeniem Fraunhfera. W tym przypadku [ cs(kd sin )] I = I 1+ θ (9.) I 4I sinθ 0 λ/d λ/d Rys Obraz interferencyjny d dwóch źródeł. Pkazan zależnść intensywnści d sinq. Maksimum intensywnści bserwuje się zawsze, gdy kd sinθ = π, czyli gdy n λ sinθ = (9.3) d W tym przypadku różnica dróg, która zgdnie z (9.3) jest równa dsinθ, wynsi nλ.

34 Interferencja fal d większej liczby źródeł S 1 d S r 1 r r 3 Załóżmy, że bserwatr płżny jest pd kątem θ względem nrmalnej d linii łączącej N równmiernie rzmieszcznych źródeł (rys. 9.18). Dla bserwatra różnica faz pmiędzy sąsiednimi źródłami jest równa ϕ ( r r ) kd sinθ = k 1 =. Z trójkąta równramienneg z rys. 9.19a mamy S 3 S N θ r N Nϕ = R sin Z klei z trójkąta prstkątneg na rys. 9.19b mamy 1 ϕ = R sin Rys N źródeł we wzajemnej dległści d. Dzieląc strnami dwa statnie równania Nϕ sin = sin 1 ϕ

35 0 0 R N ϕ/ R ϕ ϕ N R / ϕ ϕ 1 1 (a) (b) Rys (a) Wykres fazwy dla przypadku N źródeł przedstawinych na rys. 9.18, kńce wektrów płżne są na kręgu prmieniu R. (b) Wykres dla pierwszeg źródła. i p pdniesieniu d kwadratu gdzie I jest natężeniem fali pjedynczeg źródła, a Nϕ sin I = I (9.4) ϕ sin ϕ = kd sinθ.

36 I λ/d 0 10I λ/d λ/d sinθ Rys Obraz interferencyjny d sześciu źródeł płżnych w jednej linii. Na rys. 9.0 pkazan rzkład natężenia kreślny wzrem (9.4). Należy zaznaczyć, że dla ϕ 0 mamy sin( Nϕ / ) Nϕ, a sin ( ϕ / ) ϕ, wtedy związek (9.4) mżna napisać w pstaci I I Nϕ = N I ϕ Wbec teg natężenie fali wytwrznej przez N źródeł kazuje się N razy większe d natężenia fali pjedynczeg źródła.

37 Siatka dyfrakcyjna Dla siatki dyfrakcyjnej rzkład natężenia na ekranie kreśla wzór gdzie ϕ = kd sinθ. I = I ϕ sin N ϕ sin Natężenie przyjmuje wartść zerwą, czyli kiedy lub stąd I = N I w tych przypadkach, kiedy mianwnik przyjmuje wartść ϕ = π n n kd sinθ n = π n λ sinθ n = n (9.5) d

38 I Od źródła θ D ekranu dsinθ θ θ 1 0 θ 1 θ θ (a) (b) Rys (a) Część siatki dyfrakcyjnej w pwiększnej skali. (b) Rzkład natężenia na ekranie. Dla pzstałych kątów θ natężenie I w przybliżeniu jest równe I, tj. kł N razy mniejsze. W typwych siatkach dyfrakcyjnych wartść N wynsi kilka tysięcy. Z pmcą rys. 9.1a nietrudn trzymać warunek (9.5); różnica dróg dla każdej pary sąsiednich prmieni musi wynsić nλ. Pnieważ ta różnica dróg wynsi dsinθ, trzymamy d sinθ = nλ lub sinθ = Linia spektralna dpwiadająca długści fali λ jest bserwwana pd kątem kreślnym związkiem sinθ = λ d. Obraz linii drugieg rzędu będzie dpwiadać sinθ = λ d, trzecieg rzędu sinθ = 3λ d, itd. n λ d

39 Dyfrakcja światła Dwie szczeliny świetlne są pjedynczym źródłem światła. Rzkład natężenia światła na ekranie pisany jest wzrem (9.) i przedstawia taki braz jakby szczeliny były zastąpine przez dwa źródła światła. Pierwszy taki eksperyment przeprwadził Thmas Yung w 1803 r. y Źródł d 0 x Przysłna kran Rys. 9.. Schemat dświadczenia interferencji światła z dwóch szczelin.

40 Zasada Huygensa W XVIII w. Christian Huygens sfrmułwał następującą zasadę, nie dwdząc jej: jeżeli czł fali przechdzi przez jeden lub kilka twrów, każdy element czła fali zachwuje się tak jakby był źródłem fali. Na pierwszy rzut ka mże t wydawać się dziwne, gdy dniesiemy t d np. siatki dyfrakcyjnej. W twrach nie mamy źródeł prądu; prądy mgą indukwać się w dwlnym miejscu ekranu za wyjątkiem twrów. Wykażemy matematycznie, że prmieniwane przez źródł prądu ple zapełniające twór w ekranie jest zgdne z plem fali padającej na ekran z twrami. Oznaczamy ple prmieniwane przez prądy indukwane w ekranie jak ekr. Wówczas na praw d ekranu wypadkwe ple zapiszemy w pstaci + gdzie pad jest plem wytwarzanym przez źródł w niebecnści ekranu. wyp = (9.6) pad Teraz zakryjmy twry ddatkwymi ekranami, których rzmiary są zgdne z rzmiarami twrów. Niech tw znacza ple prmieniwane przez prądy w ekranach zakrywających twry. Wówczas mamy na praw d ekranu, stąd wyp ekr = pad + ekr + tw = 0

41 tw = pad + ekr tw = pad + ekr Prawa strna teg równania jest zgdna z plem dpwiadającym realnej sytuacji fizycznej [wzór (9.6)]; a lewa świadczy tym, że sytuacja ta jest matematycznie równważna rzkładwi intensywnści prmieniwania wywłaneg źródłami prądów płżnych w twrach i emitujących prmieniwanie niezależnie d siebie. Wykazaliśmy, że jeżeli każdy element frntu falweg przechdząceg za ekran traktwać jak nwe punktwe źródł, t rzkład intensywnści będzie identyczny jak w przypadku ekranu i ddzielneg źródła. Jednakże rzważania należy nieznacznie skrygwać ze względu na efekty graniczne (przeprwadzny przez nas dwód zakładał, że indukwane prądy mgą przecinać krawędzie twrów).

42 Dyfrakcja na pjedynczej szczelinie Równległa wiązka światła mnchrmatyczneg padając na pjedynczą szczelinę szerkści a twrzy na ddalnym ekranie braz interferencyjny pkazany na rys Pdbna interferencja pwstająca d pjedynczej szczeliny lub d krawędzi ekranu nazywana jest dyfrakcją. I Rys Rzkład intensywnści na ddalnym ekranie przy dyfrakcji na pjedynczej szczelinie. θ Padający frnt falwy a S 1 S S N Rys Prmieniwanie d pjedynczej szczeliny. Prmienie 1 i 3 wychdzą d krawędzi, a prmień ze śrdka szczeliny. θ 1 3 Krzystając z rys. 9.4 łatw mżna kreślić kąt θ, przy którym bserwuje się pierwsze minimum natężenia. Zgdnie z zasadą Huygensa szczelinę mżemy traktwać jak zbiór pjedynczych źródeł S,S, SN

43 Różnica dróg między prmieniami 1 i wynsi ( a ) sinθ. Aby uzyskać różnicę faz między nimi wynszącą π, różnica dróg pwinna wynsić λ/. Kąt dpwiadający pierwszemu minimum natężenia kreślny jest z równania R Φ/ d S 1 A/ R A Φ d S N Rys Wektr A r stanwi sumę wektrwą sygnałów d N źródeł przedstawinych na rys F znacza różnicę faz pmiędzy pierwszym a statnim źródłem. czyli a sinθ 1 = λ λ sinθ 1 = (9.7) a Wartść natężenia dla dwlneg kąta θ trzymuje się w wyniku zsumwania wkładów nieskńczenie małych źródeł (rys. 9.5). Odpwiednie wektry twrzą łuk, dla któreg wypadkwa różnica faz dla skrajnych prmieni 1 i 3 wynsi Φ = ka sinθ Wypadkwą amplitudę A mżna znaleźć z trójkąta prstkątneg Φ sin = A R

44 stąd Φ A = R sin (9.8) Długść łuku równa jest A. Jest t wypadkwa amplituda widziana pd kątem 0, równa prmieniwi R pmnżnemu przez kąt Φ ( w radianach) Stąd znajdujemy Pdstawiając tę wielkść d (9.8) mamy Rzkład natężenia gdzie Φ = ka sinθ. R Φ = R = A = A A Φ A Φ sin Φ Φ sin I = I (9.9) Φ

45 Klejne minima bserwuje się przy Φ czyli = nπ, lub przy kasinθ = nπ λ θ = n (n 1) a sin min Warunek ten jest zgdny z trzymanym pprzedni.

46 Kherentnść i niekherentnść Dtychczas badaliśmy efekty interferencyjne wywłane źródłami, które znajdwały się w fazie względem siebie lub z pewną stałą różnicą faz. Takie źródła nazywamy kherentnymi lub spójnymi. Kherentnść dwu wiązek kreśla ich zdlnść d interferwania; wiązki spójne interferują, wiązki niespójne są tej właściwści pzbawine. Kherentne wiązki światła mżna również trzymać stsując półprzezrczyste zwierciadła jak w interfermetrze Michelsna. Jednakże w przypadku, kiedy bydwa ramina interfermetru mają różną długść, braz interferencyjny mże zniknąć, jeżeli różnica dróg ptycznych przekracza pewną wielkść L dpwiadającą różnicy czasu t = L /c. Wielkść DL nazwana jest długścią kherentnści, a Dt czasem kherentnści. Linie emisyjne źródła interfermetru charakteryzują się szerkścią Szerkść ta związana jest z czasem kherentnści t związkiem π f t 1 f w skali częsttliwści.

47 Z mechaniki kwantwej wiadm, że światł stanwią ftny emitwane przez różne atmy. Ciąg fal emitwanych nie jest nieskńczenie długi (jest niekherentny). Wiązka światła niekherentneg składa się z ciągu fal skńcznej długści, pprzedzielanych przypadkwymi przerwami. Dcierające d punktu bserwacji dwie takie wiązki nakładają się na siebie, ale różnica faz ciągów fal bu wiązek zmienia się chatycznie, wskutek czeg interferencja nie zachdzi. Jednakże w dcinku czasu t = 1 π f, gdzie f jest bserwwaną szerkścią linii, dwlna para ftnów będzie zachwywać względem siebie stałą fazę. Ftny te zachwują się jak paczki falwe długści L = c t c π f. Częsttliwść źródła światła mnchrmatyczneg zmienia się w przedziale ( f f ) d ( f + f ). Dwie czyst sinusidalne fale różnią się częsttliwściami f, będą się różnić w fazie w czasie t 1 π f. Najbardziej wąskim linim widm atmwych dpwiada t 10 8 s. W laserze dryf częsttliwści jest mniejszy i dlateg czas kherentnści jest większy. Kherentnść t najważniejsza i najcenniejsza własnść światła laserweg.

48 (a) Drgania harmniczne Natężenie Widm ν (b) Drgania czasie trwania t Natężenie Widm t / + t / ν ν=1/ t Rys (a) Drgania harmniczne widmie liniwym. (b) Drgania czasie trwania Dt i widmie Furiera. Wektry r i B r nieskńczenie długim ciągu falwym pisujemy wzrem typu S ( t) = S csω t Drganie, które pisuje pwyższy wzór jedynie przez czas trwania t, a pza tym przedziałem czasu S(t) = 0, nie są harmnicznymi; nie charakteryzują się bwiem ściśle kreślną częsttliwścią, lecz pewnym widmem częsttliwści (patrz pkt. 9.). Drgania te pisuje wzór ( t ) = G( ν ) cs πν t dν S

49 gdzie funkcja G(f) jest amplitudą drgań częsttliwści f, zwana również widmem Furiera, przy czym G = ( ν ) G( ν ) cs πνt dt = S t sin π [ π ( ν ν ) t ] ( ν ν ) t Jeżeli f znacza szerkść widmwą linii, wówczas f = 1/ t. Czas Dt nazywamy czasem kherentnści, a długść DL = cdt długścią kherentnści.

50 Plaryzacja światła Za kierunek plaryzacji wybran kierunek wektra r. Płaszczyzną plaryzacji kreśla się płaszczyznę, w której leżą wektr r i wektr kierunku prpagacji fali. Prmieniwanie elektrmagnetyczne, któreg kierunek pla r płasksplaryzwanym, lub splaryzwanym liniw. jest stały nazywamy W wiązce światła żródła niekherentneg, kierunek pla elektryczneg zmienia się chatycznie w przestrzeni pzstając jednak prstpadłym d kierunku prpagacji fali. Taką wiązkę nazywamy niesplaryzwaną.

51 Plaryzacja kłwa Wiązka 1 splaryzwana jest pinw (wektr 1 splaryzwana jest pzim (wektr r płżny jest w płaszczyźnie xz). r płżny jest w płaszczyźnie xy), a wiązka Strumień Strumień zmieszany y y 1 Strumień 1 Półprzezrczyste zwierciadł Rys Dwie wiązki światła splaryzwaneg liniw zmieszane za pmcą zwierciadła półprzezrczysteg. Ple r skierwane jest na czytelnika z płaszczyzny rysunku równlegle d si z. Obydwie fale pisujemy z x ( 1 ) O α ( ) Rys Rzut na płaszczyznę yz pól pkazanych na rys = 10 cs( ωt kx) ; = 0 cs( ωt kx) przy czym kierunki pól 10 i 0 twrzą kąt prsty (rys. 9.8). z

52 Wektr wypadkweg pla elektryczneg zawsze płżny jest w płaszczyźnie, która twrzy kąt α z pinem, przy czym 0 tg α =. Jeżeli 10 = 0, t α = 45. Wypadkwa wiązka światła jest płasksplaryzwana, przy czym płaszczyzna plaryzacji twrzy kąt 45 z pinem. Jeżeli dwie wiązki przesunięte są w fazie π/, t przy x = 0 mamy y = csωt i = cs( ωt ) π

53 y y y y y y z z z z z z t=0 t=(1/8)t t=(1/4)t t=(3/8)t t=t/ t=(5/8)t Rys Ple wypadkwe w płaszczyźnie yz w klejnych chwilach czasu dla przypadku kiedy wiązka późnia się w fazie w stsunku d wiązki 1 kąt p/. Wypadkwe ple r braca się zgadnie ze wskazówką zegara. y i z mają jednakwe amplitudy. Wypadkwy wektr r (stały c d wartści) braca się zgdnie ze wskazówką zegara wkół si x wyknując jeden brót w kresie drgań T. Taką plaryzację fali nazywamy lewą plaryzacją kłwą. Jeżeli wektr r braca się w kierunku przeciwnym d wskazówek zegara (kiedy patrzymy w kierunku prpagacji wiązki), t taką plaryzację nazywamy prawą plaryzacją kłwą. Jeżeli zmieszać wiązki jednakwym natężeniu, z których jedna jest splaryzwana kłw w lew a druga w praw, t w rezultacie trzymamy wiązkę płasksplaryzwaną.

54 Plaryzatry Wiązkę światła niesplaryzwaneg mżna splaryzwać, jeżeli przepuścić ją przez plaryzatr. kran wyknany z cienkich równległych drucików jest pięknym przykładem plaryzatra dla fal milimetrwych (mikrfal); pkazan t na rys I pad pad I=0 (a) (b) Rys Fala elektrmagnetyczna z plaryzacją pinwą padająca na ekran równległych drucików (a) kran z pinwymi drucikami dbija falę. (b) kran z pzimymi drucikami nie dbija fali; fala przechdzi przez ekran bez słabienia.

55 Jeżeli wiązka prmieniwania mikrfalweg splaryzwana jest pinw i druciki także ułżne są pinw, t w każdym druciku indukuje się prąd I. Indukwany prąd emituje ple r r =. pad Na praw d plaryzatra, wypadkwe ple r r r = + = 0. pad Przy takiej rientacji, plaryzatr zachwuje się analgicznie d idealneg zwierciadła, które nie przepuszcza wiązki. Jeżeli druciki są prstpadłe d r t pinwe prądy nie indukują się, nie pwstaje ddatkwe pad prmieniwanie i padająca fala przechdzi bez strat. Za ś plaryzatra przyjmujemy linię prstpadłą d linii, w której kierunku płżne są druciki (rys. 9.31).

56 (a) I (b) r r pad r pad α α Oś plaryzatra r Druciki r r r ' = + Rys (a) Widk przekrju pprzeczneg wiązki (wiązka wnika w płaszczyznę rysunku); wektr pinwej plaryzacji wiązki twrzy kąt a z sią plaryzatra stanwiąceg druciki prmieniujące ple r. (b) Wypadkwe ple r ' za drucikami. pad Jeżeli ś plaryzatra twrzy kąt α z kierunkiem r, t plaryzatr będzie prmieniwać ple pad r pd kątem prstym d si. Pnieważ r kmpensuje składwą r pad więc wypadkwe ple r ' składwą pla r równległą d si, a więc czyli ' I' pad = pad w tym kierunku, będzie przedstawiać csα = I cs α (9.30) pad Plaryzatr przepuszcza maksimum natężenia gdy jeg ś skierwana jest wzdłuż płaszczyzny plaryzacji. Dwlne prmieniwanie p przejściu przez plaryzatr jest płasksplaryzwane w kierunku si plaryzatra.

57 (a) I pad (b) Oś r r '' 0 r α r ' r '' Na pdbnej zasadzie parte jest działanie plaridweg filtru świetlneg: W przypadku światła niesplaryzwaneg, składwe pla r równległe d łańcuchów mlekularnych ulegają pchłnięciu. P przejściu przez filtr plaridwy pzstają jedynie te składwe, które są równległe d si plaridu. Jeżeli za pierwszym plaridem umieścić drugi, w taki spsób, aby ich sie były wzajemnie prstpadłe, t wiązka ulega całkwitemu pchłnięciu i z drugieg plaridu światł nie wychdzi. Jeżeli teraz między dwma skrzyżwanymi plaridami umiejscwić trzeci plarid, t światł pnwnie pjawi się. Rys (a) Dwa wzajemnie prstpadłe plaridy całkwicie wygaszają światł. (b) Światł pjawia się jeżeli pmiędzy nimi umieścić trzeci plarid.

58 Załóżmy, że na śrdkwy plarid pada światł, któreg natężenie jest równe I = I pad. Za drugim plaridem światł będzie splaryzwane pd kątem α i będzie charakteryzwał się natężeniem I ' = I cs α. Oś statnieg plaridu twrzy kąt π/ z płaszczyzną plaryzacji światła. Tak więc I' ' = I' cs ( π ) ( ) ( ) α α π I = I cs cs α sin α = Wyrażenie t ma maksymalną wartść dla α = π/4, przy czym w przypadku idealnych plaridów kńcwe natężenie wynsi I pad /8. 4

59 Plaryzacja przez dbicie Niesplaryzwane światł słneczne staje się splaryzwane przy dbiciu. Praw Snelliusa Prmień padający pad θ 1 θ 1 θ Prmień załamany Prmień dbity Rys Zmiana plaryzacji przy dbiciu. Prmienie dbite i załamane są wzajemnie prstpadłe, tj. kierunek pla ' jest zgdny z kierunkiem prmienia dbiteg. sinθ sinθ Odbite światł mże być emitwane tylk dzięki drganim atmów nieprzewdząceg śrdka. lektrny nie emitują prmieniwania w kierunku sweg ruchu. Jeżeli padające światł jest splaryzwane jak pkazan na rys. 9.33, t elektrny będą drgały w kierunku r '. W tym przypadku światł nie będzie dbijane, pnieważ dbijany prmień skierwany byłby w kierunku ruchu elektrnów. Jednakże, jeżeli padające światł splaryzwane jest prstpadle d płaszczyzny rysunku, t dbicie jest dpuszczalne. 1 = n

60 Na rys mamy θ θ = czyli +. Pdstawiając d prawa Snelliusa θ ( π ) θ1 1 π sinθ1 π sin θ 1 = n = trzymamy tg θ 1 = n (9.31) Jeżeli światł niesplaryzwane pada pd kątem Brewstera, t światł dbite jest splaryzwane prstpadle d płaszczyzny rysunku. Ten warunek pwstania plaryzacji przy dbiciu nazywamy prawem Brewstera.

61 Zwierciadł L Przedmit y O Warstwa ftczuła x Hlgrafia Laser Rys Spsób trzymywania hlgramu. Na warstwę ftczułą pada światł laserwe dbite d przedmitu i wiązka dbita d zwierciadła. Zasada hlgrafii stanwi pglądwą ilustrację falwej natury światła i teg w czym tkwi isttna różnica pmiędzy światłem kherentnym, a niekherentnym. Knieczna długść kherentnści wynsi L, gdzie L jest dległścią pmiędzy przedmitem a zwierciadłem. Za pmcą brazu na warstwie udaje się dtwrzyć czł fali z prawidłwymi wartściami amplitud i faz wzdłuż całej jeg pwierzchni (warstwa jest jedynie czuła na natężenie światła). Załóżmy, że warstwa ftczuła hlgramu płżna jest w płaszczyźnie yz. Wówczas amplitudę fali dbitej przez przedmit w płaszczyźnie yz mżemy napisać w pstaci ( y,z) cs[ ω t + Φ( y,z) ] = a (9.3) Przypuśćmy teraz, że mając taki rzkład amplitudy fali na warstwie, świetlamy ją płaską falą lasera. Wówczas rzkład pla elektryczneg w płaszczyźnie warstwy ma pstać gdzie a = a(y,z) i Φ = Φ(y,z). wyp ( ω Φ ) = csω t + acs t +

62 Pnieważ natężenie jest prprcjnalne d kwadratu wyp, mamy ( ωt + Φ ) + a cs ( ω Φ ) I = cs ω t + csωtcs t + Średnia wartść natężenia wynsi I I = + a csφ + cs ωt + Φ Uwzględnin tu, że Średnia wartść cs(ωt + Φ) = 0, dlateg 1 a gdzie K ( I + ) =. [ ( )] + a ( β α ) + ( 1/ ) ( α β ) csα cs β = ( 1 / )cs cs +. ( y,z) cs ( y,z) I K + a Φ = 1 (9.33) W przypadku stswania źródła światła długści kherentnści przewyższającej L, udaje się zachwać infrmację rzkładzie fazy Φ ( y,z) na warstwie. Pczernienie warstwy jest prprcjnalne d I. Jeżeli skierwać na negatyw wiązkę lasera natężeniu trzymamy I I' [ K ( K + a )] = I' cs ωt 1 csφ cs ωt, t natychmiast za negatywem Odpwiednie ple elektryczne prprcjnalne jest d pierwiastka kwadratweg z wyrażenia, więc

63 = csωt [ 1 ( K K + K acsφ )] 1 1/ K 3 csωt + K 4acsωtcsΦ gdzie K1K K3 = 1 i K 4 = Stsując pnwnie związek trygnmetryczny K 4 mamy csαcsβ = cs(α β) + cs(α +β), ( y,z) cs[ ωt + Φ ( y,z) ] + K a( y,z) cs[ ωt Φ ( y,z) ] = K3 cs ωt + K 4a 4 świat bezpsredni + K d lasera 4 świat dbite + K d przedmitu 4 świat d przedmitu dwrócnej fazie Pierwszy człn rejestrwany jest przez k bserwatra jak światł laserwe. Drugi człn w pstaci światła dbiteg d przedmitu jakby przedmit faktycznie znajdwał się w swym pierwtnym płżeniu. Trzeci człn przejawia się w pstaci jeszcze jedneg realneg brazu. Chciaż hlgrafię dkryt w 1949 r., pzstała nauką samą w sbie d pczątku lat sześćdziesiątych. Dpier p knstrukcji pierwszych laserów znalazła szerkie zastswanie.

64 Optyka gemetryczna Długść fali świetlnej jest na tyle mała w prównaniu z rzmiarami większści przyrządów ptycznych, że efekty interferencyjne nie ujawniają się. Fale świetlne rzprzestrzeniają się wzdłuż linii prstych prstpadłych d czła fali. Dwlna taka prsta wzdłuż kierunku prpagacji fal świetlnych nazywana jest prmieniem świetlnym. Stsując praw dbicia i załamania i zwykłe zasady gemetrii euklideswej mżna zbudwać pis matematyczny lub braz gemetryczny prpagacji prmieni świetlnych. Taki pis matematyczny prmieni świetlnych stanwi ddzielny dział fizyki i nsi nazwę ptyki gemetrycznej.

65 Praw dbicia (a) pad λ λ Strumień padający θ pad Przewdnik Prąd pwierzchniwy kazuje się być takim, że ple wewnątrz przewdnika zawsze jest równe zeru. Oznacza t, że prmieniwane przez prąd ple na prawą strnę dkładnie kmpensuje pad. Tak więc (b) ' R ' = pad i R θ pad θ =. ' L Strumień prmieniujący ' θ L J ' θ R Strumień prmieniujący ' R Warunki symetrii wymagają = i ' L ' R θ = θ Udwdniliśmy więc, że w przypadku pwierzchni przewdzącej amplituda fali dbitej zachwuje się lecz jej składwa wzdłuż pwierzchni zmienia swój kierunek na przeciwny. ' L ' R Rys (a) Trzy klejne płżenia czła fali padającej pd kątem padania q pad ; w przewdniku indukuje się prąd pwierzchniwy J(y), któreg maksima dpwiadają przecięciu czła fali z pwierzchnią przewdnika. (b) Ple prmieniwania wywłane jedynie prądem J(y).

66 Jak widać z rys. 9.36, gniskwa zwierciadła wklęsłeg równa jest płwie jeg prmienia krzywizny. Strumień światła A C θ F θ θ P Śrdek krzywizny Ognisk Zwierciadł wklęsłe Rys Równległa wiązka światła padająca na zwierciadł wklęsłe prmieniu CP. Na rys pkazan jak mżna graficznie zbudwać braz przedmitu (w danym przypadku strzałki), jeżeli znane jest płżenie gniska F. 1 Przedmit C F Obraz Rys Twrzenie brazu przez zwierciadł wklęsłe. Za pmcą prmieni 1 i kreśla się graficzne płżenie brazu.

67 Praw załamania Ośrdek 1 Ośrdek 1 B Praw załamania ptwierdza, że przy przejściu z jedneg śrdka przezrczysteg d drugieg, prmień świetlny zmienia swój kierunek. 1 B λ 1 θ 1 A Rys Dwa klejne płżenia czła falweg, kiedy fala przechdzi, przez pwierzchnię rzdziału szkł - pwietrze. θ λ A Na rysunku pkazan dwa klejne płżenia czła falweg AB i A'B'. u 1 u λ 1 = f ; λ = f Z trójkąta prstkątneg ABB' znajdujemy λ1 sinθ 1 = AB' a z trójkąta prstkątneg A'AB λ sinθ = AB' Pdzielimy pierwszy związek przez drugi sinθ1 λ1 u1 c u = = = sinθ c u λ u 1 Stąd sinθ1 n = (9.34) sinθ n gdzie n 1 i n współczynniki załamania dpwiedni śrdka 1 i. Jest t praw Snelliusa. 1

68 Sczewki A 1 P 1 B s O f F s B Rys Przedmit AB płżny jest w dległści s d sczewki gniskwej f. Obraz A'B' płżny jest w dległści s' d sczewki. A Trójkąt ABO jest pdbny d trójkąta A'B'O. Dlateg A' B' AB Trójkąt POF pdbny jest d trójkąta A'B'F, tak że A' B' PO s' = (9.35) s s' f = (9.36) f

69 Pnieważ PO = AB, lewe strny we wzrach (9.35) i (9.36) są równe. Przyrównując między sbą prawe strny, trzymujemy = + (9.37) f s s' Związek ten między dległściami d przedmitu i brazu nazywany jest wzrem cienkiej sczewki. Zwykle przy rzwiązywaniu jakichklwiek zadań, elementy ptyczne umieszcza się w taki spsób ażeby światł biegł przez sczewkę z lewa na praw. Wówczas wielkść s' traktuje się jak ddatnią, jeżeli braz płżny jest na praw d sczewki i ujemną jeżeli braz płżny jest na lew d niej. W przypadku sczewki rzpraszającej wielkść f jest ujemna. Wielkść s będzie ujemna, jeżeli prmienie wychdzące z sczewki schdzą się w urjny przedmit (mże t być urjny braz wytwrzny na lew d sczewki).