30. Obliczyć wartość graicy ( 0 ( ( ( 4 +1 + 1 4 +3 + 4 +9 + 3 4 +7 +...+ 1 4 +3 + 1 ( ( 4 +3. Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech ciągach, co wymaga oszacowaia b od góry i od dołu przez ciągi zbieże do wspólej graicy. Zauważmy, że składiki tej sumy bardzo się różią ily środkowych składików do skrajych dążą do ieskończoości przy dążącym do ieskończoości. Należy zatem oczekiwać, że oszacowaie sumy poprzez wspóle oszacowaie składików (i przemożeie tego oszacowaia przez liczbę składików, będzie prowadzić do oszacowań mających róże graice, co uiemożliwi skorzystaie z twierdzeia o trzech ciągach. Zauważmy też, że za tak zaczą różicę wielkości składików odpowiadają licziki, podczas gdy miaowiki mają zbliżoą wielkość. Licziki tworzą jedak -ty wiersz trójkąta Pascala, a więc ich sumę bez problemu możemy obliczyć. W kosekwecji będziemy szacować miaowiki przez wspólą wielkość, ie zmieiając liczików, a astępie dodamy składiki powstałe w wyiku tego oszacowaia. I tak, szacowaie od góry (czyli szacowaie miaowików od dołu prowadzi do ( ( ( ( ( ( 0 b 4 +0 + 1 4 +0 + 4 +0 + 3 4 +0 +...+ 1 4 +0 + 4 +0 = ( ( ( ( ( ( 0 + 1 + + 3 +...+ 1 + = = c Z kolei szacowaie od dołu (czyli szacowaie miaowików od góry prowadzi do ( ( ( ( ( ( 0 b 4 +3 + 1 4 +3 + 4 +3 + 3 4 +3 +...+ 1 4 +3 + 4 +3 = ( ( ( ( ( ( 0 + 1 + + 3 +...+ 1 + = = a 4 +3. Ze wzoru a sumę wyrazów -tego wiersza trójkąta Pascala otrzymujemy ( ( ( ( ( ( + + + +...+ + =. 0 1 3 1 Wobec tego c = = 1 1 przy i podobie a = 4 +3 = 1 1+ ( 1. 3 4 Poieważ dla dowolej liczby aturalej zachodzą ierówości a b c, Lista 5 (rozwiązaia - 37 - Stroy 37-44
a poadto c = 1 a = 1, a mocy twierdzeia o trzech ciągach otrzymujemy b = 1. Odpowiedź: Wartość graicy podaej w treści zadaia jest rówa 1. 31. Obliczyć graicę ( 3 4 +1 5 5 3 +1 + 34 +4 5 5 3 +8 + 34 3 +9 5 5 3 3 +7 +......+ 34 k +k 5 5 k 3 +k 3 +...+ 34 3 +4 5 5 4 +8 3 Rozwiązaie: Daa pod zakiem graicy suma ma składików i zapisuje się wzorem Szacowaie od góry daje b = 3 4 k +k 5 5 k 3 +k. 3 3 4 k +k 5 5 k 3 +k 3 4 0+4 3 5 5 4 +0 = (34 +4 = c 5 5 4. Szacując od dołu otrzymujemy 3 4 k +k 5 5 k 3 +k 3 4 3 +0 3 5 5 0+8 = (34 3 = a 3 5 5 +8 3. Poieważ dla dowolego zachodzą ierówości a poadto a b c, a = c = 6/5, a mocy twierdzeia o trzech ciągach otrzymujemy 3. Obliczyć graicę b = 6/5. ( 5 3 +3 +3 + 53 +6 +6 + 53 +9 +9 + 53 +1 +1 +...+ 53 +6. +6 Rozwiązaie: Daa pod zakiem graicy suma ma składików i zapisuje się wzorem 5 3 +3k b = +3k. Lista 5 (rozwiązaia - 38 - Stroy 37-44.
Szacowaie od góry daje 5 3 +3k +3k Szacując od dołu otrzymujemy 5 3 +6 +0 = (5 3 +6 = c 5. 5 3 +3k +3k 5 3 +0 +6 = 5 3 +6 = a. Poieważ dla dowolego zachodzą ierówości a poadto a b c, a = 5 +6 = = 1+6 8 c (5 3 +6 = a mocy twierdzeia o trzech ciągach otrzymujemy 5 b =. = ( +1 1 =, 33. Obliczyć graicę ( 4 +1 3 + 6 +1 + 4 + 3 + 6 + + 4 +3 3 + 6 +3 + 4 +4 3 + 6 +4 +...+ 4 +6 3 + 6 +6 Rozwiązaie: Daa pod zakiem graicy suma ma 6 składików i zapisuje się wzorem Szacowaie od góry daje 6 b = 6 4 +k 3 + 6 +k. 4 +k 6 3 + 6 +k 4 +6 3 + 6 +0 = 6(4 +6 = c 3. Szacując od dołu otrzymujemy 6 4 +k 6 3 + 6 +k 4 +0 3 + 6 +6 = 6 4 3 + 6 +6 = a. Poieważ dla dowolego zachodzą ierówości a poadto a b c, a 4 3 = 3 + 6 +6 = 4 1+ = 1 1+6 5 c 6(4 +6 ( = = 3 1+36 1 = 1, Lista 5 (rozwiązaia - 39 - Stroy 37-44.
a mocy twierdzeia o trzech ciągach otrzymujemy b = 1. Odpowiedź: Daa w zadaiu graica istieje i jest rówa 1. 34. Obliczyć graicę ( + 3 3 +1 + 3 + + 3 +3 + 3 +4 + 3 +5 + 3 +6 +...+. (+1 3 Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b i zauważmy, że ma oa 3 +3+ składików. Zachodzą wówczas oszacowaia od góry b ( 3 +3+ = c 3 od dołu b ( 3 +3+ (+1 = a 3. Poieważ dla dowolego zachodzą ierówości a poadto a b c, c 3 +3+ = = (3+ 3 + = 3 a (3 +3+ 3+ 3 = = + (+1 3 ( 3 = 3, 1+ 1 a mocy twierdzeia o trzech ciągach otrzymujemy b = 3. 35. Obliczyć graicę ( k k +1 k k + k k +3 + + + 7 +1 7 +4 7 +9 k k +4 7 +16 +...+ k k + 3 7 + 6 dla tak dobraej wartości rzeczywistej dodatiej parametru k, aby powyższa graica była dodatia i skończoa. Rozwiązaie: Zauważamy, że daa w zadaiu suma ma 3 wyrazów. Szacujemy ją obustroie: k 3 k +0 k k +1 k k + k k + + +...+ 3 k 3 k + 3, 7 + 6 7 +1 7 +4 7 + 6 7 +0 a astępie kolejo obliczamy graice oszacowań dolego i górego. k 3 k +0 k k k k/ k k/ 4 = 7 + 6 4 + = 3 4 + = k, 3 1+ 1 Lista 5 (rozwiązaia - 40 - Stroy 37-44
o ile k/ 4 = 0, czyli k = 8. k 3 k + 3 = k k/ 4 + 1 7 k, 5 o ile k/ 4 = 0, czyli k = 8. Korzystając z twierdzeia o trzech ciągach wioskujemy, że dla k = 8 graica daego w zadaiu wyrażeia jest rówa 8 =. 36. Obliczyć wartość graicy 3 k= p +k 7 +k dobierając tak wartość parametru p, aby graica ta była dodatia i skończoa. Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b i zauważmy, że ma oa 3 +1 składików. Zachodzą wówczas oszacowaia od góry b ( 3 +1 p + 3 = (1 1 7 + 4 + 1 p 8 + 1 5 3 1+ 1 = c 3 od dołu b ( 3 +1 p + = (1 1 7 + 6 + 1 p 8 + 1 6 3 1+ 1 = a. Poieważ dla dowolego zachodzą ierówości a b c, a poadto dla p = 8 c = 1 a = 1, a mocy twierdzeia o trzech ciągach otrzymujemy b = 1. Odpowiedź: Dla p = 8 wartość graicy jest rówa 1. 37. Obliczyć graicę ( p +1 +1 + p +8 +3 +...+ p +k 3 +k +...+ p +8 18 5 +3 30 dla tak dobraej wartości rzeczywistej dodatiej parametru p, aby powyższa graica była dodatia i skończoa. Rozwiązaie: Zauważamy, że daa w zadaiu suma ma 6 składików. Szacujemy ją obustroie: 6 p +0 +3 6 30 p +k 3 +k 5 6 p +8 18 +0 = 6 p +8 18 30 450, Lista 5 (rozwiązaia - 41 - Stroy 37-44
a astępie kolejo obliczamy graice oszacowań dolego i górego. 6 p +0 +3 = p+6 30 +3 = p 444 1 = 30 +3 870 +0 30 = 1 15, o ile p 444 = 0, czyli p = 444. 6 p +8 18 = p+6 +16 4 = p 444 +16 46 = 30 450 30 450 30 30 = 1 15, o ile p 444 = 0, czyli p = 444. Korzystając z twierdzeia o trzech ciągach wioskujemy, że dla p = 444 daa w zadaiu graica jest rówa 1/15. 38. Obliczyć wartość graicy ( 1+0 30 4 + + +1 4 ++1 + + 4 ++ + +3 4 ++3 +...+ 9. 4 +9 Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech ciągach, co wymaga oszacowaia b od góry i od dołu przez ciągi zbieże do wspólej graicy. Zauważmy, że składiki tej sumy bardzo się różią il ostatiego składika do pierwszego dąży do 9 przy dążącym do ieskończoości. Należy zatem oczekiwać, że oszacowaie sumy poprzez wspóle oszacowaie składików (i przemożeie tego oszacowaia przez liczbę składików, będzie prowadzić do oszacowań mających róże graice, co uiemożliwi skorzystaie z twierdzeia o trzech ciągach. Zauważmy też, że za tak zaczą różicę wielkości składików odpowiadają licziki, podczas gdy miaowiki mają zbliżoą wielkość. Licziki tworzą jedak postęp arytmetyczy, którego sumę bez problemu możemy obliczyć. W kosekwecji będziemy szacować miaowiki przez wspólą wielkość, ie zmieiając liczików, a astępie dodamy składiki powstałe w wyiku tego oszacowaia. I tak, szacowaie od góry (czyli szacowaie miaowików od dołu prowadzi do b 4 + + +1 4 + + + 4 + + +3 4 + +...+ 9 4 + = = +(+1+(++(+3+...+9 4 + = c Z kolei szacowaie od dołu (czyli szacowaie miaowików od góry prowadzi do b 4 +9 + +1 4 +9 + + 4 +9 + +3 4 +9 +...+ 9 4 +9 = = +(+1+(++(+3+...+9 4 +9 = a. Ze wzoru a sumę postępu arytmetyczego otrzymujemy +(+1+(++(+3+...+9 = (8+1 +9 = 5 (8+1, gdzie 8+1 jest liczbą wyrazów powyższego postępu. Lista 5 (rozwiązaia - 4 - Stroy 37-44
Wobec tego przy i podobie 5 ( c = 5 (8+1 4 + = 8+ 1 40 1+ 1 3 5 ( a = 5 (8+1 4 +9 = 8+ 1 40. 1+ 9 3 Poieważ dla dowolej liczby aturalej zachodzą ierówości a poadto a b c, c = 40 a = 40, a mocy twierdzeia o trzech ciągach otrzymujemy b = 40. Odpowiedź: Wartość graicy podaej w treści zadaia jest rówa 40. 39. Obliczyć wartość graicy ( 4 + 4 + 3 3 +1 + 4 + 3 + + 4 +3 3 +3 + 4 +4 3 +4 +...+ 9 3 +5 1 + 9. 3 +5 Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech ciągach, co wymaga oszacowaia b od góry i od dołu przez ciągi zbieże do wspólej graicy. Zauważmy, że składiki tej sumy bardzo się różią il ostatiego składika do pierwszego dąży do 9/4 przy dążącym do ieskończoości. Należy zatem oczekiwać, że oszacowaie sumy poprzez wspóle oszacowaie składików (i przemożeie tego oszacowaia przez liczbę składików, będzie prowadzić do oszacowań mających róże graice, co uiemożliwi skorzystaie z twierdzeia o trzech ciągach. Zauważmy też, że za tak zaczą różicę wielkości składików odpowiadają licziki, podczas gdy miaowiki mają zbliżoą wielkość. Licziki tworzą jedak postęp arytmetyczy, którego sumę bez problemu możemy obliczyć. W kosekwecji będziemy szacować miaowiki przez wspólą wielkość, ie zmieiając liczików, a astępie dodamy składiki powstałe w wyiku tego oszacowaia. I tak, szacowaie od góry (czyli szacowaie miaowików od dołu prowadzi do b 4 + 4 + + 4 + +...+ 9 3 3 3 = 4 3 + 4+1 + 4+ +...+ 9 = = 4+(4+1+(4++...+9 = c Lista 5 (rozwiązaia - 43 - Stroy 37-44
Z kolei szacowaie od dołu (czyli szacowaie miaowików od góry prowadzi do b 4 3 +5 + 4 + 3 +5 + 4 + 3 +5 +...+ 9 3 +5 = = 4 +5 + 4+1 +5 + 4+ +5 +...+ 9 +5 = 4+(4+1+(4++...+9 +5 Ze wzoru a sumę postępu arytmetyczego otrzymujemy 4+(4+1+(4++...+9 = (5+1 4+9 = 13 (5+1, gdzie 5+1 jest liczbą wyrazów powyższego postępu. Wobec tego przy i podobie c = 13 (5+1 = 13 ( 5+ 1 65 a = 13 (5+1 + 13 ( 5+ 1 = ( 65 +. Poieważ dla dowolej liczby aturalej zachodzą ierówości a poadto a b c, c = 65 a = 65, a mocy twierdzeia o trzech ciągach otrzymujemy b = 65. Odpowiedź: Wartość graicy podaej w treści zadaia jest rówa 65/. = a. Lista 5 (rozwiązaia - 44 - Stroy 37-44