METODY KOMPUTEROWE 10



Podobne dokumenty
9. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE


III. Przetwornice napięcia stałego

Krzywe na płaszczyźnie.

PROBLEM ODWROTNY DLA RÓWNANIA PARABOLICZNEGO W PRZESTRZENI NIESKOŃCZENIE WYMIAROWEJ THE INVERSE PARABOLIC PROBLEM IN THE INFINITE DIMENSIONAL SPACE

Cechy szeregów czasowych

Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Str 1. Całka nieoznaczona


Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Prognozowanie i symulacje

u u u( x) u, x METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH, METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH i METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6

dr inż. B. Szyszka RRC

Ę ó ą ż Ę Ń ó ś ź ń ś ś Ę óń ż ńó Ę ń ń ń ą ń ź ż ń ś ó Ż ó ąż ż łś ż żń ż ź ó ż ę ż ó ł Ń ń ń Ń ą Ńź óś ńńóń ń ń ń ż śż ó ś ż ż ą ó Ą Ń ż ł ń ą ż ą ż

oznacza przyrost argumentu (zmiennej niezależnej) x 3A82 (Definicja). Granicę (właściwą) ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie x x x e x lim x lim

Kier. MTR Programowanie w MATLABie Laboratorium

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

METODY KOMPUTEROWE 1


ψ przedstawia zależność



Rozwiązywanie ram płaskich wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 7


Stateczność układów ramowych

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx



DYNAMIKA KONSTRUKCJI

Współczynnik korelacji liniowej oraz funkcja regresji liniowej dwóch zmiennych





Rozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB

; -1 x 1 spełnia powyższe warunki. Ale

Budownictwo, II rok sem IV METODY OBLICZENIOWE. dr inŝ. Piotr Srokosz IP Temat 8

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

; -1 x 1 spełnia powyższe warunki. Ale

Zaawansowane metody numeryczne


Diagonalizacja macierzy kwadratowej

Ę ż Ł ś ą ł ść ó ą ż ę ł Ł ś ą ś Ż ż ż ń ż ł ś ń ż żę Ł ż ó ń ę ż ł ńó ó ł ń ą ż ę ż ą ą ż Ń ż ż ż óź ź ź ż Ę ż ś ż ł ó ń ż ć óź ż ę ż ż ńś ś ó ń ó ś


J. Szantyr Wykład 8 Warstwy przyścienne i ślady 1

Przykład 5.1. Kratownica dwukrotnie statycznie niewyznaczalna


MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5


Zajęcia 2. Estymacja i weryfikacja modelu ekonometrycznego


C d u. Po podstawieniu prądu z pierwszego równania do równania drugiego i uporządkowaniu składników lewej strony uzyskuje się:

I.1. Paradoksy Zenona z Elei.

4.4. Obliczanie elementów grzejnych


BADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda

Egzamin poprawkowy z Analizy II 11 września 2013


PODSTAWOWE MIERNIKI DYNAMIKI ZJAWISK

Związek między ruchem harmonicznym a ruchem jednostajnym po okręgu

Wrocław, dnia 24 czerwca 2016 r. Poz UCHWAŁA NR XXVI/540/16 RADY MIEJSKIEJ WROCŁAWIA. z dnia 16 czerwca 2016 r.

WYZNACZENIE ROZKŁADU TEMPERATUR STANU USTALONEGO W MODELU 2D PRZY UŻYCIU PROGRMU EXCEL

Wygładzanie metodą średnich ruchomych w procesach stałych

PODSTAWY AUTOMATYKI 4. Schematy blokowe

Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR 2 stopień

WYZNACZENIE DYSYPACJI KINETYCZNEJ ENERGII TURBULENCJI PRZY UŻYCIU PRAWA -5/3. E c = E k + E p + E w



Małe drgania wokół położenia równowagi.

2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego. = f(x, t) dla x R, t > 0, (2.1)

V. WPROWADZENIE DO PRZESTRZENI FUNKCYJNYCH

Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 4-5

WYZNACZENIE ODKSZTAŁCEŃ, PRZEMIESZCZEŃ I NAPRĘŻEŃ W ŁAWACH FUNDAMENTOWYCH NA PODŁOŻU GRUNTOWYM O KSZTAŁCIE WYPUKŁYM

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki

XLI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadanie teoretyczne

WYBRANE ASPEKTY HARMONOGRAMOWANIA PROCESU MAGAZYNOWEGO

( ) σ v. Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Analiza płaskiego stanu naprężenia.

( 3 ) Kondensator o pojemności C naładowany do różnicy potencjałów U posiada ładunek: q = C U. ( 4 ) Eliminując U z równania (3) i (4) otrzymamy: =

Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy

Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ


Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 2


Ć w i c z e n i e K 2 a Wyznaczanie siły krytycznej pręta o przekroju prostokątnym posiadającego krzywiznę początkową.


ĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie

Zasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim

f x f y f, jest 4, mianowicie f = f xx f xy f yx

Metody rachunku kosztów Metoda rachunku kosztu działań Podstawowe pojęcia metody ABC Kalkulacja obiektów kosztowych metodą ABC Zasobowy rachunek

ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH

ĆWICZENIE NR 43 U R I (1)

ZADANIE 9.5. p p T. Dla dwuatomowego gazu doskonałego wykładnik izentropy = 1,4 (patrz tablica 1). Temperaturę spiętrzenia obliczymy następująco

Problem nośności granicznej płyt żelbetowych w ujęciu aktualnych przepisów normowych. Prof. dr hab. inż. Piotr Konderla, Politechnika Wrocławska

Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów

Metody Eulera i Eulera-Cauchy'ego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych. y 3 := x 2 (1) ( ) Rozwiązanie dokładne równania (1) (2)

3.1 Zagadnienie brzegowo-początkowe dla struny ograniczonej. = f(x, t) dla x [0; l], l > 0, t > 0 (3.1)

Transkrypt:

MEODY KOMPUEROWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE Poechnka Poznańska Mchał Płokowak Adam Łodgowsk Mchał PŁOKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Konsace nakowe dr nż. Wod Kąko Poznań 00/00 MEODY KOMPUEROWE 0 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE Równane zaweraące cząskową pochodną neznane fnkc dwóch b węce zmennch nazwa sę cząskowm równanem różnczkowm. Na przkład: 6 5 8 (0.) Koeność równana cząskowego różnczkowego zaeż od pochodnch w nm wsępącch zapse sę e od nawększe do namnesze pochodne. RRC es nowe eże wszske ego pochodne są nowe. Ze wzgęd na szeroke zasosowane w bdowncwe nasze rozważana ogranczą sę do RRC nowch drgego rzęd (rząd okreśa maksmaną pochodną aka sę w równan pokaze) z dwema zmennm. Da akch równań można zapsać posać kanonczną: 0 D C B A (0.)

MEODY KOMPUEROWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE Kaegore do kórch RRC nowe drgego rzęd można skasfkować (ze wzgęd na wznacznk): Wznacznk B 4AC Kaegora RRC <0 Epczne 0 Paraboczne >0 Hperboczne Przkład Równane Lapace a (znadowane san saonego brak zmenne czasowe) 0 Równane przewodncwa cepnego zagadnena propagac (rozkład fnkc w czase przesrzen) 0 Równana faowe drgana np. srn (rozkład fnkc w czase przesrzen) c Przkład RRC epcznch: Rs.. Przekład RRC epcznch a) rozkład emperar na podgrzewane baszce b) pogąd na przepłw wod pod amą c) rozkład poa eekrcznego w okoc zoaora. Poechnka Poznańska Mchał Płokowak Adam Łodgowsk

MEODY KOMPUEROWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE Przkład RRC parabocznch: Rs.. a) Obraz dłgego pręa zoowanego (bez przepłw cepła do ooczena) podgrzewanego z edne sron b) rozwązane zagadnena sanów podgrzewanego pręa w różnch czasach RRC paraboczne możwaą znaezene rozkład zmenne w każde chw.. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE ELIPYCZNE (równane Lapace a) 0 (0.) Jeże kernek rozchodzena sę cepła ne es ednakow (cepło rozchodz sę w dwóch kernkach) można wówczas zapsać: f ( ) (0.4) Poechnka Poznańska Mchał Płokowak Adam Łodgowsk

MEODY KOMPUEROWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE Poechnka Poznańska Mchał Płokowak Adam Łodgowsk 4 Korzsaąc z meod eemenów skończonch równane różnczkowe można sprowadzć do agebracznego kład równań: (0.5) Błęd są rzęd () [ ] ( ) [ ] Równana (0.5) podsawam do równana (0.) co w rezace dae: 0 (0.6) Da sak kwadraowe (rs. ) równane (0.6) przme posać: 0 4 (0.7) Rs.. Saka ża do rozwązana RRC parabocznego (ak równane Lapace a) meodą różnc skończonch.

MEODY KOMPUEROWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE 5 Naeż wkorzsać warnk brzegowe Drchea zn. warośc brzegowe mszą bć spreczowane ab zskać konkrene rozwązane. Przkład: Rs. 4. Płka podgrzewana różnm emperaram z różnch sron dane warnk brzegowe ce- obczene emperar w okreśonch pnkach Korzsam ze wzor (0.7) wedząc że 4 0 0 75 0 4 0 0 4 75 Podobną procedrę naeż przeprowadzć da wszskch nnch pnków maąc dość złożon kład równań- rozwązać go. ( ) ( ) (0.8) Poechnka Poznańska Mchał Płokowak Adam Łodgowsk

MEODY KOMPUEROWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE 6 Rozwązane: 40006 9755 65 568 785878 760640 88506 5999 697050 Równane Forera: W RRC p parabocznego oprócz zman czas wsępe równeż drga zmenna neednokrone ważnesza nż czas. Da podgrzewanego eemen meaowego es o nesanne zmenaąc sę przepłw cepła przez powerzchnę płk. Ab wznaczć ów przepłw korzsam z prawa Forera: q k' q k' (0.9) q n q q Kernek przepłw cepła wznacza sę: q θ an da q > 0 q q θ an π da q < 0 q (0.0) Meoda Lebmann a: Poega na erac da do n do m. Poneważ macerz es dagonana en proces doprowadz do orzmana sabnego rozwązana. (0.) 4 Warnek brzegow Nemanna: (0.) Poechnka Poznańska Mchał Płokowak Adam Łodgowsk

MEODY KOMPUEROWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE 7 Jes o aernawne rozwązane do radcnch warnków brzegowch (np. Drchea). Jes o ak przpadek gd es dana pochodna. 0 (0.) 0 0 4 0 Naeż zwrócć wagę na pnk (-) kór mmo że eż poza obszarem es równeż wmagan w równan. Wdawać b sę mogło że pnk en będze sanowł probem ae właśne przchodz z pomocą pochodna warnk brzegowego. Naeż okreść perwszą pochodną po zmenne w pnkce (0): (0.4) eraz maąc zaeżność na - możem podsawć e do wzor (0.): 0 0 40 0 (0.5) Warnk brzegowe da neregarnch kszałów: Rs. 5. Obraz nerównego brzeg Poechnka Poznańska Mchał Płokowak Adam Łodgowsk

MEODY KOMPUEROWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE Poechnka Poznańska Mchał Płokowak Adam Łodgowsk 8 Korzsaąc z różnc cenrane w ł: (0.6) Pochodna wrażene (0.7) wzgędem zmenne : ( ) ( ) Μ (0.7) Wrażene na pochodną wzgędem zmenne wgąda anaogczne: ( ) ( ) β β β β β β (0.8)

MEODY KOMPUEROWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE 9 Okreśane prz neregarnch kszałach: Rs. 6. Zakrzwon brzeg- warnk brzegowe ze wzgęd na dan ką η 7 7 L 8 7 ( ) cosθ η 6 8 anθ 6 L 7 anθ cosθ 6 anθ (0.9). RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE PARABOLICZNE Równana doczące przewodncwa cepnego zapsane równanem: k (0.0) Meod p epc (awne) Równana przewodncwa cepła wmagaą aproksmac drge pochodne przesrzen perwsze pochodne czas. Równana e są reprezenowane podobne ak równana Lapace a- meodą cenraną różnc skończonch: Poechnka Poznańska Mchał Płokowak Adam Łodgowsk

MEODY KOMPUEROWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE Poechnka Poznańska Mchał Płokowak Adam Łodgowsk 0 (0.) Ab okreść przesrzeń czasową wkorzsem schema różncow wprzód. (0.) Podsawam równana (0.) (0.) do równana (0.0) orzmem: k (0.) Co w efekce końcowm dae: ( ) ( ) k gdze λ λ (0.4) Do rozwązwana równań parabocznch wkorzswana es meoda Eer a. Do zskana rozwązana wkorzse sę ż dan krok poprzedn. en zabeg wkorzsem w węzłach wewnęrznch (parz rs. 7): rs. 7. X- pnk do obczena (nasępn poprzedn) O- pnk do obczena przesrzen (pnk obecn nasępn poprzedn)

MEODY KOMPUEROWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE Przkład: Wkorzsane meod epc do obczena rozkład emperar da dłgego pręa (parz rs. 8.): Rs. 8. Prę dan w zadan Dane warośc: Dłgość 0cm cm 0s Da 0 (0) 00 0 C (chwa począkowa z ewe sron) (0) 50 0 C (chwa począkowa z prawe sron) k ca 049 0 s cm C λ 085 (0) 00875 0 4 0 ( ) Wkorzsąc zaeżność (0.) możem zapsać da 0 s 46 8 : 4 0 000875 0 0 000875 0 0 000875 0 0 000875 50 [ (0) 00] [ (0) 0] 0 [ (0) 0] 0 [ (0) 0] 048 0875 (0.5) Poechnka Poznańska Mchał Płokowak Adam Łodgowsk

MEODY KOMPUEROWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE Da 0 s 46 8 wgąda o nasępąco: 4 0875 000875 0 0 000875 0 0 000875 048 048 000875 50 [ (0875) 00] [ (0) 0875] 004577 [ (0) 0] 00788 [ (048) 0] 049 40878 (0.6) Rs. 9. Grafczne wnk przkład meod epc da różnch warośc czas Probem zbeżnośc sabnośc: 0 Meoda zbeżna: w akm przpadk zske sę rozwązane dokładne 0 Sabność- oznacza że błęd ne narasaą podczas rozwązwana probem (gd sę całke) Carnahan aor zaeżnośc na sabność równań: Sabność można zskać narzcaąc sne ogranczena na krok czasow: b λ (0.7) k Poechnka Poznańska Mchał Płokowak Adam Łodgowsk

MEODY KOMPUEROWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE Sabność a współcznnk λ: λ λ 4 λ 6 bęę ne narasaą ae mogą oscować ne ma oscac mn ma n bą meod Nabezpeczne go żż (0.8) Brak sabnośc przkład obraze wkres gd λ przme 075 Poechnka Poznańska Rs. 0. brak sabnośc prz zb dżm λ Mchał Płokowak Adam Łodgowsk

MEODY KOMPUEROWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE 4 Meod p mpc (neawne) Z powższch rozważań wnka że meoda epc ma dże kłopo ze sabnoścą. Koneczne są węc resrkcne ogranczena ab zachować sabność. Meod mpc są pozbawone ego mankamen koszem bardze skompkowanch agormów. Fndamenana różnca pomędz meodam epc a mpc es pokazana na rs..: Rs.. Pokaze różncę omawanch meod Różnca poega na okreśan pochodne. W przpadk meod mpc pochodną okreśa sę w czase co sprawa że meoda a es pozbawona ogranczeń nezbędnch w meodze epc. (0.9) Ab okreść przesrzeń czasową wkorzsem schema różncow wprzód. (0.0) Poechnka Poznańska Mchał Płokowak Adam Łodgowsk

MEODY KOMPUEROWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE Poechnka Poznańska Mchał Płokowak Adam Łodgowsk 5 Wkorzsąc podsawowe równane na równana paraboczne (0.0) orzmam: k (0.) Równane o można proścć: ( ) ( ) k gdze λ λ λ λ (0.) Da kładów gd dane są emperar brzegowe: ( ) 0 0 f (0.) Gdze f 0 ( ) es fnkcą ak emperar brzegowe zmenaą sę w czase. Meoda Cranka- Ncosona Jes o nadokładnesza meoda bez konecznośc dodakowch ogranczeń ze wzgęd na czas przesrzeń. Jes o możwe dzęk zasosowan meod pnk środkowego (obczene pochodne cenrane w pnkach co dae znaczne wększą preczę). da (0.4) Drga pochodna po przesrzen es okreśana w pnkce pośrednm co powode średnene przbżeń w począk ( ) końc ( ) w rezace dae dżo wększą dokładność: (0.5)

MEODY KOMPUEROWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE 6 Rs.. Grafczna nerpreaca meod Cranka- Ncosona (pnk środkowego) Porównane wnków meod: epc mpc Cranka- Ncosona (przkład ze sr. ) λ epc mpc Crank- Ncoson 0 0875 0875 50 7977 5 0475-9 5849 6479 0475 67 6 6487 00875 659 649 6477 05 00475 65 64 6474 05 00475 6497 6449 647 Rozwązane dokładne 67808 Jak wdać meoda C-N bła nadokładnesza od samego począk a meoda epc dała sasfakconąc wnk dopero wed gd współcznnk λ spełnł założena ogranczeń czasowch. Poechnka Poznańska Mchał Płokowak Adam Łodgowsk