Kinematyka: opis ruchu

Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (Mechanika) Wykład II: Pojęcia podstawowe punkt materialny, układ odniesienia, układ współrzędnych tor, prędkość, przyspieszenie Ruch jednostajny, ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny i ruch po okręgu Efekt Dopplera

Pojęcia podstawowe Punkt materialny Ciało, którego rozmiary można w danym zagadnieniu zaniedbać. Zazwyczaj przyjmujemy, źe punkt materialny powinien być dostatecznie mały. Nie jest to jednak konieczne! Przykład: wózek na torze powietrznym. Ważne jest, żeby ciało nie miało dodatkowych stopni swobody (np. obroty, drgania własne, stany wzbudzone) Położenie punktu materialnego całkowicie określa jego stan. pojęcie punktu materialnego umożliwia prosty opis wielu sytuacji fizycznych. Naogół przyjmujemy, że punkt materialny obdarzony jest masa. A.F.Żarnecki Wykład II 1

Pojęcia podstawowe Ruch Zmiana położenia ciała względem wybranego układu odniesienia. Układ odniesienia Ciało, które wybieramy jako punkt odniesienia. Najczęściej jest nim Ziemia... Układ odniesienia można też zdefiniować określajac jego położenie (lub ruch) względem wybranego ciała lub grupy ciał. Przykład: układ środka masy zderzajacych się czastek układ zwiazany ze środkiem Galaktyki A.F.Żarnecki Wykład II 2

Pojęcia podstawowe Układ współrzędnych Służy do określenia położenia ciała w danym układzie odniesienia Położenie możemy zapisać na wiele różnych sposobów: Z z układ współrzędnych kartezjańskich: r = x i x + y i y + z i z (x, y, z) układ współrzędnych biegunowych: r = (r,θ, φ) układ współrzędnych walcowych: i i x z X x i y Θ φ r l P y Y r = (l, φ, z) A.F.Żarnecki Wykład II 3

Pojęcia podstawowe Tor ruchu Opisuje zmianę położenia ciała w czasie W ogólnym przypadku - postać parametryczna toru: x = x(t) y = y(t) z = z(t) Z P r = (x(t), y(t), z(t)) = r(t) r(t) Wektor położenia ciała r (wszystkie jego współrzędne) wyrażamy jako funkcje czasu. X Y A.F.Żarnecki Wykład II 4

Pojęcia podstawowe Tor ruchu W szczególnych przypadkach możliwe jest odwrócenie jednej z zależności: t = F(x) czas wyrażamy jako funkcję współrzędnej postać uwikłana toru: y = y(f(x)) = y(x) z = z(x) r = (x, y(x), z(x)) Funkcje W fizyce bardzo często staramy się opisać zależności pomiędzy różnymi wielkościami w postaci funkcyjnej. Naogół do oznaczenia funkcji używamy symbolu odpowiadajacego danej wielkości fizycznej, np.: droga - s, wysokość - h, prędkość - v Postać funkcyjna zależy jednak od wyboru argumentu funkcji! W przypadku opisu toru: y(t) i y(x) to dwie różne funkcje! choć opisuja ta sama wielkość fizyczna A.F.Żarnecki Wykład II 5

Pojęcia podstawowe Prędkość średnia W odstępie czasu: Z t 12 = t 2 t 1 punkt materialny przemieścił się o: r 12 = r 2 r 1 = r(t 2 ) r(t 1 ) r 1 t 1 V r 12 r 2 t 2 Y Prędkość średnia definiujemy jako V Öµ 12 = r 12 t 12 X A.F.Żarnecki Wykład II 6

Pojęcia podstawowe Prędkość chwilowa Praktycznie każdy pomiar prędkości musi trwać skończony okres czasu. Prawie zawsze mierzymy więc prędkość średnia. Pojęcie prędkości chwilowej wprowadzamy jako graniczna wartość prędkości średniej dla nieskończenie krótkiego czasu pomiaru, t 0 : v = lim t 0 Matematycznie odpowiada to definicji pochodnej: v = d r = r = dx dt dt i x + dy dt i y + dz dt i z = v x i x + v y i y + v z i z Pochodna wektora wektor pochodnych składowych tego wektora v = v = vx 2 + v2 y + v2 z ÔÖ Ó Ï ÖØÓ r t A.F.Żarnecki Wykład II 7

Pojęcia podstawowe Prędkość chwilowa Przyspieszenie średnie W odstępie czasu: t 12 = t 2 t 1 P V t 0 prędkość zmienia się o: V 12 = V 2 V 1 = V (t 2 ) V (t 1 ) r Przyspieszenie średnie: 12 = V 12 t a Öµ 12 t 1 V 1 Wektor prędkości chwilowej jest styczny do toru r t 2 1 r 2 V 1 V 12 a V 2 A.F.Żarnecki Wykład II 8

Pojęcia podstawowe Przyspieszenie chwilowe Podobnie jak w przypadku prędkości - graniczna wartość dla nieskończenie krótkiego pomiaru: P t 0 a = lim t 0 V t = d V dt = V Przyspieszenie chwilowe jest pochodna po czasie prędkości chwilowej: r a V a = d V dt = dv x dt i x + dv y dt i y + dv z dt i z = a x i x + a y i y + a z i z Opisuje tempo zmian prędkości... V a t 0 A.F.Żarnecki Wykład II 9

Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy się wzdłuż lini prostej Zawsze możemy tak wybrać układ współrzędnych aby y(t) = z(t) = 0 r(t) = i x x(t) płaski, odbywajacy się w ustalonej płaszczyźnie z(t) = 0 r(t) = i x x(t) + i y y(t) po okręgu Ze względu na przyspieszenie jednostajny wartość prędkości pozostaje stała: V = const jednostajnie przyspieszony przyspieszenie jest stałe: a = const A.F.Żarnecki Wykład II 10

Ruch jednostajny prostoliniowy Najprostszy przypadek ruchu: Jednostajny: V = const Prostoliniowy: V V = const } a = 0 Przyjmujac, że ruch odbywa się wzdłuż osi X: V = dx dt = ÓÒ Ø x = x 0 + V (t t 0 ) x 0 = x(t 0 ) V x Położenie (przebyta droga) jest liniowa funkcja czasu. Drogi przebyte w równych odcinkach czasu sa sobie równe. t 0 t A.F.Żarnecki Wykład II 11

Zależność drogi od prędkości Ruch prostoliniowy Przypadek ogólny: znamy prędkość V (t) czy możemy wyznaczyć zależność położenia od czasu? Możemy sumować przesunięcia dx po krótkich przedziałach czasu dt. Przesunięcie ciała w czasie t = t t 0 : x = dt dx = dt Przechodzac do granicy dt 0: V dt V dt x = t t 0 V dt całka oznaczona dx t 0 x Interpretacja graficzna: pole pod krzywa t A.F.Żarnecki Wykład II 12

Ruch jednostajnie przyspieszony Jednostajnie przyspieszony: a = const a = d V dt dv = a dt V = V 0 + t t 0 a dt V = V 0 + a (t t 0 ) V 0 = V (t 0 ) Prostoliniowy Ruch jest prostoliniowy: V V = const V a = const Przyspieszenie musi mieć kierunek zgodny z kierunkiem prędkości A.F.Żarnecki Wykład II 13

Ruch jednostajnie przyspieszony Prostoliniowy ( jednowymiarowy) Prędkość jest liniowa funkcja czasu: a V = V 0 + t t 0 a dt = V 0 + a (t t 0 ) V Położenie jest kwadratowa funkcja czasu: t 0 t x = x 0 + t t V dt = x 0 + [V 0 + a (t t 0 )] dt t 0 t 0 V = x 0 + V 0 (t t 0 ) + 1 2 a (t t 0) 2 = x 0 + 1 2 (V + V 0) (t t 0 ) t 0 x t A.F.Żarnecki Wykład II 14

Ruch jednostajnie przyspieszony Przyjmijmy, że w chwili t 0 = 0 ciało spoczywa: V 0 = V (t 0 ) = 0. Mierzymy drogę jaka ciało przebywa w równych przedziałach czasu: t n = t n t n 1 = t t n = n t Przebyta droga: x(t) = 1 2 a t2 x n = x(t n ) x(t n 1 ) = 1 2 a (t 2 n t 2 n 1 = 1 2 a ( t2 n 2 (n 1) 2) = 1 2 a t2 (2n 1) ) Drogi w kolejnych odcinkach czasu maja się do siebie jak kolejne liczby nieparzyste: x 1 : x 2 : x 3 :... = 1 : 3 : 5 : 7 :... A.F.Żarnecki Wykład II 15

Ruch jednostajnie przyspieszony W ogólnym przypadku ruch jednostajnie przyspieszony nie jest prostoliniowy. V = V 0 + a (t t 0 ) r = r 0 + V 0 (t t 0 ) + 1 2 a (t t 0) 2 Ruch będzie się odbywał w płaszczyźnie przechodzacej przez r 0 i wyznaczonej przez kierunki wektorów V 0 i a. Możemy wybrać układ współrzędnych tak aby: i x a ÓÖ Þ i y a ruch jednostajny (X) ruch jednostajnie przyspieszony (Y) spoczynek (Z): a x = 0 a y = a a z = 0 V x = V x,0 = const V y = V y,0 + a t V z = 0 x = x 0 + V x,0 (t t 0 ) y = y 0 + V y,0 (t t 0 ) + 1 2 a (t t 0) 2 z = 0 A.F.Żarnecki Wykład II 16

Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch w polu grawitacyjnym Ruch ciala w jednorodnym polu grawitacyjnym: a = g = (0, g,0) (wygodny wybór układu współrzędnych) Pole grawitacyjne Ziemi możemy przyjać za jednorodne, jeśli badamy ruch na odległościach r R Z Rodzaje ruchu: spadek swobodny: V 0 = 0 (ruch prostoliniowy) rzut pionowy: θ = ±π/2 (ruch prostoliniowy) rzut poziomy: θ = 0 rzut ukośny: θ 0, π/2,... y h V 0 g Θ x A.F.Żarnecki Wykład II 17

Ruch jednostajnie przyspieszony Spadek swobodny y g x Położenie zależy kwadratowo od czasu: y = h g 2 t2 Þ y(0) = h, V y (0) = 0 A.F.Żarnecki Wykład II 18

Ruch jednostajnie przyspieszony Spadek swobodny Wyniki domowych pomiarów: y [m] 0 g = 9.7 ± 0.7 m/s 2-0.2-0.4-0.6 0 0.1 0.2 0.3 t [s] A.F.Żarnecki Wykład II 19

Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch w polu grawitacyjnym Niezależność ruchów: t 0 = 0, x 0 = 0, y 0 = h x = V x,0 t = V 0 cos θ t ruch w poziomie zależy tylko od V x,0 y h V 0 Θ y = h + V y,0 t g 2 t2 = h + V 0 sin θ t g 2 t2 ruch w pionie zależy tylko od V y,0 Rzut poziomy θ = 0 V y,0 czas spadania nie zależy od V 0 : t = l 2h g x Dwa ciała o tym samym V (1) x,0 = V (2) x,0 taki sam ruch w poziomie: x(1) (t) = x (2) (t) A.F.Żarnecki Wykład II 20

Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch w polu grawitacyjnym y h V 0 Θ l x Tor w rzucie ukośnym: y = h + x tan θ x 2 g 2V 2 0 cos2 θ parabola Zasięg dla h=0 l = V 2 0 g sin(2θ) największy zasięg dla θ = π 4 (45 ) A.F.Żarnecki Wykład II 21

Ruch harmoniczny Szczególny przykład ruchu drgajacego: x = A sin(ωt + φ) x 1 0.5 Parametry amplituda A 0-0.5 1 2 t częstość kołowa ω okres drgań T = 2π ω faza poczatkowa φ Prędkość: V = dx dt -1 = ω A cos(ωt + φ) Przyspieszenie: a = dv dt = ω2 A sin(ωt + φ) = ω 2 x A.F.Żarnecki Wykład II 22

Ruch harmoniczny Równanie oscylatora harmonicznego: d 2 x dt 2 = ω2 x d 2 r dt 2 = ω2 ÔÓ Ø Ó ÐÒ µ r Równanie oscylatora dobrze opisuje zachowanie bardzo wielu układów fizycznych: ciężarek na sprężynie wahadło matematyczne (dla małych wychyleń) kamerton, struna, itp... ÖÙ Û ÒÝÑ ÛÝÑ ÖÞ µ Równanie oscylatora harmonicznego jest przykładem równania różniczkowego. Nasza wiedza nt. ruchu ciała przedstawiana jest często w postaci równan różniczkowych (równań ruchu). Aby znaleźć opis ruchu ciała trzeba te równania rozwiazać. Najczęsciej sa to równania typu: a = F( x, v, t) A.F.Żarnecki Wykład II 23

Ruch po okręgu Położenie ciała może być opisane jedna zmienna: kat w płaszczyźnie XY - φ długość łuku okręgu - s = r φ Y r V φ s X Prędkość: V = ds dt = r dφ dt Przyspieszenie katowe: α = dω dt Przyspieszenie: a s = dv dt = r ω prędkość katowa ω = dφ dt = d2 φ dt 2 = d2 s dt 2 = rα przyspieszenie styczne: a s V Ruch jednostajny po okręgu: α = 0 ω = const V = const a s = 0 ale V const a 0!? A.F.Żarnecki Wykład II 24

Ruch po okręgu Ruch jednostajny po okręgu możemy rozpatrywać jako złożeniem dwóch niezależnych ruchów harmonicznych (różnica faz φ = ± π 2 ): Y r V φ s X x = r cos(ω t) = r sin(ω t + π 2 ) y = r sin(ω t) Składowe przyspieszenia (policzyliśmy już dla ruchu harmonicznego): { ax = ω 2 x a y = ω 2 a = ω 2 r a n = ω 2 r = V 2 y r Przyspieszenie to jest nazywane przyspieszeniem dośrodkowym lub przyspieszeniem normalnym (prostopadłym do kierunku ruchu). Gdy ruch po okręgu nie jest jednostajny pojawia się też składowa styczna: a = a n + a s Ciekawostka: Ruch harmoniczny można przedstawić jako złożenie dwóch ruchów po okręgu... A.F.Żarnecki Wykład II 25

Efekt Dopplera W przypadku fal dźwiękowych znamy z codziennego doświadczenia... V Jeśli źródło dźwięku jest nieruchome względem obserwatora, obserwator słyszy dźwięk o niezmienionej częstości. Jeśli źródło dźwięku porusza się względem obserwatora, obserwator słyszy dźwięk o wyższej lub niższej częstości A.F.Żarnecki Wykład II 26

Ruchome źródło Efekt Dopplera źródło dżwięku o częstości f poruszajace się z prędkościa v względem ośrodka w którym prędkość dźwięku wynosi c. Dla uproszczenia: krótkie impulsy wysyłane co t = 1/f: f c c/f v/f v t 1 t 2 t 1 - wysłanie pierwszego impulsu t 2 - wysłanie drugiego impulsu f odległość między impulsami: c f = λ = c f + v f c/f Częstość dźwięku i długość fali mierzona przez obserwatora nieruchomego względem ośrodka: f = f ( 1 + v λ = λ 1 + v ) c c ÖÙ ÑÔÙÐ Ù ÖÙ õö A.F.Żarnecki Wykład II 27

Ruchomy obserwator Efekt Dopplera obserwator porusza się z prędkościa v względem ośrodka i źródła dżwięku v f t 2 t 1 c f aby dogonić obserwatora impuls musi pokonać odległość c f = c f + v f v/f c/f c/f Ó Ð Ó ÖÙ ÔÓÞ Ø ÓÛ Mierzona częstość: f = f ( 1 v ) c Ó ÖÛ ØÓÖ W klasycznym efekcie Dopplera zmiana częstości zależy nie tylko od względnej prędkości źródła i obserwatora ale i ruchu względem ośrodka. A.F.Żarnecki Wykład II 28

Ruch ośrodka Efekt Dopplera Przyjmijmy, że źródło dźwięku i obserwator sa względem siebie w spoczynku. Niech ich prędkość względem ośrodka wynosi v v c v f f L f Częstość mierzona przez obserwatora jest wynikiem złożenia dwóch efektów Dopplera: ( f = f 1 + v ) = f ( c 1 + v 1 + v ) = f c c Częstość się nie zmienia, ale zmienia się czas miedzy wysłaniem a rejestraja impulsu: δt = t i t i = L c + v = L c c c + v = δt 0 1 + v c ÔÖÞ ÙÒ Û Þ A.F.Żarnecki Wykład II 29

Efekt Dopplera Przypadek ogólny Zarówno źródło jak i obserwator poruszaja się względem ośrodka. Jeśli znamy ruch źródła i obserwatora w układzie zwiazanym z ośrodkiem: r(t) r (t) To możemy wyznaczyć czas t w jakim sygnał wyemitowany w chwili t dotrze do obserwatora. Zadany jest on przez warunek: r (t ) r(t) = c (t t) z r y c v v Jeśli równanie to można jednoznacznie rozwiazać to efekt Dopplera daje się wyrazić bardzo prosta zależnościa: f 1 f = t = t ( ) t f dt 1 = f dt 1 t A.F.Żarnecki Wykład II 30 r x

Efekt Dopplera Przykład Głośnik wirujacy po okręgu, w płaszczyźnie obserwatora x(t) = rcos ωt y y(t) = rsin ωt x 0 y l Droga sygnału wyemitowanego w czasie t: d = c (t t) = Dla l r: t = t + l c (l + r sin ωt) 2 + r 2 cos 2 ωt 1 + 2r l sin ωt + r2 l 2 l r d x φ c t t + r c sin ωt f f (1 rω c cos ωt) A.F.Żarnecki Wykład II 31

Przykład Efekt Dopplera Głośnik nieruchomy A/A 0 1 r=1m f=100hz ω=0 źródło 0.5 obserwator 0-0.5-1 0 0.1 0.2 t [s] A.F.Żarnecki Wykład II 32

Przykład Efekt Dopplera Głośnik wirujacy A/A 0 1 r=1m f=100hz ω=5*6.28s -1 źródło 0.5 obserwator 0-0.5-1 0 0.1 0.2 t [s] A.F.Żarnecki Wykład II 33

Projekt Fizyka wobec wyzwań XXI w. współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego